2019秋高三数学上学期期末试题汇编：26.直线与圆2

2019届高三上期末数学分类汇编（26）直线与圆（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）15.在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】【解析】因为在圆上，所以圆心与切点的连线与切线垂直，又知与直线与直线垂直，所以圆心与切点的连线与直线斜率相等，，所以，故填：．（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（文科）试题）14.若直线与两坐标轴分别交于，两点，为坐标原点，则的内切圆的标准方程为__________．【答案】【解析】【分析】结合三角形面积计算公式，建立等式，计算半径r，得到圆方程，即可。

【详解】设内切圆的半径为r，结合面积公式则因而圆心坐标为，圆的方程为【点睛】本道题考查了圆方程计算方法，难度较小。

（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）13.过圆：的圆心，且斜率为1的直线方程为__________．【答案】【解析】【分析】本道题先计算圆心坐标，结合点斜式，写出方程，即可。

【详解】结合满足圆心坐标为则该圆方程圆心坐标为，而该直线斜率为1，所以方程为，得到【点睛】本道题考查了点斜式直线方程计算方法，较容易。

（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）20.已知动圆C与圆外切,并与直线相切(1)求动圆圆心C的轨迹(2)若从点P(m,-4)作曲线的两条切线,切点分别为A、B,求证:直线AB恒过定点。

【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由两圆外切，圆心距等于半径和，圆与直线相切，圆心到直线的距离等于半径。

先列出几何关系，建立几何等式，或转化为定义，或代数化。

（2）由（1）知曲线为抛物线，应用导数求过，的切线方程，两式结构一样，且都过P(m,-4)点，可知为方程的两个根，再结合直线的方程为.与抛物线方程组方程组中的韦达定理，得，.所以的方程为.过定点。

【详解】（1）由题意知，圆的圆心，半径为.设动圆圆心，半径为.因为圆与直线相切，所以，即.因为圆与圆外切,所以，即.联立①②，消去，可得.所以点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线.（2）由已知直线的斜率一定存在.不妨设直线的方程为.联立，整理得，其中设，则，. ①由抛物线的方程可得:,.过的抛物线的切线方程为,又代入整得:.切线过，代入整理得:,同理可得.为方程的两个根，，. ②由①②可得，，所以，.的方程为.所以直线恒过定点.【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）8.已知⊙O：与⊙O1：相交于A、B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且｜AB｜=4，则⊙O1的方程为（）A. ＝20B. ＝50C. ＝20D. ＝50【答案】C【解析】【分析】根据两圆相交，在A处的切线互相垂直，即可得到结论．【详解】依题意，得O（0,0），R＝，O1（，0），半径为r两圆在A点处的切线互相垂直，则由切线的性质定理知：两切线必过两圆的圆心，如下图，OC＝，OA⊥O1A，OO1⊥AB，所以由直角三角形射影定理得：OA2＝OC×OO1，即　5＝1×OO1，所以OO1＝5，r＝AO1＝＝2，即＝5，得＝5，所以，圆O1的方程为：＝20，故选：C．【点睛】本题主要考查两圆位置关系的应用，根据切线垂直关系建立方程关系是解决本题的关键．（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试文科数学试题）11.已知两点，以及圆：，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知：以AB为直径的圆与圆有公共点，从而得出两圆圆心距与半径的关系，列出不等式得出的范围．【详解】，点在以，两点为直径的圆上，该圆方程为：，又点在圆上，两圆有公共点。

高二级理科数学《直线与圆》期末复习题一、选择题1.集合(){}R y x x y y x M ∈-==,,1,2，(){}R y x y x N ∈==,1,，则N M I 等于（ ）A.(){}0,1B.{}10≤≤y y C.{}0,1 D.φ 2.对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是( )A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心 3、方程2220x y ax by c ++-+=表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（ ）A ． 2、4、4；B ．-2、4、4；C ．2、-4、4；D ．2、-4、-4 4.平行于直线10x y +-=，并且与圆224x y +=相切的直线方程是（ ）A ．20x y ++= B. 220220x y x y ++=+-=或 C ．4040x y x y ++=+-=或 D ． 20x y --= 5. 过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的圆的切线方程为（ ）A.032=-+y xB. 012=--y xC. 012=--y xD. 012=+-y x 6.若直线10x y -+=与圆2)(22=+-y a x 有公共点，则实数a 取值范围是（ ） A.[3,1]-- B. [1,3]- C. [3,1]- D. (3][1,)-∞-+∞U 7.若点)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ） A.03=--y x B.032=-+y x C.01=-+y x D.052=--y x 8.设直线过点（0，a ），其斜率为1，且与圆x 2＋y 2=2相切，则a 的值为（ ） A ．±2 B ．±2 C ．±22 D ．±49.已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）A ．πB ．4πC ．8πD ．9π10．若点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-01202022y y x y x 上,点Q 在曲线PQ y x 上，则1)2(22=++的最小值为（ ）A.23B.154- C. 122- D. 12- 二、填空题：11．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则→→•OB OA ＝ ___ .12.过点（1，2）的直线l 将圆（x －2)2＋y 2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k= ．13.过定点()2,1P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正向于A 、B 两点，若使△AB O （O 为坐标原点）的面积最小，则l 的 方程是 _______ ．14.若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是:①15o ②30o ③45o ④60o⑤75o其中正确答案的序号是 _____ .（写出所有正确答案的序号）三、解答题：15．已知两圆5)2()2(:,1:222221=-+-=+y x C y x C ，求经过点)1,0(P 且被两圆截得的弦长相等的直线方程.16．已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； （3）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长.17．已知圆C 的圆心在直线01:1=--y x l 上，与直线2:43140l x y ++=相切，且截直线01043:3=++y x l所得的弦长为6，求圆的方程.18．已知圆C ：2230x y Dx Ey ++++=关于直线10x y +-=，（1）求圆C 的方程；（2）已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且l 在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程.19．若圆C 经过坐标原点和点(6,0)，且与直线1y =相切， 从圆C 外一点(,)P a b 向该圆引切线PT ，T 为切点， （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(2,2)Q -，且PT PQ =， 试判断点P 是否总在某一定直线l 上，若是，求出l 的方程；若不是，请说明理由.20.已知方程04222=+--+m y x y x . （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值； （3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.高二级理科数学《直线与圆》期末复习题答案一、选择题1-5 ACBBD 6-10 CABBA 二、填空题：11. 12-12. 2 13. 240x y +-= 14. ①⑤三、解答题：15.解：依题意得，显然点)1,0(P 是两圆的交点，所以两圆的公共弦所在的直线方程即为所求的直线方程∵221:10C x y +-= 222:4430C x y x y +--+=两式相减得 4440x y +-= 所以所求的直线方程为10x y +-=16.解：（1）已知圆C ：()2219x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y=2(x-1),即 2x-y-2=0.（2）当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC, 直线l 的方程为12(2)2y x -=--, 即 x+2y-6=0 （3）当直线l 的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l 的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0圆心C 到直线l，圆的半径为3，弦AB17．解：设圆的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>． ∵圆心在直线10x y --=上，∴10a b --=， ①又∵圆C 与直线2l 相切，∴② ∵圆C 截直线3l 所得弦长为6，∴解①②③组成的方程组得215a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴所求圆C 的方程为22(2)(1)25x y -+-=．18.解：（1）由2230x y Dx Ey ++++=知圆C 的坐标为(,)22D E--∵圆C 关于直线10x y +-=对称 ∴点(,)22D E--在直线10x y +-=上即2D E +=-……①且222434D E +-⨯=……② 联立①②解得 2442D DE E ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或 ∵圆心C ：(,)22D E--在第二象限 ∴ 0,0D E >< ∴2,4D E ==- ∴ 所求的圆的方程为222430x y x y ++-+=（2）∵直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等且不为0，可设:l x y a += 由（1）得圆C ：22(1)(2)2x y ++-= ∴ 圆心C 到直线l的距离||= ∴13a a =-=或 ∴所求的直线l 的方程为10x y ++=或30x y +-= 19.解:（1）设圆心(,)C m n 由题易得3m = 1分半径1r n =-= 得4n =-，5r = 所以圆C 的方程为22(3)(4)25x y -++= （2）由题可得PT CT ⊥，所以PT =PQ =整理得240a b -+= 所以点P 总在直线240x y -+=上20．解:（1）()()m y x -=-+-52122，5<∴m（2）设()11,y x M ，()22,y x N ， 则1124y x -=， 2224y x -=， 得()2121214816y y y y x x ++-=，ON OM ⊥Θ，∴21x x +y y 10= ∴()058162121=++-y y y y ，由⎩⎨⎧=+--+-=0422422m y x y x y x ，得081652=++-m y y ∴51621=+y y ，5821m y y +=。

