北京市东城区上学期2017-2018学年高一期末考试 数学

2017-2018学年北京市首师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤22．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若log a＜1，则a的取值范围是（）A．0＜a＜B．a＞C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞14．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（）A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+35．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．B．或C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f （x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．cos70°cos335°+sin110°sin25°=______．10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为______．11．已知三个向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，则k=______．12．已知α∈（，π），β∈（﹣，0），且sinα=，cosβ=，则α﹣β的值为______．13．已知tanθ=3，则=______．14．使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是______．三、解答题（共4小题，满分44分）15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：（1）k+与﹣3垂直；（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？16．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的周期；（2）求函数f（x）在[﹣，]的取值范围．17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．（1）若x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2且f（x）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值；（2）若φ=且函数f（x）在[0，]上单调递增，求ω的取值范围；（3）若φ=0且函数f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．18．如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A 与B．2017-2018学年北京市首师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，两个集合有公共元素，得到两个集合中所包含的元素有公共的元素，得到a与﹣1的关系．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，∴两个集合有公共元素，∴a要在﹣1的右边，∴a＞﹣1，故选C．2．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角；二倍角的正弦．【分析】由sin2α＜0，确定2α的象限，确定α的象限范围，根据cosα﹣sinα＜0，判定α的具体象限．【解答】解：∵sin2α＜0，∴2α在第三、四象限或y的负半轴．2kπ+π＜2α＜2kπ+2π，k∈Z，∴kπ+＜α＜kπ+π，k∈Z∴α在第二、四象限．又∵cosα﹣sinα＜0，∴α在第二象限．故选：B．3．若log a＜1，则a的取值范围是（）A．0＜a＜B．a＞C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞1【考点】指、对数不等式的解法．【分析】运用对数函数的单调性，分a＞1，0＜a＜1两种情况，注意先求交集，再求并集即可．【解答】解：log a＜1=log a a，当a＞1时，不等式即为a＞，则有a＞1成立；当0＜a＜1时，不等式即为a＜，即有0＜a＜．综上可得，a的范围为a＞1或0＜a＜．故选D．4．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（）A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+3【考点】函数的图象与图象变化．【分析】欲求g（x）的解析式，只须根据：“f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g （x）的图象”将x→x﹣3由f（x）的解析式即可得到．【解答】解：∵函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，∴x→x﹣3，又∵f（x）=2﹣x+x∴g（x）=f（x﹣3）=2﹣x+3+x﹣3．故选A．5．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．B．或C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形【考点】向量在几何中的应用；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先由向量的加法运算法则知知对角线相等，再由矩形定义求解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，∵∴平行四边形的对角线相等由矩形的定义知：平行四边形ABCD是矩形．故选C6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=时，y=1＞0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f （x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得函数y=f（x）是周期为2的偶函数，数形结合可得函数y=f（x）与y=log5x 的图象的交点个数．【解答】解：由题意可得函数y=f（x）是周期为2的偶函数，再根据x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，可得函数y=f（x）的图象，数形结合可得函数y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为4，故选B．8．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】建立坐标系可得=（λ﹣μ，μ），A，B选项可举反例说明，通过P 的位置的讨论，结合不等式的性质可得0≤λ+μ≤3，进而可判C，D的正误，进而可得答案．【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（﹣1，1），故=（1，0），=（﹣1，1），所以=（λ﹣μ，μ），当λ=μ=1时，=（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，但P不是BC的中点，故A 错误；当λ=1，μ=0时，=（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，当λ=，μ=时，=（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，故满足λ+μ=1的点不唯一，故B错误；当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．故选C二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．cos70°cos335°+sin110°sin25°=．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式计算即可．【解答】解：cos70°cos335°+sin110°sin25°=cos70°cos25°+sin70°sin25°=cos（70°﹣25°）=cos45°=，10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的关系进行化简，结合向量投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，1），∴在方向上的正射影的数量||cos＜，＞===，故答案为：11．已知三个向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，则k=﹣2或11．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】先求出和的坐标，利用和共线的性质x1y2﹣x2y1=0，解方程求出k的值．【解答】解：由题意可得=（4﹣k，﹣7），=（6，k﹣5），由于和共线，故有（4﹣k）（k﹣5）+42=0，解得k=11或k=﹣2．故答案为：﹣2或11．12．已知α∈（，π），β∈（﹣，0），且sinα=，cosβ=，则α﹣β的值为．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据αβ的取值范围，利用同角三角函数的基本关系分别求得cosα和sinβ，由两角差的和正弦公式求得sin（α﹣β），根据α﹣β∈（，），即可求得α﹣β的值．【解答】解：由α∈（，π），β∈（﹣，0），sinα=，cosβ=，∴α﹣β∈（，），cosα＜0，sinβ＜0，cosα=﹣=﹣=﹣，sinβ=﹣=﹣=﹣，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，=×﹣（﹣）（﹣），=﹣，∴α﹣β=．13．已知tanθ=3，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式以及平方关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：tanθ=3，则====．故答案为：．14．使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是a≤﹣2．【考点】其他不等式的解法．【分析】利用公式1=cos2x+sin2x，进行代换，可得cos2x+（1﹣a）cosx﹣a2≤0，然后利用换元法和二次函数的性质列出性质进行求解．【解答】解：1﹣cos2x+acosx+a2≥1+cosx⇒cos2x+（1﹣a）cosx﹣a2≤0，令t=cosx，∵x∈R，∴t∈[﹣1，1]，t2+（1﹣a）t﹣a2≤0，由题意知a＜0∴．故答案为a≤﹣2．三、解答题（共4小题，满分44分）15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：（1）k+与﹣3垂直；（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？【考点】平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．【分析】（1）由题意可得k+和﹣3的坐标，由k+与﹣3垂直可得它们的数量积等于0，由此解得k的值．（2）由k+与﹣3平行的性质，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k的值．再根据k+和﹣3的坐标，可得k+与﹣3方向相反．【解答】解：（1）由题意可得k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4），由k+与﹣3垂直可得（k﹣3，2k+2）•（10，﹣4）=10（k﹣3）+（2k+2）（﹣4）=0，解得k=19．（2）由k+与﹣3平行，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k=﹣，此时，k+=﹣+=（﹣，），﹣3=（10，﹣4），显然k+与﹣3方向相反．16．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的周期；（2）求函数f（x）在[﹣，]的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）化简函数f（x）为Asin（ωx+φ）的形式，求出最小正周期；（2）由x∈[﹣，]求出相位的取值范围，再计算f（x）的取值范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），…由T=得，最小正周期T=π；…（2）∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x﹣≤π，…∴﹣1≤sin（2x﹣）≤1，…函数f（x）在[﹣，]的取值范围：[﹣1，1]．17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．（1）若x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2且f（x）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值；（2）若φ=且函数f（x）在[0，]上单调递增，求ω的取值范围；（3）若φ=0且函数f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（1）根据正弦型函数f（x）的图象与性质，结合题意求出周期T，即可得出ω的值，再根据f（x）的最值求出φ的值；（2）根据φ=时函数f（x）在[0，]上单调递增，列出不等式求出ω的取值范围；（3）根据φ=0时f（x）为奇函数，结合正弦函数的图象与性质即可求出满足条件的ω的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），当x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2，∴T=2（6﹣2）=8=，∴ω=，∴f（x）=2sin（x+φ）；把（2，2）代入f（x）得2=2sin（+φ），∴cosφ=1；∵|φ|＜，∴φ=0；（2）当φ=时，函数f（x）=2sin（ωx+）在[0，]上单调递增，∴≤ωx+≤ω+，∴ω+≤，解得ω≤1；又ω＞0，∴ω的取值范围是（0，1]；（3）当φ=0时，f（x）=2sinωx，∵f（x）为奇函数，要使f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，只需f（x）=0在（0，π]上恰有9个根，∴T≤π＜5T，即•≤π＜5•，解得9≤ω＜10，即ω的取值范围是[9，10）．18．如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）根据“X﹣函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“X﹣函数”；（Ⅱ）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），利用不等式求出a的取值范围；（Ⅲ）（1）根据题意，判断对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）用反证法说明（﹣∞，0）⊆B，（0，+∞）⊆A；（3）用反证法说明0∈A，即得A、B．【解答】解：（Ⅰ）①、②是“X﹣函数”，③不是“X﹣函数”；﹣﹣﹣﹣（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（Ⅱ）由题意，对任意的x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）≠0；因为f（x）=sinx+cosx+a，所以f（﹣x）=﹣sinx+cosx+a，故f（x）+f（﹣x）=2cosx+2a；由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx；﹣﹣﹣又cosx∈[﹣1，1]，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；﹣﹣﹣（Ⅲ）（1）对任意的x≠0，（i）若x∈A且﹣x∈A，则﹣x≠x，f（﹣x）=f（x），这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍去），（ii）若x∈B且﹣x∈B，则f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），这与y=f（x）是“X﹣函数”矛盾，（舍去）；此时，由y=f（x）的定义域为R，故对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）假设存在x0＜0，使得x0∈A，则由x0＜，故f（x0）＜f（）；（i）若∈A，则f（）=+1＜+1=f（x0），矛盾，（ii）若∈B，则f（）=＜0＜+1=f（x0），矛盾；综上，对任意的x＜0，x∉A，故x∈B，即（﹣∞，0）⊆B，则（0，+∞）⊆A；（3）假设0∈B，则f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾，故0∈A；故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0]；经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0），符合题意．﹣﹣﹣2018年9月28日。

