2014年广州市高二数学水平测试(附答案)

正视图 侧视图x2014年高二级上学期期末广雅、执信、二中、六中四校联考文科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式：Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、某某、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回. 第（Ⅰ）卷 选择题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{1,2,3,4}U =，{1,2}A =，{2,4}B =，则)(B A C U =（ ）A ．{2}B ．{3}C ．{1,2,4}D ．{1,4}2．在等比数列}{n a 中，44=a ，则62a a ⋅=（ ） A ．32B ．16 C ．8D ．43．命题“若函数mx e x f x-=)(在),0[+∞上是减函数，则1>m ”的否命题是（ ） A ．若函数mx e x f x-=)(在),0[+∞上不是减函数，则1≤m B ．若函数mx e x f x -=)(在),0[+∞上是减函数，则1≤m C ．若1>m ，则函数mx e x f x-=)(在),0[+∞上是减函数 D ．若1≤m ，则函数mx e x f x -=)(在),0[+∞上不是减函数 4．已知直线022=++y ax 与023=--y x 垂直，则a =（ ）A ．3-B ．6-C ．23-D ．32 5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．29C ．3D ．236．阅读右边程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．4i ≤B ．5i ≤C ．6i ≤D ．7i ≤7．设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是( )8．将函数)2sin(θ-=x y 的图象F 向右平移6π个单位长度得到图象'F ,若'F 的一个对称中心是)0,83(π，则θ的一个可能取值是（ ） A ．1112π-B ．1112πC ．512π-D ．512π9．已知抛物线24x y =-的准线与双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ） A 2．2C 5．5 10．如图，已知点)2,0P，正方形ABCD 内接于圆O ：221x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点. 当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值X 围为（ ）A ．[]2,2-B ．2,2⎡-⎣C ．[]1,1-D ．2222⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2014.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式ShV 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，若()2i 34im +=-，则实数m 的值为A ．2-B ．2± C．D ．22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则cb 为A ．2sin CB ．2cos BC ．2sin BD ．2cos C3．圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为A ．()()22211x y -+-= B ．()()22121x y ++-= C ．()()22211x y ++-=D ．()()22121x y -++=4．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．(][),22,-∞-+∞ D ．[]2,2-5．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[]80,100范围内的数据16个，则其中分数在[]90,100范围内的样本数据有A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个6．已知集合32A x x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z 且，则集合A 中的元素个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．设a ，b 是两个非零向量，则使a b =a b成立的一个必要非充分条件是A ．=a bB ．⊥a bC ．λ=a b()0λ> D ．a b8．设a ，b ，m 为整数（0m >），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．若不等式1x a -<的解集为{}13x x <<，则实数a 的值为 ．10．执行如图2的程序框图，若输出7S =，则输入k ()*k ∈N 的值为 ．11．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是 ．12．设α为锐角，若3cos 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 12απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ． 13．在数列{}n a 中，已知11a =，111n n a a +=-+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos aρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A ，B 两点，若AB=a 的值为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图4，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA 与圆O 交于A ，B 两点，APC ∠的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD 的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，．（1）求实数a 的值； （2）设[]2()()2g x f x =-，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间．17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙，丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值（数学期望）．18．（本小题满分14分）如图5，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D的中点，点F 在棱1B B上，且满足12B F FB=．（1）求证：11EF AC ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ， 使A ，E ，G ，F 四点共面，并求 此时1C G的长；（3）求平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值． 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设第n 个正方形的边长为{}min ,n n n c a b =，求前n 个正方形的面积之和n S ．（注：{}min ,a b 表示a 与b 的最小值．）20．（本小题满分14分）已知双曲线E ：()222104x y a a -=>的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为5，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF = ．（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PMMH PNHN=，证明点H 恒在一条定直线上．21．（本小题满分14分）已知函数()()221e xf x x x =-+（其中e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x的单调区间；（2）定义：若函数()h x在区间[],s t()s t<上的取值范围为[],s t，则称区间[],s t为函数()h x的“域同区间”．试问函数()f x在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分1）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即022a -+=．解得a =（2）方法1：由（1）得()sin f x x x =．所以2()[()]2g x f x =-()2sin 2x x =-22sin cos 3cos 2x x x x =++-2cos 2x x =+122cos 22x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭2sin 2cos cos 2sin 66x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 所以()g x 的最小正周期为22π=π．因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ， 所以当πππ2π22π262k x k -≤+≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增，即ππππ36k x k -≤≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ． 方法2：由（1）得()sin f x x x =+2sin cos cos sin 33x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 所以2()[()]2g x f x =-2π2sin 23x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2π4sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2π2cos 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭分 所以函数()g x 的最小正周期为22π=π分因为函数cos y x =的单调递减区间为[]2,2k k ππ+π()k ∈Z ，所以当22223k x k ππ≤+≤π+π()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．即ππππ36k x k -≤≤+（k ∈Z ）时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．17．（本小题满分1）（本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） 解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为1A ，2A ，3A ，由已知1A ，2A ，3A 相互独立，且满足()()()()()113232,5611,253.10P A P A P A P A P A ⎧=⎪⎪⎪--=⎡⎤⎡⎤⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎪⎩解得()212P A =，()335P A =．