几何最值问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)

12023年中考数学压轴题专项训练

1.几何最值问题

一、压轴题速练

1一、单选题

1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E是矩形ABCD内部一动点，且∠BEC

=90°，点P是AB边上一动点，连接PD、PE，则PD+PE的最小值为()

A.8B.45C.10D.45-2

【答案】A

【分析】根据∠BEC=90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE进行转化即可求解．

【详解】解：如图，设点O为BC的中点，由题意可知，

点E在以BC为直径的半圆O上运动，作半圆O关于AB的对称图形(半圆O')，

点E的对称点为E1，连接O'E1,则PE=PE

1，

∴当点D、P、E

1、O'共线时，PD+PE的值最小，最小值为DE1的长，

如图所示，在Rt△DCO'中，CD=8，CO'=6，

∴DO'=82+62=10，

又∵O'E1=2，

∴DE

1=DO'-O'E

1=8，即PD+PE的最小值为8，

故选：A．

【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE进行转化时

解题的关键．

2(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，

二次函数y=3

2

x2-3

2x-3的图象与x轴交于

点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则1

2PB+PD的最小值为

()

2A.

33

4

B.32C.3D.

5

43

【答案】A

【分析】作射线BA，作PE⊥BA于E，作DF⊥BA于F，交y轴于P，可求得∠ABO=30°，从而得出PE=1

2PB，

进而得出PD+1

2PB=PD+EP，进一步得出结果．【详解】解：如图，

作射线BA，作PE⊥BA于E，作DF⊥BA于F，交y轴于P，抛物线的对称轴为直线x=--3

2

2×3

2=12，

∴OD=1

2，

当x=0时，y=-3，

∴OB=3，

当y=0时，3

2x2-3

2x-3=0，

∴x

1=-1，x

2=2，

∴A(-1,0)，

∴OA=1，

∵tan∠ABO=OA

OB=1

3=3

3，

∴∠ABO=30°，

∴PE=1

2PB，

∴1

2PB+PD=PD+PE≥DF，当点P在P时，PD+PE最小，最大值等于DF，

在Rt△ADF中，∠DAF=90°-∠ABO=60°，AD=OD+PA=1

2+1=3

2，

∴DF=AD⋅sin∠DAE=3

2×3

2-33

4，

∴1

2PB+PD

最小=DF=3

3

4，

故选：A．

【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关

键是用三角函数构造1

2PB．

3(2023秋·浙江金华·九年级统考期末)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形ABCD内的动点，点P是

BC边上的动点，且∠EAB=∠EBC．连结AE，BE，PD，PE，则PD+PE的最小值为()

3A.213-2B.45-2C.43-2D.215-2

【答案】A

【分析】先证明∠AEB=90°，即可得点E在以AB为直径的半圆上移动，设AB的中点为O，作正方形ABCD关于

直线BC对称的正方形CFGB，则点D的对应点是F，连接FO交BC于P，交半圆O于E，根据对称性有：PD=

PF，则有：PE+PD=PE+PF，则线段EF的长即为PE+PD的长度最小值，问题随之得解．

【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠EBC=90°，

∵∠EAB=∠EBC，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∴∠AEB=90°，

∴点E在以AB为直径的半圆上移动，

如图，设AB的中点为O，

作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形CFGB，

则点D的对应点是F，

连接FO交BC于P，交半圆O于E，

根据对称性有：PD=PF，

则有：PE+PD=PE+PF，

则线段EF的长即为PE+PD的长度最小值，E

∵∠G=90°，FG=BG=AB=4，

∴OG=6，OA=OB=OE=2，

∴OF=FG2+OG2=213，

∴EF=OF-OE=213-2，

故PE+PD的长度最小值为213-2，

故选：A．

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是

解题的关键．

4(2022秋·安徽池州·九年级统考期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过

点P作PD⊥AB于点D，则

PB+PD的最小值为()