2017-2018学年北京二中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.cos600°等于（）A. 12B. 32C. −32D. −122.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）A. 第一或第二象限角B. 第二或第三象限角C. 第三或第四象限角D. 第一或第四象限角3.终边在直线y=−33x上的角的集合为（）A. {α|α=k⋅360∘+120∘,k∈Z}B. {α|α=k⋅360∘+150∘,k∈Z}C. {α|α=k⋅180∘+120∘,k∈Z}D. {α|α=k⋅180∘+150∘,k∈Z}4.在△ABC中，BC=a，CA=b，则AB等于（）A. a+bB. −a−bC. a−bD. b−a5.扇形周长为6cm，面积为2cm2，则其中心角的弧度数是（）A. 1或4B. 1或2C. 2或4D. 1或56.如果cos(α+π2)=−513，α∈(π2，π)，那么tanα等于（）A. −512B. 512C. −125D. 1257.设a，b是不共线的两个向量，已知BA=a+2b，BC=4a−4b，CD=−a+2b，则（）A. A、B、D三点共线B. A、C、D三点共线C. A、B、C三点共线D. B、C、D三点共线8.函数f（x）=cos2x+2sin x的最小值和最大值分别为（）A. −3，1B. −2，2C. −3，32D. −2，329.若θ∈[π4，π2]，sin2θ=378，则sinθ=（）A. 35B. 45C. 74D. 3410.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g （x）=sin2x的图象（）A. 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度C. 向左平移π6个单位长度 D. 向右平移π6个单位长度11.已知函数y=sin x+a cos x的图象关于x=5π3对称，则函数y=a sin x+cos x的图象的一条对称轴是（）A. x=11π6B. x=2π3C. x=π3D. x=π12.在△ABC中，若4a BC+2b CA+3c AB=0，则cos B等于（）A. −1124B. −2936C. 1124D. 2936二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）13.函数y=tan（ 3x+π3）的定义域为______．14.设α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，−5)，且cosα=24x，则sin x=______．15.计算：sinπ12-cosπ12=______．16.已知tanα=2，则sinα−3cosαsinα+cosα=______，sin2α+2sinαcosα=______．17.函数y=1−2cosx的单调增区间是______．18.在△ABC中，a2+c2=b2+ac，tan A=34，则B=______，tan C=______．19.△ABC中，cosA=−17，a=8，b=7，则c=______，△ABC外接圆半径为______．20.已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于M(3π4，0)对称，在区间[0，π2]上是单调函数，则φ=______，ω=______．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）21.f（x）=3sinxcosx−cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和函数的对称中心；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调增区间．22.已知α为锐角，sin(α+π3)=35．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）求sin(2α+π6)的值．23.在△ABC中，b cos C+c cos B=4a cos B．（Ⅰ）求cos B；（Ⅱ）若a+c=7，△ABC的面积为15，求b．24.△ABC中，其内角A、B、C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）求函数y=7cos2B2+4sin(B+π4)+42cos2B2的最大值及此时cos B；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：a+c≤3b．答案和解析1.【答案】D【解析】解：cos600°=cos240°=cos（180°+60°）=-cos60°=-，故选：D．由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵cosθ•tanθ=sinθ＜0，∴角θ是第三或第四象限角，故选C．根据cosθ•tanθ＜0和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断角θ所在的象限．本题的考点是三角函数值的符号判断，本题化简后能比较直接得出答案，一般此类题需要利用题中三角函数的不等式和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”对角的终边位置进行判断．3.【答案】D【解析】解：当角的终边在第二象限时，角的集合为{α|α=k•360°+150°，k∈Z}={α|α=2k•180°+150°，k∈Z}．当角的终边在第四象限时，角的集合为{α|α=k•360°+330°，k∈Z}={α|α=（2k+1）•180°+150°，k∈Z}．∴终边在直线上的角的集合为{α|α=2k•180°+150°，k∈Z}∪{α|α=（2k+1）•180°+150°，k∈Z}={α|α=k•180°+150°，k∈Z}．故选：D．分别写出终边在射线（x＜0）与射线（x＞0）上的角的集合，取并集得答案．本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查终边相同角的集合，是基础题．4.【答案】B【解析】解：=-=--=-（）=，故选：B．利用减法的三角形法则可得答案．本题考查向量的减法及其几何意义，属基础题．5.【答案】A【解析】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则由题意可得，解得或，当时，其中心角的弧度数α==4；当时，其中心角的弧度数α==1故选：A．设扇形的半径为r，弧长为l，由题意可得r和l的方程组，解方程组代入α=计算可得．本题考查扇形的面积公式，涉及圆心角和弧长半径的关系，属基础题．6.【答案】A【解析】解：，可得sinα=，cosα=，tanα=．故选：A．利用诱导公式求出正弦函数值，然后求解正切函数值即可．本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．7.【答案】B【解析】解：∵，∴，又，∴=．∴A、C、D三点共线．故选：B．由已知可得，由共线向量基本定理得答案．本题考查向量的加减法法则，考查平面向量共线的条件，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵，∴当时，，当sinx=-1时，f min（x）=-3．故选：C．用二倍角公式把二倍角变为一倍角，得到关于sinx的二次函数，配方整理，求解二次函数的最值，解题时注意正弦的取值范围．三角函数值域及二次函数值域，容易忽视正弦函数的范围而出错．高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可9.【答案】D【解析】解：由θ∈[，]，得2θ∈[，π]，又sin2θ=，∴cos2θ=-=-，∵cos2θ=1-2sin2θ，sinθ＞0，∴sinθ==，故选：D．由θ的范围求出2θ的范围，再由平方关系求出cos2θ，根据倍角的余弦公式变形求出sinθ的值．本题考查了平方关系和倍角的余弦公式的应用，注意角的范围确定，以及三角函数值的符号问题，是中档题．10.【答案】C【解析】解：由图可知，A=1，，∴，即ω=2．由五点作图的第三点可知，+φ=π，得φ=（|φ|＜），则f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．∴为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象向左平移个单位长度．故选：C．由已知函数的图象求出函数解析式，然后看自变量x的变化得答案．本题考查由函数的部分图象求函数解析式，考查了函数图象的平移，解答的关键是利用五点作图的某一点求初相，是基础题．11.【答案】A【解析】解：y=sinx+acosx变为y=sin（x+∅），（令tan∅=a）又图象关于对称，∴+∅=kπ+，k∈z，可求得∅=kπ-，由此可求得a=tan∅=tan（kπ-）=-，∴函数y=-sinx+cosx=sin（x+θ），（tanθ=-）其对称轴方程是x+θ=kπ+，k∈z，即x=kπ+-θ又tanθ=-，故θ=k1π-，k1∈z故函数y=asinx+cosx的图象的对称轴方程为x=（k-k1）π++=（k-k1）π+，k-k1∈z，当k-k1=1时，对称轴方程为x=故选：A．函数y=sinx+acosx变为y=sin（x+∅），tan∅=a又图象关于对称，+∅=kπ+，k∈z，可求得∅=kπ-，由此可求得a=tan∅=tan（kπ-）=-，将其代入函数y=asinx+cosx化简后求对称轴即可．本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质．12.【答案】A【解析】解：在△ABC中，利用三角形法则：，所以：，整理得：，所以：4a=3c=2b，所以：．故选：A．直接利用向量的线性运算求出三角形的三边关系，进一步利用余弦定理求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算和余弦定理的应用．13.【答案】{x|x≠kπ3+π18}(k∈Z)【解析】解：函数有意义，则：，据此可得：，即函数的定义域为：．故答案为：．利用函数的解析式，使得求解正切的角的终边不落在y轴上即可，据此得到关于x的不等式，求解不等式即可求得最终结果．本题考查了函数定义域的求解，正切函数的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．14.【答案】-104【解析】解：α为第四象限角，其终边上的一个点是，∴x＞0．∵=，求得x=，则sinx==-，故答案为：-．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得x的值，从而求得sinx的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．15.【答案】-22【解析】解：sin-cos=×（sin cos-sin cos）=sin（-）=sin（-）=-．故答案为：-．由特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值得解．本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．16.【答案】−13；85【解析】解：∵tanα=2，∴=；sin2α+2sinαcosα===．故答案为：．把要求值的式子化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．17.【答案】[2kπ+π，2kπ+π]，k∈Z3【解析】解：由1-2cosx≥0得cosx≤，由复合函数单调性的关系得要求的单调增区间，即求y=1-2cosx的递增区间，即求y=cosx在cosx≤时的递减区间，即2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z，即数的单调增区间是[2kπ+，2kπ+π]，k∈Z，故答案为：[2kπ+，2kπ+π]，k∈Z．根据复合函数单调性之间的关系，结合余弦函数的单调性进行求解即可．本题主要函数单调区间的求解，结合复合函数单调性的关系进行转化是解决本题的关键．18.【答案】π；-533【解析】解：△ABC中，a2+c2=b2+ac，则：，所以：B=，所以：tanB=，tanA=，则：tanC=-tan（A+B）=-=-5．故答案为：，直接利用余弦定理和三角函数关系式的恒等变变换求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变变换及相关的运算问题的应用．19.【答案】3；733【解析】解：∵，∴由a2=b2+c2-2bccosA，可得：64=49+c2-2×，可得：c2+2c-15=0，∴解得：c=3或-5（舍去），∵sinA==，∴设△ABC外接圆半径为R，则由正弦定理R===．故答案为：3，．由已知利用余弦定理可求得c2+2c-15=0，即可解得c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，设△ABC外接圆半径为R，则由正弦定理即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20.【答案】π2；2或23【解析】解：由题意，f（x）是偶函数．则φ=，k∈Z．∵0≤φ≤π，∴φ=．那么f（x）=cos（ωx）图象关于对称，在区间上是单调函数．∴=，k∈Z又，即T≥π∴=2．故得ω=2或故答案为：，2或．根据f（x）是偶函数．则φ=，图象关于对称，在区间上是单调函数即可求解．本题考查正弦函数的对称性，求得其对称中心为：=，k∈Z及，是关键，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=3sinxcosx−cos2x=32sin2x−12cos2x−12=sin(2x−π6)−12，∴T=2kπ2=kπ，当k=1时，取得最小值，即：最小正周期为π，对称中心设为(x0，−12)，2x0−π6=kπ，x0=kπ2+π12(k∈Z)，∴对称中心为(kπ2+π12，−12)，(k∈Z)；（Ⅱ）f（x）的单调增区间为2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)，化简得kπ−π6≤x≤kπ+π3(k∈Z)，当k=0时，增区间为[−π6，π2]，当k=1时，增区间为[5π6，11π6]，∴f（x）在[0，π]上的单调增区间为[0，π3]，[5π6，π]．【解析】（Ⅰ）利用三角函数间的关系式可化简f（x）=sin（2x-），利用正弦函数的性质可求得f（x）的最小正周期和函数的对称中心；（Ⅱ）由f（x）的单调增区间为，进一步化简计算即可得到它的单调增区间．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的周期性与单调性，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）为锐角，sin(α+π3)=35，∴α+π3∈（3π4，π），∴sin（α+π3）=-1−cos2(α+π3)=-45，∴sinα=sin[（α+π3）-π3]=sin（α+π3）cosπ3-cos（α+π3）sinπ3=35⋅12+45⋅32=43+310．（Ⅱ）sin(2α+π6)=sin（2α+2π3-π2）=sin[2（α+π3）-π2]=-cos2（α+π3）=-[1-2sin2(α+π3)]=-（1-2•925）=-725．【解析】（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α+）的值，再利用两角差的正弦公式，求得sinα的=sin[（α+）-]值．（Ⅱ）把2α+变为2（α+）-，再利用诱导公式、二倍角公式，求得的值．本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角公式的应用，属于基础题．23.【答案】（本小题满分12分）（Ⅰ）∵b cos C+c cos B=4a cos B，∴sin B cos C+sin C cos B=4sin A cos B，∴sin（B+C）=4sin A cos B，∴sin A=4sin A cos B，∵sin A≠0，∴cosB=14．（Ⅱ）∵cosB=14，sinB=154，∵a+c=7，12acsinB=15，可得：ac=8，∴cosB=a2+c2−b22ac =(a+c)2−2ac−b22ac=72−2×8−b22×8=14，∴b=29．【解析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinA=4sinAcosB，结合sinA≠0，可求cosB的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用三角形面积公式可求ac的值，进而根据余弦定理可求b的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．24.【答案】解：（Ⅰ）y=7cos2B2+4sin(B+π4)+42sin2B2=7(1+cosB2)+4(22sinB+22cosB)+42(1−cosB2)=72cosB+22sinB+72+22=92sin(B+φ)+72+22，由于：tanϕ=728，∴y max=92+72+22=8+22，tanφ=728sin(B+φ)=1，则：cosB=79（Ⅱ）证明：cosB=79=a2+c2−b22ac，化简得9b2=9（a+c）2-32ac，∴9b2≥9(a+c)2−32(a+c2)2，9b2≥（a+c）2，∴3b≥a+c，∴a+c≤3b．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用余弦定理和基本不等式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，余弦定理和基本不等式的应用．。

