第五章例题剖析
1.一电荷为e 的线性谐振子受恒定弱电场ε作用。设电场ε沿x 方向：
（1）用微扰法求能量至二级修正；
（2）求能量的准确值，并和（1）所得的结果比较。
[解]（1）荷电为e 的线性谐振子由于电场ε作用所具有的能量为x e ε，因为ε
是弱电场，故与无电场时谐振子具有的总能量0H 相比较，显然有 x e H ε>>0
令 x e H ε='，显然，H '可以看作微扰，因此可以用微扰法求解。
线性谐振子在外电场作用下的总哈密顿算符是
H H x e x p H '+=++=ˆˆ2
12ˆ0222εμωμ 无微扰时，线性谐振子的零级波函数是
)(!222122x H e m m x m m απα
ψα-⋅=
当体系处于第m 态时，考虑微扰的影响，则能量变为
∑≠-'+'+=n m n
m mn mm m m E E H H E E 0020 其中 ⎰
='dx x x e x H m m mm )()(*ψεψ ⎰=ξξξψξψα
εd e m m )()(*2 其中x x μωαξ==
ξξξξα
εξξd H e H e N e m m m )()(222222--⎰= ξξξξαξξd H H e N e m m m )()(222⎰-= 利用递推公式
)()(21)(11ξξξξ-++=m m m mH H H
故 ξξξξαεξd mH H H e N e H m m m m mm ⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+='-+-)()(21)(11222 利用厄密多项式的正交性可以看出上面的积分为零，即0='mm
H 这表明能量一级修正为零。
下面求能量的二级修正。为此计算矩阵元
⎰-='ξξξαεξd H H e N N e H n m n m mm )()(2
2
⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=
-+-ξξξξαεξd nH H H e N N e n n m n m )()(21)(1122 ⎩⎨⎧=⎰-+-ξξξαεξξd e H N H e N e n n m m 221222)()(21 }
ξξξξξd e H N H e N n n n m m ⎰---+22122)()( ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧++=
⎰⎰-+ξξψξψξξψξψαεd n n d n e n m n m )()(2)()()1(2211*1*2 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=-+1,1,2221n m n m n n e δδαε ⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++-=-'∴+-≠∑010010222002212||m m m m n m n m mn E E m E E m e E E H αε 而 ωωω =+--⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=--)211(21010m m E E m m ωωω -=++-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=-+)211(21010m m E E m m 最后得能量的二级修正为
2222222200222212μωεμωωεωαεe e m m e E E H n m n
m mn -=⋅-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=-'∑≠ 故在准确到二级修正的情况下，总能量为
222221μωεωe m E -⎪⎭⎫ ⎝
⎛+= （2）由于微扰能量是线性的，因此我们可以采用配成完全平方的方法，把哈密顿算符加以变形，从而求得能量的准确性。
222222222222ˆ22ˆˆμω
εμωεαμωμεμωμe e x p x e x p H -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++= 2
2202222222ˆ222ˆμωεμωεμωμe H e x p -=-'+= 其中 2μω
εe x x +=' 定态薛定谔方程是
ψψμω
εψψm E e H H ==2220
2ˆˆ 而 0000ψψm E H =
令 0ψψ=，则得
0022202ψψμωεm m E e E =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛- 故 22222202212μωεωμωεe m e E E m m -⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=-= 这样算出的结果和用微扰法算出的结果完全一致。
2．计算氢原子由p 2态跃迁到S 1态时所发出的光谱线强度。
[解] 系统由状态n 到状态m 所发出的光谱线的强度决定于处在状态n 中的原子数n N 和单位时间内跃迁的几率，谱线强度表示这样跃时所放出的能量。
一般地 nm nm n nm A N B ω =
而 2322)(34nm nm nm r C
e A ω= 注意到由S p 12→谱线的圆频率为
34122183
e E E μω=-= 而 θc o s ,)(221221221221r z z y x r =++=
p 2有三个状态，即（2，1，0），（2，1，1）和（2，1，-1）
（1）先计算z 的矩阵元
ϕθθθd d Y Y dr r R r r R z ⎰⎰∞
=sin cos )()()(00*100103*21100,210 利用公式
10003
1cos Y Y =
θ 这是因为 θππ
cos 43,411000==
Y Y 可得： ⎰⎰∞=010*10103*21100,210sin 3
1)()()(ϕθθd d Y Y dr r R r r R z ⎰∞==0103*213
1)()(31J dr r R r r R 其中令 ⎰∞
=0310*21)()(dr r r R r R J
同理，容易算得：
