江苏省南通市2016届高三数学下学期第三次教学情况调研测试试题

江苏省南通市2016届高三教学情况调研（三）物理试卷2016.3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分120分，考试时间100分钟．第Ⅰ卷(选择题 共31分)一、 单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分．每小题只有一个选项符合题意．1. 一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A 、B 是卫星运动的远地点和近地点．下列说法中正确的是( )A. 卫星在A 点的角速度大于B 点的角速度B. 卫星在A 点的加速度小于B 点的加速度C. 卫星由A 运动到B 过程中动能减小，势能增加D. 卫星由A 运动到B 过程中引力做正功，机械能增大2. 电荷量为＋Q 的点电荷和接地金属板MN 附近的电场线分布如图所示，点电荷与金属板相距为2d ，图中P 点到金属板和点电荷间的距离均为d .已知P 点的电场强度为E 0，则金属板上感应电荷在P 点处产生的电场强度E 的大小为( )A. E ＝0B. E ＝kQ d2 C. E ＝E 0－kQ d 2 D. E ＝E 023. 高三某同学参加引体向上体能测试，在20 s 内完成10次标准动作，则此过程中该同学克服重力做功的平均功率最接近于( )A. 150 WB. 300 WC. 450 WD. 600 W4. 如图所示电路中，R 为某种半导体气敏元件，其阻值随周围环 境一氧化碳气体浓度的增大而减小．当一氧化碳气体浓度增大时， 下列说法中正确的是( ) A. 电压表V 示数增大 B. 电流表A 示数减小 C. 电路的总功率减小D. 变阻器R 1的取值越大，电表示数变化越明显5. 如图所示，钢铁构件A 、B 叠放在卡车的水平底板上，卡车底板和B 间动摩擦因数为μ1，A 、B 间动摩擦因数为μ2，μ1>μ2，卡车刹车的最大加速度为a ，a >μ1g ，可以认为最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等．卡车沿平直公路行驶途中遇到紧急情况时，要求其刹车后在s 0距离内能安全停下，则卡车行驶的速度不能超过( )A. 2as 0B. 2μ1gs 0C. 2μ2gs 0D. （μ1＋μ2）gs 0二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．每小题有多个选项符合题意，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．6. 如图所示电路中，A、B为两个相同灯泡，L为自感系数较大、电阻可忽略不计的电感线圈，C为电容较大的电容器．下列说法中正确的有( )A. 接通开关S，A立即变亮，最后A、B一样亮B. 接通开关S，B逐渐变亮，最后A、B一样亮C. 断开开关S，A、B都立刻熄灭D. 断开开关S，A立刻熄灭，B逐渐熄灭7. 如图所示，含有11H、21H、42He的带电粒子束从小孔O1处射入速度选择器，沿直线O1O2运动的粒子在小孔O2处射出后垂直进入偏转磁场，最终打在P1、P2两点．则( )A. 打在P 1点的粒子是42HeB. 打在P2点的粒子是21H和42HeC. O2P2的长度是O2P1长度的2倍D. 粒子在偏转磁场中运动的时间都相等8. 小球从地面竖直上抛后又落回地面，小球运动过程中所受空气阻力与速度成正比．取竖直向上为正方向，下列关于小球运动的速度v、加速度a、位移s、机械能E随时间t变化的图象中，可能正确的有( )9. 如图所示，小物块以初速度v0从O点沿斜面向上运动，同时从O点斜向上抛出一个速度大小也为v0的小球，物块和小球在斜面上的P点相遇．已知物块和小球质量相等，空气阻力忽略不计，则( )A. 斜面可能是光滑的B. 在P点时，小球的动能大于物块的动能C. 小球运动到最高点时离斜面最远D. 小球和物块到达P点过程中克服重力做功的平均功率相等第Ⅱ卷(非选择题共89分)三、 简答题：本题分必做题(第10、11题)和选做题(第12题)两部分，共42分．请将解答填写在相应的位置．【必做题】10. (8分)某小组测量木块和木板间动摩擦因数，实验装置如图甲所示．(1) 测量木块在水平木板上运动的加速度a .实验中打出的一条纸带如图乙所示，从某个清晰的点O 开始，每5个打点取一个计数点，依次标出1、2、3…，量出1、2、3…点到O 点的距离分别为s 1、s 2、s 3…，从O 点开始计时，1、2、3…点对应时刻分别为t 1、t 2、t 3…，求得v 1－＝s 1t 1，v 2－＝s 2t 2，v 3－＝s 3t 3….作出v －t 图象如图丙所示，图线的斜率为k ，截距为b ，则木块的加速度a ＝________，b 的物理意义是________．(2) 实验测得木块的加速度为a ，还测得钩码和木块的质量分别为m 和M .已知当地重力加速度为g ，则动摩擦因数μ＝________．(3) 关于上述实验，下列说法中错误的是________． A. 木板必须保持水平B. 调整滑轮高度，使细线与木板平行C. 钩码的质量应远小于木块的质量D. 纸带与打点计时器间的阻力是产生误差的一个因素 11. (10分)测量电源的电动势和内阻，提供的器材如下：A. 待测电源(电动势约为8 V 、内阻约为2 Ω)B. 电压表V(0－3 V ，内阻约3 k Ω)C. 电流表A(0－1 A)D. 电阻箱R (0－99999.9 Ω)E. 滑动变阻器(0－20 Ω)F. 滑动变阻器(0－100 Ω)G. 开关、导线若干甲乙(1) 采用图甲所示电路测量电压表的内阻R V.调节电阻箱R，使电压表指针满偏，此时电阻箱示数为R1；再调节电阻箱R，使电压表指针指在满刻度的一半处，此时电阻箱示数为R2.①电压表内阻R V＝________；②关于上述实验，下列说法中正确的有________．A. 实验中电源可使用待测电源B. 闭合开关S前，应将电阻箱阻值调到最小C. 调节电压表满偏时，电阻箱的阻值是逐渐增大的D. 实验中忽略了电源的内阻，会使测量值偏大(2) 若测得电压表内阻R V＝3 010 Ω，与之串联R＝________Ω的电阻，将电压表的量程变为9 V.(3) 为测量电源的电动势和内阻，请用笔画线代替导线，将图乙电路连接完整．实验中，滑动变阻器应选择________(填“E”或“F”)，并指出产生实验误差的一个原因：_____________________________________________________________________________.12. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按A、B两小题评分．A. (选修33)(12分)(1) 下列说法中错误的是________．A. 雾霾在大气中的漂移是布朗运动B. 制作晶体管、集成电路只能用单晶体C. 电场可改变液晶的光学性质D. 地球大气中氢含量少，是由于外层气体中氢分子平均速率大，更易从地球逃逸(2) 每年入夏时节，西南暖湿气流与来自北方的冷空气在江南、华南等地交汇，形成持续的降雨．冷空气较暖湿空气密度大，当冷暖气流交汇时，冷气团下沉，暖湿气团在被抬升过程中膨胀．则暖湿气团温度会________(填“升高”“不变”或“降低”)，同时气团内空气的相对湿度会________(填“变大”“不变”或“变小”)．(3) 一定质量的理想气体经历了如图所示的ABCDA循环，p1、p2、V1、V2均为已知量．已知A状态的温度为T0，求：①C状态的温度T；②完成一个循环，气体与外界交换的热量Q.B. (选修34)(12分)(1) 2016年，科学家利用激光干涉方法探测到由于引力波引起的干涉条纹的变化，这是引力波存在的直接证据．关于激光，下列说法中正确的是________．A. 激光是自然界中某种物质直接发光产生的，不是偏振光B. 激光相干性好，任何两束激光都能发生干涉C. 用激光照射不透明挡板上小圆孔时，光屏上能观测到等间距的光环D. 激光全息照片是利用光的干涉记录下物体三维图象的信息(2) 测定玻璃的折射率．取一块半圆形玻璃砖，O点为圆心，一束红色激光从左侧圆面对准圆心O进入玻璃砖，最初入射光线垂直于玻璃砖右侧平面，如图中实线所示．保持入射光方向和O点位置不变，让玻璃砖绕O点沿逆时针方向缓慢旋转，当转过θ角时(图中虚线位置)，折射光线消失．则玻璃对红光的折射率n＝________．若换绿色激光重复上述实验，折射光线消失时，玻璃砖转过的角度θ′________θ(填“>”“＝”或“<”)．(3) 如图所示，在xOy平面内有一列沿x轴正方向传播的简谐横波，频率为2.5 Hz.在t＝0时，x P＝2 m的P点位于平衡位置，速度沿－y方向，x Q＝6 m的Q点位于平衡位置下方最大位移处．求：①质点P第一次有＋y方向最大加速度需经过的时间t；②波的传播速度v.C. (选修3-5)(12分)(1) 许多情况下光是由原子内部电子的运动产生的，因此光谱的研究是探索原子结构的一条重要途径．关于氢原子光谱、氢原子能级和氢原子核外电子的运动，下列说法中正确的是________．A. 氢原子巴尔末线系谱线是包含从红外到紫外的线状谱B. 氢原子光谱的不连续性，表明氢原子的能级是不连续的C. 氢原子处于不同能级时，电子在各处的概率是相同的D. 氢光谱管内气体导电发光是热辐射现象(2) 我国科学家因中微子项目研究获2016基础物理学突破奖．中微子是一种静止质量很小的不带电粒子，科学家在1953年找到了中微子存在的直接证据：把含氢物质置于预计有很强反中微子流(反中微子用ν－表示)的反应堆内，将会发生如下反应ν－＋11H ―→10n ＋01e ，实验找到了与此反应相符的中子和正电子．若反中微子能量是E 0，则反中微子的质量m ν－＝________，该物质波的频率ν＝________(普朗克常量为h ，真空中光速为c )．(3) 在ν－＋11H ―→10n ＋01e 反应过程中，① 若质子是静止的，测得正电子动量为p 1，中子动量为p 2，p 1、p 2方向相同，求反中微子的动量p ；② 若质子质量为m 1，中子质量为m 2，电子质量为m 3，m 2>m 1.要实现上述反应，反中微子能量至少是多少？(真空中光速为c )四、 计算题：本题共3小题，共47分．解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．13. (15分)如图所示，质量为m 、电阻为R 的单匝矩形线框置于光滑水平面上，线框边长ab ＝L 、ad ＝2L .虚线MN 过ad 、bc 边中点，一根能承受最大拉力F 0的细线沿水平方向拴住ab 边中点O .从某时刻起，在MN 右侧加一方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小按B ＝kt 均匀变化．一段时间后，细线被拉断，线框向左运动，ab 边穿出磁场时的速度为v .求：(1) 细线断裂前线框中的电功率P ；(2) 细线断裂后瞬间线框的加速度大小a 及线框离开磁场的过程中安培力所做的功W ； (3) 线框穿出磁场过程中通过导线截面的电量q .14. (16分)如图甲所示，y轴右侧空间有垂直xOy平面向里的匀强磁场，同时还有沿－y方向的匀强电场(图中电场未画出)，磁感应强度随时间变化规律如图乙所示(图中B0已知，其余量均为未知)．t＝0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴射入电场和磁场区，t0时刻粒子到达坐标为(x0，y0)的A点 (x0>y0)，速度大小为v，方向沿＋x方向，此时撤去电场．t＝t0＋t1＋t2时刻，粒子经过x轴上x＝x0点，速度沿＋x 方向．不计粒子重力，求：(1) 0－t0时间内OA两点间电势差U OA；(2) 粒子在t＝0时刻的加速度大小a0；(3) B1的最小值和对应t2的表达式．15. (16分)打井施工时要将一质量可忽略不计的坚硬底座A送到井底，由于A与井壁间摩擦力很大，工程人员采用了如图所示的装置，图中重锤B质量为m，下端连有一劲度系数为k的轻弹簧，工程人员先将B放置在A上，观察到A不动；然后在B上再逐渐叠加压块，当压块质量达到m时，观察到A开始缓慢下沉时移去压块．将B提升至弹簧下端距井口为H0处，自由释放B，A被撞击后下沉的最大距离为h1，以后每次都从距井口H0处自由释放．已知重力加速度为g，不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内．(1) 求下沉时A与井壁间的摩擦力大小f和弹簧的最大形变量ΔL；(2) 求撞击下沉时A的加速度大小a和弹簧的弹性势能E p；(3) 若第n次撞击后，底座A恰能到达井底，求井深H.2016届高三教学情况调研(三)(南通市)物理参考答案一、 单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意．1. B2. C3. A4. D5. C二、 多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共计16分．每小题有多个选项符合题意．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．6. ABD7. BC8. AC9. BD三、 简答题：本题共3小题，共计42分． 10. (1) 2k(2分) O 点的瞬时速度(2分)(2) mg －（m ＋M ）a Mg(2分)(3) C (2分)11. (1) R 2－2R 1(2分) AD (2分) (2) 6 020(2分)(3) 见图(2分) E (1分) 电压表的分流(其它合理答案同样给分)(1分)第11题答图12. A. (选修模块3­3)(12分) (1) A (3分)(2) 降低 变大(4分)(3) ①设状态D 的温度为T D C 到Dp 2T ＝p 1T D D 到A V 2T D ＝V 1T 0(1分) 解得T ＝p 2V 2p 1V 1T 0(1分)②W BC ＝－p 2(V 2－V 1) W DA ＝p 1(V 2－V 1)全过程有W ＝W BC ＋W DA ＝(p 1－p 2)(V 2－V 1)(1分) 由热力学第一定律ΔU ＝Q ＋W ＝0(1分)解得Q ＝(p 2－p 1)(V 2－V 1)>0 气体吸热(1分) B. (选修模块3­4)(12分) (1) D (3分) (2)1sin θ(2分) <(2分)(3) ①P 质点经过T4，达到负向最大位移，此刻有＋y 方向最大加速度波的周期T ＝1f ＝0.4s (1分)所以t ＝0.1s (1分)②PQ 两点间距离x PQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋34λ (n ＝0，1，2，……)(1分) 波长λ＝164n ＋3 m (n ＝0，1，2，……)(1分)波速v ＝λf＝404n ＋3 m /s (n ＝0，1，2，……)(1分)C. (选修模块3­5)(12分) (1) B (3分)(2) E 0c 2(2分) E 0h(2分)(3) ①由动量守恒定律p ＝p 1＋p 2(2分) ②由能量守恒，反中微子能量最小时E ＋m 1c 2＝(m 2＋m 3)c 2(2分)最小能量E ＝(m 2＋m 3－m 1)c 2(1分)四、 计算题：本题共3小题，共计47分．解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．13. (15分)(1) 根据法拉第定律E ＝ΔΔt ＝ΔB ΔtL 2＝kL 2(2分) 电功率P ＝E 2R ＝k 2L4R(3分)(2) 细线断裂瞬间安培力F A ＝F 0(1分) 线框的加速度a ＝F A m ＝F 0m(2分)线框离开磁场过程中，由动能定理W ＝12mv 2(2分)(3) 设细线断裂时刻磁感应强度为B 1，则有 ILB 1＝F 0(1分) 其中I ＝E R ＝kL2R(1分)线圈穿出磁场过程E ＝ΔΔt ＝B 1L2Δt(1分)电流I ＝ER通过的电量q ＝I Δt(1分) 解得q ＝F 0kL(1分)14. (16分)(1) 带电粒子由O 到A 运动过程中，由动能定理 qU OA ＝12mv 2－12mv 20(2分)解得U OA ＝mv 2－mv 22q (2分)(2) 设电场强度大小为E ，则 U AO ＝Ey 0(2分)t ＝0时刻，由牛顿第二定律 qv 0B 0－qE ＝ma(2分)解得：a ＝qv 0B 0m －v 20－v22y 0(2分)(3) t 0～t 0＋t 1时间内，粒子在小的虚线圈上运动，t 0＋t 1时刻粒子从C 点切入大圆，大圆最大半径为x 0，相应小圆最大半径为R ，则R ＝2x 0－y 02(1分)又qvB 1＝m v2R(1分)B 1的最小值B mi n ＝2mvq （2x 0－y 0）(2分)对应于B 1取最小值，带电粒子由C 点到经过x 轴上x ＝x 0点的时间t 2满足t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122πx 0v(k ＝0，1，2……)(2分) 15. (16分)(1) A 开始缓慢下沉时f ＝2mg(1分)底座质量不计，所以合力为零，所以始终有k ΔL ＝f(1分)解得ΔL ＝2mg k(2分) (2) 撞击后AB 一起减速下沉，对Bk ΔL －mg ＝ma(2分)a ＝g(1分)A 第一次下沉，由功能关系mg(H 0＋ΔL ＋h 1)＝E p ＋fh 1(2分)解得E p ＝mg ⎝⎛⎭⎪⎫H 0－h 1＋2mg k (1分) (3) A 第二次下沉，由功能关系mg(H 0＋ΔL ＋h 1＋h 2)＝E p ＋fh 2(1分)又f ＝2mg解得h 2＝2h 1(1分)A 第三次下沉，由功能关系mg(H 0＋ΔL ＋h 1＋h 2＋h 3)＝E p ＋fh 3(1分)解得h 3＝2h 1＋h 2＝4h 1(1分)同理A 第n 次下沉过程中向下滑动的距离h n ＝2n －1h 1(1分)所以井底深度H ＝h 1＋h 2＋…＋h n ＝(2n －1)h 1(1分)。

