2020年中考数学专题复习-几何最值问题
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2020年中考数学专题复习-几何最值问题
一第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀5.(2016·武汉)如图,∠AOB=30°,点M,N分别在边O
A,OB上,且OM=1,ON=3,点P,Q分别在边OB,OA上,则MP+PQ+QN的最小值是?.?【解析】如图
,作点M关于ON的对称点M‘,点N关于OA的对称点N’,连接M‘N’分别交ON,OA于点P,Q,此时MP+PQ+QN的值最小.由对
称性质知,M‘P=MP,N’Q=NQ,∴MP+PQ+QN=M‘N’.连接ON‘,OM’,则∠M‘OP=∠MOP=∠N’OQ=30°
,∴∠N‘OM’=90°,又∵ON‘=ON=3,OM’=OM=1,∴M''N''=第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归
纳真题回顾小试牛刀1、【翻折变换类】2、【平移变换类】3、【旋转变换类】OA与OB共用顶点O，固定OA将OB绕
点旋转过程中的，会出现的最大值与最小值，如图：秘籍2：，，第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾
小试牛刀秘籍3：单轨迹圆模型：如图，点B在圆E上，求BD的最值1.过圆内一点的所有弦中，直径最长，垂直与直径的弦最短。2
.“隐圆”中的最值。如图,AB是O的一条弦,点C是O上一动点,且∠ACB=30°，点E.F分别是AC、BC的中点，直线EF与O
交于G、H两点。若O的半径为5，则GE+FH的最大值为___.第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试
牛刀例1.如图,AB是O的一条弦,点C是O上一动点,且∠ACB=30°，点E.F分别是AC、BC的中点，直线EF与O交于G、H
两点。若O的半径为5，则GE+FH的最大值为___.如图,AB是O的一条弦,点C是O上一动点,且∠ACB=30°，点E.F分别
是AC、BC的中点，直线EF与O交于G、H两点。若O的半径为5，则GE+FH的最大值为___.第二部分几何最值问题解题策略
考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀解：如图1，连接OA、OB，，∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°， ∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∵⊙O的半径为5，∴AB＝OA＝OB＝5，∵点E，F分别是AC、BC的中点，∴E
F＝0.5AB＝2.5，要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：
5×2＝10，∴GE+FH的最大值为：10﹣2.5＝7.5．故答案为：7.5．一第二部分几何最值问题解题策略考情分
析专题归纳真题回顾小试牛刀例2.(2016·江苏淮安)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边
AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是
.?一第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀【解析】本题考查与三角形有关的折叠的计算.由于
FP的长度是不变的,于是P点在以点F为圆心,以2为半径的圆上运动,由此可确定点P在什么位置时到边AB的距离最小.如图,当点E在BC
上运动时,PF的长固定不变,即PF=CF=2.∴点P在以点F为圆心,以2为半径的圆上运动.过点F作FH⊥AB交☉F于P,垂足为H,
此时PH最短,此时△AFH∽△ABC,∴一第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀（2019
通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边上的一点，且AM=AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿M
N所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是一第二部分几何最值问题解题
策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀解：过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，∵AM＝AD，AD＝CD＝
3∴AM＝1，MD＝2∵CD∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°∴HD＝0.5MD＝1，HM＝HD＝∴CH＝4∴M
C＝＝∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，∴AM＝A''M＝1，∴点A''在以M为圆心，AM为半径的圆上
，∴当点A''在线段MC上时，A''C长度有最小值∴A‘C长度的最小值＝MC﹣MA’＝﹣1故答案为：﹣1一第二部分
几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀例4如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△A
BC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC
＝90°，∵∠PAB＝∠PBC∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙
O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝5，∴P
C＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故答案为2．第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾
小试牛刀一第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀如图，△ABC为等边三角形，AB=2.