所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为12，35．（2）ξ的可能取值为1，3．因为()()()1231233P P A A A P A A A ξ==+()()()()()()123123111P A P A P A P A P A P A =+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦213312525525=⨯⨯+⨯⨯625=．所以()()113P P ξξ==-=61912525=-=．所以ξ的分布列为所以1963713252525E ξ=⨯+⨯=．18．（本小题满分1）（本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）推理论证法： （1）证明：连结11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111AC B D ⊥．在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ，所以111AC DD ⊥．因为1111B D DD D = ，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D，所以11AC ⊥平面11BB D D．因为EF ⊂平面11BB D D，所以11EF AC ⊥．（2）解：取1C C的中点H ，连结BH ，则BH AE ．在平面11BB C C中，过点F 作FG BH ，则F G A E ．连结EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面．因为11122CH C C a ==，11133HG BF C C a===， 所以1C G 116C C CH HG a =--=． 故当1C G16a=时，A ，E ，G ，F 四点共面．（3）延长EF ，DB ，设EF DB M = ，连结AM ， 则AM 是平面AEF 与平面ABCD 的交线．过点B 作BN AM ⊥，垂足为N ，连结FN ， 因为FB AM ⊥，FB BN B = ， 所以AM ⊥平面BNF ．因为FN ⊂平面BNF ，所以AM ⊥FN ． 所以FNB ∠为平面AEF 与平面ABCD 所成 二面角的平面角．因为123132aMB BF MD DE a ===，即23=，所以MB =．在△ABM 中，AB a =，135ABM ∠=， 所以2222cos135AM AB MB AB MB =+-⨯⨯⨯()2222a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭213a =．即AM =．因为11sin13522AM BN AB MB ⨯=⨯⨯，所以sin135a AB MB BN AM⨯⨯⨯⨯===．所以39FN a ===．所以6cos 7BN FNB FN ∠==．故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67．空间向量法：（1）证明：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则(),0,0A a ，()1,0,A a a ，()10,,C a a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()11,,0AC a a =-，1,,6EF a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ． 因为221100AC EF a a =-++= ，所以11A C EF⊥ ． 所以11EF AC ⊥．（2）解：设()0,,G a h ，因为平面11ADD A平面11BCC B ，平面11ADD A平面AEGF AE =，平面11BCC B平面AEGF FG =，所以FG AE ．所以存在实数λ，使得FG AE λ=．因为1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，1,0,3FG a h a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ， 所以11,0,,0,32a h a a a λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 所以1λ=，56h a=． 所以1C G 15166CC CG a a a =-=-=．故当1C G 16a=时，A ，E ，G ，F 四点共面．（3）解：由（1）知1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ． 设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-． 所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量． 而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量，设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，则11cos DD DD θ=n n (1)67==．故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67．第（1）、（2）问用推理论证法，第（3）问用空间向量法： （1）、（2）给分同推理论证法．（3）解：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则(),0,0A a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ． 设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-． 所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量． 而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量，设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，则11cos DD DD θ=n n (1)67==．故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67．19．（本小题满分1）（本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识） 解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯，即28n a n =+．因为等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，所以112n n b -=⨯，即12n n b -=． （2）因为110a =，212a =，314a =，416a =，518a =，620a =，11b =，22b =，34b =，48b =，516b =，632b =．易知当5n ≤时，n na b >．下面证明当6n ≥时，不等式n nb a >成立．方法1：①当6n =时，616232b -==620268a >=⨯+=，不等式显然成立．②假设当n k =()6k ≥时，不等式成立，即1228k k ->+．则有()()()()122222821826218k k k k k k -=⨯>+=++++>++．这说明当1n k =+时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对6n ≥的所有整数都成立． 所以当6n ≥时，n nb a >．方法2：因为当6n ≥时()()()112281128n n n n b a n n ---=-+=+-+()()01211111C C C C 28n n n n n n -----=++++-+()()012321111111C C C C C C 28n n n n n n n n n n ---------≥+++++-+()()0121112C C C 28n n n n ---=++-+()()236460n n n n n =--=-+->，所以当6n ≥时，n nb a >．所以{}min ,n n n c a b =12,5,28,5.n n n n -⎧≤=⎨+>⎩则()22222,5,44, 5.n n n c n n -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩当5n ≤时，2222123n n S c c c c =++++ 2222123n b b b b =++++024222222n -=++++1414n -=-()1413n =-．当5n >时，2222123n n S c c c c =++++()()22222212567n b b b a a a =+++++++()51413=-()()()222464744n ⎡⎤+++++++⎣⎦()()()222341467867165n n n ⎡⎤=+++++++++-⎣⎦()()()()2222223414121253267645nn n ⎡⎤=++++-++++++++-⎣⎦()()()()()121653414553264562n n n n n n+++-⎡⎤=+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦3242421867933n n n =++-．综上可知，n S ()32141,5,3424218679, 5.33nn n n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪++->⎪⎩20．（本小题满分1）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得22 4.c ac a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得a =．（2）证明：由（1）可知，直线2533a x ==，点()23,0F ．设点5,3P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()00,Q x y ，因为220PF QF =，所以()0053,3,03t x y ⎛⎫----= ⎪⎝⎭ ．所以()00433ty x =-．因为点()00,Q x y 在双曲线E 上，所以2200154x y -=，即()2200455y x =-．所以20000200005533PQ OQy t y y ty k k x x x x --⋅=⋅=--()()2002004453453553x x x x ---==-．所以直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值45．（3）证法1：设点(),H x y ，且过点5,13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则22114520x y -=，22224520x y -=，即()2211455y x =-，()2222455y x =-．设PM MHPN HN λ==，则,.PM PN MH HN λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 即()()1122112255,1,1,33,,.x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫--=--⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩整理，得()()()1212121251,31,1,1.x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎪⎩①②③④由①×③，②×④得()()22221222221251,31.x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩⑤⑥将()2211455y x =-，()2222455y x =-代入⑥，得2221224451x x y λλ-=⨯--． ⑦将⑤代入⑦，得443y x =-．