南通市2016届高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积公式：,31Sh V=锥体其中S 是棱锥的底面积，h 是高．一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分,共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1。

设复数z 满足()123i z += （i 为虚数单位），则复数z 的实部为________．2。

设集合{}{}11,0,1,1,,0A B a a AB a ⎧⎫=-=-+=⎨⎬⎩⎭,则实数a 的值为________．3。

右图是一个算法流程图,则输出的k 的值是________．4. 为了解一批灯泡（共5000只)的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试,其使用寿命（单位：h )如下表：使用寿命 [)500,700 [)700,900 [)900,1100 [)1100,1300 [)1300,1500只数52344253根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h 的灯泡只数是________．5.电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答,则“立德树人”主题被该队选中的概率是________．6。

已知函数()()log af x x b =+（0a >且1,a b R ≠∈）的图象如图所示,则a b +的值是_________．7。

设函数()sin 03y x x πωπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，当且仅当12x π=时，y 取得最大值，则正数ω的值为________． 8.在等比数列{}na 中，21a=，公比1q =±．若135,4,7a a a 成等差数列，则6a 的值是________． 9. 在体积为3的四面体ABCD 中,AB ⊥平面BCD ,1,2,3AB BC BD ===，则CD 长度的所有值为________．10.在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线与圆221xy +=相切于点T，与圆()(2233x a y -+=相交于点R ,S ，且PT RS =，则正数a 的值为________．11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的[)0,x ∈+∞，满足()()2f x f x +=．若当[)0,2x ∈时,()21f x x x =--，则函数()1y f x =-在区间[]2,4-上的零点个数为________．12。

一、填空题：1.已知集合{}{}1,0,1,2,1,1,2U A =-=-，则U C A = .2.已知复数()22z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 . 3.如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 .4.如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 .5.已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b ，若它们的体积相等，则33:a b 的值为 .6.将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为,m n ，则点(),P m n 在直线12y x =下方的概率为 . 7.函数()f x =的定义域为 . 8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y a-=与抛物线212y x =-有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为.10.如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC == ，则()()AP AQ AB AC +⋅-的值为 .11.设数列{}n a 满足()()()111,111n n a a a n N++=-+=∈，则()10011k k k a a +=∑的值为 .12.已知函数()()()()()2',0,,0f x x f x x ax a Rg x f x x ≥⎧⎪=+∈=⎨<⎪⎩（()'f x 为()f x 的导函数）.若方程()()0g f x =有四个不等的实根，则a 的取值范围是 .13.如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点,C D 在函数()10y x x x=+>的图像上.记,AB m BC n ==，则2m n 的最大值为 .14.在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，圆()()2221:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线,,PA PB 切点为,A B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .三、解答题15.已知ABC ∆是锐角三角形，向量()cos ,sin ,cos ,sin 33m A A n B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，且m n ⊥.（1）求A B -的值； （2）若3cos ,85B AC ==，求BC 的长.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面PAD ，,22,,AB CD CD AB BC M N == 分别是棱,PA CD 的中点.（1）求证：PC 平面BMN ； （2）求证：平面BMN ⊥平面PAC .17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆222x y a +=于相异两点,P Q . （1）若直线l 的斜率为12，求APAQ的值； （2）若PQ AP λ=，求实数λ的取值范围.18.某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.（1）若窗口ABCD 为正方形，且面积大于214m （木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；（2）若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值.19.已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()11n n n a b S n N ++=+∈.（1）若11,2n na b ==，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{}n b λ+为等比数列； （3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =.20.设函数()sin cos x f x xe a x x =-（a R ∈，其中e 是自然对数的底数）. （1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）若对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.南通市2016届高三第三次调研测试数学II21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. A.【选修4-1】几何证明选讲（本小题满分10分）在ABC ∆中，2,A B C ∠=∠∠的平分线交AB 于点D ，A ∠的平分线交CD 于点E . 求证：AD BC BD AC ⋅=⋅.B.【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵1 12a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线()0,x y b a b R +-=∈，求a b +的值.C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩α为参数）以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=.若直线l 与曲线C 交于,A B ，求线段AB 的长.D.【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知0,0,0x y z >>>，且1xyz =，求证：333x y z xy yz xz ++≥++【必做题】第22,23题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>上一点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F .（1）求抛物线的方程；（2）若A 为抛物线上一点（异于原点O ），点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E .试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论. 23.（本小题满分10分）甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛()2n n N +∈局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为()P n .（1）求()2P 与()3P 的值；（2）试比较()P n 与()1P n +的大小，并证明你的结论.南通市2016届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题1.{}02.34i +3. 24. 35.π6.167.(8.4y x =±9.3 10. -16 11.100101 12.0a <或2a > 13.1414.1,3⎡+⎣ 二、解答题15.（1）因为m n ⊥ ，所以cos cos sin sin cos 0333m n A B A B A B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,366A B πππ⎛⎫⎛⎫+-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以32A B ππ+-=，即6A B π-=； （2）因为3cos 5B =，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5B = 所以sin sin sin cos cos sin 666A B B B πππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭431552=+⋅=由正弦定理，得sin 10834sin 5ABC AC B=⋅=⨯=.16.（1）设AC BN O ⋂=，连结,MO AN ，因为1,2AB CD AB CD =，N 为CD 的中点， 所以,AB CN AB CN = ，所以四边形ABCN 为平行四边形，所以O 为AC 的中点，所以MO PC又因为MO ⊂平面BMN ，PC ⊄平面BMN ，所以PC 平面BMN . （2）（方法一）因为PC ⊥平面PDA ，AD ⊂平面PDA所以PC AD ⊥，由（1）同理可得，四边形ABND 为平行四边形，所以AD BN ，所以BN PC ⊥ 因为BC AB =，所以平行四边形ABCN 为菱形，所以BN AC ⊥，因为PC AC C ⋂=AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BN ⊥平面PAC因为BN ⊂平面BMN ，所以平面BMN ⊥平面PAC .（方法二）连结PN ，因为PC ⊥平面PDA ，PA ⊂平面PDA ，所以PC PA ⊥因为PC MO ，所以PA MO ⊥，因为PC ⊥平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，所以PC PD ⊥ 因为N 为CD 的中点，所以12PN CD =，由（1）12AN BC CD ==，所以AN PN = 又因为M 为PA 的中点，所以PA MN ⊥因为MN MO M ⋂=，MN ⊂平面BMN ，MO ⊂平面BMN所以PA ⊥平面BMN ，因为PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面BMN.17.（1）由条件，222242a caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为22142x y +=，圆的方程为224x y += （方法一）直线l 的方程为()122y x =+，由()2212224y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得：23440x x +-= 解得22,3A p x x =-=，所以24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以AP ==O 到直线l的距离d =所以AQ ==56AP AQ == （方法二）由222224x y x y =-⎧⎨+=⎩得2340y y -=，所以85P y =所以455386AP AQ =⨯=; （2）（方法一）若PQ AP λ= ，则1AQAPλ=- 设直线():2l y k x =+，由()22242x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得，()22221840k x k ++-=即()()()22221420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以22242,21A P k x x k -=-=+，得222244,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以()22222222224416162212121k k k AP k k k ⎛⎫-+⎛⎫=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，即AP =，同理AQ =由题意：20k >，所以01λ<<.18.（1）设一根木条长为xcm，则正方形的边长为=因为14ABCD S >四边形，所以2144x ->，即2x < 又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x >所以x <<（2）（方法一）设AB 所在木条长为am ，则BC 所在木条长为()3a m - 因为()()0,2,30,2a a ∈-∈，所以()1,2a ∈ABCDS ==矩形设()43262420f a a a a a =-++-，()()()()'3241822421234fa a a a a a a =-++=+--令()'0f a =，得32a =，或1a =-（舍去），或4a =（舍去） 列表如下：所以当32a =时，()max 349216fx f ⎛⎫==⎪⎝⎭，即max 74S= （方法二）设AB 所在木条长为am ，CD 所在木条长为bm 由条件，2+26a b =，即3a b +=因为(),0,2a b ∈，所以()30,2ba =-∈，从而(),1,2ab ∈由于AB BD ==ABCD S ==矩形()()2228872224a b a b +--+≤≤=当且仅当()31,22a b ==∈时，74ABCD S =矩形 答：窗口ABCD 面积的最大值为274m19.（1）由11,2n na b ==，知2344,6,8a a a ===（2）（方法一）因为11n n n a b S +=+，所以()11111n n n a q a q b q-=+-所以11111n nn q q b q a q =+---，即1111111nn b q a q q ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 所以存在实数11q λ=-，使得11111nn b q a q λ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 又因为0n b λ+≠（否则{}n b 为常数数列与题意不符）所以当2n ≥，11n n b b qλλ-+=+，此时{}n b λ+为等比数列所以存在实数11qλ=-，是{}n b λ+为等比数列； （方法二）因为11n n n a b S +=+① 所以当2n ≥时，111n n n a b S --=+② ①-②得，当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=③ 由③得，当2n ≥时，111111n n n n n n n a a b b b a a q q--++=+=+ 所以111111n n b b q q q -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，又因为101n b q +≠-（否则{}n b 为常数数列与题意不符） 所以存在实数11qλ=-，是{}n b λ+为等比数列； （3）因为{}n b 为公差为d 的等差数列，所以由③得，当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--= 即()()11n n n n a a b d a +-=-，因为{}n a ，{}n b 各项均不相等，所以10,10n n a a d +-≠-≠ 所以当2n ≥时，11n nn nb a d a a +=--④ 当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--⑤ 由④-⑤，得当3n ≥时111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----⑥ 先证充分性：即由12d =证明23,,,,n a a a 成等差数列 因为12d =，由⑥得1111n n n n n n a a a a a a -+--=-- 所以当3n ≥时，1111n n n n n n a a a a a a -+-+=--又0n a ≠，所以11n n n n a a a a +--=-即23,,,,n a a a 成等差数列；再证必要性：即由23,,,,n a a a 成等差数列证明12d =因为23,,,,n a a a 成等差数列，所以当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=- 所以由⑥得，11111111n n n n n n n n n n n n a a a a da a a a a a a a d--+----=-==----- 所以12d =，所以23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 20.（1）当0a =时，()()();,1x x f x xef x e x ==+ 令()'0f x =，得1x =- 列表如下：所以函数()f x 的极小值为()1f e-=-，无极大值； （2）①当0a ≤时，由于对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有sin cos 0x x ≥ 所以()0f x ≥恒成立，当0a ≤时，符合题意； ②当01a <≤时，因为()()()'01cos201cos010x f x e x a x e a a ≥+-≥+-=-≥所以函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()00f x f ≥=，即当01a <≤，符合题意； ③当1a >时，()'010f a =-<，'41044f e πππ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'0f α=，且在()0,α内，()'0f x < 所以()f x 在()0,α上为减函数，所以()()00f x f <= 即当1a >时，不符合题意综上所述，a 的取值范围是(],1-∞;（3）不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，由（2）知，当1a ≤时，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，且()00f =，故函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上无零点 当1a >时，()()'1cos2x f x e x a x ≥+-令()()1cos2x g x e x a x =+-，()()'22sin2x g x e x a x =++ 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()'0g x >，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 由()2010,1022g a g e a πππ⎛⎫⎛⎫=-<=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点0x ，即方程()'0fx =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一解0x 且当()00,x x ∈时，()'0fx <，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x > 即函数()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 当()00,x x ∈时，()()00f x f <=，即()f x 在()00,x 无零点；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()200,022f x f f e πππ⎛⎫<=> ⎪⎝⎭ 所以()f x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点， 所以，当1a >时，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点 综上所述，不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点. 数学II （附加题）21.A.因为2,CAB B AE ∠=∠为CAB ∠的平分线，所以CAE B ∠=∠又因为CD 是C ∠的平分线，所以ECA DCB ∠=∠ 所以ACD BCD ∆∆ ，所以AE ACBD BC=，即AE BC BD AC ⋅=⋅ 又因为,AED CAE ECA ADE B DCB ∠=∠+∠∠=∠+∠ 所以AED ADE ∠=∠，所以AD AE = 所以AD BC BD AC ⋅=⋅B.设(),P x y 是直线20x +-=上一点，由1 122a x x ay y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()20x ay x y b +++-=即2022a b x y ++-=，由条件得，21,222a b+=-=- 解得04a b =⎧⎨=⎩，所以4a b +=C.曲线C 的普通方程为(224x y +=，表示以)为圆心，2为半径的圆直线l 的直角坐标方程为y x =所以线段AB 的长为=D.因为0,0,0x y z >>> 所以3333x y z xyz ++≥3313x y xy ++≥，3313y z yz ++≥，3313x z xz ++≥将以上各式相加，得33333333333x y z xyz xy yz xz +++≥+++ 又因为1xyz =，从而333x y z xy yz xz ++≥++ 22.（1）由题意点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭到准线的距离为PO 由抛物线的定义，点P 到准线的距离为PF 所以PO PF =，即点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭在线段OF 的中垂线上， 所以3,344p p ==，所以抛物线的方程为26y x =（2）由抛物线的对称性，设点2001,6A y y ⎛⎫⎪⎝⎭在x 轴的上方，所以点A 的气息的斜率为03y所以点A 处切线的方程为2000316y y x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭令上式中0y =，得2016x y =- 所以点B 的坐标为201,06y ⎛⎫-⎪⎝⎭，又033,,,022E y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2200001313,,,6262FA y y BE y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以FA BE = ，所以FA BE ，又AE FB故四边形AEBF 为平行四边形再由抛物线的定义，得AF AE =，所以四边形AEBF 为菱形. 23.（1）若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局所以()44344411522216P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同理()6664566661115322216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）在2n 局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为1n +局故()222122222111222n n nn n n n n n P n C C C ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22122222222211112122222nnnn n n n n nn n n n nC C C C C ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()1222211122n n n C P n +++⎛⎫+=- ⎪⎝⎭又因为()()()()()()()()2222112222222!441214!!2122!22212121!1!nn n n nn n n n n n C n n C n n n C C n n n n n +++++++====>++++++ 所以122222222n n n n n n C C +++>，所以()()1P n P n <+。