高中数学必修2——直线与圆复习知识点一、直线与方程 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即tan k α=。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当[)90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

江苏省18市县2019届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编直线与圆一、填空题1、（常州市2019届高三上学期期末）过原点的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点，点A 是该圆与x 轴负半轴的交点，以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，且直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，那么直线l 的方程为________.2、（海安市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－3，0)，B (－1，－2)，若圆(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)上有且仅有一对点M ，N ，使得△MAB 的面积是△NAB 的面积的2倍，则r 的值为 ．3、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）设A ＝{(x ，y )|3x ＋4y ≥7}，点P ∈A ，过点P 引圆(x＋1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)的两条切线P A ，PB ，若∠APB 的最大值为π3，则r 的值为 ▲ ． 4、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系xoy 中，5、（如皋市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：222430x y x y +---=与x 轴交于A ，B 两点，若动直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且△CMN 的面积为4，若P 为MN 的中点，则△PAB 的面积最大值为 ▲ ．6、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：222(46)40()x y mx m y m ++-+-=∈R 与以2(2,3)C -为圆心的圆相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，且满足22221221x x y y -=-，则实数m 的值为 ．7、（苏州市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线210x y --=上的圆的标准方程为 ．8、（泰州市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系xoy 中，过圆C 1：22()(4)x k y k -++-＝1上任一点P 作圆C 2：22x y +＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k ＝9、（无锡市2019届高三上学期期末）已知点 P 在圆 M ：(x-a )2 +(y －a +2)2 ＝1 上， A ，B 为圆 C ： x 2 +(y-4)2 ＝4 上两动点，且 AB ＝23, 则 PA PB 的最小值是 ．10、（徐州市2019届高三上学期期中）过点(2,0)P 的直线l 与圆222:()C x y b b +-=交于两点,A B ，若A 是PB 的中点，则实数b 的取值范围是 ▲ ．11、（扬州市2019届高三上学期期末）若直线l 1：240x y -+=与l 2：430mx y -+=平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为 ．12、（扬州市2019届高三上学期期末）已知直线l ：4y x =-+与圆C ：22(2)(1)1x y -+-=相交于P ，Q 两点，则CP CQ ⋅＝ ．13、（扬州市2019届高三上学期期中）已知x ，y ∈R ，直线(1)10a x y -+-=与直线20x ay ++=垂直，则实数a 的值为 ．14、（镇江市2019届高三上学期期末）已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －2)2＝2.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA ⊥PB ，则实数a 的取值范围为________．参考答案一、填空题1、3y x =±2、5263、14、5、66、－67、8、2 9、19－12210、2b 2≤－或2b 2≥ 11、52 12、0 13、12 14、[－2，2]二、解答题1、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3100x y --=与圆O ：222(0)x y r r +=>相切．（1）直线l 过点(2，1)且截圆O 所得的弦长为26，求直线l 的方程；（2）已知直线y ＝3与圆O 交于A ，B 两点，P 是圆上异于A ，B 的任意一点，且直线AP ，BP 与y 轴相交于M ，N 点．判断点M 、N 的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．参考答案二、解答题1、解：∵直线3100x y --=与圆222:(0)O x y r r +=>相切∴圆心O 到直线3100x y --=的距离为|10|1019r ==+． …2分（1）记圆心到直线l 的距离为d ，所以1062d =-=．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为2x =，满足题意； …3分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即(12)0kx y k -+-= 所以2|12|21k d k -==+，解得34k =-，此时直线l 的方程为34100x y +-= …6分 综上，直线l 的方程为2x =或34100x y +-=． …7分（2）设00(,)P x y ．∵直线3y =与圆O 交于A 、B 两点，不妨取(1,3),(1,3)A B -，∴直线PA 、PB 的方程分别为0033(1)1y y x x --=--，0033(1)1y y x x --=++ 令0x =，得00000033(0,),(0,)11x y x y M N x x -+-+，则220000002000339111M N x y x y x y y y x x x -+-⋅=⋅=-+-（*）…13分 因为点00(,)P x y 在圆C 上，所以220010x y +=，即220010y x =-，代入（*）式得M N y y ⋅=2200209(10)101x x x --=-为定值． …15分。