所以点H 恒在定直线43120x y --=上．证法2：依题意，直线l 的斜率k 存在．设直线l 的方程为513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 由2251,31.54y k x x y ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩ 消去y 得()()()22229453053255690k xk k x k k -+---+=．因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则有()()()()()()()22222122212290053900455690,3053,95425569.954k k k k k k k x x k k k x x k ⎧⎪∆=-+--+>⎪⎪-⎪+=⎨-⎪⎪-+⎪=⎪-⎩设点(),H x y ，由PM MH PN HN =，得112125353x x x x x x --=--．整理得()()1212635100x x x x x x -+++=．1将②③代入上式得()()()()()2222150569303553100954954k k x k k x k k -++--+=--．整理得()354150x k x --+=． ④因为点H 在直线l 上，所以513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ⑤ 联立④⑤消去k 得43120x y --=． 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．（本题（3）只要求证明点H 恒在定直线43120x y --=上，无需求出x 或y 的范围．） 21．（本小题满分1）（本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） 解：（1）因为()()221e xf x x x =-+，所以2()(22)e (21)e x x f x x x x '=-+-+()21e x x =-(1)(1)e xx x =+-．当1x <-或1x >时，()0f x '>，即函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞．当11x -<<时，()0f x '<，即函数()f x 的单调递减区间为()1,1-．所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-．（2）假设函数()f x 在()1,+∞上存在“域同区间”[,](1)s t s t <<，由（1）知函数()f x 在()1,+∞上是增函数，所以(),().f s s f t t =⎧⎨=⎩ 即22(1)e ,(1)e .s t s s t t ⎧-⋅=⎨-⋅=⎩也就是方程2(1)e xx x -=有两个大于1的相异实根．设2()(1)e(1)xg x x x x=-->，则2()(1)e1xg x x'=--．设()h x=2()(1)e1xg x x'=--，则()()221e xh x x x'=+-．因为在(1,)+∞上有()0h x'>，所以()h x在()1,+∞上单调递增．因为()110h=-<，()223e10h=->，即存在唯一的()1,2x∈，使得()h x=．当()1,x x∈时，()()0h x g x'=<，即函数()g x在()01,x上是减函数；当(),x x∈+∞时，()()0h x g x'=>，即函数()g x在(),x+∞上是增函数．因为()110g=-<，0()(1)0g x g<<，2(2)e20g=->，所以函数()g x在区间()1,+∞上只有一个零点．这与方程2(1)e xx x-=有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数()f x在()1,+∞上不存在“域同区间”．。

试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（文科）2014．4 本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh=,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合A B 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是A．y = B ．21y x =-+ C ．cos y x = D ．1y x =+ 5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是图1俯视图侧视图正视图33422A ．16B ．13C ．12D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体 的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π 7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为A ．9B ．10C ．11D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为ABCD9．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为ABC ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8, 按表1的方式进行 排列，记ija 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB == ，则AE AF ⋅ 的值为 .13．设,x y 满足约束条件220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与 圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R . (1) 求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值.17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2HFEDCBA名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.表218．（本小题满分14分） 如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点.（1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值； （2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分） 已知函数()2ln f x x x ax=++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；（2）当1a =时，函数()()1f x g x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828)21．（本小题满分14分） 已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T .（1）求a 的值；（2）若ST =，求直线1l的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141+ 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分∴4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12f θ=，∴142πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 4πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. ……………7分 ∴sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ……………9分212cos 4πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ……………11分212=-⨯34=. ……………12分 解法2：∵()12f θ=，∴142πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. ……………6分∴1cos cos sin sin 442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分E∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n ===，解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分 (2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. …………6分第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =，∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分 ∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ， ∴FH ∥平面BDE . ……………4分（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==， 由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B = ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，OHFEDCBA∴112FH BC ==.在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====,∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C = , ∴FH ⊥平面ABCD . ∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H = ,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 （3）解：连接EC ，在Rt △BFC 中，112FH BC ==，∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分） （1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分()()221121n pn q n p n q n p⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分 解得1p =-. ……………7分 解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d S na d n a n-⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++， ∴12d =，12d a p-=，0q =. ……………4分∴2d =，11p a =-，0q =.∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=，∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，①……………10分()1231442434144n nn T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，② ……………11分①-②得0121344444n n n T n --=++++-⋅ 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=，∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ .……………10分由()12311n nx x x x x x x x +-++++=≠- ， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦ .∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分20．（本小题满分14分） （1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax=++， ∴()12f x x a x '=++. ……………2分∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增，∴ ()0f x '≥, 即120x a x ++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分∴12a x x -≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分当0x >时, 12x x +≥=, 当且仅当12xx =,即x =时,取等号. ……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x ++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-. ……………3分当0∆≤,即a -≤≤时, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对()0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分当0∆>,即a <-或a >, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a > ……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分 （2）解：当1a =时,()()2ln ln 111f x x x x x g x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211ln 1x x g x x +-'=+. ……………7分∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x xϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x x ϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分()514ln 4ln44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分 ∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分21．（本小题满分14分） （1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分 第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==， 由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---=⎪++++⎝⎭()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =， ∴12x x -=由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=.展开得()()22222414414k x x y k k k ++++=-=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+.∴点B 的坐标为()211142,441kk k --+. ……………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………6分()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (7)分∵ST =，∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，得()225124k k k +=+，解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分 得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分整理得，()224410x x y k +-++=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. (13)分∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。

2014年广州市数学竞赛高二试题2014. 5. 10 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数=z ，z 是z 的共轭复数，则⋅z z 的值是 A ．14 B ．12C ．2D ．4 2．已知向量a 2,3x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭与向量b ()3,2x =-的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是 A ．1,22⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()1,2,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,00,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()0,2 3. 已知函数()2sin2cos2=+f x x x x ，则下列不等式中恒成立的是 A ．()3124π⎛⎫⎛⎫<<-⎪⎪⎝⎭⎝⎭f f f B ．()3142π⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f C ．()3142π⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f D ．()3142π⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f 4. 若实数,x y 满足()99233+=+x y x y ，则33=+x yt 的取值范围是A ．02<≤tB ．24<≤tC ．04<≤tD ．4≥t二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分． 5. 已知n ∈N *，()35721n a n =+++++ ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S = . 6．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上 的点数是5”为事件B ，则事件A 、B 中至多有一件发生的概率是 . 7. 函数()23f x x =+的最大值是 .DC 1B 1A 1BA 8. 设不等式组1,230,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线240x y --=对称，对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等 于 .9. 已知,,A B C 是表面积为64π的球面上三点，2,30AB ACB ︒=∠=，O 为球心，则直 线OA 与平面ABC 所成角的余弦值是 .10．若将函数()4=f x x 表示为()()()()()234012341111=+-+-+-+-f x a a x a x a x a x 其中01234,,,,a a a a a 为实数，则3a 的值为 .三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 11．（本小题满分15分）已知函数()2sin2cos f x x a x =+(a ∈R ，a 为常数)，且6π是函数()=y f x 的零点. （1）求a 的值； （2）若,122ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，求()f x 的最大值和最小值. 12．（本小题满分15分）已知直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是正三角形，D 是AC 的中点. （1）证明：1AB ∥平面1BC D ；（2）若2BC =，11AB BC ⊥，求三棱锥1D BC C -的体积.13. （本小题满分20分）已知椭圆:P ()222210+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为()1,0-F c 、()2,0F c ，点M 、 N 是直线2=a x c上的两个动点，且12⊥F M F N .（1）设圆C 是以线段MN 为直径的圆，试判断原点O 与圆C 的位置关系； （2）若椭圆P 的离心率为12，MN的最小值为P 的方程.14. （本小题满分20分）设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别为i 、j ，O 为坐标原点. 坐标平面上点n A 、(n B n ∈N *)分别满足下列两个条件：①12OA = j ，且1n n A A +=i +j ；②13OB =i ， 且1233nn n B B +⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭ i .（1）求向量n OA 及n OB的坐标；（2）若四边形11n n n n A B B A ++的面积是n a ，求n a 的表达式；（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切n ∈N *，都有n a M <成立？若存在，求M 的值；若不存在，说明理由.15．（本小题满分20分）已知函数1()(1)(0)xf x x x=+>，e 为自然对数的底数.（１）证明：()e f x <；（２）若n ∈N *，且a n >，证明：11e e 1a nnk a k n =++⎛⎫<⎪-⎝⎭∑.2014年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：每小题6分，满分24分.1．A 2．C 3．A 4．B二、填空题：每小题6分，满分36分.5.()()3234212n n n +-++ 6. 1112 7. 8. 9. 12 10. 4- 三、解答题：满分90分． 11．（本小题满分15分）（1）解：∵6π是函数()=y f x 的零点， ∴2sin cos 036ππ+=a . …………2分解得3=-a . …………4分（2）解：由（1）得()2sin 2=f x x x1cos 2sin 232+=-xx …………6分sin 2233=--x x …………8分26π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x . …………10分 ∵,122ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ， ∴52,636πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦x . …………11分∴当262ππ-=x ，即3π=x 时，()f x 取得最大值，其值为3； …………13分当263ππ-=-x ，即12π=-x 时，()f x 取得最小值，其值为13--.