2018版高中数学 第二章 函数 2.1.1 函数学案 新人教B版必修1

2．1.1

第1课时

变量与函数的概念

1．理解函数的概念，了解函数构成的三要素．(难点)

2．会求一些简单函数的定义域、值域．(重点、易错点)

3．能正确使用区间表示数集．(重点)

[基础·初探]

教材整理1 变量与函数的概念

阅读教材P29～P31“倒数第11行”以上部分，完成下列问题．

1．函数的定义

设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.也经常写作函数f或函数f(x)．

2．函数的定义域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．

3．函数的值域

如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )

(2)根据函数有定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.( )

(3)f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．( )

【答案】 (1)× (2)× (3)√

教材整理2 区间的概念及表示

阅读教材P31“倒数第10行”以下～P32“例1”以上的内容，完成下列问题．

1．一般区间的表示

设a，b∈R，且a＜b，规定如下：

2 定义 名称 符号 数轴表示

{x|a≤x≤b}

闭区间 [a，b]

{x|a＜x＜b} 开区间 (a，b)

{x|a≤x＜b} 半闭半开区间 [a，b)

{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]

2.特殊区间的表示

定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}

符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)

填空：

(1)集合{x|1

(2)集合{x|x>－2}用区间可表示为________；

(3)集合{x|x≤2}用区间可表示为________．

【答案】 (1)(1,3] (2)(－2，＋∞) (3)(－∞，2]

[小组合作型]

函数的概念及应用

(1)下列四个图象中，不是函数图象的是( )

(2)下列各组函数是同一函数的是( )

①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；

②f(x)＝x与g(x)＝x2；

③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；

④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.

A．①② B．①③

1 C．③④

D．①④

(3)判断下列对应是否为函数：

①x→y，y＝2x，x≠0，x∈R，y∈R；

②x→y，y2＝x，x∈N，y∈R；

③x→y，y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；

④x→y，y＝16x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}．

【精彩点拨】 (1)根据函数的定义，函数的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．

(2)确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．

(3)利用函数的定义判定．

【自主解答】 (1)根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.

(2)①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与y＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．

②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．

③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．

④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．

由上可知是同一函数的是③④.

故选C.

【答案】 (1)B (2)C

(3)①是函数．对x≠0，x∈R的每一个x的值，有唯一的y∈R与之对应．

②不是函数．如当x＝4时，y＝2或－2，有两个值与之对应，因此不是函数．

③不是函数．如当x＝4时，在{y|0≤y≤3}内没有值与x对应．

④是函数．当x∈{x|0≤x≤6}时，16x∈{y|0≤y≤1}⊆{y|0≤y≤3}．

1．判断一个对应关系是否为函数的步骤

(1)判断A，B是否是非空数集；

(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应；

2 (3)判断A中任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应．

2．判断函数是否相同的步骤

(1)看定义域是否相同；

(2)看对应关系是否相同；

(3)下结论．

[再练一题]

1．下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？

(1)f：把x对应到3x＋1；

(2)g：把x对应到|x|＋1；

(3)h：把x对应到1x；

(4)r：把x对应到x.

【解】 (1)是实数集R上的一个函数．它的对应关系f是把x乘3再加1，对于任一x∈R,3x＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x＝－1时，有3x＋1＝－2与之对应．

同理，(2)也是实数集R上的一个函数．

(3)不是实数集R上的一个函数．因为当x＝0时，1x的值不存在．

(4)不是实数集R上的函数．因为当x<0时，x的值不存在．

求函数值

已知函数f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．

(1)求f(2)，g(2)的值；

(2)求f[g(2)]的值．

【精彩点拨】 求f(m)的值，直接把m代入解析式即可．注意第(2)小题求f[g(2)]，可以看成是求以g(2)为自变量的f(x)的函数值．

【自主解答】 (1)f(2)＝11＋2＝13，g(2)＝22＋2＝6.

(2)f[g(2)]＝f(6)＝17.

1．f(x)表示自变量为x的函数，如f(x)＝2x－3，而f(a)表示的是当x＝a时的函数值，如f(x)＝2x－3中f(2)＝2×2－3＝1.

2．求f[g(a)]时，一般要遵循由里到外的原则．

1 [再练一题]

2．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f[f(－1)]的值．

【解】 f(1)＝13＋2×1＋3＝6；

f(t)＝t3＋2t＋3；

f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；

f[f(－1)]＝f[(－1)3＋2×(－1)＋3]＝f(0)＝3.

求函数的定义域

函数y＝3x21－2x＋(2x＋1)0的定义域为( )

A.x x<12 B.x x<12且x≠－12

C.x x>12 D.x x≤12且x≠－12

【精彩点拨】 根据函数解析式的结构特点，构造使函数解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式(组)求解．

【自主解答】 要使函数有意义，则 1－2x>0，2x＋1≠0，

即 x<12，x≠－12，即x＜12且x≠－12，

故函数的定义域为x x<12且x≠－12，故选B.

【答案】 B

求函数的定义域应关注四点

1．要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.

2．不对解析式化简变形，以免定义域变化．

3．当一个函数是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．

4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

2 [再练一题]

3．函数y＝x＋1x的定义域为________．

【解析】 要使函数有意义，必须 x＋1≥0，x≠0，解得x∈[－1,0)∪(0，＋∞)．

函数的定义域为[－1,0)∪(0，＋∞)．

【答案】 [－1,0)∪(0，＋∞)．

[探究共研型]

求抽象函数的定义域

探究1 函数f(x)＝x的定义域为[0，＋∞)，这里的“[0，＋∞)”是指谁的取值范围？在函数的定义中，是如何定义函数定义域的？函数的定义域对于函数的对应关系f而言，有什么作用？

【提示】 这里的[0，＋∞)是自变量x的取值范围．在函数的定义中，定义域是指自变量x的取值范围．对于函数的对应关系f而言，当自变量x在定义域范围内取值时，这种对应才有意义，才可以进行．

探究2 (1)设函数f(x)＝x，则f(x＋1)等于什么？f(x＋1)的定义域是什么？

(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，那么函数y＝f(x＋1)的定义域是什么？

【提示】 (1)f(x＋1)＝x＋1.令x＋1≥0，解得x≥－1，所以f(x＋1)＝x＋1的定义域为[－1，＋∞)．

(2)函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，所以令x＋1≥0，解得x≥－1，所以函数y＝f(x＋1)的定义域是[－1，＋∞)．

探究3 若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f有意义的自变量t＝x＋1的范围是什么？函数y＝f(x)的定义域是什么？

【提示】 这里的“[1,2]”是自变量x的取值范围．因为x∈[1,2]，所以x＋1∈[2,3]，所以使对应关系f有意义的自变量t＝x＋1的范围是[2,3]，所以函数y＝f(x)的定义域是[2,3]．

(1)已知函数y＝f(x)的定义域为[－2,3]，求函数y＝f(2x－3)的定义域；

(2)已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2,3]，求函数y＝f(x＋2)的定义域．

【精彩点拨】 (1)由函数y＝f(x)的定义域为[－2,3]，解不等式－2≤2x－3≤3即可．

(2)由函数y＝f(2x－3)的定义域，先求函数y＝f(x)的定义域，再求函数y＝f(x＋2)的定义域．

【自主解答】 (1)因为函数y＝f(x)的定义域为[－2,3]，即x∈[－2,3]，函数y＝f(2x