北京市东城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={0，1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a9=4，则S11等于（）A．12 B．18 C．22 D．445．（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6B．8C．14 D．306．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）＞，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．8．（5分）已知圆O：x2+y2=2，直线l：x+2y﹣4=0，点P（x0，y0）在直线l上．若存在圆C 上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为．10．（5分）若实数x，y满足则z=3x﹣y的最大值为．11．（5分）在△ABC中，a=3，，B=60°，则c=；△ABC的面积为．12．（5分）已知向量，不共线，若（λ+）∥（﹣2），则实数λ=．13．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）为偶函数．若f（1）=1，则f（8）+f（9）=．14．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=AD=2，M，N分别为线段AC上的点．若∠MBN=30°，则三棱锥M﹣PNB体积的最小值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）已知数列{a n}是等差数列，满足a2=3，a5=6，数列{b n﹣2a n}是公比为3等比数列，且b2﹣2a2=9．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．17．（14分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．18．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a+1）lnx﹣，g（x）=﹣2alnx﹣，其中a∈R（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；（3）若存在x∈，使不等式f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围．19．（13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．20．（13分）对于数列A：a1，a2，a3（a i∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中b i=|a i﹣a i+1|（i=1，2），且b3=|a3﹣a1|．这种“T变换”记作B=T（A）．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问A：2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）设A：a1，a2，a3，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各项之和为2012．（ⅰ）求a，b；（ⅱ）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．北京市东城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={0，1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤2，即B=，∵A={0，1}，∴A∩B={0，1}．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．解答：解：∵复数===，∴复数对应的点的坐标是（，）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在2017-2018学年高考题的前几个题目中．3．（5分）（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：运用充分必要条件定义判断求解．解答：解：∵a∈R，当a2＞a时，即a＞1或a＜0，a＞1不一定成立当a＞1时，a2＞a成立，∴充分必要条件定义可判断：“a2＞a”是“a＞1”的必要不充分条件，故选：B点评：本题考查了充分必要条件定义，很容易判断．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a9=4，则S11等于（）A．12 B．18 C．22 D．44考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质结合已知求得a6，再由S11=11a6得答案．解答：解：在等差数列{a n}中，由a3+a9=4，得2a6=4，a6=2．∴S11=11a6=11×2=22．故选：C．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．5．（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6B．8C．14 D．30考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=5＞4，退出循环，输出s 的值为30．解答：解：由程序框图可知：k=1，s=2k=2，s=6k=3，s=14k=4，s=30k=5＞4，退出循环，输出s的值为30．故选：D．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．6．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）＞，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：将变量a按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．解答：解：当a≤0时，2a＞，解得，﹣1＜a≤0；当a＞0时，＞，解得，0＜a＜．∴a∈（﹣1，0]∪（0，），即为a∈（﹣1，）．故选D．点评：本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．7．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．解答：解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．几何体的直观图如图，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A．点评：本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．8．（5分）已知圆O：x2+y2=2，直线l：x+2y﹣4=0，点P（x0，y0）在直线l上．若存在圆C 上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：根据条件若存在圆C上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），等价PO≤2即可，求出不等式的解集即可得到x0的范围解答：解：圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．可以得知，当∠OPQ=45°，且PQ与圆相切时，PO=2，而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜45°恒成立0．因此满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=45°，否则，这样的点Q是不存在的；∵点P（x0，y0）在直线x+2y﹣4=0上，∴x0+2y0﹣4=0，即y0=∵|OP|2=x02+y02=x02+（）2=x02﹣2x0+4≤4，∴x02﹣2x0≤0，解得，0≤x0≤，∴x0的取值范围是故选：B点评：本题考查点与圆的位置关系，利用数形结合判断出PO≤2，从而得到不等式求出参数的取值范围是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为y2=2x．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先，写出该抛物线的焦点坐标和准线方程，然后，根据它们之间的距离为为p，根据题意，得p=1，从而得到其方程．解答：解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），准线方程为x=﹣，它们之间的距离为p，根据题意，得p=1，所以抛物线的标准方程为：y2=2x故答案为：y2=2x．点评：本题重点考查了抛物线的定义、简单几何性质等知识，属于中档题．10．（5分）若实数x，y满足则z=3x﹣y的最大值为11．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（3，﹣2），此时z=3×3﹣（﹣2）=9+2=11，故答案为：11点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）在△ABC中，a=3，，B=60°，则c=4；△ABC的面积为3．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：根据已知和余弦定理可求c的值，从而有三角形的面积公式解得所求．解答：解：由余弦定理可得：cosB=，代入已知可得：=，解得c=4，c=﹣1（舍去），∴S△ABC=acsinB=3，故答案为：4，3．点评：本题主要考察了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．12．（5分）已知向量，不共线，若（λ+）∥（﹣2），则实数λ=﹣．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：用向量共线的充要条件是存在实数λ，及向量相等坐标分别相等列方程求解即可．解答：解：∵向量，不共线，若（λ+）∥（﹣2），∴λ+=k（﹣2），k﹣λ=0且1+2k=0解得k=﹣，故答案为：﹣．点评：考查向量共线的充要条件的应用．考查计算能力．13．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）为偶函数．若f（1）=1，则f（8）+f（9）=1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）；即f（x）=﹣f（﹣x），f（x）=f（﹣x+4）；从而交替使用以化简．解答：解：∵f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）为偶函数，∴f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）；即∴f（x）=﹣f（﹣x），f（x）=f（﹣x+4）；故f（8）+f（9）==f（﹣8+4）+f（﹣9+4）=f（﹣4）+f（﹣5）=﹣（f（4）+f（5））=﹣（f（0）+f（﹣1））=﹣f（﹣1）=f（1）=1；故答案为：1．点评：本题考查了函数的性质的应用，属于基础题．14．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=AD=2，M，N分别为线段AC上的点．若∠MBN=30°，则三棱锥M﹣PNB体积的最小值为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：设∠MBH=α，∠NBH=β，根据三角函数关系得到，根据三棱锥的体积公式，结合三角函数的辅助角公式进行求解即可．解答：解：由题意值V M﹣PNB=V P﹣MNB=S△MNB=×，过B作BH⊥AC于H，如图：易知，当MN取最小值时，M，N一定在点H两边，不妨设∠MBH=α，∠NBH=β，由BH=知，V M﹣PNB==，，∴V M﹣PNB======，当且仅当时，取等号．故答案为：点评：本题主要考查空间三棱锥的体积的计算，利用三角函数法，结合三角函数辅助角公式以及三角函数的有界性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图先求得A，T，ω的值，当x=时，f（x）=﹣1，可得φ的值，从而可求f（x）的解析式．（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（2x﹣），由x∈，可得﹣≤2x﹣≤，即可求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．解答：解：（1）由图可知，A=1，==，T=π，所以ω=2．当x=时，f（x）=﹣1，可得sin（2×+φ）=﹣1．∵|φ|＜∴φ=∴求f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+）；（2）由（1）知f（x）=sin（2x+）．将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）=sin=sin（2x﹣）的图象，故g（x）=sin（2x﹣），∵x∈，∴﹣≤2x﹣≤当2x﹣=，即x=时，g（x）有最大值为1；当2x﹣=﹣，即x=0时，g（x）有最小值为﹣；点评：本题主要考察了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．16．（13分）已知数列{a n}是等差数列，满足a2=3，a5=6，数列{b n﹣2a n}是公比为3等比数列，且b2﹣2a2=9．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）分解等差数列和等比数列的性质建立方程关系即可求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和法即可求数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）由a2=3，a5=6得，解得a1=2，d=1，则a n=2+n﹣1=n+1．∵数列{b n﹣2a n}是公比为3等比数列，且b2﹣2a2=9．∴b1﹣2a1=b1﹣4=3，解得b1=7，则b n﹣2a n=3•3n﹣1=3n，则b n=2a n+3n=2（n+1）+3n；（Ⅱ）∵b n=2a n+3n=2（n+1）+3n；∴数列{b n}的前n项和S n=+（3+32+33+…+3n]=+=n（3+n）+（3n﹣1）．点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列和的求解，利用分组求和法以及等比数列和等差数列的求和公式是解决本题的关键．17．（14分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明AM⊥平面PBC；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）根据向量关系，以及直线垂直，利向量法进行求解即可．解答：证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．又AM⊂平面PAB，所以AM⊥BC．因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．又PB∩BC=B，所以AM⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作AZ∥BC，则AP，AB，AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．，，设平面APC的法向量为，则即令y=1，则z=﹣2．所以=（0，1，﹣2）．由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面的法向量，设，的夹角为α，则cosα=．因为二面角A﹣PC﹣B为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．（Ⅲ）设D（u，v，w）是线段PC上一点，且，（0≤λ≤1）．即（u﹣2，v，w）=λ（﹣2，2，1）．所以u=2﹣2λ，v=2λ，w=λ．所以．由，得．因为，所以在线段PC存在点D，使得BD⊥AC．此时=．点评：本题主要考查空间位置关系的判断，以及利用向量法求二面角的大小以及空间线面垂直的判定，考查学生的推理能力．18．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a+1）lnx﹣，g（x）=﹣2alnx﹣，其中a∈R（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；（3）若存在x∈，使不等式f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=2代入函数解析式，求导后求得x=1处的导数值，进一步求得f（1），然后利用直线方程的点斜式求得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求出原函数的导函数=．然后分a=，a＞，0＜a＜三种情况求解函数的单调区间；（3）把f（x）≥g（x）转化为ax﹣lnx≥0，分离参数a得，构造函数，求函数h（x）在上的最小值得a的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=2x﹣5lnx﹣，，f′（1）=﹣1，又f（1）=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣1=0；（2）=．当a=时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞时，当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当0＜a＜时，当时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（3）f（x）≥g（x）等价于ax﹣（2a+1）lnx﹣≥﹣2alnx﹣，即ax﹣lnx≥0，分离参数a得，．令，若存在x∈，使不等式f（x）≥g（x）成立，即a≥h（x）min．，当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数．而h（）=﹣e，h（e2）=．∴h（x）在上的最小值为﹣e，∴a≥﹣e．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，是压轴题．19．（13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到a=2，b=1，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设P（m，0）（﹣2≤m≤2），设直线l的方程是y=（x﹣m）与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明．解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由短轴长为2，离心率为，则b=1，=，a2﹣b2=c2，解得a=2，c=，即有椭圆方程为+y2=1；（Ⅱ）证明：设P（m，0）（﹣2≤m≤2），∴直线l的方程是y=（x﹣m），联立椭圆x2+4y2=4，⇒2x2﹣2mx+m2﹣4=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，∴x1+x2=m，x1x2=，∴|PA|2+|PB|2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22=（x1﹣m）2+（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+（x2﹣m）2=====5（定值）．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．（13分）对于数列A：a1，a2，a3（a i∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中b i=|a i﹣a i+1|（i=1，2），且b3=|a3﹣a1|．这种“T变换”记作B=T（A）．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问A：2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）设A：a1，a2，a3，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各项之和为2012．（ⅰ）求a，b；（ⅱ）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．考点：递归数列及其性质；数列的函数特性；数列的求和．专题：新定义．分析：（Ⅰ）首先要弄清“T变换”的特点，其次要尝试着去算几次变换的结果，看一下有什么规律，显然只有当变换到数列的三项都相等时，再经过一次“T变换”才能得到数列的各项均为零，否则“T变换”不可能结束．（Ⅱ）中（i）的解答要通过已知条件得出a是B数列的最大项，从而去掉绝对值符号得到数列A是单调数列，得到答案．（ii）的解答要抓住B经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，且最大项减少12，从而数列和减少24，经过6×83+4=502次变换后使得各项的和最小，于是k的最小值为502．解答：（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列A：2，6，4不能结束，各数列依次为4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形．…（3分）（Ⅱ）解：（ⅰ）因为B的各项之和为2012，且a≥b，所以a为B的最大项，所以|a1﹣a3|最大，即a1≥a2≥a3，或a3≥a2≥a1．…（5分）当a1≥a2≥a3时，可得由a+b+2=2012，得2（a1﹣a3）=2012，即a=1006，故b=1004．…（7分）当a3≥a2≥a1时，同理可得a=1006，b=1004．…（8分）（ⅱ）方法一：由B：b，2，b+2，则B经过6次“T变换”得到的数列分别为：b﹣2，b，2；2，b﹣2，b﹣4；b﹣4，2，b﹣6；b﹣6，b﹣8，2；2，b﹣10，b﹣8；b﹣12，2，b﹣10．由此可见，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006=12×83+10，所以，数列B经过6×83=498次“T变换”后得到的数列为8，2，10．接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：6，8，2；2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2，…从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过498+4=502次“T变换”得到的数列各项和最小，k的最小值为502．…（13分）方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B“结构相同”．若数列B的三项为x+2，x，2（x≥2），则无论其顺序如何，经过“T变换”得到的数列的三项为x，x﹣2，2（不考虑顺序）．所以与B结构相同的数列经过“T变换”得到的数列也与B结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．因此，数列B：1004，2，1006经过502次“T变换”一定得到各项为2，0，2（不考虑顺序）的数列．通过列举，不难发现各项为0，2，2的数列，无论顺序如何，经过“T变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T变换”，得到的数列各项和最小，故k的最小值为502．…（13分）点评：此题需要较强的逻辑思维能力及计算能力，通过计算发现和归纳出其规律，进而得出答案．。