第21题A江苏省南通市2016-2017学年高二数学下学期第三次阶段检测试题（Ⅱ卷）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中两题作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E ． 求证：2DE DB DA =⋅．B ． 选修4—2：矩阵与变换设曲线22221x xy y ++=在矩阵()001m m n ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．C ． 选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy 中,已知圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=．（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆12,C C 的极坐标方程； （2）求圆12C C 与的公共弦的参数方程．D ． 选修4—5：不等式选讲已知a >0，b >0，证明：(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本题满分10分）已知正六棱锥P -ABCDEF 的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取 3个顶点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．第22题ABC DEFP（1）求概率(P X =的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．23．（本题满分10分）已知数列{}n b 满足112b =，112(2*)n nb n n b -+=∈N ≥，． （1）求2b ，3b ，猜想数列{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设n n x b =，1n n y b +=，比较xx 与y y 的大小．数学试卷（Ⅱ）参考答案21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中两题作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ， 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E ．求证：2DE DB DA =⋅．【证明】连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°．所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ， 所以∠OCF =∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF +∠CEO =90°．…5分 所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ． 因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ． 所以DE 2=DB ·DA ． ………………10分 B ． 选修4—2：矩阵与变换设曲线22221x xy y ++=在矩阵()001m m n ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．【解】设曲线22221x xy y ++=上任一点(,)P x y 在矩阵M 对应的变换下的像是(,)P x y ''',由01x m x mx n y y nx y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx y nx y '=⎧⎨'=+⎩，，因为()P x y '''，在圆221x y +=上 所以()()221mx nx y ++=，化简可得2222()21m n x nxy y +++=．…………3分依题意可得22222m n n +==，，11m n ==，或11m n =-=，而由0m >可得11m n ==，…6分 故1011⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ,11011-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ．………………………10分 C ． 选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy 中,已知圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=．（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆12,C C 的极坐标方程； （2）求圆12C C 与的公共弦的参数方程．解（1）圆1C 的极坐标方程为=2ρ， 圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．……………………4分 （2）由（1）得，圆12C C ，交点直角坐标为(1(1，，． ……………………7分 故圆12C C 与的公共弦的参数方程为1(x y t t =⎧⎪⎨=⎪⎩，．……………………10分注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣2分． D ． 选修4—5：不等式选讲已知a >0，b >0，证明：(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2．ABCDE F P 【解】因为a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9=≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立． ………………………………8分即1111323232a b c +++++，故111323232a b c +++++的最小值为1．…………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本题满分10分）已知正六棱锥P -ABCDEF 的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个 顶点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积． （1）求概率(P X =的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．解 从7个顶点中随机选取3个顶点构成三角形，共有37C 35=种取法．其中X =△ABF ，这类三角形共有6个．因此(P X 376635C ==．……………………3分（2）X2其中X =ABF ，这类三角形共有6个；其中2X =的三角形有两类，如△PAD （3个），如△PAB （6个），共有9个；其中X =PBD ，这类三角形共有6个；其中X =CDF ，这类三角形共有12个；其中X =的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个．因此6(35P X ==，9(2)35P X ==，6(35P X ==，12(35P X ==，12(35P X ==．……………………………………………………………………8分 所以随机变量的概率分布表为：所求数学期望696122()23535353535E X=+⨯++=…………………………………………………………………………………………………10分23．（本题满分10分）已知数列{}n b满足112b=，112(2*)nnb n nb-+=∈N≥，．（1）求2b，3b，猜想数列{}n b的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设nnx b=，1nny b+=，比较x x与y y的大小．解（1）当2n=时，11122b+=，解得223b=．当3n=时，21223b+=，解得334b=．猜想1nnbn=+．………………………………………………………………3分证明①1n=时，112b=，结论成立．②假设n k=时，1kkbk=+成立．则1n k=+时，112kkbb++=，由于1121kkb k++=+，所以112kkbk++=+，于是1n k=+时，结论成立．由①②知，对任意正整数n，1nnbn=+．…………………………………6分（2）由（1）知()1n nxn=+，()11n nyn+=+，所以x x=()()11nnn nnn+⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．()()1111nnn ny nyn+++⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦()()1(1)11nnnnnn+++=+()()11nnnnnn+=+()()11nnn nnn+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦．所以x x＝y y．…………………………………………………………………………10分。