……15分OG FDC 1B 1A 1CBA 12．（本小题满分15分）（1）证明：连接1B C ，1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD ， ∵四边形11BCC B 是矩形， ∴点O 是1B C 的中点. ∵D 是AC 的中点， ∴OD ∥1AB . …………2分 ∵1AB ⊄平面1BC D ，OD ⊂平面1BC D ， ∴1AB ∥平面1BC D . …………4分 （2）解：取BC 的中点F ，连接1,AF B F ，∵△ABC 是正三角形，∴AF BC ⊥.∵平面ABC ⊥平面11B BCC ，且平面ABC 平面11B BCC BC =，∴AF ⊥平面11B BCC . …………6分 ∵1BC ⊂平面11B BCC ，∴AF ⊥1BC . ∵11AB BC ⊥，1AB AF A = ，1AB ⊂平面1AB F ，AF ⊂平面1AB F ， ∴1BC ⊥平面1AB F . …………8分 ∵1B F ⊂平面1AB F ，∴1BC ⊥1B F . ∵1B B BC ⊥， ∴11FB B C BC ∠=∠. ∵1190B BF BCC ︒∠=∠=，∴△1B BF ～△1CBC . …………10分 ∴111B B BF BFBC CC B B==. ∴212B B BF BC == .∴1B B = …………12分 取CF 的中点G ，连接DG ，则DG ∥AF，且12DG AF == 由于AF ⊥平面11B BCC ，则DG ⊥平面11B BCC . ∴三棱锥1D BC C -的体积为1111233226BCC V S DG ∆==⨯⨯=.…15分 13. （本小题满分20分）解：（1）设2212,,,⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a M y N y c c ，则221122,,,,⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a F M c y F N c y c c2212,,,⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a OM y ON y c c .∵12⊥F M F N ， ∴120⋅=FM F N .∴22120a a c c y y c c ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22212⎛⎫+= ⎪⎝⎭a y y c c . …………4分 ∵222120⎛⎫⋅=+=> ⎪⎝⎭a OM ON y y c c ， ∴∠MON 为锐角.∴原点O 在圆C 外. …………8分（2）∵椭圆P 的离心率为12，∴2=a c . …………9分∴()()124,,4,M c y N c y ，且22221215⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭a y y c c c . …………10分()222222212121212230=-=+-=++MNy y y y y y y y c 221223060≥+=y y c c ，当且仅当12=-=y y或21=-=y y 时取等号. …………14分∴MN的最小值为. …………16分依题意得，=1=c，从而2,=a b . …………19分∴椭圆P 的方程为22143+=x y . …………20分 14. （本小题满分20分）（1）解：112231n n nOA OA A A A A A A -=++++2=j ()1n +-()+i j =()1-n i ()1++n j ()()()1,1=-+n n ， …………4分 112231-=++++n n n OB OB B B B B B B3=i 1233⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭i 223⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭3i 1233-⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭n i2133213⎛⎫- ⎪⎝⎭=⨯-n i299,03⎛⎫⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n. …………8分（2）解：由（1）知，直线1+n n A A 交x 轴于点Q ()2,0-，11++∆∆=-n n n nn QA B QA B a S S ()()11212119211912323+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯+--⨯⨯+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n nn n()1112123n n -⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭. …………12分（3）解：()1111211212323n nn n a a n n -+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-⨯-+⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()112212133333n n n n n --⎛⎫⎡⎤⎛⎫=--=-⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭. …………14分 当2n ≤时，10+-<n n a a ；当3n =时，10+-=n n a a ；当3n >时，10+->n n a a . 故12233445560,0,0,0,0,a a a a a a a a a a -<-<-=->->等等.即在数列{}n a 中，34118762918a a ==+=是数列的最大项， …………18分 所以存在最小的自然数7=M ，对一切n ∈N *，都有n a M <成立. …………20分15．（本小题满分20分）（１）证明：要证e 11xx ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，只要证明1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ ，由于0x >，等价于证明11ln 1x x⎛⎫+< ⎪⎝⎭，设11t x+= ，则1t > ，等价于证明ln 1t t <-. …………3分令()ln 1=-+g t t t ，则()11'=-g t t.当1>t 时，()110'=-<g t t，故函数()g t 在[)1,+∞上单调递减.∴当1>t 时，()()10<=g t g .∴当1t > ，ln 1t t <-成立.故()e f x <成立. …………8分（２）证明：∵())1e (1na k n a k nnna k n a k n a k n n n n a k n ⋅+-+-+-⎛⎫⎪+++-⎛⎫⎛⎫==+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+-⎝⎭，…………14分∴12(1)1ee e e nna na n a n n a n n k a k n +-+-+--+-=+⎛⎫<++++ ⎪⎝⎭∑…………16分 1(1)e e e a a a n ---=+++11e 1e 1e na ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- …………18分1e e 1a<-11e a e +=-. …………20分。

2014年高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、某某、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

参考公式：13V Sh =棱锥（S 是锥体的底面积，h 是锥体的高） 第一部分选择题（共40分）一．选择题（本大题共8道小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的） 1．已知集合{}21<-=x x A ，集合{}0ln >=x x B ，则集合=⋂B A ( ) A.)3,1( B.)3,0( C.)3,1(- D.)1,1(-2．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知向量)1,2(x a =，向量)2,4(-=b ，若b a //，则b a +为（ ）A ．（-2，2）B ．（-6，3）C ．（2，-1）D ．（6，-3）4．直线l ：1+=kx y 与圆O ：122=+y x 相交于A ，B 两点，则“3=k ”是“△OAB 的面积为43”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5． 直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于( )A.030 B.045 C.060 D.0906．在ABC ∆中，点M 是BC 中点，若0120=∠A ，21-=•AC AB的最小值是（ ） A.2 B.22 C.23 D.21 7．若函数()f x 满足()f x ＝()f x π-，且当(,)22x ππ∈-时，()sin f x x x =+，则(1),(2),(3)f f f 的大小关系为( )A.)2()1()3(f f f <<B.)3()2()1(f f f <<C.)1()2()3(f f f <<D.)1()3()2(f f f <<8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点)0)(0,(>-c c F ，过点F 作圆：4222b y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若EP FE =，则双曲线的离心率为（ ）A.10B.5C.210 D.25第二部分非选择题（110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。