东城区2017-2018学年度第一学期期末数学统一检测高二数学（理科）2018.1 本试卷共4页，共100分。

考试时长120分钟。

考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若A，B两点的纵坐标相等，则直线AB的倾斜角为A. 0B. π4C. π2D.π2. 已知命题p:∃x0∈R，lg x0<0，那么命题¬p为A. ∀x∈R，lg x>0B. ∃x0∈R，lg x0>0C. ∀x∈R，lg x≥0D. ∃x0∈R，lg x0≥03. 在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AB，AC所在直线的斜率之和为A.−23B. -1C. 0D. 234. 已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，且n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 结晶体的基本单位成为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体），其中白点○代表钠原子，黑点●代表氯原子.建立空间直角坐标系O −xyz 后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是 A. （12，12，1）B. （0，0，1）C. （1，12，1）D. （1，12，12）6. 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，四面体A-B 1CD 1在面AA 1D 1D 上的正投影图形为ABCD7. 设椭圆x 2a2+y 2b 2=1（a >b >0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，线段F 1F 2被点（b2，0）分成3：1的两段，则此椭圆的离心率为A.13B.12C. 22D. 328. 已知直线l ，m 和平面α，β，且l ⊥α，m ∥β，则下列命题中正确的是 A. 若α⊥β，则l ∥m B. 若α∥β，则l ⊥mC. 若l ∥β，则m ⊥αD. 若l ⊥m ，则α∥β9. 若半径为1的动圆与圆 x −1 2+y 2=4相切，则动圆圆心的轨迹方程为 A. x −1 2+y 2=9B. x −1 2+y 2=3C. x −1 2+y 2=9或 x −1 2+y 2=1D. x −1 2+y 2=3或 x −1 2+y 2=510. 已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a >0,b >0）的焦距为10，点P （2，1）在C 的一条渐近线上，则C 的方程为A. x 220−y280=1 B. x25−y220=1C. x280−y220=1 D. x220−y25=111. 平面上动点P到定点F与定直线l的距离相等，且点F与直线l的距离为1. 某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2=2y−1，则它的建系方式是A B C D12. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N为棱A1D1，AB上的动点，且MN=3，则线段MN中点P的轨迹为A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D. 双曲线的一部分第二部分（非选择题共64分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 在空间直角坐标系中，点P（2，-1，1）在yOz平面内的射影为Q（x，y，z），则x+y+z=.14. 若直线l与直线2x−y−1=0垂直，且不过第一象限，试写出一个直线l的方程：.15. 已知直线x−y−m=0经过抛物线y2=8x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则m=，|AB|=.16. 圆x−12+y2=2绕直线kx−y−k=0旋转一周所得的几何体的表面积为.17. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1与DM所成的角为.x的距离之积为12. 给出下18. 已知曲线C上的任意一点M x，y满足到两条直线y=±22列关于曲线C的描述：①曲线C关于坐标原点对称；②对于曲线C上任意一点M x，y一定有|x|≤6；③直线y=x与曲线C有两个交点；④曲线C与圆x2+y2=16无交点.其中所有正确描述的序号是.三、解答题（本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （本题满分10分）已知直线l过点A0，4，且在两坐标轴上的截距之和为1.（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l1与l间的距离为2，求直线l1的方程.20. （本题满分11分）已知圆C:x2+y2+10x+10y+34=0.（Ⅰ）试写出圆C的圆心坐标和半径；（Ⅱ）圆D的圆心在直线x=−5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程；（Ⅲ）过点P（0，2）的直线交（Ⅱ）中圆D于E，F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程.21. （本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点.（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使PA∥平面MQB；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小.22. （本题满分13分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点在圆x2+y2=3上，且离心率为32.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，F为右焦点，若△FAB为直角三角形，求直线l的方程.。

第一学期高中新课程模块考试试题（卷）高一数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知变量a b 、已被赋值，要交换a b 、的值，采用的算法是（ ）A ．a b =，b a =B ．a c =，b a =，c b =C ．a c =，b a = ，c a =D ．c a =，a b =，b c =2.从某年纪1000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）A ．1000名学生是总体B ．每个被抽查的学生是个体C ．抽查的125名学生的体重是一个样本D ．抽取的125名学生的体重是样本容量3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ． 34.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是（ ）A.抽签法B.有放回抽样C.随机抽样D.系统抽样5.下列抽样实验中,最适宜用系统抽样的是（ ）A.某市的4个区共有2000名学生,且4个区的学生人数之比为3: 2 :8 :2,从中抽取200人入样B 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样6.某学院A B C 、、三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本,已知该学院的A 专业有380名学生,B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为（ ）A ．30B ．40 C. 50 D ．607.当5x =，20y =-时，下边程序运行后输出的结果为（ ）A ．22，-22B ．22,22 C. 12，-12 D ．-12,128.现要完成下列3项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈;③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本。

东城区2017–-2018学年度第一学期期末教学统一检测高一数学 2018.1本试卷共4页，共100分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(选择题 共39分)一、 选择题：本大题共13小题,每小题3分,共39分.在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1. 设全集x x U {=是小于9的正整数}，A=}3,2,1{，则U A ð等于（ ）A.}8,7,6,5,4{B.}8,7,6,5,4,0{C.}9,8,7,6,5,4{D.}9,8,7,6,5,3{ 2. 函数sin 2y x π⎛⎫=+⎪4⎝⎭的周期是（ ） A.πB. 2πC.2π D.4π 3. 已知函数)(x f 是奇函数，它的定义域为{ 1 <<2-1 }x x a ，则a 的值为（ ）A.1-B. 0C.21D. 14. 在同一平面直角坐标系内，2x y =与2log ()y x =-的图象可能是（ ）A .B. C. D.5. 函数32()f x x x =+的零点的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 36.如图所示，角α的终边与单位圆交于点P ，已知点P 的坐标为(－35，45)， 则tan 2α=（ ）A.2425 B.2425-C.247D.247- 7．函数[]cos ,，y x x π⎛⎫=+∈-ππ ⎪2⎝⎭是（ ）A.增函数B. 减函数C. 偶函数D.奇函数8．把ππsin sin 44x x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化简为（ ）x B.x C. x D.x9. 函数113sin(),[0,]66y x x ππ=+∈的单调递减区间是（ ） A. ]611,6[ππB . ]6,0[πC.566ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D. ]34,3[ππ10.若)3cos ()x x x ϕϕ+-∈-ππ，，，则ϕ等于（ ）A. 3π-B.3π C.5π6D.5π-611.已知 220.2log 0.3,log 3,log 0.3a b c ===，则c b a ,,的大小关系为（ ） A.a b c >> B. b c a >> C. c a b >> D. c b a >> 12.已知()(2),,(1,)()当时，为增函数f x f x x R x f x =-∈∈+∞(1),(2设，a f b f ==(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. c b a >>13. 渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏．若不及时处理，打上来的鱼会很快地失去新鲜度（以鱼肉里含有三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度. 三甲胺是一种挥发性碱性氨，是胺的类似物，它是由细菌分解作用产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败）. 已知某种鱼失去的新鲜度h 与时间t （分）满足的函数关系为t a m t h ⋅=)(，若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼会失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼会在多长时间后开始全部失去全部新鲜度（已知lg 2=0.3，结果取整数）（ ） A ．33分钟 B. 43分钟 C. 50分钟 D. 56分钟第二部分(非选择题 共61分)二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.14. 函数()2f x x =的最小值是．15．已知幂函数)(x f ，它的图象过点1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么)8(f 的值为 ． 16．函数y =的定义域用集合可表示为 .17. 红星学校高一年级开设人文社科、英语听说、数理竞赛三门选修课, 要求学生至少选修一门．某班40名学生均已选课， 班主任统计选课情况如下表，由统计结果分析该班三科都 选报学生有 人.三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分10分)已知函数2,10(),01,1 2.≤，≤，≤≤x x f x x x x x -<⎧⎪=<⎨⎪-⎩（Ⅰ）求23f ⎛⎫-⎪⎝⎭，12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）作出函数的简图；（Ⅲ）由简图指出函数的值域．19. (本题满分10分)已知函数()sin()4f x x π=-.（Ⅰ）若()f α=，求sin cos αα-的值； （Ⅱ）设函数2()2[()]cos(2)6g x f x x π=++，求函数()g x 的值域.20. (本题满分10分)已知函数()2sin 2,0.63f x x x ππ⎛⎫=+≤≤⎪⎝⎭. （Ⅰ）列表，描点，画函数()f x 的简图，并由图象写出函数()f x 的单调区间及最值； （Ⅱ）若()()1212,(),f x f x x x =≠，求()12f x x +的值.21. (本题满分10分)珠宝加工匠人贾某受命单独加工某种珠宝首饰若干件，要求每件首饰都按统一规格加工. 单件首饰的原材料成本为25（百元）. 单件首饰设计的越精致，做工要求就越高，耗时也就）与其售价间的关系满足越多，售价也就越高，单件首饰加工时间t（单位：时，t N图1（由射线AB上离散的点构成）. 首饰设计得越精致，就越受到顾客喜爱，理应获得的订单就越多，但同时，价格也是一个不可忽视的制约顾客选择的因素，单件首饰加工时间t （时）与预计订单数的关系满足图2（由线段MN和射线NP上离散的点组成），原则上，单价首饰的加工时间不能超过55小时. 贾某的报酬为这批首饰销售毛利润的5%，其他成本概不计算.图1 图2（Ⅰ）如果贾某每件首饰加工12小时，预计会有多少件订单；（Ⅱ）设贾某生产这批珠宝首饰产生的利润为S，请写出加工时间t（小时）与利润S之间的函数关系式，并求利润S最大时，预计的订单数.注：利润S =（单件售价材料成本）订单件数贾某工资毛利润=总销售额-材料成本22. (本题满分9分) 已知函数21()11x x xf x x x x --=++-+，()()3g x f x =- . （Ⅰ）判断并证明函数()g x 的奇偶性；（Ⅱ）判断并证明函数()g x 在(1,)+∞上单调性；（Ⅲ）若22(27)(244)f m m f m m -+≥-+成立，求实数m 取值范围.东城区2017–-2018学年度第一学期期末教学统一检测高一数学参考答案及评分标准 2018.1三、解答题：本大题共5小题，共49分.18. 解：（Ⅰ）2233f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；2111224f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；-------------------------------------6分 （Ⅱ） 简图如下图所示：-------------------------------------------8分（Ⅲ） 由（Ⅱ）的图象知，函数的值域是[-2，1]． ------------------------------10分 19．解：（Ⅰ）∵()3f α=. ∴sin()43πα-=. αα=∴ 2sincos 3αα-=. ---------------------------------------6分 （Ⅱ）2()2sin ()cos(2)46g x x x ππ=-++1cos(2)cos(2)26x x ππ=--++11sin 22sin 22x x x =--32sin 212x x =-+ 13(cos 22)12x x =+)13x π=++. ∵ 1cos(2)13，x π-≤+≤∴1)113x π≤++≤∴ 函数()g x的值域为[11.--------------------------------10分20.解：（I ）作出函数f （ 由图象可知，函数f （x ）的单调递增区间是0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦π；单调递减区间是2,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ；当6x =π时，()f x 取得最大值1；当23x =π时，()f x 取得最小值-1. ----------------7分 （II ） 若()()1212()f x f x x x =≠，由（I ）中简图知，点()()11,x f x 与点()()22,x f x 关于直线6x =π对称，123x x π∴+=.于是()121sin 2.3362f x x f ⎛⎫⎛⎫+==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ---------------------------------------10分 21.解：（I ）预计订单函数45,010;()55,1055.t t f t t t ⎧+≤≤=⎨-+<≤⎩ ∴(12)125543f =-+=. ----------------------------------------6分（II ）预计订单函数45,010;()55,1055.t t f t t t ⎧+≤≤=⎨-+<≤⎩ 售价函数为()2550g t t =+ ∴利润函数为(2550-25)(45)(15%),010;()(2550-25)(55)(15%),1055.t t t S t t t t ⎧++-≤≤=⎨+-+-<≤⎩95(1)(45),010;495(1)(55),1055.4t t t t t t ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩2295(495),010;495(5455),1055.4t t t t t t ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪---<≤⎪⎩ 故利润最大时，t =27,此时预计的订单数为28件. ----------------------------------------10分22.解：（I ）函数g (x )为奇函数.证明如下：函数g (x )的定义域:{0,且1,且1},x x x x ≠≠≠-111()()3,11g x f x x x x ---=-=++-+； 111111111(),(),111111g x g x x x x x x x x x x ----=++=++-=++----++--+； ()()g x g x ∴-=-，故()g x 为奇函数. ------------------------------------------------3分（II ）()g x 在(1,)+∞上单调递增.1212+任取，（1，），且x x x x ∈∞<，12111222111111()()()1111则g x g x x x x x x x -------=++-++-+-+1212121111111111x x x x x x ------=-+-+---++121212121212(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x ---=++--++ 12121212111()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤=-++⎢⎥--++⎣⎦.1212+，（1，）,x x x x ∈∞<12()0,x x ∴-<1210(1)(1)x x >--，1210x x >，1210(1)(1)x x >++， 12()()0,g x g x ∴-<即12()()g x g x <，故()g x 在(1,)+∞上单调递增. ----------6分（III ） 由()()3f x g x =+，故()f x 在(1,)+∞上单调递增.又2276m m -+≥， 22442m m -+≥恒成立，故2227244m m m m -+≥-+，即2230m m --≤，解得13m -≤≤. -----------------------------------9分注：若学生有其他解法，可参考给分.。