（四川省绵阳市2019届高三上学期期末数学（文科）试题）11.已知直线和圆，若是在区间上任意取一个数，那么直线与圆相交且弦长小于的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先据题意求出满足条件的r的范围，利用区间长度之比求出满足条件的概率即可.【详解】由点到直线的距离公式可得因为直线与圆相交，所以相交弦的长度为由题知解得所以弦长小于的概率故选：D.【点睛】本题目考查了直线与圆相交问题和几何概型的综合知识，注意直线与圆相交r的取值，属于中档题.（四川省绵阳市2019届高三上学期期末数学（文科）试题）15.若是直线上的点，直线与圆相交于、两点，若为等边三角形，则过点作圆的切线，切点为，则__________．【答案】【解析】【分析】由为等边三角形，以及圆的圆心坐标和半径，即可求出，再将点坐标代入直线的方程，即可求出，再由两点间距离公式求出的长，根据，即可求出结果.【详解】因为为等边三角形，圆的圆心为，半径为，所以根据点到直线的距离可得：，即，因为，所以，所以直线的方程为，又在直线上，所以，所以，即，所以.故答案为.【点睛】本题主要考查直线与圆的综合问题，结合点到直线的距离公式，以及两点间距离公式，即可求解，属于常考题型.（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学（理）试题）9.若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】圆都在轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到，令其小于0，可得答案.【详解】圆与直线联立，整理得图像有两个交点方程有两个不同的实数根，即得.圆都在轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.，解得，故选D项.【点睛】本题考查直线与圆的交点，数形结合的数学思想来解决问题，属于中档题.（福建省2019届高三毕业班备考关键问题指导适应性练习（四）数学(文)试题）3.在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切，则圆的方程为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由直线与圆O相切，可得圆心O到直线的距离等于圆的半径，再由点到直线的距离公式求得O到直线的距离，即圆的半径，然后由圆的标准方程可得答案.【详解】依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，即，得圆的方程为，故选D.【点睛】该题主要考查圆的方程的确定，掌握圆的标准方程和点到直线的距离公式是解题的关键.（广东省潮州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题）15.曲线在点处的切线与圆相切，则______．【答案】【解析】【分析】求切线的斜率和切点，由点斜式方程得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．【详解】的导数为，可得切线的斜率为，切点为，即有在处的切线方程为，即为，由切线与圆相切，可得，可得．故答案为：．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：，考查方程思想和运算能力，属于基础题．（广东省江门市2019届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（文科）试卷）13.在直角坐标系Oxy中，直线与坐标轴相交于A、B两点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程是______．【答案】【解析】【分析】先求出A、B的坐标，根据圆心为直角三角形AOB的斜边AB的中点C，半径为AB的一半，写出圆的标准方程．【详解】在直角坐标系Oxy中，直线与坐标轴相交于A、B两点，、，则经过O、A、B三点的圆的圆心为直角三角形AOB的斜边AB的中点，半径为AB的一半，即，则经过O、A、B三点的圆的标准方程是，故答案为：．【点睛】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．（吉林省吉林市普通中学2019届高中毕业班第三次调研测试数学（文科）试题）8.已知是圆内过点的最短弦，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可．【详解】圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝10，则圆心坐标为C（3，﹣1），半径为，过E的最短弦满足E恰好为C在弦上垂足，则CE，则|AB|，故选：D．【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．（吉林省吉林市普通中学2019届高三第三次调研测试理科数学试题）7.已知是圆内过点的最短弦，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可．【详解】圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝10，则圆心坐标为C（3，﹣1），半径为，过E的最短弦满足E恰好为C在弦上垂足，则CE，则|AB|，故选：D．【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试数学试题）13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆上，且，点P（3， 1），，设的中点M的横坐标为x0，则x0的所有值为____．【答案】【解析】【分析】设AB中点为M由弦长公式，求出M的轨迹方程；由得,将向量坐标化得到的方程组，求解即可求出【详解】设AB中点为M由勾股三角形知OM=,即,又则，即∴, ②，将联立得故答案为【点睛】本题考查圆的轨迹方程，向量的坐标运算，圆的弦长公式，确定AB中点的轨迹是突破点，向量坐标化运算是关键，是中档题（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）15.在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】【解析】因为在圆上，所以圆心与切点的连线与切线垂直，又知与直线与直线垂直，所以圆心与切点的连线与直线斜率相等，，所以，故填：．（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）15.已知点是直线上的动点，过引圆的切线，则切线长的最小值为____.【答案】【解析】【分析】利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结果.【详解】圆的圆心为，半径为1，要使切线长最小，则只需要点P到圆心的距离最小。

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编直线与圆一、填空题1、（常州市2016届高三上期末）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆O ：222211,:(4)4x y O x y +=-+=，动点P 在直线30x y b +-=上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为AB ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）已知)1,0(A ，)0,1(B ，)0,(t C ，点D 是直线AC 上的动点，若BD AD 2≤恒成立，则最小正整数t 的值为3、（南京、盐城市2016届高三上期末）过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 ▲4、（南通市海安县2016届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (−1，0) ，Q (2 ，1) ，直线 l ：0=++c by ax 其中实数 a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是 ；5、（苏州市2016届高三上期末）若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则22a b +＝ ▲6、（泰州市2016届高三第一次模拟）已知直线(0)y kx k =>与圆22:(2)1C x y -+=相交于,A B两点，若255AB =，则k = ▲ 7、（无锡市2016届高三上期末）已知圆22:(2)4C x y -+=，线段EF 在直线:1l y x =+上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A 、B ，使得0PA PB ⋅≤u u u r u u u r ，则线段EF 长度的最大值是8、（扬州市2016届高三上期末）已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 ▲ .9、（南通市如东县2016届高三上期末）填空题答案1、20,43⎛⎫ ⎪⎝⎭－2、43、340x y ±+=4、2,32]5、186、12714 8、1± 9、5,25][－二、解答题1、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东045方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ．为方便游客光，拟过曲线C 上的某点分别修建与公路OA ,OB 垂直的两条道路PN PM ,，且PN PM ,的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xoy ，则曲线符合函数)91(242≤≤+=x xx y 模型，设x PM =，修建两条道路PN PM ,的总造价为)(x f 万元，题中所涉及的长度单位均为百米.（1）求)(x f 解析式;（2）当x 为多少时，总造价)(x f 最低？并求出最低造价． 2、（南京、盐城市2016届高三上期末）如图所示，,A B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P . 垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（,,A B P 可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大）. 现估测得,A B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？3、（苏州市2016届高三上期末）图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧¼ACB 的中点，渠宽AB 为2米． （1）当渠中水深CD 为0.4米时，求水面的宽度；（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？解答题答案1、(1)在直角坐标系中，因为曲线C 的方程为)242=+19y x x x ≤≤，PM x = M N O P x y BA所以点P坐标为,x x ⎛+ ⎝⎭， 直线OB 的方程为0x y -=， ……………………………………………………2分则点P 到直线0x y -=24x ==，………………4分 又PM 的造价为5万元／百米，PN 的造价为40万元／百米． 则两条道路总造价为()22432()540519f x x x x x x ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭≤≤． …………8分 (2) 因为22432()5405f x x x x x ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭， 所以 333645(64)()=51x f x x x -⎛⎫'-= ⎪⎝⎭， ………………………10分 令()0f x '=，得4x =，列表如下：所以当4x =时，函数()f x 有最小值，最小值为()232454304f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．……13分 答：（1）两条道路PM ,PN 总造价()f x 为232()5f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()19x ≤≤； （2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元． ……………………14分（注：利用三次均值不等式223232()5553022x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 当且仅当23222x x x ==，即4x =时等号成立，照样给分．） 2、解法一：由条件①，得505303PA PB ==. ..............2分 设5,3PA x PB x ==，则222(5)16(3)8cos 2165105x x x PAB x x+-∠==+⨯⨯， (6)分所以点P 到直线AB的距离sin 5h PA PAB x =∠=== ...............10分 所以当234x =，即x =h 取得最大值15千米.即选址应满足PA =PB =. ...........14分 解法二：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系. .......2分则(8,0),(8,0)A B -. 由条件①，得505303PA PB ==. (4)设(,)(0)P x y y >，则=化简得，222(17)15(0)x y y -+=>，即点P 的轨迹是以点（17,0）为圆心、15为半径的圆位于x 轴上方的半圆.则当17x =时，点P 到直线AB 的距离最大，最大值为15千米.所以点P 的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可. ............14分3、解：（1）以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，因为AB ＝2米，所以半圆的半径为1米，则半圆的方程为221(11,0)x y x y +=-≤≤≤． ………………………3分因为水深CD ＝0.4米，所以OD ＝0.6米，在Rt △ODM 中，0.8DM ==（米）． ………………………5分所以MN ＝2DM ＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米． ………………………6分（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为(cos ,sin )(0)2P θθθπ-<<是圆弧BC 上的一点，过P 作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE ，得切线EF 的方程为cos sin 1x y θθ+=． ……………………8分令y ＝0，得1(,0)cos E θ，令y ＝-1，得1sin (,1)cos F θθ+-． 设直角梯形OCFE 的面积为S ，则11sin 2sin ()()1cos cos cos S CF OE OC θθθθθ++=+⋅=+⨯= （02θπ-<<）． ……………………10分 22cos cos (2sin )(sin )12sin cos cos S θθθθθθθ-+-+'==，令0S '=，解得6θπ=-， 当26θππ-<<-时，0S '<，函数单调递减； 当06θπ-<<时，0S '>，函数单调递增． ………………………12分 所以6θπ=-时，面积S．此时1sin()6cos()6CF π+-==π-……………14分。