2016届江苏省南通市、扬州市、泰州市高三第三次调研考试数学试题数学Ⅰ一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,0,1,2,1,1,2=-=-U A ，则U C A = .2.已知复数()22z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 .3.如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 .4.如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 .5.已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b ，若它们的体积相等，则33:a b 的值为 .6.将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为,m n ，则点(),P m n 在直线12y x =下方的概率为 .7.函数()f x =的定义域为 . 8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y a-=与抛物线212y x =-有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为 .9.已知两曲线)2,0(,sin 3)(,cos )(π∈==x x x g x x f 相交于点A.若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于B ，C 两点，则线段BC 的长为_____.10.如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==，则()()AP AQ AB AC +⋅-的值为.11.设数列{}n a 满足()()()111,111*+=-+=∈n n a a a n N，则()10011k k k a a +=∑的值为 .12.已知函数()()()()()2',0,,0f x x f x x ax a Rg x f x x ≥⎧⎪=+∈=⎨<⎪⎩（()'f x 为()f x 的导函数）.若方程()()0g f x =有四个不等的实根，则a 的取值范围是 .13.如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点,C D 在函数()10y x x x=+>的图像上.记,AB m BC n ==，则2mn 的最大值为.14.在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，圆()()2221:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线,,PA PB 切点为,A B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）已知ABC ∆是锐角三角形，向量()cos ,sin ,cos ,sin 33m A A n B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，且m n ⊥ .（1）求A B -的值； （2）若3cos ,85B AC ==，求BC 的长. 16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面PAD ，,22,,AB CD CD AB BC M N == 分别是棱,PA CD 的中点.（1）求证：PC 平面BMN ； （2）求证：平面BMN ⊥平面PAC.17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆222x y a +=于相异两点,P Q . （1）若直线l 的斜率为12，求AP AQ 的值；（2）若PQ AP λ=，求实数λ的取值范围.18.（本小题满分14分）某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口. （1）若窗口ABCD 为正方形，且面积大于214m （木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围； （2）若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值.19.（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()11*+=+∈n n n a b S n N .（1）若11,2n na b ==，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{}n b λ+为等比数列；（3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 20.（本小题满分16分）设函数()sin cos xf x xe a x x =-（a R ∈，其中e 是自然对数的底数）.（1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）若对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.南通市2016届高三第三次调研测试数学II （附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. A.【选修4-1】几何证明选讲（本小题满分10分）在ABC ∆中，2,A B C ∠=∠∠的平分线交AB 于点D ，A ∠的平分线交CD 于点E . 求证：AD BC BD AC ⋅=⋅.B.【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵112a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线()0,x y b a b R +-=∈，求a b +的值.C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩α为参数）以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=.若直线l 与曲线C 交于,A B ，求线段AB 的长.D.【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知0,0,0x y z >>>，且1xyz =，求证：333x y z xy yz xz ++≥++.【必做题】第22,23题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>上一点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F . （1）求抛物线的方程；（2）若A 为抛物线上一点（异于原点O ），点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E .试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论. 23.（本小题满分10分）甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛()2*∈n n N 局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为()P n . （1）求()2P 与()3P 的值；（2）试比较()P n 与()1P n +的大小，并证明你的结论.南通市2016届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题1.{}02.34i +3. 24. 35.:π6.167.(8.y x =10. -16 11.100101 12.0a <或2a > 13.1414.1,3⎡+⎣ 二、解答题15.（1）因为m n ⊥ ，所以cos cos sin sin cos 0333m n A B A B A B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭431552=+⋅=由正弦定理，得sin 83sin ABC AC B=⋅==+.16.（1）设AC BN O ⋂=，连结,MO AN ，因为1,2AB CD AB CD =，N 为CD 的中点， 所以,AB CN AB CN = ，所以四边形ABCN 为平行四边形，所以O 为AC 的中点，所以MO PC . 又因为MO ⊂平面BMN ，PC ⊄平面BMN ，所以PC 平面BMN . （2）（方法一）因为PC ⊥平面PDA ，AD ⊂平面PDA .所以PC AD ⊥，由（1）同理可得，四边形ABND 为平行四边形，所以AD BN ，所以BN PC ⊥. 因为BC AB =，所以平行四边形ABCN 为菱形，所以BN AC ⊥，因为PC AC C ⋂=,AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BN ⊥平面PAC .因为BN ⊂平面BMN ，所以平面BMN ⊥平面PAC .（方法二）连结PN ，因为PC ⊥平面PDA ，PA ⊂平面PDA ，所以PC PA ⊥.因为PC MO ，所以PA MO ⊥，因为PC ⊥平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，所以PC PD ⊥. 因为N 为CD 的中点，所以12PN CD =，由（1）12AN BC CD ==，所以AN PN =. 又因为M 为PA 的中点，所以PA MN ⊥.因为MN MO M ⋂=，MN ⊂平面BMN ，MO ⊂平面BMN ,所以PA ⊥平面BMN ，因为PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面BMN.17.（1）由条件，22224a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的方程为22142x y +=，圆的方程为224x y +=.（方法一）直线l 的方程为()122y x =+，由()2212224y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得：23440x x +-=.解得22,3A p x x =-=，所以24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以AP ==O 到直线l的距离d =所以AQ ==56AP AQ ==. （方法二）由222224x y x y =-⎧⎨+=⎩得2340y y -=，所以85P y =. 所以455386AP AQ =⨯=; （2）（方法一）若PQ AP λ= ，则1AQAPλ=-. 设直线():2l y k x =+，由()22242x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得，()22221840k x k ++-=.即()()()22221420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以22242,21A P k x x k -=-=+，得222244,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 所以()22222222224416162212121k k k AP k k k ⎛⎫-+⎛⎫=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，即AP =，同理AQ =. 所以，由题意：02>k ，所以10<<λ.（方法二）由方法一知，，由题意：20k >，所以01λ<<.18.（1）设一根木条长为xcm，则正方形的边长为=.因为14ABCD S >四边形，所以2144x ->，即x <又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x >.所以x <<;（2）（方法一）设AB 所在木条长为am ，则BC 所在木条长为()3a m -. 因为()()0,2,30,2a a ∈-∈，所以()1,2a ∈.ABCDS ===矩形. 设()43262420f a a a a a =-++-，()()()()'3241822421234fa a a a a a a =-++=+--.令()'0fa =，得32a =，或1a =-（舍去），或4a =（舍去）. 列表如下：所以当32a =时，()max 349216f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即max 74S = （方法二）设AB 所在木条长为am ，CD 所在木条长为bm . 由条件，2+26a b =，即3a b +=.因为(),0,2a b ∈，所以()30,2b a =-∈，从而(),1,2a b ∈.由于AB BD ==，ABCD S ==矩形.()()2228872224a b a b +--+≤≤=，当且仅当()31,22a b ==∈时，74ABCD S =矩形. 答：窗口ABCD 面积的最大值为274m .19.（1）由11,2n na b ==，知2344,6,8a a a ===.（2）（方法一）因为11n n n a b S +=+，所以()11111n n n a q a q b q-=+-.所以11111n nn q q b q a q =+---，即1111111nn b q a q q⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 所以存在实数11q λ=-，使得11111nn b q a q λ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，又因为0n b λ+≠（否则{}n b 为常数数列与题意不符），所以当2n ≥，11n n b b qλλ-+=+，此时{}n b λ+为等比数列，所以存在实数11qλ=-，使{}n b λ+为等比数列. （方法二）因为11n n n a b S +=+①， 所以当2n ≥时，111n n n a b S --=+②，①-②得，当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=③，由③得，当2n ≥时，111111n n n n n n n a a b b b a a q q--++=+=+， 所以111111n n b b q q q -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，又因为101n b q +≠-（否则{}n b 为常数数列与题意不符）， 所以存在实数11q λ=-，使{}n b λ+为等比数列. （3）因为{}n b 为公差为d 的等差数列，所以由③得，当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--=, 即()()11n n n n a a b d a +-=-，因为{}n a ，{}n b 各项均不相等，所以10,10n n a a d +-≠-≠,所以当2n ≥时，11n n n nb a d a a +=--④, 当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--⑤, 由④-⑤，得当3n ≥时111111n n n n n n n n a a b b d a a a a d d--+---==----⑥, 先证充分性：即由12d =证明23,,,,n a a a 成等差数列, 因为12d =，由⑥得1111n n n n n n a a a a a a -+--=--, 所以当3n ≥时，1111n n n n n n a a a a a a -+-+=--, 又0n a ≠，所以11n n n n a a a a +--=-即23,,,,n a a a 成等差数列.再证必要性：即由23,,,,n a a a 成等差数列证明12d =. 因为23,,,,n a a a 成等差数列，所以当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=-, 所以由⑥得，11111111n n n n n n n n n n n n a a a a d a a a a a a a a d--+----=-==----- 所以12d =，所以23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 20.（1）当0a =时，()()(),1'==+x x f x xe f x e x ,令()'0f x =，得1x =-.列表如下：)所以函数()f x 的极小值为()1f e-=-，无极大值. （2）①当0a ≤时，由于对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有sin cos 0x x ≥, 所以()0f x ≥恒成立，当0a ≤时，符合题意；②当01a <≤时，因为()()()'01cos 201cos 010x fx e x a x e a a ≥+-≥+-=-≥, 所以函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()00f x f ≥=，即当01a <≤，符合题意； ③当1a >时，()'010f a =-<，'41044f e πππ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以存在0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'0f α=，且在()0,α内，()'0f x <, 所以()f x 在()0,α上为减函数，所以()()00f x f <=, 即当1a >时，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是(],1-∞.（3）不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个零点，由（2）知，当1a ≤时，()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，且()00f =，故函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点. 当1a >时，()()'1cos 2x f x e x a x ≥+-,令()()1cos 2x g x e x a x =+-，()()'22sin 2x g x e x a x =++, 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()'0g x >，所以()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数, 由()2010,1022g a g e a πππ⎛⎫⎛⎫=-<=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点0x ，即方程()'0fx =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一解0x , 且当()00,x x ∈时，()'0f x <，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x >, 即函数()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 当()00,x x ∈时，()()00f x f <=，即()f x 在()00,x 无零点； 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()200,022f x f f e πππ⎛⎫<=> ⎪⎝⎭, 所以()f x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点， 所以，当1a >时，()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点. 综上所述，不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个零点. 数学II （附加题）21.A.因为2,CAB B AE ∠=∠为CAB ∠的平分线，所以CAE B ∠=∠. 又因为CD 是C ∠的平分线，所以ECA DCB ∠=∠.所以ACD BCD ∆∆ ，所以AE AC BD BC=，即AE BC BD AC ⋅=⋅. 又因为,AED CAE ECA ADE B DCB ∠=∠+∠∠=∠+∠, 所以AED ADE ∠=∠，所以AD AE =.所以AD BC BD AC ⋅=⋅.B.设(),P x y 是直线20x +-=上一点，由1122a x x ay y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()20x ay x y b +++-=.即2022a b x y ++-=，由条件得，21,222a b +=-=-. 解得04a b =⎧⎨=⎩，所以4a b +=. C.曲线C的普通方程为(224x y +=，表示以)为圆心，2为半径的圆. 直线l的直角坐标方程为y x =. 所以线段AB的长为=. D.因为0,0,0x y z >>>,所以3333x y z xyz ++≥,3313x y xy ++≥，3313y z yz ++≥，3313x z xz ++≥, 将以上各式相加，得33333333333x y z xyz xy yz xz +++≥+++, 又因为1xyz =，从而333x y z xy yz xz ++≥++.22.（1）由题意点3,4P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到准线的距离为PO , 由抛物线的定义，点P 到准线的距离为PF ,所以PO PF =，即点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭在线段OF 的中垂线上， 所以3,344p p ==，所以抛物线的方程为26y x =. （2）由抛物线的对称性，设点2001,6A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在x 轴的上方，所以点A 处切线的斜率为03y ， 所以点A 处切线的方程为2000316y y x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 令上式中0y =，得2016x y =-， 所以点B 的坐标为201,06y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又033,,,022E y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2200001313,,,6262FA y y BE y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以FA BE = ，所以FA BE ，又AE FB ，故四边形AEBF 为平行四边形，再由抛物线的定义，得AF AE =，所以四边形AEBF 为菱形. 23.（1）若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，所以()44344411522216P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理()6664566661115322216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）在2n 局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为1n +局， 故()222122222111222n n n n n n n n n P n C C C ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22122222222211112122222n n n n n n n n n n n n n n C C C C C ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 所以()1222211122n n n C P n +++⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 又因为()()()()()()()()2222112222222!441214!!2122!22212121!1!n n n n n n n n n n n C n n C n n n C C n n n n n +++++++====>++++++， 所以122222222n n n n n n C C +++>，所以()()1P n P n <+.。

