天津市红桥区高考数学一模试卷(文科)

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高考数学一模试卷（文科）

题号 一 二 三 总分

得分

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 若i为虚数单位，则=（ ）

A. i B. -i C. 1 D. -1

2. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y-2x的最大值为（ ）

A. 7 B. 5 C. 3 D. 1

3. 若p：∀x∈R，sin x≤1，则（ ）

A.

¬p：∃x0∈R，sin x0＞1 B. ¬p：∀x∈R，sin x＞1

C. ¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 D. ¬p：∀x∈R，sin x≥1

4. 已知a=log34，，，则a，b，c的大小关系为（ ）

A.

a＞b＞c B. b＞a＞c

C. c＞b＞a D. c＞a＞b

5. 若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是（ ）

A. ＞ B. +≤1 C. ≥2 D. ≤

6.

设是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(

)

A. B. 3 C. 2 D. 4

8. 已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为( )

A. B. C. π D. 2π

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

9. 已知集合U={（x，y）|x2+y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中的元素的个数为______．（用数字填写）

10. 已知函数，则f（x）的最大值为______．

11. 圆C：（x-1）2+y2=1的圆心到直线l：x-y+a=0（a＞0）的距离为，则a的值为______．

12. 运行如图所示的程序，输出结果为______．

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13. 平面α截球O所得的截面圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为______．

14. 已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则实数a取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）

15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，cosB=．

（1）求b的值；

（2）求sin（2B-）的值．

16. 根据调查，某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团，三个社团参加的人数如表所示：

社团 街舞 围棋 武术

人数 320 240 200

为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少2人．

（Ⅰ）求三个社团分别抽取了多少同学；

（Ⅱ）若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．

17. 如图，四面体ABCD中，O、E分别 BD、BC的中点，AB=AD=，CA=CB=CD=BD=2．

（1）求证：AO⊥平面BCD； 第3页，共13页 （2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值大小；

（3）求点E到平面ACD的距离．

18. 设等差数列{an}的公差为d，d为整数，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知a1=b1，b2=2，d=q，S10=100，n∈N*．

（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）设，求数列{cn}的前n项和为Tn.

19. 设F1、F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，|F1F2|=2，直线l过F1且垂直于x轴，交椭圆C于A、B两点，连接A、B、F2，所组成的三角形为等边三角形．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过右焦点F2的直线m与椭圆C相交于M、N两点，试问：椭圆C上是否存在点P，使成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

20. 已知函数f（x）=x3+ax2-a2x+3，a∈R．

（1）若a＜0，求函数f（x）的单调减区间；

（2）若关于x的不等式2xlnx≤f'（x）+a2+1恒成立，求实数a的范围． 第4页，共13页

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：=．

故选：B．

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．

2.【答案】C

【解析】解：满足变量x，y满足约束条件的可行域如下图所示：

由得：x=-1，y=1，

故目标函数z=y-2x的最大值是3，

故选：C．

画出满足条件的可行域，求出各个角点的坐标，代和目标函数比较大小后，可得目标函数z=y-2x的最大值．

利用线性规划求最值的步骤：

（1）在平面直角坐标系内作出可行域．

（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax+by斜率型）、（型型）和距离型（（x+a）2+（y+b）2型）．

（3）确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．

（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．

3.【答案】A

【解析】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，

∀x∈R，sinx ≤1的否定为：∃x∈R，sinx＞1

故选：A． 第6页，共13页 根据全称命题的否定为特称命题，分别对量词和命题的结论分别进行否定即可求解

本题主要考查了全称命题的否定，属于基础试题

4.【答案】D

【解析】解：，；

∴c＞a＞b．

故选：D．

容易得出，，从而得出a，b，c的大小关系．

考查对数函数和指数函数的单调性，对数的换底公式．

5.【答案】D

【解析】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4，

∴ab≤，当且仅当a=b=2时，取等号，

∴，故A不成立；

，故B不成立；

，故C不成立；

∵ab≤4，a+b=4，∴16-2ab≥8，

∴==≤，故D成立．

故选：D．

本题主要考查基本不等式，是中档题．

由题设知ab≤，所以，，，==≤，由此可解．

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查等比数列的函数性质，属于基础题．

根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．

【解答】

解：设数列的首项为，若为递增数列，

则对恒成立，

即或，

所以由为递增数列，

由为递增数列，

故“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．

故选D．

7.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN的坐标，然后求解|MN|． 第7页，共13页 【解答】

解：双曲线C：-y2=1的渐近线方程为：y=，渐近线的夹角为60°，

不妨设MN与垂直，则kMN=，

设过F（2，0）的MN直线为：y=，

则：联立，解得M（，），

联立，解得N（），

则|MN|==3．

故选B．

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，属于中档题．

得到正好等于f（x）的周期的倍，即可求解.

【解答】

解：∵已知函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）（ω＞0），x∈R，

在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，

若相邻交点距离的最小值为，

设x1，x2分别为距离最小的相邻交点的横坐标，

则ωx1＋＝2kπ＋，ωx2＋＝2kπ＋(k∈Z)，两式相减，

得x2－x1＝＝，

所以ω＝2，

故f(x)＝2sin的最小正周期为π，

故选：C．

9.【答案】5

【解析】解：集合U的元素代表单位圆圆周及其内部的两坐标皆为整数的点，

①坐标轴上满足x2+y2≤1有5个，分别为（1，0），（0，1），（-1，0），（0，-1）．

②象限内没有满足x2+y2≤1的点，

故填：5．

集合U的元素代表单位圆圆周及其内部的点，分坐标轴和象限进行讨论，即可得到结论．

本题考察集合的表示以及点与圆的位置关系，解题时需注意集合U的元素为两坐标均为整数的点，本题属于基础题．

10.【答案】