第二章直线和圆的方程质量检测卷(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.过点A(3,-4),B(-2,m)的直线l的斜率为-2,则m的值为()A.6B.1C.2D.4解析:由题意知直线l的斜率为-2,则m+4=-2,解得m=6.-2-3答案:A2.过点(-1,2),且斜率为2的直线的方程是()A.2x-y+4=0B.2x+y=0C.2x-y+5=0D.x+2y-3=0解析:因为直线过点(-1,2),且斜率为2,所以该直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0.答案:A3.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2解析:由题意,知圆的半径r=√12+12=√2,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.答案:D4.过点(2,0)且与直线2x-4y-1=0平行的直线的方程是()A.x-2y-1=0B.2x+y-4=0C.x-2y-2=0D.x+2y-2=0解析:由题意,知直线2x-4y-1=0的斜率k=1,故所求直线的方程为2(x-2),化简得x-2y-2=0.y-0=12答案:C5.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为()A.√3B.2C.√6D.2√3解析:由题意,知过原点且倾斜角为60°的直线方程为y=√3x.因为圆的方程可化为x2+(y-2)2=4,所以半径r=2,圆心为(0,2),且(0,2)到直线y=√3x的距离d=1,所以弦长为2√22-12=2√3.答案:D6.当点P在圆x2+y2=1上运动时,连接点P与定点Q(3,0),线段PQ 的中点M的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=1B.(x -3)2+y 2=1C.(2x -3)2+4y 2=1D.(2x +3)2+4y 2=1解析:设动点P 的坐标为(x 0,y 0),PQ 的中点M 的坐标为(x ,y ), 可得{x =x 0+32,y =y 02,解得{x 0=2x -3,y 0=2y . 因为点P (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上, 所以(2x -3)2+(2y )2=1,即(2x -3)2+4y 2=1. 所以点M 的轨迹方程是(2x -3)2+4y 2=1. 答案:C7.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线3x +4y +4=0与圆C 相切,则圆C 的方程为 ( )A.x 2+y 2-2x -3=0B.x 2+y 2+4x =0C.x 2+y 2+2x -3=0D.x 2+y 2-4x =0解析:由题意设圆心坐标为C (a ,0)(a >0).因为圆C 与直线3x +4y +4=0相切,圆C 的半径为2,所以√9+16=2,解得a =2,所以圆心为C (2,0),所以圆C 的方程为(x -2)2+y 2=4,即x 2+y 2-4x =0. 答案:D8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x 2+y 2≤1,若将军从点A (3,0)处出发,河岸线所在直线方程为x +y =4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为 ( )A.√17-1B.√17-√2C.√17D.3-√2解析:如图所示,设点A 关于直线x +y =4的对称点为A'(a ,b ),军营所在区域的圆心为O ,连接A'O.根据题意,|A'O |-1为最短距离. 所以线段AA'的中点为(a+32,b 2),直线AA'的斜率为1, 所以直线AA'的方程为y =x -3. 根据题意,得{a+32+b2=4,b =a -3,解得{a =4,b =1,所以点A'的坐标为(4,1),所以|A'O |=√42+12=√17, 所以|A'O |-1=√17-1,即“将军饮马”的最短总路程为√17-1.答案:A二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a 的值为()A.-3B.3C.-1D.1解析:因为A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,所以√a2+1=√a2+1,即|2a+3|=|a+6|,解得a=3或a=-3.故选AB.答案:AB10.已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是()A.直线l2始终过定点(23,1 3 )B.若l1∥l2,则a=1或a=-3C.若l1⊥l2,则a=0或a=2D.当a>0时,l1始终不过第三象限解析:直线l2:a(x-2y)+3y-1=0始终过定点(23,13),A项正确;当a=1时,l1,l2重合,B项错误;由1×a +a ×(3-2a )=0,得a =0或a =2,C 项正确;直线l 1的方程可化为y =-1a x +1,可知其始终过点(0,1).当a >0时,直线l 1的斜率为负,不会过第三象限,D 项正确.故选ACD . 答案:ACD11.过点P (2,4)引圆(x -1)2+(y -1)2=1的切线,则切线的方程为 ( ) A.x =-2 B.x =2 C.4x -3y +4=0 D.4x +3y -4=0解析:根据题意,知圆(x -1)2+(y -1)2=1的圆心为(1,1),半径r =1. 过点P (2,4)引圆(x -1)2+(y -1)2=1的切线,若切线的斜率不存在,此时切线的方程为x =2,符合题意;若切线的斜率存在,设此时切线的斜率为k ,则其方程为y -4=k (x -2),即kx -y -2k +4=0,所以√k 2+1=1,解得k =43,则切线的方程为4x -3y +4=0.综上所述,切线的方程为x =2或4x -3y +4=0. 故选BC . 答案:BC12.若圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2+2x -4y =0的交点为A ,B ,则有( )A.公共弦AB 所在直线的方程为x -y =0B.线段AB 的垂直平分线的方程为x +y -1=0C.公共弦AB 的长为√22D.P 为圆O 1上一动点,则点P 到直线AB 的距离的最大值为√22+1 解析:已知圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2+2x -4y =0的交点为A ,B ,两圆的方程相减可得圆O 1与圆O 2的公共弦AB 所在直线的方程为 x -y =0,故A 项正确;由题意,知O 1(1,0),O 2(-1,2),线段O 1O 2所在直线斜率为-1,线段O 1O 2的中点为(0,1),所以线段AB 的垂直平分线的方程为y -1=-x ,即x +y -1=0,故B 项正确;由题意,知圆O 1:x 2+y 2-2x =0的圆心为O 1(1,0),半径r 1=1,圆心O 1(1,0)到直线x -y =0的距离d =√2=√22,所以点P 到直线AB 的距离的最大值为√22+1,圆O 1与圆O 2的公共弦AB 的长为2√1-12=√2,故C 项错误,D 项正确.故选ABD . 答案:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若直线l 1:ax +y +2a =0与直线l 2:x +ay +3=0互相平行,则实数a =±1.解析:由两直线平行的条件,得{a 2-1=0,3a -2a ≠0,解得a =±1.14.圆C :x 2+y 2-2x -4y +4=0的圆心到直线l :3x +4y +4=0的距离d =3. 解析:由题意,知圆心坐标为(1,2),所以圆心到直线l :3x +4y +4=0的距离d =√32+42=3.15.已知圆C 1:x 2+y 2=1和圆C 2:(x -4)2+(y -3)2=r 2(r >0)外切,则r 的值为4;若点A (x 0,y 0)在圆C 1上,则x 02+y 02-4x 0的最大值为5.(本题第一空2分,第二空3分)解析:由两个圆外切可得圆心距等于两个圆的半径之和, 所以√(4-0)2+(3-0)2=1+r ,解得r =4.因为点A (x 0,y 0)在圆C 1上,所以x 02+y 02=1,且x 0∈[-1,1], 所以x 02+y 02-4x 0=1-4x 0∈[-3,5], 所以x 02+y 02-4x 0的最大值为5.16.在△ABC 中,BC 边上的高所在直线的方程为x -2y +1=0,角A 的平分线所在直线的方程为y =0,顶点B 的坐标为(1,2),则△ABC 的面积为12.解析:由方程组{x -2y +1=0,y =0,求得点A 的坐标为(-1,0).因为边AB所在直线的斜率为k AB =1,且角A 的平分线所在直线的方程为y =0,所以边AC 所在直线的斜率为-1,其方程为y =-(x +1),即y =-x -1.