（第5题）开始输入x y ←5x <4y ←x 2-2x +2 输出y 结束Y N （第4题） 时间（小时）频率 组距0.0040.008 0.012 0.016 050 75 100 125 150 江苏省南通、扬州、淮安、泰州四市2015届高三第三次调研数 学 试 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1． 设集合A {3，m}，B {3m ，3}，且A B ，则实数m 的值是 ▲ ． 【答案】0 2． 已知复数z (1i)(12i)+-(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ ．【答案】33． 已知实数x ，y 满足条件||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,则z2x+y 的最小值是 ▲ ．【答案】 34． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50 75)，中的频数为100，则n 的值为 ▲ ． 【答案】10005． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为 ▲ ． 【答案】 4 6． 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x ，则log2x 为整数的概率为 ▲ ．【答案】497． 在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x28y 的焦点，则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为 ▲ ．【答案】1058． 在等差数列{an}中，若an+an+24n+6（n ∈N*），则该数列的通项公式an ▲ ． 【答案】2n+19． 给出下列三个命题： ①“a ＞b ”是“3a ＞3b ”的充分不必要条件； ②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件； ③“a 0”是“函数f(x) x3+ax2（x ∈R ）为奇函数”的充要条件． 其中正确命题的序号为 ▲ ．（第10题）A BC DEF（第11题）P【答案】③10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V▲cm3．【答案】2 16 +11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧EF上的动点，则PC PD的最小值为▲．【答案】525-12．已知函数322301()51x x m xf xmx x⎧++=⎨+⎩≤≤，，，＞.若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为▲．【答案】（5，0）13．在平面直角坐标系xOy中，过点P（5，a）作圆x2+y22ax+2y10的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且211221122y y x xx x y y-+-+=-+，则实数a的值为▲．【答案】3或14．已知正实数x，y满足24310x yx y+++=，则xy的取值范围为▲．【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，B1C ⊥AB ，侧面BCC1B1为菱形． （1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1； （2）如果点D ，E 分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE ∥平面ABC1．解：（1）因三棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形， 故B1C ⊥BC1．……………………………………………………………………… 2分 又B1C ⊥AB ，且AB ，BC1为平面ABC1内的两条相交直线， 故B1C ⊥平面ABC1． 5分因B1C ⊂平面BCC1B1，故平面ABC1⊥平面BCC1B1． 7分 （2）如图，取AA1的中点F ，连DF ，FE ．又D 为A1C1的中点，故DF ∥AC1，EF ∥AB ．因DF ⊄平面ABC1，AC1⊂平面ABC1， 故DF ∥面ABC1． ………………… 10分同理，EF ∥面ABC1． 因DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线， 故平面DEF ∥面ABC1．……………………………………………………………… 12分 因DE ⊂平面DEF ， 故DE ∥面ABC1．…………………………………………………………………… 14分16．（本小题满分14分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ，ω，ϕ为常数，且A ＞0，ω＞0，22ϕππ-＜＜）的部分图象如图所示． （1）求函数f(x)的解析式；（2）若3()2f α=，求sin(2)6απ+的值．解：（1）由图可知，A 2，…………………………………………………………… 2分 T 2π，故1ω=，所以，f(x)2sin()x ϕ+．…………………………………… 4分又22()2sin()233f ϕππ=+=，且22ϕππ-＜＜，故6ϕπ=-． 于是，f(x) 2sin()6x π-．………………………………………………………… 7分（2）由3()2f α=，得3sin()64απ-=．………………………………………… 9分 A B CD A 1 B 1 1（第15题答图）EF A BC D A 1B 1 1（第15题）E xyO 2 -2 （第16题）3π- 32π所以，sin(2)sin 2()cos 2()6626αααππππ⎡⎤⎡⎤+=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦………………………… 12分=2112sin ()68απ--=-．…………………………………… 14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F1(3-，0)，F2(3，0)，且经过点(3，12)． （1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2k3k4． ①求k1k2的值； ②求OB2+OC2的值．解：（1）方法一依题意，c3，a2b2+3，………………………………………………………2分由2213413b b +=+，解得b21(b234-，不合，舍去)，从而a24．故所求椭圆方程为：2214x y +=．离心率e 32．…………………………………………………………………… 5分方法二由椭圆的定义知，2a222211(33)(0)(33)(0)22--+-+-+-4，即a 2．…………………………………………………………………………… 2分 又因c3，故b21．下略．（2）①设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(x1，y1)，于是k1k221212121y y y y x x x x -+⋅-+12222221y y x x--22212221(1)(1)44x x x x ----14-．………………… 8分yx O F 1 F 2 B C（第17题）D②方法一由①知，k3k4k1k214-，故x1x2124y y-．所以，(x1x2)2(4y1y2)2，即(x1x2)2221216(1)(1)44x x--22221212164()x x x x-++，所以，2212x x+4．……………………………………………………………………11分又222221212()()44x xy y+++222212124x xy y+++，故22121y y+=．所以，OB2+OC222221122x y x y+++5．………………………………………… 14分方法二由①知，k3k4k1k214-．将直线y k3x方程代入椭圆2214xy+=中，得2123414xk=+．……………………9分同理，2224414xk=+．所以，22122234441414x xk k+=+++22334411414()4kk+++-4．……………………11分下同方法一．18．（本小题满分16分） 为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m ，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧PQ 上，CD ∥AB ；△OAB 区域为文化展示区，AB 长为503m ；其余空地为绿化区域，且CD 长不得超过200 m ． （1）试确定A ，B 的位置，使△OAB 的周长最大？（2）当△OAB 的周长最大时，设∠DOC=2θ，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值．解：（1）设(0200]OA m OB n m n ==∈，，，，， 在△OAB 中，22222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅，即222(503)m n mn=++，…………………………………………………… 2分所以，22222()3(503)()()()44m n m n mn m n m n +=+-+-=+≥，…………4分所以100m n +≤，当且仅当m=n=50时，m n +取得最大值，此时△OAB 周长取得最大值．答：当OA OB 、都为50 m 时，△OAB 的周长最大． 6分（2）当△AOB 的周长最大时，梯形ACBD 为等腰梯形．过O 作OF ⊥CD 交CD 于F ，交AB 于E ，则E F 、分别为AB ，CD 的中点，所以DOE θ∠=，由CD 200≤，得(0]6 θπ∈，． 8分 在△ODF 中，200sin 200cos DF OF θθ==，． 又在△AOE 中，cos253OE OA π==，故200cos 25EF θ=-． 10分所以，1(503400sin )(200cos 25)2S θθ=+- 625(38sin )(8cos 1)θθ-625(838sin 64sin cos 3)θθθθ=-+，(0]6 θπ∈，．………… 12分（一直没有交代范围扣2分） 令()838sin 64sin cos 3f θθθθθ=-+，(0]6 θπ∈，，()83sin 8cos 64cos216sin()64cos26f θθθθθθπ'=--+=-++，(0]6 θπ∈，， ABCDPQ（第18题）OABCDP Q（第18题答图）OE F又y=16sin()6πθ-+及y=cos2θ在(0]6 θπ∈，上均为单调递减函数，故()f θ'在(0]6 θπ∈，上为单调递减函数．因31()16(4)622f π'=--⨯＞0，故()f θ'＞0在(0]6 θπ∈，上恒成立，于是，()f θ在(0]6 θπ∈，上为单调递增函数． ……… 14分所以当6θπ=时，()f θ有最大值，此时S 有最大值为625(8153)+．答：当6θπ=时，梯形ABCD 面积有最大值，且最大值为625(8153)+ m2．…16分19．（本小题满分16分）已知数列{an}，{bn}中，a1=1，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅，n ∈N ，数列{bn}的前n 项和为Sn ．（1）若12n n a -=，求Sn ；（2）是否存在等比数列{an}，使2n n b S +=对任意n ∈N*恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；（3）若a1≤a2≤…≤an ≤…，求证：0≤Sn ＜2．解：（1）当an 12n -时，bn11(1)42n -⋅232n +．……………………………………… 2分 所以，Sn 1231133(1)82242n n -++++=-．……………………………………… 4分 （2）满足条件的数列{an}存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=1(1)n --．证明：在2n n b S +=中，令n=1，得b3=b1．设an=1n q-，则bn=211(1)n q q -．………………………………………………… 6分由b3=b1，得2321111(1)(1)q q q q -=-．若q=1±，则bn=0，满足题设条件．此时an=1和an=1(1)n --．………………… 8分若q 1≠±，则311q q =，即q2 =1，矛盾．综上，满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一是an=1，另一是an=1(1)n --．10分（3）因1=a1≤a2≤…≤an ≤…，故0n a ＞，0＜1n n a a +≤1，于是0＜221n n a a +≤1．所以，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅≥0，n 1，2，3，…．所以，Sn b1+b2+…+bn ≥0．………………………………………………………… 13分又，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅1111(1)(1)n n n n n a a a a a ++++-⋅11111(1)()n n n n n n a a a a a a ++++-⋅≤1112()n n a a +-．故，Sn b1+b2+…+bn ≤122311111112()2()2()n n a a a a a a +-+-++-11112()n a a +-112(1)n a +-＜2．所以，0≤Sn ＜2．………………………………………………………………… 16分20．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x a xx =--（a ∈R ）． （1）若a=2，求函数()f x 在(1，e2)上的零点个数（e 为自然对数的底数）； （2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值集合；（3）若()f x 有两零点x1，x2(x1＜x2)，求证：2＜x1+x2＜13ea -1．解：（1）由题设，()f x '21xx -，故()f x 在(1，e2)上单调递减．……………………2分所以()f x 在(1，e2)上至多只有一个零点． 又221(1)(e )1()e f f =⨯-＜0，故函数()f x 在(1，e2)上只有一个零点．…………… 4分（2）()f x '21xx -，令()f x '0，得x 1．当x ＞1时，()f x '＜0，()f x 在(1 )+∞，上单调递减；当0＜x ＜1时，()f x '＞0，()f x 在(0，1)上单调递增，故max [()]f x f(1)a 1．……………………………………………………… 6分①当max[()]f x 0，即a 1时，因最大值点唯一，故符合题设；…………… 8分②当max [()]f x ＜0，即a ＜1时，f(x)＜0恒成立，不合题设； ③当max [()]f x ＞0，即a ＞1时，一方面，e a∃＞1，1(e )e a a f =-＜0；另一方面，e a -∃＜1，(e )2e a a f a -=-≤2a ea ＜0(易证：ex ≥ex)，于是，f(x)有两零点，不合题设．综上，a 的取值集合为{1}．………………………………………………………… 10分（3）证：先证x1+x2＞2．依题设，有a 111ln x x +221ln x x +，于是212121ln x x x x x x -=． 记21x x t ，t ＞1，则11ln t t tx -=，故11ln t x t t -=．于是，x1+x2x1(t+1)21ln t t t -，x1+x22212(ln )2ln t t t t --．记函数g(x)21ln 2x x x --，x ＞1．因22(1)()2x g x x -'=＞0，故g(x)在(1 )+∞，上单调递增．于是，t ＞1时，g(t)＞g(1)0．又lnt ＞0，所以，x1+x2＞2．…………………………………………………………… 13分 再证x1+x2＜13ea -1．因f(x)0⇔h(x)ax 1xlnx 0，故x1，x2也是h(x)的两零点．由()h x 'a 1lnx 0，得x1e a -(记p1e a -)．仿（1）知，p 是h(x)的唯一最大值点，故有12()0.h p x p x ⎧⎨⎩＜＞，＜作函数h(x)2()ln ln x p x p x p ---+，则22()()()x p h x x x p -'=+≥0，故h(x)单调递增．故，当x ＞p 时，h(x)＞h(p)0；当0＜x ＜p 时，h(x)＜0．于是，ax11x1lnx1＜11112()ln x x p x px p -++．整理，得211(2ln )(2ln 1)p a x p ap p p x p +--+--+＞0， 即，21111(3e 1)e a a x x ----+＞0．同理，21122(3e 1)e a a x x ----+＜0．故，21122(3e 1)e a a x x ----+＜21111(3e 1)e a a x x ----+，1212121()()(3e 1)()a x x x x x x -+---＜，于是，1123e 1a x x -+-＜．综上，2＜x1+x2＜13ea -1．……………………………………………………… 16分21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．（本小题满分10分）如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AH⊥PB于H．求证：PA·AH PC·HB．证：连AC，AB．因BC为圆O的直径，故AC⊥AB．又AH⊥PB，故AH2CH·HB ，即AH HBCH AH=．……………………………… 5分因PA为圆O的切线，故∠PAC∠B．在Rt△ABC中，∠B+∠ACB0°．在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB0°．所以，∠HAC∠B．所以，∠PAC∠CAH，所以，PC PACH AH=，即AH PACH PC=．所以，PA HBPC AH=，即PA·AH PC·HB．…………………………………………10分B．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵0112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为A'，B'，C'，求△A B C'''的面积．解：因0000⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M，2001⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M，21122⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M，即1(00)(01)(2)2A B C'''--，，，，，．……………………………………………………6分故1212S A B''=⨯⨯=．……………………………………………………………… 10分CBO（第21（A）题答图）HCBO（第21（A）题）HC ．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，（α为参数，r 为常数，r ＞0）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos()204ρθπ++=．若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且22AB =，求r 的值． 解：由2cos()204ρθπ++=，得cos sin 20ρθρθ-+=，即直线l 的方程为20x y -+=．…………………………………………………… 3分由cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，得曲线C 的普通方程为222x y r +=，圆心坐标为(0,0)，……… 6分所以，圆心到直线的距离2d =，由222AB r d =-，则2r =．………………10分D ．（本小题满分10分）已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＞b ＞c ＞d ，求证：14936a b b c c d a d ++----≥． 证：因a ＞b ＞c ＞d ，故a b ＞0，b c ＞0，c d ＞0．故2149[()()()](123)36a b b c c d a b b c c d ⎛⎫-+-+-++++= ⎪---⎝⎭≥，……………6分所以，14936a b b c c d a d ++----≥．………………………………………………… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，12AA AB =．（1）求1AD 与面11BB D D 所成角的正弦值；（2）点E 在侧棱1AA 上，若二面角EBD C1的余弦值为3，求1AEAA 的值．解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DD1分别为x 轴，y 轴，z 轴，A B CDA 1B 1C 1D 1（第22题）建立如图所示空间直角坐标系D xyz ． 设1AB =，则D （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），D1（0，0，2），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2）． 2分 （1）设1AD 与面11BB D D 所成角的大小为θ， 1(102)AD =-，，，设平面11BB D D 的法向量为n （x ，y ，z ），(1,1,0)DB =，1(0,0,2)DD =，则10,0DB DD ⋅=⋅=n n ，即0,0x y z +==．令1x =，则1y =-，所以(110) =-，，n ，11110sin |cos ,|||10||||AD AD AD θ⋅=<>==n n n ，所以1AD 与平面11BB D D 所成角的正弦值为1010．………………………… 6分（2）设E(1，0，λ)，0≤λ≤2．设平面EBD 的法向量为n1（x1，y1，z1），平面1BDC 的法向量为n2（x2，y2，z2）， (110)(10)DB DE λ==，，，，，，由1100DB DE ⋅=⋅=，n n ，得11110,0x y x z λ+=+=， 令11z =，则11,x y λλ=-=，1(,,1)λλ=-n ，1(0,1,2)DC =，由22100DB DC ⋅=⋅=，n n ，得2222020x y y z +=+=，，令z2=1，则x2=2，y2=2，2(2,2,1)=-n ，121221214cos ,||||321λλ⋅-<>==+n n n n n n ，所以2314||3321λλ-=+，得1λ=．所以112AE AA =．…………………………… 10分23．（本小题满分10分） 袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为Xn ． （1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)； （2）求随机变量Xn 的数学期望E(Xn)关于n 的表达式． 解：（1）由题意可知X23，4，5．A BCDA 1B 1C 1D 1xyz当X23时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P(X23)11331188C C C C ⨯964；当X24时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P(X24)1111355411118888C C C C C C C C +3564；当X25时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P(X25)11541188C C C C 516．…… 3分所以随机变量X2的概率分布如下表：X2 345P964 3564 516（一个概率得一分 不列表不扣分）数学期望E(X2)935526734564641664⨯+⨯+⨯=．……………………………… 5分（2）设P(Xn 3+k)pk ，k 0，1，2，3，4，5．则p0+p1+p2+p3+p4+p51，E(Xn)3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5．P(Xn+13)038p ，P(Xn+14)58p0+48p1，P(Xn+15)48p1+58p2，P(Xn+16)38p2+68p3，P(Xn+17)28p3+78p4，P(Xn+18)18p4+88p5，……………………… 7分 所以，E(Xn+1)3×38p0+4×(58p0+48p1)+5×(48p1+58p2)+6×(38p2+68p3)+7×(28p3+78p4)+8×(18p4+88p5) 298p0+368p1+438p2+508p3+578p4+648p5 78(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p5 78E(Xn)+1． …………………9分由此可知，E(Xn+1)878(E(Xn)8)． 又E(X1)8358-，所以E(Xn)13578()88n --．…………………………… 10分。