试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2014.4 本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i 2．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数图1俯视图侧视图正视图5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12D ．38 6．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为 A ．16 B ．13CD7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253 表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则A E A F ⋅的值 为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .D CB A a 图3重量/克0.0320.02452515O 13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦， 当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12A E EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值. 图2 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.FE D CB18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 图4 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .(1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个 定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值； （2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+.2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =，∴222cos 2AB AD BD A AB AD+-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin A ==. ……………6分 ∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得3BC =……………10分 由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin AB AC BC⋅===. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =，M OH FED C B ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM = ……………3分在△AME中，AE =1AM =，EM = ∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO F H == .……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EOBD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分 在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE……………14分证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH ==. ……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos ,n AE⋅=n AE nAE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分 当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分 ①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分 ∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. (1)分∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分 解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意,得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440xkx --=， 解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分 ∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分 ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242kk k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分 得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x k x x -+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=. ……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分 令()ln 2x k g x x x =-+，则()222112222k x x kg x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减. 由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分 （ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分 (ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x -+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >， 从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分 111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n--=+. ……………14分。

2014年广州市普通高中毕业班综合测试一文科数学试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2014.3本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式ShV 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ．第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()()ln 1f x x =+的定义域为（ ）A.(),1-∞-B.(),1-∞C.()1,-+∞D.()1,+∞ 2.已知i 是虚数单位，若()234m i i +=-，则实数m 的值为（ ）A.2-B.2±C. D.2 3.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2C B =，则cb为（ ） A.2sin C B.2cos B C.2sin B D.2cos C 4.圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ） A.()()22211x y -+-= B.()()22121x y ++-= C.()()22211x y ++-= D.()()22121x y -++=5.已知1x >-，则函数11y x x =++的最小值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.2 6.函数()21xf x x =+的图象大致是（ ）7.已知非空集合M 和N ，规定{}M N x x M x N -=∈∉且，那么()M M N --等于（ ） A.M N B.M N C.M D.N 8.任取实数a 、[]1,1b ∈-，则a 、b 满足22a b -≤的概率为（ ）A.18 B.14 C.34 D.789.设a 、b是两个非零向量，则使a b a b ⋅=⋅ 成立的一个必要非充分的条件是（ ）A.a b =B.a b ⊥C.()0a b λλ=>D.//a b10.在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin2n n n a a π++-=，记nS为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =（ ）A.1006B.1007C.1008D.1009第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，，每小题5分，满分20分）11.执行如图1所示的程序框图，若输出7S =，则输入()k k N*∈的值为 .12.一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图2所示，则这个四棱锥的体积是 .图2侧（左）视图正（主）视图13.由空间向量()1,2,3a = ，()1,1,1b =- 构成的向量集合{},A x x a kb k Z ==+∈，则向量x 的模x 的最小值为 .（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A 、B两点，若AB =a 的值为 .15.（几何证明选讲选做题）如图3，PC 是圆O 的切线，切点为点C ，直线PA 与圆O 交于A 、B 两点，APC ∠的角平分线交弦CA 、CB 于D 、E 两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为 .三、解答题 （本大题共6小题，满分80分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知某种同型号的6瓶饮料中有2瓶已过了保质期. （1）从6瓶饮料中任意抽取1瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率； （2）从6瓶饮料中随机抽取2瓶，求抽到已过保质期的饮料的概率.17.（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求实数a 的值；（2）设()()22g x f x =-⎡⎤⎣⎦，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间.18.（本小题满分14分）如图4，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F BF =. （1）求证：11EF AC ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ，使A 、E 、G 、F 四点共面，并求此时1C G 的长； （3）求几何体ABFED 的体积.图4D 1C 1B 1A 1FE DCBA19.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，数列{}n b 满足62n n nb a n =-，n N *∈. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记{}max ,n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . （注：{}max ,a b 表示a 与b 的最大值.）20.（本小题满分14分）已知函数()32693f x x x x =-+-.（1）求函数()f x 的极值；（2）定义：若函数()h x 在区间[](),s t s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”.试问函数()f x 在()3,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）已知双曲线()222:104x y E a a -=>的中心为原点O ，左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为5，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF ⋅= .