因为BC 边上的高所在直线的方程为x -2y +1=0,所以边BC 所在直线的斜率为-2,所以边BC 所在直线的方程为y -2=-2(x -1),即y =-2x +4.联立方程,得{y =-2x +4,y =-x -1,解得{x =5,y =-6,即顶点C 的坐标为(5,-6),所以|BC |=4√5,点A 到直线BC 的距离d =√5=√5,所以△ABC 的面积为S =12|BC |·d =12×4√5×√5=12.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在△ABC 中,点A 的坐标为(0,1),AB 边上的高CD 所在直线的方程为x +2y -4=0,AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x +y -3=0.(1)求直线AB 的方程; (2)求直线BC 的方程.解:(1)由已知,得直线AB 的斜率为2, 所以AB 边所在直线的方程为y -1=2(x -0), 即2x -y +1=0.(2)由{2x -y +1=0,2x +y -3=0,得{x =12,y =2, 即点B 的坐标为(12,2).设点C 的坐标为(m ,n ),则由已知条件得{m +2n -4=0,2×m 2+n+12-3=0, 解得{m =2,n =1,所以点C 的坐标为(2,1).所以BC 边所在直线的方程为y -12-1=x -212-2,即2x +3y -7=0.18.(12分)已知直线l 1:mx +8y +n =0和直线l 2:2x +my -1=0,试分别确定满足下列条件的m ,n 的值.(1)l 1与l 2相交于点(m ,-1); (2)l 1∥l 2;(3)l 1⊥l 2,且l 1在y 轴上的截距为-1. 解:(1)因为l 1与l 2相交于点(m ,-1), 所以点(m ,-1)在l 1,l 2上.将点(m ,-1)代入l 2的方程,得2m -m -1=0,解得m =1. 所以交点的坐标为(1,-1).把点(1,-1)的坐标代入l 1的方程,得n =7. 所以m =1,n =7.(2)要使l 1∥l 2,则有{m 2-16=0,m ×(-1)-2n ≠0,解得{m =4,n ≠-2或{m =-4,n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2,则有2m +8m =0,解得m =0. 将m =0代入直线l 1的方程,得y =-n8.因为l 1在y 轴上的截距为-1, 所以-n8=-1,解得n =8.所以m =0,n =8.19.(12分)已知直线l :y =kx +3(k >0)与x 轴、y 轴围成的三角形面积为94,圆M 的圆心在直线l 上,与x 轴相切,且在y 轴上截得的弦长为4√6.(1)求直线l 的方程(结果用一般式表示); (2)求圆M 的标准方程.解:(1)在直线方程y =kx +3(k >0)中,令x =0,得y =3;令y =0,得x =-3k . 所以12×3×|-3k |=94. 因为k >0,所以k =2.所以直线l 的方程为2x -y +3=0.(2)设圆M 的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0).由题意可知{2a -b +3=0,|b |=r ,(2√6)2+|a |2=r 2,解得{a =-5,b =-7,r =7或{a =1,b =5,r =5.故圆M 的标准方程为(x +5)2+(y +7)2=49 或(x -1)2+(y -5)2=25.20.(12分)一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m 后,水面宽多少米?解:以圆拱顶点为原点,以过圆拱顶点的竖直直线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设圆拱所在圆的圆心为C ,水面所在弦的端点为A ,B ,则由已知可得A (6,-2).设圆的半径为r ,则C (0,-r),即圆的方程为x 2+(y +r )2=r 2.将点A 的坐标代入可得r =10,所以圆的方程为x 2+(y +10)2=100.当水面下降1 m 后,可设A'(x 0,-3)(x 0>0)在圆上,代入x 2+(y +10)2=100,解得x 0=√51,即当水面下降1 m 后,水面宽为2x 0=2√51 m .21.(12分)在平面直角坐标系Oxy 中,曲线y =x 2-6x +1与坐标轴的交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程;(2)若圆C 与直线x -y +a =0交于A ,B 两点,且OA ⊥OB ,求a 的值. 解:(1)由题意,得曲线y =x 2-6x +1与y 轴的交点为(0,1),与x 轴的交点为(3+2√2,0), (3-2√2,0).故可设圆C 的圆心为(3,t ),则有32+(t -1)2=(2√2)2+t 2,解得t =1, 所以圆C 的半径为√32+(1-1)2=3,所以圆C 的方程为(x -3)2+(y -1)2=9.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则两点的坐标满足方程组{x -y +a =0,(x -3)2+(y -1)2=9.消去y 整理,得2x 2+(2a -8)x +a 2-2a +1=0.由已知可得,判别式Δ=56-16a -4a 2>0,且x 1+x 2=4-a ,x 1x 2=a 2-2a+12.①由于OA ⊥OB ,可得x 1x 2+y 1y 2=0.因为y 1=x 1+a ,y 2=x 2+a ,所以2x 1x 2+a (x 1+x 2)+a 2=0. ②由①②,得a =-1,经检验a =-1满足Δ>0,所以a =-1.22.(12分)已知圆M 与直线x =2相切,圆心M 在直线x +y =0上,且直线x -y -2=0被圆M 截得的弦长为2√2.(1)求圆M 的方程,并判断圆M 与圆N :x 2+y 2-6x +8y +15=0的位置关系.(2)若在x 轴上的截距为-1且不与坐标轴垂直的直线l 与圆M 交于A ,B 两点,在x 轴上是否存在定点Q , 使得k AQ +k BQ =0?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,说明理由.解:(1)设圆M 的圆心为M (a ,-a ),半径为r ,则{r =|a -2|,√2=√r 2-(2√22)2,解得{a =0,r =2,即圆心坐标为(0,0),r =2, 所以圆M 的方程为x 2+y 2=4.由题意知,圆N 的圆心为(3,-4),半径R =√10,r +R =2+√10,R -r =√10-2.因为|MN |=5,√10-2<5<√10+2,所以圆M 与圆N 相交.(2)存在.方法一:设l :x =my -1(m ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{x =my -1,x 2+y 2=4,得(m 2+1)y 2-2my -3=0.由根与系数的关系,得{y 1+y 2=2mm 2+1,y 1y 2=-3m 2+1. 假设存在Q (t ,0)满足条件, 则k AQ =y 1x 1-t =y 1my 1-t -1,k BQ =y 2x 2-t =y 2my 2-t -1,由k AQ +k BQ =0,得y 1my 1-t -1+y 2my 2-t -1=0, 即y 1[my 2-(t+1)]+y 2[my 1-(t+1)](my 1-t -1)(my 2-t -1) =2my 1y 2-(t+1)(y 1+y 2)(my 1-t -1)(my 2-t -1) =-6m -2m (t+1)(m 2+1)(my 1-t -1)(my 2-t -1)=0, 即2m (t +4)=0且m ≠0,所以t =-4. 所以存在Q (-4,0)满足条件. 方法二:设l :y =k (x +1)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 由{y =k (x +1),x 2+y 2=4,得(k 2+1)x 2+2k 2x +k 2-4=0, 则{x 1+x 2=-2k 2k 2+1,x 1x 2=k 2-4k 2+1. 假设存在Q (t ,0)满足条件, 则k AQ +k BQ =y 1x 1-t +y 2x 2-t =k (x 1+1)x 1-t +k (x 2+1)x 2-t =k [(x 1+1)(x 2-t )+(x 2+1)(x 1-t )](x 1-t )(x 2-t ) =k [2x 1x 2-t (x 1+x 2)-2t+x 1+x 2](x 1-t )(x 2-t ) =k [2k 2-8+2k 2t -2k 2t -2t -2k 2](k 2+1)(x 1-t )(x 2-t )=k(-8-2t)=0,(k2+1)(x1-t)(x2-t)解得t=-4.所以存在Q(-4,0)满足条件.。