S ←0For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S第5题图）第6题图江苏省南通市2016-2017学年高二数学下学期第三次阶段检测试题（I 卷）参考公式：13V sh =棱锥（s ，h 分别为棱锥底面面积和高）．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 设全集{}1234U =，，，，集合{}13A =，，{}23B =，，则U B A ð＝ ▲ ． 2． 命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是 ▲ ． 3． 已知数列{}n a 是等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的 ▲ ． 4． 已知复数13i3iz +=-，i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅＝ ▲ ． 5． 运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ．6． 对某路段上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h -的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h 以下的汽车有 ▲ 辆．7． 若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲不在第一天且乙不在第二天，同时丙不在第三天的概率为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且它的一个焦点与抛物线28x y=的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲ ．9． 已知(42)xx=，a ，22(1)2x x -=，b ，x ∈R ．若⊥a b ，则-=|a b | ▲ ．10．设一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱体积为1V ，底面边长为锥的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ． 11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q ≠，若3232S S >，则公比q 的取值范围是 ▲ ． 12．函数()212log 1x f x x =-的最大值是 ▲ ．ABCDE FMO第16题13．过点(40)P -，的直线l 与圆22:4C x y +=相交于A B ，两点，若点A 恰好是线段PB 的 中点，则直线l 的斜率是 ▲ ．14．在ABC △中，已知3sin 2sin C B =，点M N ，分别是边AC AB ，的中点，则BM CN的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四边形ABEF 中，AF FB ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面ABEF ．（1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM //平面DAF ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c ， 已知3cos210cos()10C A B -+-=． （1）求cos C 的值；（2）若c ＝1，tan B ＝2，求a 的值．17．（本小题满分14分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米． （1）按下列要求写出函数关系式：①设CD =2x （米），将y 表示成x 的函数关系式； ②设∠BOC = （rad ），将y 表示成 的函数关系式． （2）选择一个函数关系式，求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中已知12F F ，分别为椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左右焦点，且 椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆E 的离心率． （1）求椭圆E 的方程；（2）点P 为椭圆E 上任意一点，求22+PA PO 的最小值；（3）过点A 的直线l 交椭圆E 于另一点B ，点M 在直线l 上，且OM MA =，若12MF BF ⊥，求直线l 的斜率．19．（本小题满分16分）设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）求证：1()0f a≤；（3）若函数()f x 的极大值为0，求实数a 的值．S ←0For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S第5题图）第6题图20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-恒成立． （1）若21,2n A n b ==，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a ++++++< 成立，求正实数1b 的取值范围；（3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由．数学试卷（Ⅰ）参考答案参考公式：13V sh =棱锥（s ，h 分别为棱锥底面面积和高）．二、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 设全集{}1234U =，，，，集合{}13A =，，{}23B =，，则U B A ð＝ ▲ ．{}22． 命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是 ▲ ．若6απ≠，则1sin 2α≠ 3． 已知数列{}n a 是等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的 ▲ ．必要不充分条件 4． 已知复数13i3iz +=-，i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅＝ ▲ ．1 5． 运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ．166． 对某路段上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h -的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h 以下的汽车有 ▲ 辆．757． 若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲不在第一天且乙不在第二天，同时丙不在第三天的概率为 ▲ ．138． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且它的一个焦点与抛物线28x y=的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲ ．222y x -=9． 已知(42)xx=，a ，22(1)2x x -=，b ，x ∈R ．若⊥a b ，则-=|a b | ▲ ．210．设一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱体积为1V，底面边长为锥的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ．2π 11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q ≠，若3232S S >，则公比q 的取值范围是 ▲ ． 1(1)(1)2--+∞ ，，12．函数()212log 1x f x x =-的最大值是 ▲ ．2-13．过点(40)P -，的直线l 与圆22:4C x y +=相交于A B ，两点，若点A 恰好是线段PB 的 中点，则直线l 的斜率是 ▲． 14．在ABC △中，已知3sin 2sin C B =，点M N ，分别是边AC AB ，的中点，则BM CN的取值范围是 ▲ ．()7148， 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四边形ABEF 中，AF FB ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面ABEF ．（1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM //平面DAF ．证明：(1)因为平面⊥ABCD 平面ABEF ，AB CB ⊥，平面ABCD 平面ABEF =AB ，所以CB ⊥平面ABEF ， （2分）又AF ⊂平面ABEF ，则AF CB ⊥， （4分）又AF BF ⊥，且BF B C B ⋂=，,BF BC ⊂平面CBF ，所以AF ⊥平面CBF ． （7分） (2)设DF 的中点为N ，则CD MN 21//， （9分） 又CD AO 21//，则AO MN //，所以四边形MNAO 为平行四边形，所以//OM AN ．（12分）又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ， 所以//OM 平面DAF ． （14分） 16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c ，已知3cos210cos()10C A B -+-=． （1）求cos C 的值；（2）若c ＝1，tan B ＝2，求a 的值．解（1）由01)cos(102cos 3=-+-B A C ，得02cos 5cos 32=-+C C ，（3分）即0)1cos 3)(2(cos =-+C C ，解得31cos =C 或2cos -=C (舍去) ． （6分） （2）由1cos 3C =，0C <<π，有sin C ==因为sin tan cos B B B =，所以2222sin 1cos 2cos cos B B B B-==，解得2cos B 13=．又tan 0B ，02B π<<，于是cos B =，sin tan cos B B B ==（10分）ABCDE FMOsin sin()A B C =+sin cos cos sin B C B C =+13==．（12分）由正弦定理得23sin sin ==C A c a ． （14分） 17．（本小题满分14分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米． （1）按下列要求写出函数关系式：①设CD =2x （米），将y 表示成x 的函数关系式； ②设∠BOC = （rad ），将y 表示成 的函数关系式． （2）选择一个函数关系式，求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．解 以直径AB 所在的直线为x 轴，线段AB 中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，过点C 作CE 垂直于x 轴于点E ．（1）①CD =2x ，OE =x （0＜x ＜1），C E所以1()2y AB CD CE =+⋅1(222x =+(11)x x =+<<．……………………………………………………………………………………………4分 ②(0)2BOC θθπ∠=<<，OE =cos ，CE =sin ，1()y AB CD CE =+⋅1(22cos )sin θθ=+(1cos )sin θθ=+(0)θπ<<．……………………………………………………………………………………………8分（2）（方法1）由①可知(1y x =+设43221t x x x =--++，所以3224622(1)(21)t x x x x '=--+=-+-，令t '=0，解得12x =，或1x =-（舍）．………………………………………………10分当10x <<时，t '＞0，则函数t 在1(0)，上单调递增， 当112x <<时，t '＜0，则函数在1(1)2，上单调递减， 当1x =时，t 有最大值2716，y max．答 梯形部份ABCD 面积y平方米．…………………………………14分（方法2）由②可知，y '=[（sin +sin co s ）]'=（sin ）'+（sin ·cos ）'=cos +cos 2 ﹣sin 2=2cos 2+cos ﹣1，令y'=0，2cos 2+cos ﹣1=0，解得1cos 2θ=，或cos 1θ=-（舍）． ………………10分当3θπ0<<时，y '＞0，则函数y 在(0)3π，上单调递增， 当32θππ<<时，y '＜0，则函数y 在()32ππ，上单调递减， 当3θπ=时，y max，答 梯形部份ABCD平方米．…………………………………14分18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中已知12F F ，分别为椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左右焦点，且 椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆E 的离心率． （1）求椭圆E 的方程；（2）点P 为椭圆E 上任意一点，求22+PA PO 的最小值；（3）过点A 的直线l 交椭圆E 于另一点B ，点M 在直线l 上，且OM MA =，若12MF BF ⊥，求直线l 的斜率．解 （1）因为椭圆E 经过点(20)A ，和(13)e ，，所以22222291144a c b b c a ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，，，解得2a =，b =1c =．所以椭圆E 的方程22143y x +=．…………………………………………………4分（2）设点P 的坐标为()x y ，，于是22+PA PO =()22222x y x y ++-+．P 在椭圆E 上，22143y x +=，所以22+PA PO =214102x x -+21(4)22x =-+．由于22x -≤≤，所以2x =时，22min+4PA PO ⎡⎤=⎣⎦，此时点(20)P ，． ………………………………………………………………………………………8分 （3）由（1）知，1(10)F -，，2(10)F ，． 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是(2)y k x =-．联立22143(2)y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去y 可得2222(43)1616120k x k x k +-+-=， 解得2x =，或228643k x k -=+，所以点B 坐标为2228612()4343k k k k --++，．…………10分 由OM MA =知，点M 在OA 的中垂线1x =上，又点M 在直线l 上，所以点M 的坐标为(1)k -，． 从而1(2)F M k =- ，，22224912()4343k k F B k k --=++ ，．………………………………12分 因为12MF BF ⊥，所以120F M F B ⋅=．12F M F B ⋅= 2222818124343k k k k -+++222018043k k -==+，2910k =，k =． 故直线l的斜率是16分19．（本小题满分15分）设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）求证：1()0f a≤；（3）若函数()f x 的极大值为0，求实数a 的值． 解（1）当2a =时，2()ln 22f x x x x =-+，则1'()42f x x x=-+，……………2分 所以'(1)1f =-，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=．…………4分（2）因为111()ln1f a a a=-+，设函数()ln 1g x x x =-+， 则11'()1xg x x x-=-=， …………………………………………………6分令'()0g x =，得1x =，列表如下：所以111()ln10f a a a=-+≤．………………………………………………8分 （3）2121'()2ax ax f x ax a x x--=-+=-，0x >，令'()0f x >x <<0<， 所以()f x在上单调增，在)+∞上单调减． 所以x =()f x 取极大值．…………………………………………12分于是0f =⎝⎭，而(1)0f =， 1=，解得1a =．…………………………………………14分 设0x =．若01x ≠，根据函数的单调性，总有0()(1)0f x f >=，即函数()f x 的极大值不为0，与已知矛盾．因此01x =，所以a 的值为1．…………………………………………………16分20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-恒成立． （1）若21,2n A n b ==，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a ++++++< 成立，求正实数1b 的取值范围；（3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由．解（1）因为2n A n = ，当2n ≥时， 1n n n a A A -=- ()221n n =-- 21n =- ，11a = 也适合上式，所以21n a n =-． …………………………………………2分 从而111()12n n n n b b a a ++-=-=，数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以21132(1)1222n B n n n n n =⋅+⋅⋅-⋅=+． …………………………………………4分 （2）依题意112()n n n n B B b b ++-=-，即112()n n n b b b ++=-，即12n nb b +=， 所以数列{}n b 是以1b 为首项，2为公比的等比数列，所以1112(21)12nn n n a B b b -==⨯=--， 所以11112(21)(21)nn n n n n b a a b +++=-⋅- …………………………………………5分 因为111111112111()(21)(21)2121n n n n n n n n b b a a b b b ++++⋅==--⋅---…………………………………8分 所以31241112233411111()2121n n n n b b b b a a a a a a a a b +++++++=--- ， 所以1111111()21213n b +-<--恒成立， 即1113(1)21n b +>--，所以13b ≥． …………………………………………10分 （3）由112()n n n n a a b b ++-=-得：112n n n a a ++-=，所以当2n ≥时，11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+132********n n n -+=+++++=- ，当1n =时，上式也成立，所以2242n n A n +=--，又122n n B +=-， 所以2124222221n n n n n A n n B ++--==---， …………………………………………12分 假设存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s t s tA A AB B B 成等差数列， 等价于11,,212121s t s t ---成等差数列，即121212121s t s t =+--- ………………13分 即 212121st s t =+--，因为1121t t +>-，所以2121s s >-，即221s s <+ …………14分 令(s)221(2,)s h s s s *=--≥∈N ，则(1)(s)220s h s h +-=->，所以(s)h 递增， 若3s ≥，则(s)h(3)10h ≥=>，不满足221s s <+，所以2s =，代入121212121s t s t =+---得2310t t --=(3)t ≥， 当3t =时，显然不符合要求； 当4t ≥时，令()231(3,)t t t t t ϕ*=--≥∈N ，则同理可证()t ϕ递增，所以()(4)30t ϕϕ≥=>， 所以不符合要求． 所以，不存在正整数,s t (1)s t <<，使11,,s t s tA A AB B B 成等差数列．…………………16分。