若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为___.几何最值问题解题策略
第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀最值问题是
初中数学的重要内容,无论是代数问题还是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的频率。主要有利用重要的几何结论(如两点之间线
段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题.一第二部分
几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀一、几何法通过转化思想，将线段等值变换（常用方法：翻折（对称）
、平移、旋转）①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线
之间，垂线段最短。由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：
平行线之间，垂线段最短；一第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀【解析】本题考查直角
坐标系中垂线段最短的问题.当PM⊥AB时,PM最小,由此可得,∠BPM+∠PBA=∠PBA+∠OAB=90°,∴∠BPM=∠OAB
.对于直线y=第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀1、【翻折变换类】典型问题：“将军饮
马”秘籍12、【平移变换类】典型问题：“造桥选址”一
第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀一第二部分几何最值问题解题策略考情分析专
题归纳真题回顾小试牛刀例1（2019安徽）如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12,点P在正方形的
边上,则满足PE+PF=9的点P的个数是()A.0B.4C.6D.8注意转化到我们的最小值问题上，能
否找到PE+PF的最小值，这个最小值和题目要求的9又存在什么关系？【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于
点N，连接EM，交BC于点H∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，∴EC＝8，FC＝4＝AE，∵点M与点F关于BC对称
∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°∴∠ACM＝90°∴EM＝＝4则在线段BC存在点H到点E和点
F的距离之和最小为4＜9在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12在点
H左侧，当点P与点B重合时，BF＝＝2∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴BE＝BF＝2∴PE+PF＝4∴点P在BH上时，4＜PE+PF＜4∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE
+PF＝9，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．即共有8个点P满足PE+PF＝9，故选：D．第二
部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀一第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真
题回顾小试牛刀如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°，点E，F将对角线AC三等分，且AC=6，连接DE，DF，BE，BF.
(3)若P是菱形ABCD的边上的点,则满足PE+PF=的点P的个数是___个第二部分几何最值问题解题策略考情分析
专题归纳真题回顾小试牛刀解：不妨假设点P在线段AD上，作点E关于AD的对称点E′，连接FE′交AD于点P，此时PE+PF的值
最小．易知PE+PF的最小值＝2，当点P由A运动到D时，PE+PF的值由最大值6减小到2再增加到4，∵PE+PE
＝，2＜＜4，∴线段AD上存在两个点P，满足PE+PF＝，∴根据对称性可知：菱形ABCD的边上的存在8个点
P满足条件．故答案为8．一第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀一第二部分几何
最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀一第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛
刀解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA﹣PB|的值最大的点，|PA﹣PB|＝A′B，连接A′
C，∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，∵∠BCD＝15°，∴∠A
CD＝75°，∴∠CAA′＝15°，∵AC＝A′C，∴A′C＝BC，∠CA′A＝∠CAA′＝15°，∴∠ACA′＝150°
，∵∠ACB＝90°，∴∠A′CB＝60°，∴△A′BC是等边三角形，∴A′B＝BC＝4．故最大值为4.一第二部分
几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀一第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小
试牛刀模型三：一第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀第二部分几何最值问题解题策略考情
分析专题归纳真题回顾小试牛刀解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，则点P、M
即为使PE+PM取得最小值，其PE+PM＝PE′+PM＝E′M，∵四边形ABCD是菱形，∴点E′在CD上，∵AC＝6，
BD＝6，∴AB＝＝3，由S菱形ABCD＝0.5AC?BD＝AB?E′M得0.5×6×6＝3?E
′M，解得：E′M＝2，即PE+PM的最小值是2，故选：C．一第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题
归纳真题回顾小试牛刀（2017泰安）如图,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线
AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为(C)【解析】设BE与AC交于点P'',连接BD,P''D
.∵点B与D关于AC对称,∴P''D=P''B,∴P''D+P''E=P''B+P''E=BE,当点P位于点P''处时,PD+PE最小.∵正方形
ABCD的面积为16,∴AB=4,又∵△ABE是等边三角形,∴BE=AB=4,∴PD+PE的最小值为4.一第二部分几何最值
问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀模型三：一第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾
小试牛刀一第二部分几何最值问题解题策略考情分析专题归纳真题回顾小试牛刀模型四：一第二部分几何最值问题解题策略