直线与圆的位置关系（北京习题集）（教师版）一．选择题（共8小题）1．（2020•东城区模拟）已知圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，圆心在直线y x =上，则圆C 的方程为( ) A ．22(1)(1)2x y -+-= B ．22(1)(1)2x y -++= C ．22(1)(1)4x y ++-=D ．22(1)(1)4x y +++=2．（2020•房山区一模）已知直线:(2)2l y m x =-+与圆22:9C x y +=交于A ，B 两点，则使弦长||AB 为整数的直线l 共有( )A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条3．（2019秋•西城区期末）已知直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=有公共点，则实数a 的取值范围为()A ．(-∞，0]B ．[0，)+∞C ．[0，2)D ．(,2)-∞4．（2019春•东城区期末）若直线30x y a -+=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为( ) A ．5B ．3C ．1D ．1-5．（2018秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，点B 在圆224x y +=上，则||OA OB -的最大值为()A ．3B ．1C ．2+D ．46．（2019•延庆区一模）圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为( ) A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=7．（2018秋•海淀区期末）直线1y kx =+被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为( )A ．0B ．12±C ．1±D ．8．（2019春•大兴区期末）已知直线2y kx =+被圆224x y +=截得的弦长是(k = )A ．1B C ．2D ．3二．填空题（共5小题）9．（2019秋•顺义区期末）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于A ，B 两点，当AOB ∆的面积达到最大时，k = ．10．（2019秋•东城区期末）能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为 ．11．（2019秋•通州区期末）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径）．湖的一侧有一条直线型公路l ，规划在公路l 上选一个点P ，并修建一段直线型道路PB ．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC ，BD ，测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长． 某同学设计了下面的解题思路，请你将其补充完整．如图3，过O 作OH l ⊥，垂足为H ，以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系． 由已知10AB =，6AC =，12BD =， 计算得出9OH =，(4,3)A ，(4,3)B --．从而得到直线l 的方程为9y =，直线AB 的斜率为 ．由PB AB ⊥，得直线PB 的斜率为 ，进而得到直线PB 的方程为 ，得到点P 的坐标为 ，计算得出PB 的长为 百米．12．（2019•房山区二模）已知圆22:(1)(2)4C x y -+-=与直线:(1)l y k x =+，则圆心C 的坐标为 ，若圆C 关于直线l 对称，则k = ．13．（2019•大兴区一模）若直线220x y +-=与圆22(1)()1x y a -+-=相切，则a = ． 三．解答题（共2小题）14．（2019•北京模拟）已知直线l 经过(1,0)P ，(2,1)Q -两点，圆C 的方程是22(1)(1)4x y -++=． （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求||AB 的值 下面是某同学的解答过程：解：（Ⅰ）因为直线l 经过两点(1,0)P ，(2,1)Q - 所以直线l 的斜率10121k --==--． 所以直线l 的方程是0(1)y x -=--，即10x y +-=． （Ⅱ）因为直线l 与圆C 交于A ，B 两点， 所以2210(1)(1)4x y x y +-=⎧⎨-++=⎩． 消去y ，整理得22410x x -+=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则122x x +=，1212x x =．所以||AB=2=．所以||AB 的值为2．指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程． 15．（2019春•西城区期末）已知圆心为(4,3)C 的圆经过原点O ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线34150x y -+=与圆C 交于A ，B 两点，求ABC ∆的面积．直线与圆的位置关系（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2020•东城区模拟）已知圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，圆心在直线y x =上，则圆C 的方程为( ) A ．22(1)(1)2x y -+-= B ．22(1)(1)2x y -++= C ．22(1)(1)4x y ++-=D ．22(1)(1)4x y +++=【分析】根据圆心在直线y x =上，设出圆心坐标为(,)a a ，利用圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程． 【解答】解：圆心在y x =上，设圆心为(,)a a ， 圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，∴圆心到两直线y x =-及40x y +-=的距离相等，1a ⇒=，∴圆心坐标为(1,1)，R ==圆C 的标准方程为22(1)(1)2x y -+-=． 故选：A ．【点评】考查了圆的方程的求法，一般情况下：求圆C 的方程，就是求圆心、求半径．同时考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．2．（2020•房山区一模）已知直线:(2)2l y m x =-+与圆22:9C x y +=交于A ，B 两点，则使弦长||AB 为整数的直线l 共有( )A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条【分析】根据题意，直线过点(2,2)M ，圆C 的圆心(0,0)，半径3r =，则可得当CM 与AB 垂直时，即M 为AB 的中点时，弦长||AB 最短，求出直线CM 的斜率，由直线垂直与斜率的关系分析可得直线AB 的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线恒过点(2,2)M ，圆22:9C x y +=的圆心C 为(0,0)，半径3r =，则CM =当直线与AB 垂直时，M 为||AB 中点，此时||2AB =，符合题意，此时直线有一条， 当直线过圆心C 时，||26AB r ==，满足题意，此时直线有一条，则当||3AB =，4，5时，各对应两条直线， 综上，共8条直线． 故选：C ．【点评】本题考查了直线与圆的方程的应用问题，考查点到直线距离公式，弦长公式，是综合性题目．3．（2019秋•西城区期末）已知直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=有公共点，则实数a 的取值范围为()A ．(-∞，0]B ．[0，)+∞C ．[0，2)D ．(,2)-∞【分析】依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出． 【解答】解：依题意可知，直线与圆相交或相切． 圆22220x y x y a ++-+=即为22(1)(1)2x y a ++-=-． 2a -，解得0a ．∴实数a 的取值范围为(-∞，0]．故选：A ．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．4．（2019春•东城区期末）若直线30x y a -+=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为( ) A ．5B ．3C ．1D ．1-【分析】把圆22240x y x y ++-=的圆心为(1,2)-代入直线30x y a -+=，解方程求得a 的值． 【解答】解：圆22240x y x y ++-=的圆心为(1,2)-， 代入直线30x y a -+=得：320a --+=， 5a ∴=，故选：A ．【点评】本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围．5．（2018秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，点B 在圆224x y +=上，则||OA OB -的最大值为()A ．3B ．1C ．2+D ．4【分析】根据向量减法的三角形法则转化为求||BA ，再根据两边之和大于等于第三边可得最大值．【解答】解：||||||||22OA OB BA OB OA -=+=+=+，故选：C ．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．6．