、、三市2016届高三第二次调研测试数学（I ） 参考公式：锥体的体积13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 设复数z 满足()12i 3z +⋅=(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为 ▲ ．2. 设集合{}1,0,1A =-，11,B a a a ⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭，{}0A B =I ，则实数a 的值为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．4. 为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h ）如下表：使用寿命[)500,700 [)700,900 [)900,1100 [)1100,1300 []1300,1500 只数 5 23 44 25 3根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h 的灯泡只数是 ▲ ．5. 电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是 ▲ ．6. 已知函数()()log a f x x b =+（0,1,R a a b >≠∈）的图像如图所示，则a b +的值是 ▲ ．7. 设函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0x π<<），当且仅当12x π=时，y 取得最大值，则正数ω的值为 ▲ ． 8. 在等比数列{}n a 中，21a =，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则6a 的值是 ▲ ．9. 在体积为32的四面体ABCD 中，AB ⊥平面ABCD ，1AB =，2BC =，3BD =，则CD 长f x ()=log a x+b ()y x-2-3O 开始k >9输出k 结束k 0k 2k +k 2Y N度的所有值为 ▲ ． 10. 在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线与圆221x y +=相切于点T ，与圆()()2233x a y -+-=相交于点,R S ，且PT RS =，则正数a 的值为 ▲ ．11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的[)0,x ∈+∞，满足()()2f x f x +=，若当[)0,2x ∈时，()21f x x x =--，则函数()1y f x =-在区间[]2,4-上的零点个数为 ▲ ． 12. 如图，在同一平面，点A 位于两平行直线,m n 的同侧，且A 到,m n 的距离分别为1，3．点,B C 分别在,m n ，5AB AC +=u u u r u u u r ，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的最大值是 ▲ ．13. 设实数,x y 满足2214x y -=，则232x xy -的最小值是 ▲ ． 14. 若存在,R αβ∈，使得3cos cos 25cos t t αββααβ⎧=+⎪⎨⎪≤≤-⎩，则实数t 的取值围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15. 在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=．（1）求C 的值；（2）若15A =o ，2AB =，求ABC ∆的周长．16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为棱11,,AB BC C D 的中点．求证：（1）//AP 平面1C MN ；（2）平面11B BDD ⊥平面1C MN ．AB NA B 1D17. 植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m 的围墙．现有两种方案： 方案① 多边形为直角三角形AEB （90AEB ∠=o ），如图1所示，其中30m AE EB +=； 方案② 多边形为等腰梯形AEFB （AB EF >），如图2所示，其中10m AE EF BF ===． 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．图2图1A A E F B B E 18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为22．A 为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足2OP AO =u u u r u u u r ．（1）若点P 的坐标为()2,2，求椭圆的方程； （2）设过点P 的一条直线交椭圆于,B C 两点，且BP mBC =u u u r u u u r ，直线,OA OB 的斜率之积为12-，数m 的值． 19. 设函数()()1f x x k x k =++-，()3g x x k =-+，其中k 是实数． （1）若0k =，解不等式()()132x f x x g x ⋅≥+⋅； （2）若0k ≥，求关于x 的方程()()f x x g x =⋅实根的个数．20. 设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和()2114n n S a =+，*N n ∈． （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）等比数列{}n b 的各项均为正数，21n n n b b S +≥，*N n ∈，且存在整数2k ≥，使得21k k k b b S +=． （i ）求数列{}n b 公比q 的最小值（用k 表示）；（ii ）当2n ≥时，*N n b ∈，求数列{}n b 的通项公式． y x CP OA B数学（II ）（附加题）21（B ）．在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90o 得到点B '，求点B '的坐标．21（C ）．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线51,251x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线 sin ,cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于,A B 两点，求线段AB 的长．22．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k 倍的奖励（*N k ∈），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X 元．（1）求概率()0P X =的值；（2）为使收益X 的数学期望不小于0元，求k 的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）23．设4124k k S a a a =+++L （*N k ∈），其中{}0,1i a ∈（1,2,,4i k =L ）．当4k S 除以4的余数是b （0,1,2,3b =）时，数列124,,,k a a a L 的个数记为()m b ．（1）当2k =时，求()1m 的值；（2）求()3m 关于k 的表达式，并化简．、、三市2016届高三第二次调研测试。