（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上去异于点M、N的点H，满足PM MHPN HN=，证明点H恒在一条定直线上.2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分）（本小题主要考查古典概型等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识）（1）解：记“从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料”为事件A，从6瓶饮料中中任意抽取1瓶，共有6种不同的抽法．因为6瓶饮料中有2瓶已过保质期，所以事件A包含4种情形．则()4263 P A==．所以从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料的概率为2 3．（2）解法1：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B，随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为x，y，则),(yx表示第一瓶抽到的是x，第二瓶抽到的是y，则),(yx是一个基本事件．由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等．不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4，已过保质期的饮料为a，b，则从6瓶饮料中依次随机抽取2瓶的基本事件有：() 1,2，()1,3，()1,4，()1,a，()1,b，()2,1，()2,3，()2,4，()2,a，()2,b，() 3,1，()3,2，()3,4，()3,a，()3,b，()4,1，()4,2，()4,3，()4,a，()4,b，(),1a，(),2a，(),3a，(),4a，(),a b，(),1b，(),2b，(),3b，(),4b，(),b a．共30种基本事件．由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件B包含的基本事件有：() 1,a，()1,b，()2,a，()2,b，()3,a，()3,b，()4,a，()4,b，(),1a，(),2a，(),3a，(),4a，(),a b，(),1b，(),2b，(),3b，(),4b，(),b a．共18种基本事件．则183 ()305P B==．所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为3 5．解法2：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B，随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为x ，y ，则),(y x 是一个基本事件．由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等．不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为a ，b ，则从6瓶饮料中随机抽取2瓶的基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()1,a ，()1,b ，()2,3，()2,4，()2,a ，()2,b ，()3,4， ()3,a ，()3,b ，()4,a ，()4,b ，(),a b ．共15种基本事件．由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件B 包含的基本事件有：()1,a ，()1,b ，()2,a ，()2,b ，()3,a ，()3,b ，()4,a ，()4,b ，(),a b ．共9种基本事件．则93()155P B ==．所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为35．17．（本小题满分）（本小题主要考查三角函数图象的周期性与单调性、同角三角函数的基本关系、三角函数的化简等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 所以03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即022a -+=．解得a =（2）由（1）得，()sin f x x x =+12sin 2x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos cos sin 33x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 所以函数()x f 的最小正周期为2π．因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ， 所以当πππ2π2π232k x k -≤+≤+()k ∈Z 时，函数()x f 单调递增，即5ππ2π2π66k x k -≤≤+()k ∈Z 时，函数()x f 单调递增．所以函数()x f 的单调递增区间为5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．18．（本小题满分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：连结11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111AC B D ⊥．在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ，所以111AC DD ⊥．因为1111B D DD D = ，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D，所以11AC ⊥平面11BB D D．因为EF ⊂平面11BB D D，所以11EF AC ⊥．（2）解：取1C C的中点H ，连结BH ，则BH AE ．在平面11BB C C中，过点F 作FG BH ，则FG AE ．连结EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面．因为11122CH C C a ==，11133HG BF C C a===， 所以1C G 116C C CH HG a =--=． 故当1C G 16a=时，A ，E ，G ，F 四点共面．（3）解：因为四边形EFBD 是直角梯形，所以几何体ABFED 为四棱锥A EFBD -．因为()2113222EFBDa a BF DE BD S ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===，点A 到平面EFBD的距离为122h AC ==，所以231153312236A EFBD EFBD V S h a a -==⨯⨯=． 故几何体ABFED 的体积为3536a ．19．（本小题满分）（本小题主要考查等差数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯，即28n a n =+．所以62n n nb a n=-22n n =-．（2）由（1）知()()2228n n b a n n n -=--+()(24822n n n n ⎡⎤⎡⎤=--=+-+⎣⎦⎣⎦，因为526<+，所以当5n ≤时，n n a b >，当5n >时，n nb a >． 所以{}max ,n n nc a b =228,5,2, 5.n n n n n +≤⎧=⎨->⎩当5n ≤时，123n n S c c c c =++++ 123na a a a =++++()10121428n =+++++()10282n n++=⨯29n n =+． 当5n >时，123n nS c c c c =++++()()12567n a a a b b b =+++++++()()()()()222225956267278282n n ⎡⎤=+⨯+-⨯+-⨯+-⨯++-⨯⎣⎦()()2222706782678n n ⎡⎤=+++++-++++⎣⎦()()()()22222222265701231234522n n n +-⎡⎤=+++++-++++-⎢⎥⎣⎦()()()()1217055656n n n n n ++⎡⎤=+--+-⎢⎥⎣⎦3211545326n n n =--+．综上可知，n S 2329,5,11545,5.326n n n n n n n ⎧+≤⎪=⎨--+>⎪⎩20．（本小题满分）（本小题主要考查函数的极值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）解：（1）因为()32693f x x x x =-+-，所以()23129f x x x '=-+()()313x x =--．令'()0f x =，可得1x =或3x =． 则'(),()f x f x 在R 上的变化情况为：所以当1x =时，函数()f x 有极大值为1，当3x =时，函数()f x 有极小值为3-．（2）假设函数()f x 在()3,+∞上存在“域同区间”[],s t ()3s t <<，由（1）知函数()f x 在()3,+∞上单调递增．所以()(),.f s s f t t =⎧⎪⎨=⎪⎩即3232693,693.s s s s t t t t ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩也就是方程32693x x x x -+-=有两个大于3的相异实根．设32()683g x x x x =-+-()3x >，则2()3128g x x x '=-+． 令()g x '0=，解得123x =<，223x =+>．当23x x <<时，()g x '0<，当2x x >时，()g x '0>，所以函数()g x 在区间()23,x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增．因为()3 60g =-<，()()230g x g <<，()5120g =>，所以函数()g x 在区间()3,+∞上只有一个零点．这与方程32693x x x x -+-=有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数()f x 在()3,+∞上不存在“域同区间”．21．（本小题满分）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得225 4.c a c a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得a =．（2）证明：由（1）可知，直线2533a x ==，点()23,0F ．设点5,3P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()00,Q x y ，因为220PF QF =，所以()0053,3,03t x y ⎛⎫----= ⎪⎝⎭ ．所以()00433ty x =-．因为点()00,Q x y 在双曲线E 上，所以2200154x y -=，即()2200455y x =-．所以20000200005533PQ OQy t y y ty k k x x x x --⋅=⋅=--()()2002004453453553x x x x ---==-．所以直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值45．（3）证法1：设点(),H x y ，且过点5,13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，由（2）知()2211455y x =-，()2222455y x =-．