2017-2018学年北京市101中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.计算：sin2π3=()A. −√32B. √32C. √22D. −√22【答案】B【解析】解：sin2π3=sin(π−π3 )=sinπ3=√32．故选：B．把所求式子中的角2π3变形为π−π3，利用诱导公式sin(π−α)=sinα化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式，灵活变换角度是解本题的关键．2.若0<a<1，则函数f(x)=a x+6的图象一定经过()A. 第一、二象限B. 第二、四象限C. 第一、二、四象限D. 第二、三、四象限【答案】A【解析】解：当0<a<1时，由于函数y=a x经过第一、第二象限，函数f(x)=a x+6的图象是把y=a x向上平移6个单位得到的，故函数f(x)的图象一定过第一、第二象限，故选：A．根据函数y=a x经过第一、第二象限，可得函数f(x)=a x+6的图象经过的象限．本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，指数函数的图象特征，属于基础题．3.下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是()A. y=e xB. y=tanxC. y=lnxD. y=x3+x【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=e x为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，y=tanx为正切函数，在其定义域内不是增函数，不符合题意；对于C，y=lnx为对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，y=x3+x，有f(−x)=−(x3+x)=−f(x)，为奇函数，且其导数y′=3x2+1>0，在其在定义域内是增函数，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性．4.已知函数g(x)=f(x)−x，若f(x)是偶函数，且f(2)=1，则g(−2)=()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】解：∵函数g(x)=f(x)−x，f(x)是偶函数，若f(2)=1，则f(−2)=1，g(−2)=f(−2)+2=3，故选：C．由已知可得f(−2)=1，代入可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数求值，难度不大，属于基础题．5.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |=√m，则a⃗⋅b⃗ =()A. 0B. mC. −mD. m2【答案】A【解析】解：∵向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |=√m，∴|a⃗+b⃗ |2=|a⃗−b⃗ |2，∴a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2，∴a⃗⋅b⃗ =0．故选：A．推导出|a⃗+b⃗ |2=|a⃗−b⃗ |2，由此能求出a⃗⋅b⃗ =0．本题考查向量的数量积的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．6.不等式3 −x2+6>3x的解集是()A. (−3,2)B. (−2,3)C. (−∞,−3)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(3,+∞)【答案】A【解析】解：不等式3 −x2+6>3x等价于−x2+6>x，∴x2+x−6<0，−3<x<2，∴不等式的解集是(−3,2)．故选：A．根据指数函数的单调性把不等式化为一元二次不等式，再求解即可．本题考查了可化为一元二次不等式的指数不等式解法问题，是基础题．7.函数y=ln(−x2+2x+3)的减区间是()A. (−1,1]B. [1,3)C. (−∞,1]D. [1,+∞)【答案】B【解析】解：令t=−x2+2x+3>0，求得−1<x<3，故函数的定义域为(−1,3)，且y=lnt，故本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质求得t=−(x−1)2+4在定义域内的减区间为[1,3)，故选：B．令t=−x2+2x+3>0，求得函数的定义域，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质求得t=−(x−2)2+9在定义域内的减区间．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．8.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是()A. A=3，T=2πB. B=−1，ω=2C. T =4π，φ=−π6 D. A =3，φ=π6【答案】C【解析】解：由图可得：{−A +B =−4A+B=2⇒{B =−1A=3T2=4π3−(−2π3)=2π⇒T =4π，ω=2πT=2π4π=12，12×4π3+ϕ=π2⇒ϕ=−π6．故选：C ．从图象可得最大值和最小值，相邻的最大值与最小值的横坐标之差的绝对值是半个周期，可求ω，由最值求ϕ． 本题很好的考查了由函数y =Asin(ωx +ϕ)+B 的部分图象求其解析式．9. 某学生在期中考试中，数学成绩较好，英语成绩较差，为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩，他决定重点加强英语学习，结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10%，但数学成绩每次都比上次降低了10%，期末时这两科分值恰好均为m 分，则这名学生这两科的期末总成绩和期中比，结果( ) A. 提高了 B. 降低了 C. 不提不降(相同) D. 是否提高与m 值有关系 【答案】B【解析】解：设期中考试英语成绩为a ，数学成绩为b ，则(1+10%)2a =m ，(1−10%)2b =m ， 所以a =m1.21，b =m0.81，则a +b =m1.21+m0.81≈2.06m >2m ，所以总成绩比期中成绩降低了． 故选：B ．本题主要考查函数模型及其应用．本题考查了归纳推理的应用，和计算能力，属于比较基础的题目．10. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120∘，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BEBC =λ，DFDC =μ.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，则λ+μ=( )A. 12B. 23C. 34D. 56【答案】D【解析】解：由题意可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos120∘+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120∘=4λ+4μ−2λμ−2=1， ∴4λ+4μ−2λμ=3①．CE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅=−EC ⃗⃗⃗⃗⃗ −⋅(−FC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(1−μ)DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(1−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)(1−μ)×2×2×cos120∘=(1−λ−μ+λμ)(−2)=−23， 即−λ−μ+λμ=−②． 由①②求得λ+μ=56，故选：D ．利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求得4λ+4μ−2λμ=3①；再由CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，求得−λ−μ+λμ=−23②.结合①②求得λ+μ的值． 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 计算：2 14×80.25+(−76)0+3log 32=______． 【答案】5【解析】解：2 14×80.25+(−76)0+3log 32=(2×8) 14+1+2=2+1+2=5．故答案为：5．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12. 要得到y =sin(2x −π4)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象至少向右平移______个单位． 【答案】π8【解析】解：要得到y =sin(2x −π4)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象至少向右平移π8个单位， 故答案为：π8．根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．13. 函数y =cos 2x +3cosx +2的最小值为______． 【答案】0【解析】解：函数y =cos 2x +3cosx +2， =(cosx +32)2−14．当x =−1时，y min =(−1+32)2−14=0． 故函数的最小值为0． 故答案为：0首先通过函数的关系式的恒等变换，进一步利用函数的性质求出结果． 本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，三角函数的性质的应用．14. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=√3，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为5π6，a ⃗ ⊥(a ⃗ +λb ⃗ )，则实数λ=______．【答案】43【解析】解：向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=√3，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为5π6，则a ⃗ ⋅b ⃗ =2⋅√3⋅(−√32)=−3， 由于a ⃗ ⊥(a ⃗ +λb ⃗ )， 则a ⃗ ⋅(a ⃗ +λb ⃗ )=0， 所以：4−3λ=0， 解得λ=43． 故答案为：43．直接利用向量的数量积和夹角公式求出结果． 本题考查的知识要点：向量的数量积的应用．15. 已知函数f(x)={−x +4,x ≤3log 13x,x >3，定义函数g(x)=f(x)−k ，若函数g(x)无零点，则实数k 的取值范围为______．【答案】[−1,1)【解析】解：函数f(x)={−x +4,x ≤3log 13x,x >3，可得x >3时，f(x)=log 13x 递减， 可得f(x)<−1；当x ≤3时，f(x)=−x +4递减，可得f(x)≥1， 即有f(x)的值域为(−∞,−1)∪[1，+∞)， 由函数g(x)=f(x)−k ，若函数g(x)无零点， 则f(x)−k =0无解，即f(x)=k 无解， 则k 的范围是[−1,1)． 故答案为：[−1,1)．运用一次函数和对数函数的单调性，可得f(x)的值域，由题意可得f(x)=k 无解，可得k 的范围．本题考查函数方程的转化思想和函数零点问题解法，注意运用对数函数和一次函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．16. 已知数集X ={x 1,x 2,…,x n }(其中x i >0，i =1，2，…，n ，n ≥3)，若对任意的x k ∈X(k =1,2，…n)，都存在x i ，x j ∈X(x i ≠x j )，使得下列三组向量中恰有一组共线： ①向量(x i ,x k )与向量(x k ,x j )； ②向量(x i ,x j )与向量(x j ,x k )；③向量(x k ,x i )与向量(x i ,x j )，则称X 具有性质P ，例如{1,2，4}具有性质P ． (1)若{1,3，x}具有性质P ，则x 的取值为______(2)若数集{1,3，x 1，x 2}具有性质P ，则x 1+x 2的最大值与最小值之积为______． 【答案】13,√3,91003【解析】解：(1)由题意可得：(1,3)与(3,x)；(1,x)与(x,3)；(3,1)与(1,x)中恰有一组共线，当(1,3)与(3,x)共线时，可得x =9，此时另外两组不共线，符合题意， 当(1,x)与(x,3)共线时，可得x =√3，此时另外两组不共线，符合题意， 当(3,1)与(1,x)共线时，可得x =13，此时另外两组不共线，符合题意， 故x 的取值为：13，√3，9；(2)由(1)的求解方法可得x 1=13，√3，9， 当x 1=13时，由数集{1,3，13，x 2}具有性质P ，①若(1,3)与(3,x 2)；(1,x 2)与(x 2,3)；(3,1)与(1,x 2)中恰有一组共线，可得x 2=9，√3；②若(1,13)与(13,x 2)；(1,x 2)与(x 2,13)；(13,1)与(1,x 2)中恰有一组共线，可得x 2=√33，19；③若(3,13)与(13,x 2)；(3,x 2)与(x 2,13)；(13,3)与(3,x 2)中恰有一组共线，可得x 2=127，27；故{1,3，13，x 2}具有性质P 可得x 2=127，19，√33，√3，9，27；同理当x 1=√3时，{1,3，√3，x 2}具有性质P 可得x 2=13，√33，√34，√274，3√3，9； 同理当x 1=9时，可得x 2=19，13，√33，√3，3√3，27，81；则x 1+x 2的最大值为90，最小值为13+127=1027， 故x 1+x 2的最大值与最小值之积为90×1027=1003．故答案为：(1)13，√3，9；(2)1003．(1)由题意可得：(1,3)与(3,x)；(1,x)与(x,3)；(3,1)与(1,x)中恰有一组共线，分别求出相应的x 的值即可；(2)由(1)知，可得x 1=13，√3，9，再利用新定义验证，得到{1,3，13，x 2}具有性质P 时的x 2=127，19，√33，√3，9，27，同理分别得到{1,3，√3，x 2}以及{1,3，9，x 2}具有性质P 时的x 2的值，即可得到x 1+x 2的最大值与最小值之积． 本题考查新定义，考查平面向量共线的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分） 17. 已知函数f(x)=2sin(x +π6).(I)若点P(1,−√3)在角α的终边上，求：cosα和f(α−π6)的值； (II)若x ∈[−π3,π2]，求f(x)的值域． 【答案】解：(I)点P(1,−√3)在角α的终边上， ∴cosα=22=12． f(α−π6)=2sinα=√x 2+y2=−√32． (II)由x ∈[−π3,π2]， 那么：x +π6∈[−π6,2π3].∴−12≤sin(x +π6)≤1． 故得f(x)的值域为[−1,2]．【解析】(I)根据三角函数的定义，即可求解cosα，f(α−π6)的值； (II)由x ∈[−π3,π2]，结合三角函数的性质可得f(x)的值域．本题考查三角函数的定义和函数的性质的应用，难度不大，属于基础题．18. 设函数f(x)的定义域为R +，且满足条件f(4)=1，对任意x 1，x 2∈R ﹢，有f(x 1⋅x 2)=f(x 1)+f(x 2)，且当x 1≠x 2时，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0．(1)求f(1)的值；(2)如果f(x +6)>2，求x 的取值范围．【答案】解：(1)由f(x 1⋅x 2)=f(x 1)+f(x 2)，可得f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)，故f(1)=0． (2)由条件可得f(16)=f(4)+f(4)=2，由f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0，可得函数f(x)在定义域R 上是增函数，再根据f(x +6)>2，可得f(x +6)>f(16)，∴x +6>16，x >10．【解析】(1)由f(x 1⋅x 2)=f(x 1)+f(x 2)，可得f(1)=f(1)+f(1)，由此求得f(1)的值． (2)由条件可得f(16)=2，再根据函数f(x)在定义域R 上是增函数以及f(x +6)>2，可得x +6>16，由此求得x 的值． 本题主要考查函数的单调性的判断，求函数的值，利用函数的单调性解不等式，属于基础题．19. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求证：A 、B 、C 三点共线；(2)已知A(1,cosx)、B(1+sinx,cosx)，x ∈[0,π2]，f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m +13)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+m 2的最小值为5，求实数m 的值．【答案】解：(1)∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A ，故A 、B 、C 三点共线． (2)∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,cosx)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+sinx,cosx)， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+23sinx,cosx)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(sinx,0)， 故 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+23sinx +cos 2x ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√sin 2x =sinx ，(x ∈[0,π2])． 从而f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m +13)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+m 2 =1+23sinx +cos 2x +(2m +13)sinx +m 2=cos 2x +(2m +1)sinx +1+m 2 =−sin 2x +(2m +1)sinx +2+m 2=−(sinx −2m+12)2+2m 2+m +94，关于sinx 的二次函数的对称轴为sinx =2m+12，∵x ∈[0,π2]，∴sinx ∈[0,1]，又区间[0,1]的中点为12．①当2m+12≤12，即m ≤0时，当sinx =1时，f(x)min =m 2+2m +2．由f(x)min =5得m =−3或m =1，又m ≤0，∴m =−3； ②当2m+12>12，即m >0时，当sinx =0时，f(x)min =2+m 2， 由f(x)min =5得m =±√3，又m >0，∴m =√3．综上所述：m 的值为−3或√3．【解析】(1)利用向量共线定理证明AC ⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可；(2)利用数量积运算和二次函数的单调性即可得出．本题考查了向量共线定理、数量积运算、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20. 已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断.定义：f 1(x)=min{f(t)|a ≤t ≤x}(x ∈[a,b])， f 2(x)=max{f(t)|a ≤t ≤x}(x ∈[a,b])．其中，min{f(x)|x ∈D}表示函数在D 上的最小值， max{f(x)|x ∈D}表示函数在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得f 2(x)−f 1(x)≤k(x −a)对任意的x ∈[a,b]成立，则称函数f(x)为[a,b]上的“k 阶收缩函数”．(I)若f(x)=sinx ，x ∈[−π2,π2]，请直接写出f 1(x)，f 2(x)的表达式；(II)已知函数f(x)=(x −1)2，x ∈[−1,4]，试判断f(x)是否为[−1,4]上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ，如果不是，请说明理由．【答案】解：(Ⅰ)由题意可得，f 1(x)=−1，f 2(x)=sinx ，x ∈[−π2,π2]； (Ⅱ)函数f(x)=(x −1)2，x ∈[−1,4]， 可得f 1(x)={0,1<x ≤4(x−1)2,−1≤x≤1， f 2(x)={(x −1)2,3<x ≤44,−1≤x≤3，若f(x)为[−1,4]上的“k 阶收缩函数，则f 2(x)−f 1(x)≤k(x +1)在[−1,4]上恒成立， 当−1≤x ≤1时，f 2(x)−f 1(x)=4−(x −1)2， 有4−(x −1)2≤k(x +1)在[−1,1]上恒成立， x =−1显然成立； 当−1<x ≤1时，k ≥4−(x−1)2x+1的最大值，由4−(x−1)2x+1=3−x ∈[2,4]，可得k ≥4；当1<x ≤3时，f 2(x)−f 1(x)=4， 有4≤k(x +1)在(1,3]上恒成立， 即k ≥4x+1的最大值，可得k ≥2；当3<x ≤4时，f 2(x)−f 1(x)=(x −1)2． 有(x −1)2≤k(x +1)在(3,4]上恒成立，即k ≥(x−1)2x+1的最大值，由(x−1)2x+1=(x +1)+4x+1−4∈(1,95]，可得k≥9，5综上可得k≥4，则存在k=4，f(x)为[−1,4]上的“4阶收缩函数”．【解析】(Ⅰ)利用新定义，代入计算，可得f1(x)，f2(x)的表达式；(Ⅱ)运用新定义，求得f1(x)，f2(x)，可得f2(x)−f1(x)，再由恒成立思想和参数分离，可得k的范围，即可判断存在k．本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查学生对新问题的理解，考查学生的计算能力，属于难题．。

XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一数学试卷XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一年级数学试卷第I卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知向量a=(2,1),b=(λ−1,2),若a+b与a−b共线,则λ=（）A.−2B.−1C.1D.2改写：向量a=(2,1)，向量b=(λ-1,2)，若a+b和a-b共线，则λ=（） A。

-2 B。

-1 C。

1 D。

22.已知3sinα+4cosα=2，则1-sinαcosα-cos2α的值是() A。

- B。

C。

-2 D。

2改写：已知3sinα+4cosα=2，求1-sinαcosα-cos2α的值，答案为() A。

- B。

C。

-2 D。

23.已知在△ABC中，AB=AC=1，BC=3，则AB·AC=() A。

1/33 B。

- C。

-2 D。

-改写：在△ABC中，AB=AC=1，BC=3，求XXX的值，答案为() A。

1/33 B。

- C。

-2 D。

-4.在△ABC中，若AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB，则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定改写：在△ABC中，如果AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB，则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定5.已知△ABC中，内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且c=7/11，a+b=22/3，XXX-tanA-tanB=3，则△ABC的面积为() A。

3/33 B。

- C。

3 D。

33/2改写：已知△ABC中，内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c，且c=7/11，a+b=22/3，XXX-tanB=3，求△ABC的面积，答案为() A。