江苏省南通市高三第三次调研测试数学试题参考答案及评分建议必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 有一容量为10的样本：2，4，7，6，5，9，7，10，3，8，则数据落在[)5.5,7.5内的频率为 ▲ .2. 已知直线l ，m ，n ，平面α，m α⊂，n α⊂，则“l α⊥”是“,l m l n ⊥⊥且”的 ▲ 条件.（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一）3. 已知集合{}274(2)i A m m =-++，，（其中i 为虚数单位，m ∈R ），{83}B =，，且A B ≠∅，则m 的值为 ▲ .4. 在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程2220x ax b ++=有实数根的概率为 ▲ .5. 若函数2tan 0()log ()0x x f x x x ⎧=⎨-<⎩，≥，，，则()()3π24f f = ▲ .6. 在区间[](0)a a a ->，内不间断的偶函数()f x 满足(0)()0f f a ⋅<，且()f x 在区间[]0a ，上是单调函数，则函数()y f x =在区间()a a -，内零点的个数是 ▲ .7. 执行如图所示的程序框图后，输出的结果是 ▲ .8. 不等式21x x <-的解集是 ▲ .9. 如图，点A 、B 在函数()ππtan 42y x =-的图象上,则直线AB 的方程为 ▲ .10. 双曲线221169y x -=上的点P 到点(5, 0)的距离是6，则点P 的坐标是 ▲ .11. 已知数列{}n a 为等差数列，若561aa <-，则数列{}n a 的最小项是第 ▲ 项.12. 在菱形ABCD 中，若4AC =,则CA AB ⋅= ▲ .13. 已知点P 在直线210x y +-=上,点Q 在直线230x y ++=上，PQ 的中点为00(,)M x y ,且002y x >+,则y x 的取值范围是____▲____. 14. 数列{}n a 满足：11121(234)n n a a n a -==-=⋅⋅⋅，，，，，若数列{}n a 有一个形如sin()n a A n B ωϕ=++的通项公式，其中A B ωϕ、、、均为实数，且π002A ωϕ>><，，，则n a = ▲ .（只要写出一个通项公式即可）【填空题答案】1．0.3 2．充分不必要 3．－2 4．125．16．2 7．3 8．{}201x x x <-<<或BAy x1 O（第9题）（第7题）输出n0S ←开始6n ←S <15 NY1n n ←-S S n ←+结束ABCDEFG O9．20x y --= 10．(8，33±11．612．－8 13．()1125--， 14()2ππ13332n -+二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. （本题满分14分）已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin 3A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角．（1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 【解】（1）因为m //n ,所以3sin (sin 3)02A A A ⋅+-=. ………………2分所以31cos 232022A A -+-=，312cos 212A A -=， ……3分即 ()πsin 216A -=. …………………………………………4分因为(0,π)A ∈ , 所以()ππ11π2666A -∈-，. …………………………5分 故ππ262A -=，π3A =. …………………………………………7分（2）由余弦定理，得 224b c bc =+-. ………………………………………8分 又31sin 2ABC S bc A ∆==， …………………………………9分而222424b c bc bc bc bc +⇒+⇒≥≥≤，（当且仅当b c =时等号成立） ………11分所以331sin 432ABC S bc A ∆===. ………………………12分当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π3A =，故此时△ABC 为等边三角形. …14分16. （本题满分14分）如图，已知四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE =EB =BC =2,F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE . （1）求证：AE //平面BDF ； （2）求三棱锥D －ACE 的体积.【证明】（1）设AC BD G =，连结GF .因为BF ⊥面ACE ,CE ⊂面ACE ，所以BF CE ⊥.因为BE BC =,所以F 为EC 的中点. ……………………3分 在矩形ABCD 中，G 为AC 中点，所以//GF AE . …………………5分 因为AE ⊄面BFD ,GF ⊂面BFD ，所以//AE 面BFD . …………7分 （2）取AB 中点O ，连结OE .因为AE EB =,所以OE AB ⊥. 因为AD ⊥面ABE ,OE ⊂面ABE ,所以OE AD ⊥,所以OE ⊥面ADC . ………………………………………9分 因为BF ⊥面ACE ,AE ⊂面ACE ，所以BF AE ⊥. 因为CB ⊥面ABE ,AE ⊂面ABE ,所以AE BC ⊥. 又BFBC B =，所以AE ⊥平面BCE . ………………………………11分又BE ⊂面BCE ,所以AE EB ⊥.所以2222AB AE BE +=122OE AB ==…………12分故三棱锥E ADC -的体积为111422223323D AECE ADC ADC V V S OE --∆==⋅=⨯⨯⨯. ………………14分17 . （本题满分15分）田忌和齐王赛马是历史上有名的故事. 设齐王的3匹马分别为A 、B 、C ，田忌的3匹马分别为a ，b ，c ，6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A ，a ，B ，b ，C ，c . 两人约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜. （1）如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率；（2）颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A 马. 那么，田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？ 【解】记A 与a 比赛为（A ，a ），其它同理． （l ）（方法1）齐王与田忌赛马，有如下6种情况：（A ，a ）,（B ，b ）,（C ，c ）；（A ，a ）,（B ，c ）,（C ，b ）； （A ，b ）,（B ，c ）,（C ，a ）；（A ，b ）,（B ，a ）,（C ，c ）；（A ，c ）,（B ，a ）,（C ，b ）；（A ，c ），（B ，b ），（C ，a ）. ………………………………2分其中田忌获胜的只有一种：（A ，c ）,（B ，a ）,（C ，b ）. ……………………………4分故田忌获胜的概率为16P =. ……………………………………………………………7分（方法2）齐王与田忌赛马对局有6种可能： A B C a b c a c b b a c b c a c a bc b a ………………………………………………………………………………2分 其中田忌获胜的只有一种：（A ，c ）,（B ，a ）,（C ，b ）. ……………………………4分若齐王出马顺序还有ACB , BAC , BCA ，CAB ，CBA 等五种；每种田忌有一种可以获胜．故田忌获胜的概率为61666P ==⨯． ……………………………………………………………7分（2）已知齐王第一场必出上等马A ，若田忌第一场必出上等马a 或中等马b ，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败．为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c ．……9分 后两场有两种情形：①若齐王第二场派出中等马B ，可能的对阵为：（B ，a ）,（C ，b ）或（B ，b ）,（C ，a ）．田忌获胜的概率为12. ………………………………………………………………………11分②若齐王第二场派出下等马C ，可能的对阵为：（C ，a ）,（B ，b ）或（C ，b ）,（B ，田忌获胜的概率也为12．……………………………………………………………………13分所以，田忌按 c , a , b或 c , b , a的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大12．……14分答：（l）田忌获胜的概率16．（2）田忌按 c , a , b或 c , b , a的顺序出马，才能使获胜的概率达到最大为12．…………15分18.（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线()((313330k x k y k++-=恒过定点F. 设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为23+.（1）求椭圆C的方程；（2）设（m，n）是椭圆C上的任意一点，圆O：222(0)x y r r+=>与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l1：mx+ny=1和l2：mx+ny=4的位置关系.【解】（1）)((313330k x k y k++-+=)(33330x y k x y⇔+-+=, …1分解330,330,x yx+-=-=⎪⎩得()30F，. ……………………………………………………………3分设椭圆C的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则由题设，知32 3.ca c⎧=⎪⎨+=⎪⎩，于是a=2，b2=1. ……………………………………………所以椭圆C的方程为22 1.4x y += ………………………………………………………………6分 （2）因为圆O ：222(0)x y r r +=>与椭圆C 有4个相异公共点，所以b r a <<，即1 2.r << …………………………………………………………8分因为点（m ，n ）是椭圆2214x y +=上的点，所以221224m n m +=，且-≤≤.22231[12]4m n m ++=，. …………………………………………………………10分于是圆心O到直线l 1的距离12211d r m n=<+，……………………………………………12分 圆心O 到直线l 2的距离22242d r m n=>+. …………………………………………14分故直线l 1与圆O 相交，直线l 2与圆O 相离. ………………………………15分19. （本题满分16分）设数列{a n }是由正数组成的等比数列，公比为q ，S n 是其前n 项和． （121n n n S S S ++⋅<；（2）设31442,1555n n n n b a a a ++=++记数列{}n b 的前n 项和为T n ，试比较q 2S n 和T n 的大小.【证明】（1）由题设知a 1>0，q >0． ………………………………………………1分(i)当q =1时，S n =na 1，于是 S n ·S n +2－21n S +=na 1·(n +2)a 1－(n +1)221a =－21a <0， ………3分(ii)当q ≠1时，()111n n a q S q-=-，于是S n ·S n +2－21+n S ()()()()()22221112211111n n n a q q a q q q ++---=---=210n a q -<． ……………7分由(i)和(ii)，得S n ·S n +2－21n S +<0．所以S n ·S n +2<21n S +21n n n S S S ++⋅． …………8分 (2) 方法一：331442442,15551555n n n n n n n b a a a a q a q a ++=++=++ …………………………11分T n =3113442442()15551555k k k nnk n n k k n b q a q a q a q S S S ==+==+++∑∑，T n －q 2S n =32(415126)15nS q q q -++， …………………………………………13分 ＝22(4(2)(2)2)15nS q q q -+-+≥2>0， …………………………………15分 所以T n >q 2S ． ……………………………………………………………………………16分方法二：T n =3113442442()15551555k k k nnk n n k k n b q a q a q a q S S S ==+==+++∑∑， ……………11分由24421555nn T q q S q =++， …………………………………………………13分 因为0q >，所以444482315515515q q ⋅+≥（当且仅当44155q q =，即3q =时取“=”号），6838231155+>，所以21nnT q S >，即T n >q 2S . ………………………………………………16分 20．（本题满分16分）已知函数2*()2cos πln (f x x a k x k =-⋅∈N ，a ∈R ，且0a >）． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若2010k =，关于x 的方程()2f x ax =有唯一解，求a 的值.【解】 （1）由已知得x ＞0且2()2(1)k a f x x x'=--⋅．当k 是奇数时，()0f x '>，则f (x )在(0,+∞)上是增函数; …………………3分 当k 是偶数时，则2()()2()2x a x a a f x x x+-'=-=………………………5分所以当x ∈(a 时，()0f x '<，当x ∈(),a +∞时，()0f x '>.故当k 是偶数时，f (x )在(a 上是减函数，在(),a +∞上是增函数．………………7分 （2）若2010k =，则2*()2ln ()f x x a x k =-∈N .记g (x ) = f (x ) – 2ax = x 2 – 2 a x ln x – 2ax , 222()22()a g x x a x ax a x x '=--=--,若方程f (x )=2ax 有唯一解，即g (x )=0有唯一解； …………………………………9分 令()0g x '=,得20x ax a --=.因为0,0a x >>，所以2140 a a a x -+=<（舍去），224 a a a x ++. …………………11分 当2(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(0,)x 是单调递减函数； 当2(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在2(,)x +∞上是单调递增函数． 当x =x 2时, 2()0g x '=，min 2()()g x g x =. ……………………………12分 因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =.则22()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩，， 即22222222ln 200x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，，……………………………13分两式相减得22ln 0 a x ax a +-=，因为a >0，所以222ln 10 (*)x x +-=. …………14分 设函数()2ln 1h x x x =+-，因为在x >0时，h (x )是增函数，所以h (x ) = 0至多有一解．因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得12a =．……………………16分OE BFC附加题部分21. （选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ， 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.【证明】连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°． 所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ． 因为CO ⊥AB于O，所以∠OCF +∠CEO =90°． ………………………………………………5分 所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ． 因为DF是⊙O的切线,所以DF 2=DB ·DA．所以DE 2=DB ·DA ． ………………………………10分B. 选修4－2：矩阵与变换求矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量. 【解】特征多项式2221()(2)14312f λλλλλλ--==--=-+--， ………………………3分 由()0f λ=，解得121,3λλ==. ………………………………………………………………6分将11λ=代入特征方程组，得0,00x y x y x y --=⎧⇒+=⎨--=⎩. 可取11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为属于特征值λ1=1的一个特征向量． ……………………………………………8分将23λ=代入特征方程组, 得0,00x y x y x y -=⎧⇒-=⎨-+=⎩.可取11⎡⎤⎢⎥⎣⎦为属于特征值23λ=的一个特征向量．综上所述,矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个特征值1213λλ==，；属于11λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 属于23λ= 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …………………………………………………………10分C. 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．ACA 1B 1C 1（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值.【解】（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ=. ………………………………2分又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===, 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=. ……………………………………4分（2）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程,得4(2)3y x =--. ……………………………6分令0y =,得2x =,即M 点的坐标为(2,0).又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径1r =，则5MC =……………8分所以51MN MC r +=≤． …………………………………………10分D ．选修4－5：不等式选讲设123a a a ，，均为正数，且123a a a m ++=，求证1231119.a a a m++≥【证明】因为123111()m a a a ++123123111()()a a a a a a =++++33123123111339a a a a a a ⋅⋅⋅⋅≥，当且仅当1233m a a a ===时等号成立． ……………………………8分又因为1230m a a a =++>，所以1231119.a a a m ++≥ ………………………………………………10分22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且12AB AC A B ===．（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（2）在棱11B C 上确定一点P ，使14AP =，并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值．【解】（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则 ()()()()11200020022042C B A B ，，，，，，，，，，，， ()1022AA =，，，()11220BC B C ==-，，．1111cos 288AA BC AA BC AA BC⋅-〈〉===-⋅⋅，，故1AA 与棱BC 所成的角是π3． ………………………4分（2）设()111220B P B C λλλ==-，，，则()2422P λλ-，，． 于是()2214424142AP λλλ+-+==（32λ=舍去），则P 为棱11B C 的中点，其坐标为()132P ，，． …………6分 设平面1P AB A --的法向量为n 1(),,x y z =，则110320220.0.0AP x y z x z y y AB ⎧⋅=++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⋅=⎩⎩⎪⎩，，，n n 故n 1()201=-，，． ………………………………………………………………………………8分而平面1ABA 的法向量是n 2=(1,0,0)，则12121225cos ,5⋅〈〉===⋅n n n n n n故二面角1P AB A --25． ………………………………………10分23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数22()ln (1)1x f x x x=+-+，2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--． （1）证明：当(0)x ∈+∞，时，()0g x <； （2）求函数()f x 的的极值．BACB 1C 1xyP【解】（1）2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--，则()2ln(1)2g x x x '=+-.令()2ln(1)2h x x x =+-，则22()211x h x x x -'=-=++. (1)分当10x -<<时，()0h x '>， ()h x 在(1,0)-上为增函数.当x ＞0时，()0h x '<，()h x 在(0)+∞，上为减函数. ………………………………3分所以h (x )在x =0处取得极大值，而h (0)=0，所以()0(0)g x x '<≠，函数g (x )在(0)+∞，上为减函数. …………………………………………………………4分当x ＞0时，()(0)0g x g <=． ……………………………………………………5分 （2）函数()f x 的定义域是(1)-+∞，，22222ln(1)2(1)ln(1)22()1(1)(1)x x x x xx x f x x x x +++--+'=-=+++， …………………………………6分由（1）知，当10x -<<时，2()2(1)ln(1)2(0)0g x x x x x g =++-->=， 当x ＞0时，()(0)0g x g <=，所以，当10x -<<时，()0f x '>()f x 在（－1，0）上为增函数.当x ＞0时，()0f x '<,()f x 在(0)+∞，上为减函数. …………………………8分 故函数()f x 的单调递增区间为（－1，0），单调递减区间为(0)+∞，.故x =0时()f x 有极大值0． ……………………………………………………………10分南通市2010届高三第三次模拟测试讲评建议1．考查统计中总体分布的估计，容易题．考前要提醒学生注意回顾相关知识，不能造成考试中知识的盲点．2．考查充要条件及立几中直线与平面垂直的判定及性质，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，容易题．讲评时可提醒学生解此类立几问题时要有构建模型举反例的意识． 3．考查复数的概念及集合的运算，容易题．A B ≠∅，则A 中的复数必须为实数，所以m=-2；实部恰为8．提醒学生在解决复数问题时，主要手段为对实、虚部的实数化计算．4．考查几何概型，容易题．讲解时可将几何概型的常见问题作简单小结，要注意维度的分析，主要是一维测度和二维测度．5．考查分段函数及对数、三角函数，容易题．()3π14f =-，则()3π2(2)14f f f ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦．此题还可以加大难度，将题目中的()f x 改成 2tan 0(2)log ()0x x f x x x ⎧+=⎨-<⎩，≥，，，则()π2(2)24f f +-=6．考查函数的性质及零点的概念，考查学生数形结合的数学思想，容易题．(0)()0f f a ⋅<且()y f x =在[]0a ，上是单调函数，则方程()0f x =在（0,a ）内有一实根7．考查算法中阅读流程图的能力，容易题．算法的考查形式不太多，要么阅读程序填结果、要么是分析结果补全程序，此类题目的讲解着重在对处理问题的逻辑顺序上给学生以启发．8．考查不等式的解法，中档题．可分类讨论0,0x x ><转化为解不等式组，也可移项通分转化为解高次不等式．9．考查三角函数的图像与性质及直线方程，考查学生的图形分析能力，中档题．先求出点(2,0),(3,1)A B ，再求得直线方程为20x y --=．10．考查双曲线的几何性质，中档题．法一：首先判断出点(5, 0)为右焦点，因为98a c +=>，所以点P 在双曲线右支上，再由双曲线定义得651645P x =-，解得8P x =．法二：设(,)P x y ，则22221,169(5)36,y x x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩解得88,(5x x ==-或舍去），所以P(8，33±)．现在考纲中对双曲线、抛物线的要求比较低，对圆锥曲线的定义及基本量的运算要重视，可适当补充关于椭圆、双曲线、抛物线的相关问题11．考查等差数列的相关内容，中档题．法一：分类讨论，0d >时，56560a a a a ->>⇒>；0d <时，56560a a a a >->⇒>；法二：55566611a aa a a a <-⇒>⇒⇒>． 12．考查向量的数量积，中档题．讲评解决数量积问题的三种常用方法：法一：定义法，222cos 28CA AB AO AB AO AB OAC AO ⋅=-⋅=-⋅⋅∠=-=-;法二：建系设点进行坐标计 算；法三：向量转化，222()0228CA AB AO AB AO OB OA AO OA AO ⋅=-⋅=-⋅-=+⋅=-=-;另外还可利用由一般到特殊的思想方法，把菱形特殊化为正方形，解法更为简洁．13．考查直线方程、线性规划等相关知识，考查运动与变化，对学生数形结合能力、函数方程、转化和化归的意识考查要求较高，较难题．点00(,)M x y 在直线210x y ++=上，利用线性规划知识画出可行域为()00052103x y x ++=<-，可行域区域内的点与原点连线的斜率范围是()1125--，，此题中正确画出可行域是前提，明白00yx 的几何意义是关键．14．考查数列、合情推理、三角函数的性质等相关内容，难题．采用特殊值法求出234,,a a a 分别为1,1,22-，由不完全归纳法得出n a 周期为3，再利用三角函数的图像与性质构造出()2ππ13332n a n =-+．答案不唯一，当2π2π()3k k N ω=+∈时，均可构造出相应的三角函数式；当ω值取定后A 、B 、ϕ的值唯一确定1π3,,23A B ϕ===-．15．本题是向量与三角结合的题型．以向量为背景，考查了两角和与差的正余弦公式、余弦定理、向量的运算、面积公式、基本不等式等知识点，考查学生的公式、定理的选用能力（运算方向、运算途径的确定）．第（1）小题要注意角的范围的判断；第（2）小题要注意等号成立的条件．近三年江苏高考解答题均没有在三角形背景下考查三角向量，对三角、向量、解三角形等知识联系起来命题的形式值得关注．16．本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明、锥体的体积公式等相关知识，考查空间想象能力．讲评时应强调立体几何中有关平行与垂直定理的符号语言表达，要求规范． 第（2）小题求四面体体积时要注意等积转化，培养学生的转化意识．17．本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．古典概率是必修3概率部分的中心内容，以列举法为主．本题结合列举法，留给学生能力发挥的空间，可以列举36种基本事件，如果看问题深刻一些，只要列举6种基本事件，理科学生还可以用排列知识求解．也可以与几何概型链接：变题：田忌和齐王约定中午十二点到一点间到赛马场商定赛马事宜，求田忌在齐王前到但等候不超过一刻钟的概率．18．本题主要考查直线、圆、椭圆以及不等式等知识点，考查学生数形结合、函数与方程等思想的应用，以及学生分析问题与解决问题的能力．讲评时要强化解析几何的本质方法――解析法，从几何性质上分析，用代数的方法求解．第（1）小题求定点F 坐标时强调分离参数的意识；第（2）小题判断r 范围时也可联立方程组用代数法计算，在研究二元函数22(,)f m n m n +范围时，法一：消元，转化为一元函数求值域，此时要注意定义域的影响；法二：数形结合，转化为研究椭圆2214m n +=上动点到原点距离的范围．另外，19．本题主要考查数列的概念、等比数列、数列前n 项和的求法、不等式等知识，考查学生的分析问题与解决问题的能力及运算能力．讲评时第（1）小题要注意对公比q 的分类讨论；第（2）小题通过对通项分解，并利用数列前n 项的定义避免了利用等比数列求和时的分类讨论问题，问题化归为对关于q 的多项式的正负判断．此题还可以这样解：令f (q )=4q 3－15q 2＋12q ＋6，则2()123012f q q q '=-+，由2()123012f q q q '=-+=0，得q =12，q =2，所以f (q )在区间［0，+∞)上的最小值f min (q )=min{f (0)，f (2)}=2>0，即对q >0，T n －q 2S n =32(415126)15nS q q q -++≥2>0，所以T n >q 2S ． 20．本题主要考查函数、导数、对数函数、三角函数等知识，考查函数与方程、数形结合、转化和化归、分类讨论等数学思想方法．第（1）小题评讲时主要讲清分类的标准和目的；第（2）小题，着重在正确审题，怎样将复杂的问题转化成简单的问题．方程24(02a a a g ++=（*）无法直接求解，利用22()0,()0,g x g x =⎧⎨'=⎩得22222222ln 20,0.x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩ 方程（*）其实是由此方程组消去2x 得到的，陷入绝境．我们转而消去参数a 可得222ln 10x x +-=，再利用函数与方程的有关知识解得x 2 = 1，即2 12ln1210a a --⨯=，解得21=a ． 本次附加题考查内容尽量回避一模、二模所考内容，其中必做题考查了空间向量与复合函数的导数，没有考查抛物线、数学归纳法、计数原理、随机变量的概率分布，这些知识点希望在后期的复习中不可忽视．南通市2010届高三第三次模拟测试数学命题组2010-4-24。

南通市2016届高三教学情况调研（三）英语2016．3本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分120分,考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共85分)第一部分：听力(共两节，满分20分)第一节(共5小题;每小题1分，满分5分）听下面5段对话.每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置.听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题.每段对话仅读一遍。

( ）1。

Why is the man so hungry?A。

He has been on a diet recently。

B. He hasn't eaten anything today。

C。

He has only had a burger today.( )2。

What is the relationship between the speakers?A。

Strangers. B。

Business partners. C。

Clerk and client。

（)3. What are the speakers doing?A。

Listening to the radio。

B。

Watching TV. C. Watching a new movie。

( )4. Why won't the man go to college after graduation？A. His grades aren’t good enough. B。

He never wants to go to college.C. His father asked him to work first。

( )5。

How much money will the man give the woman？A. Five dollars.B. Seven dollars. C。