2017-2018学年高中数学 第二章 函数章末综合测评 新人教B版必修1

(二) 函数

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )

A．y＝x－1和y＝x2－1x＋1

B．y＝x0和y＝1

C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2

D．f(x)＝x2x和g(x)＝xx2

【解析】 A、B中两函数的定义域不同；C中两函数的解析式不同．

【答案】 D

2．函数f(x)＝1＋x＋1x的定义域是( )

A．[－1，＋∞)

B．(－∞，0)∪(0，＋∞)

C．[－1,0)∪(0，＋∞)

D．R

【解析】 要使函数有意义，需满足 1＋x≥0，x≠0，

即x≥－1且x≠0.

【答案】 C

3．设集合A＝{－1,3,5}，若f：x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是( )

A．{0,2,3} B．{1,2,3}

C．{－3,5} D．{－3,5,9}

【解析】 当x＝－1,3,5时对应的2x－1的值分别为－3，5,9.

【答案】 D

4．f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是增函数；g(x)为偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，则在(0，＋∞)上( )

A．f(x)和g(x)都是增函数

B．f(x)和g(x)都是减函数

C．f(x)为增函数，g(x)为减函数 2 D．f(x)为减函数，g(x)为增函数

【解析】 定义在R上的奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，定义在R上的偶函数关于原点对称的区间上单调性相反，故应选C.

【答案】 C

5．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )

A．f－32

B．f(－1)

C．f(2)

D．f(2)

【解析】 由f(x)是偶函数，得f(2)＝f(－2)，又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－32<－1，则f(2)

【答案】 D

6．若函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－1，则当x<0时，有( )

A．f(x)>0 B．f(x)<0

C．f(x)f(－x)≤0 D．f(x)－f(－x)>0

【解析】 ∵函数f(x)为奇函数，令x<0，则－x>0

∴f(－x)＝－x－1，∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x＋1

∴当x<0时，f(x)＝x＋1，此时f(x)＝x＋1的函数值符号不确定，因此排除选项A，B，

∵f(x)f(－x)＝ －x＋2， x0， x＝－x－2， x

∴f(x)f(－x)≤0成立，∴选项C符合题意．

【答案】 C

7．已知函数fx－1x＝x2＋1x2，则f(3)等于( )

A．8 B．9

C．11 D．10

【解析】 ∵fx－1x＝x2＋1x2＝x－1x2＋2，

设x－1x＝t，∴f(t)＝t2＋2， 3 即f(x)＝x2＋2，

∴f(3)＝32＋2＝11.

【答案】 C

8．若函数f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则F(x)在(－∞，0)上( )

A．有最小值－5 B．有最大值－5

C．有最小值－1 D．有最大值－3

【解析】 设h(x)＝af(x)＋bg(x)，则F(x)＝h(x)＋2，

且h(x)为奇函数，当x>0时，F(x)≤5，即h(x)＋2≤5，

∴h(x)≤3.设x<0，则－x>0，∴h(－x)≤3，

h(x)≥－3，∴F(x)＝h(x)＋2≥－1.

【答案】 C

9．函数y＝3x＋2x－1(x≥2)的值域是( )

A.43，＋∞ B．[6＋3，＋∞)

C．[6，＋∞) D．[3，＋∞)

【解析】 ∵y＝3x＋2x－1在[2，＋∞)上是增函数，

∴ymin＝3×2＋2×2－1

＝6＋3.

∴y＝3x＋2x－1(x≥2)的值域为[6＋3，＋∞)．

【答案】 B

10．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：

①如一次购物不超过200元，不予以折扣；

②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；

③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠．

某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款( )

A．608元 B．574.1元

C．582.6元 D．456.8元

【解析】 由题意得，购物付款432元，实际标价为432×109＝480元，如果一次购买标价176＋480＝656元的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元．

【答案】 C

11．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么( ) 4 A．f(2)

C．f(4)

【解析】 由f(2＋t)＝f(2－t)，可知抛物线的对称轴是直线x＝2，再由二次函数的单调性，可得f(2)

【答案】 A

12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于( )

A．－6 B．6

C．－8 D．8

【解析】 ∵f(x)为定义在R上的奇函数，

且满足f(x－4)＝－f(x)，

∴f(x－4)＝f(－x)．

∴函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)．

又∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，

∴f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1

∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4.

∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8.

【答案】 C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13．已知函数f(x)＝ 2x＋1，x≥0，fx＋，x<0，则f(－3)＝________.

【解析】 ∵－3<0，∴f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)．

∵1>0，∴f(1)＝2×1＋1＝3.

∴f(－3)＝3.

【答案】 3

14．已知f(x)为R上的减函数，则满足f1x>f(1)的实数x的取值范围为________.

【解析】 ∵f(x)在R上是减函数， 5 ∴1x<1，解得x>1或x<0.

【答案】 (－∞，0)∪(1，＋∞)

15．已知函数f(x)的图象如图1所示，则f(x)的解析式是________．

图1

【解析】 设函数解析式为y＝ax＋b，利用待定系数法求解．

【答案】 f(x)＝ x＋1，－1≤x<0，－x，0≤x≤1

16．对于定义在R上的任意函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．若二次函数f(x)＝x2－ax＋1没有不动点，则实数a的取值范围是________．

【解析】 若二次函数f(x)＝x2－ax＋1有不动点，则方程x2－ax＋1＝x，即x2－(a＋1)x＋1＝0有实数解．

∴Δ＝(a＋1)2－4＝a2＋2a－3＝(a＋3)(a－1)≥0，

∴a≤－3或a≥1.

∴当函数f(x)＝x2－ax＋1没有不动点时，实数a的取值范围是－3

【答案】 －3

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知直角三角形ABC的面积是y，AB⊥AC且|AB|＝x－1，|AC|＝x＋1，求y关于x的函数解析式，并求出函数的定义域．

【解】 由于△ABC是直角三角形，

则有y＝12|AB|·|AC|＝12(x－1)(x＋1)＝12x2－12，

由题意得 |AB|＝x－1>0，|AC|＝x＋1>0，解得x>1.

所以函数的定义域是(1，＋∞)．

18．(本小题满分12分)若f(x)对x∈R恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，求f(x)．

【解】 2f(x)－f(－x)＝3x＋1，①

将①中的x换为－x，得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，②

①②联立，得 2fx－f－x＝3x＋1，2f－x－fx＝－3x＋1，

把f(x)与f(－x)看成未知数解得f(x)＝x＋1. 6 19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)，

(1)证明：函数f(x)是偶函数；

(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；

(3)写出函数的值域．

【解】 (1)由于函数定义域是R，且f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)．

∴f(x)是偶函数．

(2)f(x)＝ －2xx<－，－1≤x，2xx，

图象如图所示：

(3)由函数图象知，函数的值域为[2，＋∞)．

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x＋1x＋1.

(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；

(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．

【解】 (1)f(x)在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1

f(x1)－f(x2)＝2x1＋1x1＋1－2x2＋1x2＋1

＝x1－x2x1＋x2＋.

∵x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，

f(x1)

所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．

(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数．最大值为f(4)＝2×4＋14＋1＝95，最小值为f(1)＝2×1＋11＋1＝32.

21．(本小题满分12分)大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km为止温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在－55 ℃.