3/33 B。

- C。

2017-2018学年北京市首师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.已知集合A={1，3，5}，B={x|（x-1）（x-3）=0}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.=（）A. B. C. D.3.若幂函数y=f（x）的图象经过点（-2，4），则在定义域内（）A. 为增函数B. 为减函数C. 有最小值D. 有最大值4.下列函数为奇函数的是（）A. B. ，C. D.5.如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A. B.C. 与共线D.6.函数f（x）的图象如图所示，为了得到y=2sin x函数的图象，可以把函数f（x）的图象（）A. 每个点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向左平移个单位B. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再向左平移个单位C. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变D. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变7.已知，若实数a，b，c满足，且，实数满足，那么下列不等式中，一定成立的是A. B. C. D.8.如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A. 无最大值，但有最小值B. 既有最大值，又有最小值C. 有最大值，但无最小值D. 既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标______．10.已知角θ的终边经过点（3，-4），则cosθ=______．11.已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则=______．12.函数，，＜＜（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是______．13.有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）14.函数f（x）=sinωx在区间，上是增函数，则下列结论正确的是______（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（x）=sinωx在区间，上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.已知向量=（sin x，1），=（1，k），f（x）=．（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=1有解，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若且α（0，π），求tanα．16.已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=-3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（x）是奇函数，当x≥0时，g（x）=f（x），（ⅰ）直接写出g（x）的单调递减区间：______；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．17.某同学用“五点法”画函数f（x）=A sin（ωx+φ）＞，＞，＜在某一个周期内的图象时，列表并填（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数（）的解析式为（）（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间，上的最大值和最小值．18.定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x R，f（x+T）=f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2x，②y=log2x，③y=[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是______ （直接填写序号）；（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）=g（x）-x为线周期函数；（Ⅲ）若φ（x）=sin x+kx为线周期函数，求k的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵B={x|（x-1）（x-3）=0}={1，3}，∴A∩B={1，3}，故选：D．根据集合的交集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：=-sin=-．故选：A．利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数取值，是基本知识的考查．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查幂函数的解析式和性质，利用待定系数法是解决本题的关键．利用待定系数法求出函数的解析式，结合幂函数的性质进行判断即可．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，由f（-2）=4，得（-2）α=4=（-2）2，在α=2，即f（x）=x2，则在定义域内有最小值0，故选C．4.【答案】C【解析】解：y=2x为指数函数，没有奇偶性；y=sinx，x[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3定义域为R，f（-x）=-f（x），为奇函数；y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且f（-x）=f（x），为偶函数．故选：C．运用奇偶性的定义和常见函数的奇偶性，即可得到结论．本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法和常见函数的奇偶性，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，∴，，故A、B、C成立；故选：D．根据直角三角形的性质、向量的线性运算，即可判定．本题考查了直角三角形的性质，向量线性运算，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：根据函数f（x）的图象，设f（x）=Asin（ωx+φ），可得A=2，=-，ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=0，φ=-，f（x）=2sin（2x-），故可以把函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=2sin（2x+-）=2sin2x的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到y=2sinx函数的图象，故选：C．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵f（x）=log2x-（）x在（0，+∞）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜x0＜b，当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＞a，故选：B．结合f（x0）=0，可得当x＜x0时，f（x）＞0，当x＞x0时，f（x）＜0，由此可得x0＞a一定成立．本题考查函数零点判定定理，考查函数单调性的性质，是中档题．8.【答案】A【解析】解：设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）C（1，2）+=2+=（-2cosθ，-2sinθ）+（-1-cosθ，2-sinθ）+（1-cosθ，2-sinθ）=（-4cosθ，4-4sinθ）∴==∵cosθ（0，1]，∴[0，4）故选：A设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）=2+=（-2cosθ，-2sinθ）+（-1-cosθ，2-sinθ）=（-1-3cosθ，-3sinθ）即可求得．本题考查了向量的坐标运算，属于中档题．9.【答案】（2，4）【解析】解：向量=（1，2），与共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）．故答案为：（2，4）．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可．本题考查向量的坐标的求法，考查共线向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】【解析】解：∵角θ的终边经过点（3，-4），∴x=3，y=-4，r=5，则cosθ==．故答案为：．根据任意角的三角函数的定义，求得cosθ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．11.【答案】3【解析】解：由题意可知：=（3，0），=（1，1），则=3×1+1×0=3．故答案为：3．向量坐标，利用向量的数量积求解即可．本题考查平面向量的数量积是定义域，平面向量的坐标运算，考查计算能力．12.【答案】[1，+∞）【解析】解：函数（t＞0）的图象如图：函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，所以t≥1．故答案为：[1，+∞）．画出分段函数的图象，即可判断t的取值范围．本题考查函数的图象的画法，分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力．13.【答案】2021【解析】解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，∴4000=400×（）n，∴（）n=10，两边取对数可得n（lg3-lg2）=1，∴n（0.4771-0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故答案为：2021．快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，代值计算即可求出答案．本题考查了对数的运算和性质在实际生活中的应用，属于中档题．14.【答案】①②③【解析】解：函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，由f（-x）=sin（-ωx）=-sinωx=-f（x），可得f（x）为奇函数，则①函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，正确；由ω≤，可得∅≤3，即有满足条件的正整数ω的最大值为3，故②正确；由于+==2×，由题意可得对称轴x≥，即有f（）≤f（），故③正确．故答案为：①②③．运用函数的奇偶性和单调性可判断①；由单调性可得ω≤，即可判断②；运用正弦函数的对称性，即可判断③．本题考查正弦函数的图象和性质，主要是对称性和单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）∵向量a=（sin x，1），b=（1，k），f（x）=，∴f（x）==sin x+k．--------------------------（2分）关于x的方程f（x）=1有解，即关于x的方程sin x=1-k有解．--------------------------（3分）∵sin x[-1，1]，∴当1-k[-1，1]时，方程有解．--------------------------（4分）则实数k的取值范围为[0，2]．--------------------------（5分）（Ⅱ）因为，所以，即．--------------------------（6分）当，时，，．---------------------（8分）当，时，，．-------------------------（10分）【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积化简函数的解析式，利用三角函数的有界性，方程f（x）=1有解，即可求实数k 的取值范围；（Ⅱ）利用方程求出正弦函数的值，利用同角三角函数基本关系式求解即可．本题考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，考查转化思想以及计算能力．16.【答案】[-2，2]【解析】解：（Ⅰ）二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=-3，∴解的b=-4；c=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x2-4x，∵函数g（x）是奇函数，∴g（-x）=-g（x），假设x＜0，则-x＞0，则g（-x）=f（-x）=x2+4x，∴g（x）=-x2-4x，∴g（x）=，（i）g（x）的单调减区间为[-2，2]．故答案为：[-2，2]．（ⅱ）若g（a）＞a，则或解得a＞5或-5＜a＜0．综上，a的取值范围为a＞5或-5＜a＜0．（Ⅰ）代值计算即可，（Ⅱ）先根据函数的奇偶性求出g（x）的解析式，（i）根据函数的解析式和二次函数的性质即可求出函数的单调减区间，（ii）根据函数单调性性质可得或解得即可本题考查了二次函数的性质和函数的奇偶性的性质，属于中档题17.【答案】f（x）=2sin（2x+）【解析】根据表格可得=-，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故函数的解析式为：．（Ⅱ）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调递增区间为，k Z．（Ⅲ）因为，所以，故有．所以，当即时，f（x）在区间上的最小值为-2．当即x=0时，f（x）在区间上的最大值为1．（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数f（x）在区间上的最大值和最小值．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性以及定义域、值域，属于基础题．18.【答案】③【解析】解：（Ⅰ）对于①f（x+T）=2x+T=2x2T=f（x）2T，故不是线周期函数对于②f（x+T）=log2（x+T）≠f（x）+T，故不是线周期函数对于③f（x+T）=[x+T]=[x]+T=f（x）+T，故是线周期函数故答案为：③（Ⅱ）证明：∵g（x）为线周期函数，其线周期为T，∴存在非零常数T，对任意x R，g（x+T）=g（x）+T恒成立．∵G（x）=g（x）-x，∴G（x+T）=g（x+T）-（x+T）=g（x）+T-（x+T）=g（x）-x=G（x）．∴G（x）=g（x）-x为周期函数．（Ⅲ）∵φ（x）=sinx+kx为线周期函数，∴存在非零常数T，对任意x R，sin（x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．∴sin（x+T）+kT=sinx+T．令x=0，得sinT+kT=T；令x=π，得-sinT+kT=T；①②两式相加，得2kT=2T．∵T≠0，∴k=1检验：当k=1时，φ（x）=sinx+x．存在非零常数2π，对任意x R，φ（x+2π）=sin（x+2π）+x+2π=sinx+x+2π=φ（x）+2π，∴φ（x）=sinx+x为线周期函数．综上，k=1．（Ⅰ）根据新定义判断即可，（Ⅱ）根据新定义证明即可，（Ⅲ）φ（x）=sinx+kx为线周期函数，可得存在非零常数T，对任意x R，sin（x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．即可得到2kT=2T，解得验证即可．本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了恒成立问题，属于中档题．。