（2019•延庆区一模）圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为( ) A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=【分析】根据题意设圆方程为222(1)x y r +-=，由圆心到直线的距离得到半径r ，代入即可得到所求圆的方程 【解答】解：设圆方程为222(1)x y r +-=，直线2y =与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径r ，1r ∴= 故圆的方程为：22(1)1x y +-=，故选：C【点评】本题考查了点到直线的距离公式和圆的方程等知识，属于基础题．7．（2018秋•海淀区期末）直线1y kx =+被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为( )A ．0B ．12±C ．1±D ． 【分析】分别根据垂径定理和点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离列等式解得0k =【解答】解：由垂径定理得圆心(0,0)到直线10kx y -+=的距离1d ===， 又由点到直线的距离公式得d =，故1=，解得0k =故选：A ．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．8．（2019春•大兴区期末）已知直线2y kx =+被圆224x y +=截得的弦长是(k = )A ．1B C ．2D ．3【分析】由圆心到直线的距离求得弦心距，再由垂径定理列式求k 值． 【解答】解：圆224x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为2， 圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离d ==．由题意，=1k =-（舍)或1k =．故选：A ．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是基础题． 二．填空题（共5小题）9．（2019秋•顺义区期末）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于A ，B 两点，当AOB ∆的面积达到最大时，k =1± ．【分析】求出圆心(0,0)O 到直线AB 的距离d =，和||AB ，根据面积最大，求出k 的值．【解答】解：圆22:1O x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径1r =， 把直线l 的方程为1y kx =+化为一般式方程得：10kx y -+=，∴圆心(0,0)O 到直线AB 的距离d =，弦AB 的长度||AB =，22111||222AOB d d S AB d ∆-+∴===， 当且仅当212d =时取等号，ABC S ∆取得最大值，最大值为12，此时21k =，即1k =±， 故答案为：1±．【点评】考查直线和圆的位置关系，弦长公式，点到直线的距离，面积的最值，中档题．10．（2019秋•东城区期末）能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为 0 ．【分析】把圆的方程整理为标准方程，找出圆心坐标与半径r ，根据直线与圆有两个不同交点得到直线与圆相交，即圆心到直线的距离d 小于半径r ，求出m 的范围，即可作出判断． 【解答】解：圆方程整理得：22(2)(1)5x y ++-=，∴圆心(2,1)-，半径r =直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同交点，∴直线与圆相交，即d r <，∴<|3|m -<解得：33m <<，故能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值可以为0． 故答案为0．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，直线与圆有两个不同的交点即为直线与圆相交．11．（2019秋•通州区期末）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径）．湖的一侧有一条直线型公路l ，规划在公路l 上选一个点P ，并修建一段直线型道路PB ．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC ，BD ，测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长． 某同学设计了下面的解题思路，请你将其补充完整．如图3，过O 作OH l ⊥，垂足为H ，以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系． 由已知10AB =，6AC =，12BD =， 计算得出9OH =，(4,3)A ，(4,3)B --．从而得到直线l 的方程为9y =，直线AB 的斜率为34． 由PB AB ⊥，得直线PB 的斜率为 ，进而得到直线PB 的方程为 ，得到点P 的坐标为 ，计算得出PB 的长为 百米．【分析】由A ，B 的坐标直接求出直线AB 的斜率，再由PB AB ⊥，斜率互为负倒数求出直线PB 的斜率，进而求出过B 的直线方程，再由直线PB 的方程与9y =求出交点坐标P ，最后由两点间的距离公式求出PB 的长． 【解答】解：由A ，B 的坐标直接求出AB 的斜率3(3)34(4)4k --==--；PB AB ⊥，所以143PB k k =-=-，所以直线PB 的方程为：4(3)[(4)]3y x --=---，整理得：43250x y ++=；联立直线PB 与直线l 的方程：943250y x y =⎧⎨++=⎩解得：139x y =-⎧⎨=⎩，即P 的坐标：(13,9)-；由两点间的距离公式22(134)(93)15d -+++=； 故答案分别为：34，43-，43250x y ++=，(13,9)-，15． 【点评】考查两点式求斜率，互相垂直的直线的斜率关系，直线的点斜式方程，两条直线的交点即两点间的距离公式，属于基础题．12．（2019•房山区二模）已知圆22:(1)(2)4C x y -+-=与直线:(1)l y k x =+，则圆心C 的坐标为 (1,2) ，若圆C 关于直线l 对称，则k = ．【分析】根据圆C 的标准方程可得圆心坐标，根据圆C 关于直线l 对称可得圆心在直线上． 【解答】解：由圆C 的标准方程可得圆心坐标为(1,2)； 因为圆C 关于直线l 对称，所以圆心在直线l 上， 2(11)k ∴=+，解得1k =．故答案为：(1,2)，1．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．13．（2019•大兴区一模）若直线220x y +-=与圆22(1)()1x y a -+-=相切，则a = 【分析】利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径列式可得． 【解答】解：因为直线220x y +-=与圆22(1)()1x y a -+-=相切，1=，解得a =故答案为：【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题． 三．解答题（共2小题）14．（2019•北京模拟）已知直线l 经过(1,0)P ，(2,1)Q -两点，圆C 的方程是22(1)(1)4x y -++=． （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求||AB 的值 下面是某同学的解答过程：解：（Ⅰ）因为直线l 经过两点(1,0)P ，(2,1)Q - 所以直线l 的斜率10121k --==--． 所以直线l 的方程是0(1)y x -=--，即10x y +-=． （Ⅱ）因为直线l 与圆C 交于A ，B 两点， 所以2210(1)(1)4x y x y +-=⎧⎨-++=⎩． 消去y ，整理得22410x x -+=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则122x x +=，1212x x =．所以||AB=2=．所以||AB 的值为2．指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程． 【分析】第（Ⅱ）问联立方程组消去y 时，结果计算错误． 【解答】解：第（Ⅱ）问联立方程组消去y 时，结果计算错误．正确的解答过程如下：（Ⅰ）因为直线l 经过两点(1,0)P ，(2,1)Q - 所以直线l 的斜率10121k --==--． 所以直线l 的方程是0(1)y x -=--，即10x y +-=． （Ⅱ）因为直线l 与圆C 交于A ，B 两点， 所以2210(1)(1)4x y x y +-=⎧⎨-++=⎩． 消去y ，整理得22610x x -+= 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则123x x +=，1212x x =．所以||AB==所以||AB【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．15．（2019春•西城区期末）已知圆心为(4,3)C 的圆经过原点O ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线34150x y -+=与圆C 交于A ，B 两点，求ABC ∆的面积．【分析】点到圆心的距离为半径，用圆心和半径写出圆的标准方程，求圆心到AB 的距离，再用勾股定理求出弦长，最后用面积公式求出答案．【解答】解：圆C 的半径为||5OC =， 从而圆C 的方程为22(4)(3)25x y -+-=．（Ⅱ）解：作CD AB ⊥于D ，则CD 平分线段AB ．在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得||3CD =，所以||4AD =． 所以||2||8AB AD ==．所以ABC∆的面积1||||122S AB CD==．【点评】本题主要考察对圆的标准方程的运用，以及点到直线的距离和勾股定理的运用，以及三角形面积的求解，属于中档题第11页（共11页）。