4

A.15

4B.24

5C.5D.20

3

【答案】B

【分析】作点B关于AC的对称点B，过点B作BD⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+

PD有最小值，连接AB，根据对称性的性质，可知：BP=BP，△ABC≅△ABC，根据S

△ABB=S

△ABC+S

△ABC=

2S

△ABC，即可求出PB+PD的最小值．

【详解】解：如下图，作点B关于AC的对称点B，过点B作BD⊥AB于点D，交AC于点P，连接AB，点P即为所

求作的点，此时PB+PD有最小值，

根据对称性的性质，可知：BP=BP，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3，

∴AB=AC2+BC2=5，根据对称性的性质，可知：△ABC≅△ABC，

∴S

△ABB=S

△ABC+S△ABC=2S

△ABC，

即1

2×AB⋅BD=2×1

2BC⋅AC，

∴5BD=24，

∴BD=24

5，

故选：B．

【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．

5(2023秋·甘肃定西·八年级校考期末)如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一

动点，Q为 边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是()

A.118°B.125°C.136°D.124°

【答案】D

【分析】先在BC上截取BE=BQ，连接PE，证明△PBQ≌△PBESAS，得出PE=PQ，说明AP+PQ=AP+

PE，找出当A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ最小，过点A作AE⊥BC于点

E，交BD于点P，根据三角形外角的性质可得答案．

【详解】解：在BC上截取BE=BQ，连接PE，如图：

∵BD平分∠ABC，∠ABC=68°，

∴∠ABD=∠CBD=1

2∠ABC=34°，

∵BP=BP，

∴△PBQ≌△PBESAS，

∴PE=PQ，

∴AP+PQ=AP+PE，

∴当A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ

最小，

过点A

作AE⊥BC于点E，交BD于点P，如图：

∵∠AEB=90°，∠CBD=34°，

∴∠APB=∠AEB+∠CBD=124°．

故选：D．

5【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外

角的性质，解题的关键是找出使AP+PQ最小时点P的位置．

6(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末)如图，E为正方形ABCD边AD上一点，AE=1，

DE=3，P为对角线BD上一个动点，则PA+PE的最小值为()

A.5B.42C.210D.10

【答案】A

【分析】连接EC交BD于P点，根据“两点之间线段最短”，可知PA+PE的最小值即为线段EC的长，求出EC的

长即可.

【详解】连接EC，交BD于P点

∵四边形ABCD为正方形

∴A点和C点关于BD对称

∴PA=PC

∴PA+PE=PC+PE=EC

根据“两点之间线段最短”，可知PA+PE的最小值即为线段EC的长.

∵AE=1，DE=3

∴AD=4

∴DC=4

∴CE=DE2+CD2=32+42=5

∴PA+PE的最小值为5

故选：A

【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且

能够识别出将军饮马模型是解题的关键.

7(2023春·湖南张家界·八年级统考期中)如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一

动点，则DN+MN的最小值为()

A.4B.42C.25D.5

【答案】D

【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利

用勾股定理即可求出BM的长即可．

【详解】∵四边形ABCD是正方形，

∴

点B与D关于直线AC对称，

6∴DN=BN，

连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，

∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值，

∴AC是线段BD的垂直平分线，

又∵CD=4，DM=1

∴CM=CD-DM=4-1=3，

在Rt△BCM中，BM=CM2+BC2=32+42=5

故DN+MN的最小值是5．

故选：D．

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D关于直线AC的对称点，由轴对称及正方

形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键．

8(2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+3

的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点C(3,0)，若P是x轴上一动点，点D的坐标为(0,-1)，连接PD，则2PD+

PC的最小值是()

A.4B.2+22C.

22D.3

2

+2

32【答案】A

【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据2PD+PC=2PD+2

2PC=

2PD+PJ，求出DP+PJ的最小值即可解决问题．

【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．

∵二次函数y=-x2+bx+3的图像与x轴交于点C(3,0)，

∴b=2，

∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3，令y=0，-x2+2x+3=0，

解得x=-1或3，

∴A(-1，0)，

令x=0，y=3，

∴B(0，3)，

∴OB=OC=3，

∵∠BOC=90°，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∵

D

(0，-1)，

∴OD=1，BD=4，

∵DH⊥BC，

∴∠DHB=90°，

设DH=x，则BH=x,

∵DH2+BH2=BD2，