2017_2018学年高中数学阶段质量检测(二)函数新人教B版必修1
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- 1 - 阶段质量检测（二） 函 数
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数y＝x＋2＋4－x的定义域为( )
A．{x|x≤－1} B．{x|－2≤x≤4}
C．{x|x≤－2或x≥4} D．{x≥4}
解析：选B 要使函数有意义，需 2＋x≥0，4－x≥0.
解得－2≤x≤4.
2．函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数是(
)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 函数图象通过零点时穿过x轴，称零点为变号零点，观察图象，知变号零点有3个．
3．设集合A＝{－1,3,5}，若f：x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是( )
A．{0,2,3} B．{1,2,3}
C．{－3,5} D．{－3,5,9}
解析：选D 由对应关系可知，当x＝－1时，2x－1＝－3；当x＝3时，2x－1＝5；当x＝5时，2x－1＝9.故B＝{－3,5,9}．
4．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有( )
A．a≥12 B．a≤12
C．a>12 D．a<12
解析：选D 函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<12.故选D.
5．若f(1－2x)＝1－x2x2(x≠0)，那么f12等于( )
A．1 B．3 - 2 - C．15 D．30
解析：选C 令1－2x＝t，
则x＝1－t2(t≠1)，
∴f(t)＝4t－12－1(t≠1)，
即f(x)＝4x－12－1(x≠1)，
∴f12＝16－1＝15.
6．函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为(
)
A．y＝－|x|－1 B．y＝|x－1|
C．y＝－|x|＋1 D．y＝|x＋1|
解析：选C 对照题中的函数图象，当x＝0时排除A，当x＝－1时排除B，当x＝1时排除D，故选C.
7．函数f(x)＝ 2x＋6，x∈[1，2]，x＋7，x∈[－1，1]，则f(x)的最大值与最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
解析：选A ∵x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，
f(x)min＝2×1＋6＝8；x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，
∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.
8．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在(－5，－2)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．非单调函数
D．可能是增函数，也可能是减函数
解析：选A ∵f(x)为偶函数，∴m＝0，f(x)＝－x2＋3，∴f(x)的对称轴为y轴，故f(x)在(－5，－2)上是增函数．
9．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )
A．y＝12x B．y＝24x - 3 - C．y＝28x D．y＝216x
解析：选C 正方形的对角线长为24x，从而外接圆半径为y＝12×24x＝28x.
10．已知函数f(x)＝ a－3x＋5，x≤1，2ax，x>1是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(0,3]
C．(0,2) D．(0,2]
解析：选D 依题意得实数a满足 a－3<0，2a>0，a－3＋5≥2a，解得0
11．若f(x)满足f(－x)＝f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．f－32
B．f(－1)
C．f(2)
D．f(2)
解析：选D 由已知可得函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，f－32＝f32，f(－1)＝f(1)．∵1<32<2，∴f(1)>f32>f(2)，即f(2)
12．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题：
①f(0)＝0；②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；④若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x，即④正确． - 4 - 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．函数f(x)＝x3－16x的零点为________．
解析：f(x)＝x3－16x＝0，∴x(x2－16)＝0，
∴x＝0或x2＝16，∴x＝0或x＝－4或x＝4.
故零点为－4,0,4.
答案：－4,0,4
14．已知函数f(x)＝ 2x，x>0，x＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
解析：若a>0，则2a＋2＝0，得a＝－1，与a>0矛盾，舍去；若a≤0，则a＋1＋2＝0，得a＝－3，所以实数a的值等于－3.
答案：－3
15．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
解析：如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的，
又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，
∴1
答案：(1,3]
16．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则不等式f(x)<0的解集为________．
解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2)＝0，所以f(－2)＝0.
又f(x)在(－∞，0]上是减函数，故f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
故满足f(x)<0的x的取值范围应为(－2,2)，即f(x)<0的解集为{x|－2
答案：{x|－2
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x＋2x－6.
(1)判断点(3,14)是否在f(x)的图象上；
(2)当x＝4时，求f(x)的值；
(3)当f(x)＝2时，求x的值． - 5 - 解：(1)因为f(x)＝x＋2x－6，所以f(3)＝3＋23－6＝－53，
所以点(3,14)不在f(x)的图象上．
(2)f(4)＝4＋24－6＝－3.
(3)令x＋2x－6＝2，即x＋2＝2x－12，
解得x＝14.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．
解：(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，
∴－3和2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，
∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②
①－②得b＝a＋8.③
将③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，
即a2＋3a＝0.
∵a≠0，∴a＝－3.∴b＝a＋8＝5.
∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18
＝－3x＋122＋34＋18.
图象的对称轴方程是x＝－12，又0≤x≤1，
∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18，
∴函数f(x)的值域是[12,18]．
19．(本小题满分12分)如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)．
(1)求f (f(0))的值；
(2)求函数f(x)的解析式．
解：(1)直接由图中观察，可得
f(f(0))＝f(4)＝2.
(2)设线段AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b， - 6 - 将 x＝0，y＝4与 x＝2，y＝0代入，
解得 4＝b，0＝2k＋b.得 b＝4，k＝－2.
∴y＝－2x＋4(0≤x≤2)．
同理，线段BC所对应的函数解析式为
y＝x－2(2
∴f(x)＝ －2x＋4，0≤x≤2，x－2，2
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x＋1x＋1.
(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
解：(1)因为f(x)＝2x＋1x＋1＝2－1x＋1，
所以f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1
因为x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)得，函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以f(x)在[1,4]上是增函数．
最大值为f(4)＝2×4＋14＋1＝95，最小值为f(1)＝2×1＋11＋1＝32.
21．(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－2)2＋2.
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，求实数k的取值范围．
解：(1)若x<0，则－x>0，f (x)＝f(－x)＝－(－x－2)2＋2＝－(x＋2)2＋2，
则f(x)＝ －x－22＋2，x≥0，－x＋22＋2，x<0.
(2)图象如图所示，