高三数学《直线与圆》专题测试题含答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．直线l 过点(2，2)，且点(5，1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0 D ．x －3y －4＝03．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C.3D ．24．过点P (－2，2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条5．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0 6．已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝07．已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.438．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝59．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]10．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．26B ．4 C.6D ．211．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离12．已知两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。

（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）15.在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】【解析】因为在圆上，所以圆心与切点的连线与切线垂直，又知与直线与直线垂直，所以圆心与切点的连线与直线斜率相等，，所以，故填：．（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（文科）试题）14.若直线与两坐标轴分别交于，两点，为坐标原点，则的内切圆的标准方程为__________．【答案】【解析】【分析】结合三角形面积计算公式，建立等式，计算半径r，得到圆方程，即可。

【详解】设内切圆的半径为r，结合面积公式则因而圆心坐标为，圆的方程为【点睛】本道题考查了圆方程计算方法，难度较小。

（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）13.过圆：的圆心，且斜率为1的直线方程为__________．【答案】【解析】【分析】本道题先计算圆心坐标，结合点斜式，写出方程，即可。

【详解】结合满足圆心坐标为则该圆方程圆心坐标为，而该直线斜率为1，所以方程为，得到【点睛】本道题考查了点斜式直线方程计算方法，较容易。

（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）20.已知动圆C与圆外切,并与直线相切(1)求动圆圆心C的轨迹(2)若从点P(m,-4)作曲线的两条切线,切点分别为A、B,求证:直线AB恒过定点。

【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由两圆外切，圆心距等于半径和，圆与直线相切，圆心到直线的距离等于半径。

先列出几何关系，建立几何等式，或转化为定义，或代数化。

（2）由（1）知曲线为抛物线，应用导数求过，的切线方程，两式结构一样，且都过P(m,-4)点，可知为方程的两个根，再结合直线的方程为.与抛物线方程组方程组中的韦达定理，得，.所以的方程为.过定点。

【详解】（1）由题意知，圆的圆心，半径为.设动圆圆心，半径为.因为圆与直线相切，所以，即.因为圆与圆外切,所以，即.联立①②，消去，可得.所以点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线.（2）由已知直线的斜率一定存在.不妨设直线的方程为.。