北京市清华附中2017-2018学年第一学期高一期末数学试题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.下列各角中，与50°的角终边相同的角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】写出与50°的角终边相同的角的集合，取k＝﹣1得答案．【详解】与50°的角终边相同的角的集合为{α|α＝50°+k•360°，k∈Z}．取k＝﹣1，可得α＝﹣310°．∴与50°的角终边相同的角是﹣310°．故选：D．【点睛】本题考查终边相同角的概念，是基础题．2.设向量，则的夹角等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，∴，∴的夹角等于，故选A考点：本题考查了数量积的坐标运算点评：熟练运用数量积的概念及坐标运算求解夹角问题是解决此类问题的关键，属基础题3.已知角α的终边经过点P（4，-3），则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用任意角函数的定义求出cosα，利用三角函数的诱导公式化简求出值．【详解】∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴p到原点的距离为5∴sinα，cosα∴故选：C．【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题.4.为了得到函数y=cos（2x-）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】由条件利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．【详解】函数cos2（x），故把函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选：B．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．5.已知非零向量与满足=且，则△ABC为（）A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】根据得出B＝C，得出A，由此判断△ABC是等边三角形．【详解】△ABC中，，∴，∴cos，cos，，∴B＝C，△ABC是等腰三角形；又，∴1×1×cos A，∴cos A，A，∴△ABC是等边三角形．故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形形状的判断问题，是基础题．6.同时具有性质“①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在[，]上是增函数”的一个函数是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的图象与性质，判断满足条件的函数即可．【详解】“①最小正周期是π，可得ω＝2，排除选项A；②图象关于直线x对称，可得：2，cos，排除选项B，2，cos，排除选项D；对于C，函数y＝sin（2x），最小正周期为π，且2，sin1，函数图象关于x对称；x∈[，]时，2x∈[，]，∴y＝sin（2x）是单调增函数，C满足条件．故选：C．【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.7.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A. fB. fC. fD. f【答案】A【解析】【分析】根据题意，分析可得f（﹣x）＝f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，据此分析可得f（x）在区间[0，1]上是增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角便可得出sinα＞cosβ，从而根据f（x）在（0，1）上是增函数即可得出f（sinα）＞f（cosβ），即可得答案．【详解】根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则有f（﹣x）＝f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，又由函数f（x）在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则α+β，则有αβ，则有sinα＞sin（β）＝cosβ，又由函数f（x）在[0，1]上是增函数，则f（sinα）＞f（cosβ）；故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在（0，1）上的单调性．8.若定义[-2018，2018]上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈[-2018，2018]有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2017，且当x＞0时，有f（x）＞2017，设f（x）的最大值、最小值分别为M，m，则M+m的值为（）A. 0B. 2018C. 4034D. 4036【答案】C【解析】【分析】计算f（0）＝2017，构造函数g（x）＝f（x）﹣2017，判断g（x）的奇偶性得出结论．【详解】令x1＝x2＝0得f（0）＝2f（0）﹣2017，∴f（0）＝2017，令x1＝﹣x2得f（0）＝f（﹣x2）+f（x2）﹣2017＝2017，∴f（﹣x2）+f（x2）＝4034，令g（x）＝f（x）﹣2017，则g max（x）＝M﹣2017，g min（x）＝m﹣2017，∵g（﹣x）+g（x）＝f（﹣x）+f（x）﹣4034＝0，∴g（x）是奇函数，∴g max（x）+g min（x）＝0，即M﹣2017+m﹣2017＝0，∴M+m＝4034．故选：C．【点睛】本题考查了奇偶性的判断与性质，考查函数的最值求法，注意运用赋值法，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若θ为第四象限的角，且，则cosθ=______；sin2θ=______．【答案】(1). (2). -【解析】【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．【详解】∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ，sin2θ＝2sinθcosθ＝2×（）．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，则△ABC的面积为______．【答案】【解析】【分析】利用三角形的内角和解出B，使用余弦定理解出c，代入三角形的面积公式计算．【详解】∵A+C＝2B，A+B+C＝π，∴B，由余弦定理得cos B，解得c＝2或c＝﹣1（舍）．∴S△ABC sin B．故答案为：．【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，属于中档题．11.已知tanx=2，则cos2x+sin（π+x）cos（+x）=______【答案】【解析】【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得cos2x+sin（π+x）cos（x）的值．【详解】∵tan x＝2，则cos2x+sin（π+x）cos（x）＝cos2x﹣sin x•（﹣sin x），故答案为：．【点睛】本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．12.已知α∈（0，π）且sin（α+）=，则cos（α+）=______；sinα=______【答案】(1). (2).【解析】【分析】直接利用同角三角函数基本关系式求cos（α）；再由sinα＝sin[（）]，展开两角差的正弦求解．【详解】∵α∈（0，π），∴α∈（），又sin（α），∴cos（α）；则sinα＝sin[（）]＝sin（）cos cos（）sin．故答案为：；．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．13.如图，在直角梯形中，，若分别是线段和上的动点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】以AB为x轴，BC为y轴建立直角坐标系，则A(-3,0),C(0,2),设F(0,m)，E(n，2)故=2m-3n-4，由图可知：，所以2m-3n-4点睛：对于向量问题，最容易解答的办法就是将问题的点转化为坐标求解写表达式，然后再根据题意范围求解结果14.已知函数f（x）=2sin2x-2sin2x-a．①若f（x）=0在x∈R上有解，则a的取值范围是______；②若x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，则sin（x1+x2）=______【答案】(1). [，](2).【解析】【分析】①利用三角函数的公式化简，f（x）＝0在x∈R上有解，转化为两个函数图象有交点问题即可求解；②x1，x2是函数y＝f（x）在[0，]内的两个零点，即么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．即可求解【详解】f（x）＝2sin2x﹣2sin2x﹣a＝2sin2x﹣（1﹣cos2x）﹣a＝2sin2x+cos2x﹣1﹣a1﹣a．其中tanθ①f（x）＝0在x∈R上有解，则sin（2x+θ）＝a+1有解，∵∴a+1．则a的取值范围是[，]，故答案为：[，]②∵x1，x2是函数y＝f（x）在[0，]内的两个零点，那么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．由f（x）1﹣a．其中tanθ其对称轴2x+θkπ，k∈Z．x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．又[0，]，且tanθ∴对称轴x∴x1+x2．则sin（x1+x2）＝sin（）＝cosθ．∵tanθ，即，∴cosθ，则sin（x1+x2）．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象及性质的应用，同角三角函数间的基本关系式，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=4sinxcos（x+）+1．（1）求f（）的值；（2）求f（x）的最小正周期；（3）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）；（3）最小值为-1，最大值为2.【解析】【分析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简为f（x）＝2sin（2x），即可计算；（2）根据周期公式求解即可；（3）由x在[0，]上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最值．【详解】函数f（x）=4sinx（cosxcos-sinxsin）+1，=2sinxcosx-2sin2x+1，=sin2x+cos2x，=2sin（2x+），（1）f（）=2sin（+）=2sin=（2）周期T=；（3）由x在[0，]上，∴2x+∈[，]，当2x+=，即x=，f（x）取得最小值为-1；当2x+=，即x=，f（x）取得最大值为2．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的性质，属于中档题16.已知不共线向量，满足．（1）求；（2）是否存在实数λ，使与共线？（3）若，求实数k的值．【答案】（1）；（2）；（3）k=.【解析】【分析】（1）直接利用向量的数量积的应用求出结果；（2）利用向量的共线求出λ的值；（3）利用向量垂直的充要条件求出结果．【详解】（1）不共线向量，满足||=3，||=5，（ -3）•（2+）=20．所以：，解得：，所以：•（-）=．（2）存在实数使λ+与（-2）共线由于：λ+与（-2）共线故：，所以：．（3）若（k2）⊥（k-2），则：，整理得：，∴k=.【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量垂直和共线的充要条件的应用．17.设锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且sinA-cosC=cos（A-B）．（1）求B的大小；（2）求cosA+sinC的取值范围．【答案】（1）；（2）（，）.【解析】【分析】（1）利用诱导公式，两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得sin B的值，可得B的值．（2）化简要求的式子sin（A），根据A∈（，），利用正弦函数的定义域和值域，求得cos A+sin C的取值范围．【详解】（1）设锐角三角形中，sinA-cosC=cos（A-B），即sinA+cos（A+B）=cos（A-B），即sinA+cosAcosB-sinAsinB=cosAcosB+sinAsinB，即sinA=2sinAsinB，,∴sinB=，锐角三角形中B=．（2）cosA+sinC=cosA+sin（π-A-B）=cosA+sin（-A）=cosA+sin（+A）=cosA+cosA+sinA=sin（A+）．∵B=，∴A∈（，），A+∈（，），∴sin（A+）∈（，），∴sin（A+）∈（，），即cosA+sinC的取值范围为（，）．【点睛】本题主要考查诱导公式，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.已知向量=（cosθ，sinθ），=（cosβ，sinβ）．（1）若，求的值；（2）若记f（θ）=，θ∈[0，]．当1≤λ≤2时，求f（θ）的最小值．【答案】（1）1 ；（2）--1.【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案；（2）根据向量的数量积和二倍角公式化简得到f（θ）＝2cos2（θ）﹣2λcos（θ）﹣1，令t＝cos（θ），根据二次函数的性质即可求出．【详解】（1）∵向量=（cosθ，sinθ），=（cosβ，sinβ），∴-=（cosθ-cosβ，sinθ-sinβ），∴|-|2=（cosθ-cosβ）2+（sinθ-sinβ）2=2-2cos（θ-β）=2-2cos=2-1=1，∴|-|=1；（2）•=cosθcosβ+sinθsinβ=cos（θ-β）=cos（2θ-），∴|+|==2|cos（θ-）|=2cos（θ-），∴f（θ）=cos（2θ-）-2λcos（θ-）=2cos2（θ-）-2λcos（θ-）-1令t=cos（θ-），则t∈[，1]，∴f（t）=2t2-2λt-1=2（t-）2--1，又1≤λ≤2，≤≤1，∴t=时，f（t）有最小值--1，∴f（θ）的最小值为--1．【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及三角函数的化简，以及二次函数的性质，属于中档题．19.借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数，例如要表示分段函数g（x）=总可以将g（x）表示为g（x）=xh （x-2）+（-x）h（2-x）．（1）设f（x）=（x2-2x+3）h（x-1）+（1-x2）h（1-x），请把函数f（x）写成分段函数的形式；（2）已知G（x）=[（3a-1）x+4a]h（1-x）+log a x⋅h（x-1）是R上的减函数，求a的取值范围；（3）设F（x）=（x2+x-a+1）h（x-a）+（x2-x+a+1）h（a-x），求函数F（x）的最小值．【答案】（1）f（x）=；（2）≤a＜；（3）当a≤-时，最小值为-a+；当a≥时，最小值为为a+；当-＜a＜时，最小值为F（a）=a2+1．【解析】【分析】（1）分当x＞1、当x＝1和当x＜1时3种情况加以讨论，分别根据函数的对应法则代入，可得f（x）相应范围内的表达式，最后综合可得函数f（x）写成分段函数的形式；（2）运用分段函数形式表示G（x），再由一次函数、对数函数的单调性，可得a的范围；（3）由题意，讨论x＞a，x＝a，x＜a，求得F（x）的解析式，再结合二次函数的图象与性质，分a、a和a的4种情况进行讨论，最后综合可得F（x）的最小值．【详解】（1）当x＞1时，x-1＞0，1-x＜0，可得f（x）=（x2-2x+3）+0•（1-x2）=x2-2x+3；当x=1时，f（x）=2；当x＜1时，x-1＜0，1-x＞0，可得f（x）=1-x2．即有f（x）=；（2）G（x）=[（3a-1）x+4a]h（1-x）+log a x⋅h（x-1）=，由y=G（x）是R上的减函数，可得，解得≤a＜；（3）F（x）=（x2+x-a+1）h（x-a）+（x2-x+a+1）h（a-x），当x＞a时，x-a＞0，可得F（x）=x2+x-a+1；若a≥-，可得F（x）在x＞a递增，可得F（x）＞F（a）=a2+1；若a＜-，可得F（x）的最小值为F（-）=-a；当x=a时，可得F（x）=2（a2+1）；当x＜a时，x-a＜0，a-x＞0，则F（x）=x2-x+a+1．若a≥，可得F（x）在x＜a的最小值为F（）=a+；若a＜，可得F（x）在x＜a递减，即有F（x）＞F（a）=a2+1．①当a≥时，F（x）在区间（-∞，-）上单调递减，在区间（-，a）上单调递增，在区间（a，+∞）上单调递增，可得F（-）为最小值，且为-+a+1=a+；②当-＜a＜时，F（x）在区间（-∞，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增．F（x）的最小值为F（a）=a2+1；③当a≤-时，在区间（-∞，a）上单调递减，在区间（a，-）上单调递减，在区间（-，+∞）上单调递增．所以F（x）的最小值为F（-）=-a+；综上所述，得当a≤-时，F（x）的最小值为-a+；当a≥时，F（x）的最小值为为a+；当-＜a＜时，F（x）的最小值为F（a）=a2+1．【点睛】本题以分段函数和含有字母参数的二次函数为载体，讨论函数的单调性与最小值，着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数解析式的求解及常用方法和单调性的综合等知识，属于难题．20.一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．（1）判断f1（x）=x，f2（x）=log2（6+2sinx-cos2x）中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（2）若函数g（x）=lnx（x∈[M，+∞））是“保三角形函数”，求M的最小值；（3）若函数h（x）=sinx（x∈（0，A））是“保三角形函数”，求A的最大值．【答案】（1）见解析；（2）2 ；（3）.【解析】【分析】（1）不妨设a≤c，b≤c，由函数的值域，即可得到结论；（2）要利用“保三角形函数”的概念，求M的最小值，首先证明当M≥2时，函数h（x）＝lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函数，然后证明当0＜M＜2时，h（x）＝lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函数，从而求出所求；（3）A的最大值是，讨论①当A时；②当A时；结合新定义和三角函数的恒等变换，即可得到最大值．【详解】（1）不妨设a≤c，b≤c，由a+b＞c，可得f1（a）+f1（b）＞f1（c），即有f1（x）=x为“保三角形函数”；由6+2sinx-cos2x=sin2x+2sinx+5=（sinx+1）2+4∈[4，8]，可得f2（x）∈[2，3]，即有2+2＞3，可得f2（x）为“保三角形函数”；（2）M的最小值为2（i）首先证明当M≥2时，函数h（x）＝lnx（x∈[M，+∞））是保三角形函数．对任意一个三角形三边长a，b，c∈[M，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，则h（a）＝lna，h（b）＝lnb，h（c）＝lnc．因为a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a﹣1）（b﹣1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，即lna+lnb＞lnc．同理可证明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长．故函数h（x）＝lnx（x∈[M，+∞），M≥2），是保三角形函数…13分（ii）其次证明当0＜M＜2时，h（x）＝lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函数，h（x）＝lnx （x∈[M，+∞））不是保三角形函数因为0＜M＜2，所以M+M＝2M＞M2，所以M，M，M2是某个三角形的三条边长，而lnM+lnM＝2lnM＝lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，所以h（x）＝lnx不是保三角形函数．所以，当M＜2时，h（x）＝lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函数．综上所述：M的最小值为2（3）A的最大值是．①当A＞时，取a==b，c=，显然这3个数属于区间（0，A），且可以作为某个三角形的三边长，但这3个数的正弦值、、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h（x）=sinx，x∈（0，A）不是保三角形函数．②当A=时，对于任意的三角形的三边长a、b、c∈（0，），若a+b+c≥2π，则a≥2π-b-c＞2π--=，即a＞，同理可得b＞，c＞，∴a、b、c∈（，），∴sina、sinb、sinc∈（，1]．由此可得sina+sinb＞+=1≥sinc，即sina +sinb＞sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．若a+b+c＜2π，则+＜π，当≤时，由于a+b＞c，∴0＜＜≤，∴0＜sin＜sin≤1．当＞时，由于a+b＞c，∴0＜＜＜，∴0＜sin＜sin＜1．综上可得，0＜sin＜sin≤1．再由|a-b|＜c＜，以及y=cosx在（ 0，π）上是减函数，可得cos=cos＞cos＞cos＞0，∴sina+sinb=2sin cos＞2sin cos=sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．故当A=时，h（x）=sinx，x∈（0，A）是保三角形函数，故A的最大值为．【点睛】要想判断f（x）为“保三角形函数”，要经过严密的论证说明f（x）满足“保三角形函数”的概念，但要判断f（x）不为“保三角形函数”，仅须要举出一个反例即可，属于创新题．。