设PM MHPN HN λ==，则,.PM PN MH HN λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 即()()1122112255,1,1,33,,.x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫--=--⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩整理，得()()()1212121251,31,1,1.x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎪⎩①②③④由①×③，②×④得()()22221222221251,31.x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩⑤⑥将()2211455y x =-，()2222455y x =-代入⑥，得2221224451x x y λλ-=⨯--． ⑦将⑤代入⑦，得443y x =-．所以点H 恒在定直线43120x y --=上．证法2：依题意，直线l 的斜率k 存在．设直线l 的方程为513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 由2251,31.54y k x x y ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()()()22229453053255690k x k k x k k -+---+=．因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则有()()()()()()()22222122212290053900455690,3053,95425569.954k k k k k k k x x k k k x x k ⎧⎪∆=-+--+>⎪⎪-⎪+=⎨-⎪⎪-+⎪=⎪-⎩设点(),H x y ，由PM MH PN HN =，得112125353x x x x x x --=--．整理得()()1212635100x x x x x x -+++=．将②③代入上式得()()()()()2222150569303553100954954k k x k k x k k -++--+=--．整理得()354150x k x --+=． ④因为点H 在直线l 上，所以513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ⑤ 联立④⑤消去k 得43120x y --=． 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．（本题（3）只要求证明点H 恒在定直线43120x y --=上，无需求出x 或y 的范围．）。

广东省广州市2014-2015学年高二下学学期期末五校联考数学（理科）试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为( )A.0B.1C.4D.22.复数1z i =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是 A. z 的实部为1- B. z 的虚部为1 C.2z z ⋅= D.zi z=3.已知等差数列}{n a 中，79416,1a a a +==，则12a 的值是（ ）A . 15B . 30 C. 31 D. 64 【答案】A 【解析】试题分析：根据等差数列的性质，可知79412a a a a +=+，所以有1216115a =-=，故选A. 考点：等差数列的性质.4.如图所示，正四棱锥 (底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心) P ABCD -的底面边长为6cm ，侧棱长为5cm ，则它的正视图的面积等于A.5.在△ABC 中，4cos 5A =，8AB AC ⋅=，则△ABC 的面积为（ ）. A.65 B.3 C.125D.66.下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件 C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥ 【答案】D 【解析】试题分析：根据p q ∨为真命题，可知,p q 有一个真即可，而p q ∧为真命题，要求,p q 两者都真，故A 不正确，因为2b a a b +≥要求b a 0>，即,a b 同号，所以“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分不必要条件，故B 不正确，命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠”，故C 不正确，根据特称命题的否定形式，可知D 是正确的，故选D.考点：复合命题的真值表，充要条件，逆否命题，特称命题的否定.7.将编号为1、2、3、4的四个小球任意地放入A 、B 、C 、D 四个小盒中，每个盒中放球的个数不受限制，恰好有一个盒子是空的概率为（ ）()169A()41B()43C()167D8.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过()n n N +∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数.有下列函数：①()sin 2f x x =； ②3()g x x = ③1()();3xh x = ④()ln x x φ=，其中是一阶整点函数有( ) 个 A.1 B.2 C.3 D.4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分） (一)必做题(9～13题)9.函数21)(--=x x x f 的定义域为___________.10.关于x 的二项式41(2)x x-展开式中的常数项是11.如右图，是一程序框图，则输出结果为 【答案】511【解析】试题分析：根据题意，可知执行的结果为1111113355779911S =++++=⨯⨯⨯⨯⨯1111115(1)233591111-+-++-=. 考点：程序框图，裂项相消法求和.12.如果关于x 的不等式a x x ≥-+-32的解集为R, 则a 的取值范围是 .13.设平面区域D 是由双曲线1422=-x y 的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为 ．（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分） 14.（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ 与圆2=ρ的公共点个数是________； 【答案】1 【解析】试题分析：直线2)4cos(=-πθρ平面直角坐标方程为20x y +-=，圆2=ρ的平面直角坐标方程为222x y +=，此时圆心(0,0)到直线2x y +=的距离d ==，等于圆的半径，所以直线与圆的公共点的个数为1个.考点：曲线的极坐标方程与平面直角坐标方程的转换，圆与直角的位置关系.15.15（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分12分）已知函数x x a x f cos sin )(+=的图象经过点)1,2(-π．（1）求函数()x f 的最小正周期与单调递增区间． （2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值.……1分17.（本题满分12分） 数列{}n b ()*∈Nn 是递增的等比数列，且4,53131==+b b b b.(Ⅰ)若3log 2+=n n b a ,求证：数列{}n a 是等差数列; (Ⅱ)若+++3221a a a ……46a a m ≤+,求m 的最大值. 【答案】(Ⅰ)证明略； (Ⅱ) 7【解析】试题分析：第一问根据题意可知13,b b 是方程0452=+-x x 的两根，结合题的条件递增数列，从而确定出1 8.（本题满分14分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）请根据图中所给数据，求出a的值；（2）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）0.03a=（2）EX=27 11所以X的分布列为第19题图312355555511EX =⨯+⨯+⨯=． …………………14分 考点：频率分布直方图，离散型随机变量的分布列及期望.19.（本题满分14分）如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，PA 、NC 都垂直于平面ABCD ，且4P A A B ==，2NC =，M 是线段PA上一动点．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面NEF ；（Ⅱ）若//PC 平面MEF ，试求:PM MA 的值；（Ⅲ）当M 是PA 中点时，求二面角M EF N --的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明略； （Ⅱ）1:3 （Ⅲ）∵//PC 平面MEF ，平面PAC 平面MEF OM ，（Ⅲ）(4,4,2)N ，则(0,2,2)EN =，设平面NEF 的法向量为(,,)m x y z =，则00m EN m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220y z x y +=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，即(1,1,1)m =-，当M 是PA 中点时，2m =，则(1,1,3)n =，∴cos ,m n <>==， ∴二面角M EF N --的余弦值为分 考点：面面垂直的判定，线面平行的性质，二面角的余弦值.20.（本题满分14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左、右两个焦点分别为1F 、2F，上顶点),0(b A ，21F AF ∆为正三角形且周长为6.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）O 为坐标原点，P 是直线A F 1上的一个动点，求||||2PO PF +的最小值，并求出此时点P 的坐标．||||2PO PF +的最小值为7)023()123(||222=-+--=MF …………… 11分 直线2MF 的方程为)1(123023----=x y 即)1(53--=x y …………… 12分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=--=3332)1(3)1(53y x x y x y ，所以此时点P 的坐标为 )33,32(-…… 14分 考点：椭圆的方程，椭圆的性质，点关于直线的对称点问题，距离和的最值.21.(本题满分14分)已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '.（1）当13a =时，若不等式1()3f x '>-对任意x R ∈恒成立，求b 的取值范围； （2）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）(0,1)（2）是0t ≤<或0t <<t =【解析】 试题分析：第一问将13a =代入函数解析式，求出函数的导数，将不等式化简为220x bxb ++>，从而根据判别式大于零得出b 所满足条件，从而求得其范围是(0,1)，第二问根据函数为奇函数，得出0b =，根据在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，可以得出'(1)2f =-，从而求得a 的值，从而确定出函数的解析式，确定出函数的单调区间，注意对t 的取值进行讨论.试题解析：（1）当13a =时，21()23f x x bx b '=++-，………１分 依题意 21()23f x x bx b '=++-13>- 即220x bx b ++>恒成立 2440b b ∴∆=-<，解得 01b <<所以b 的取值范围是(0,1)………3分。

2014年高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

参考公式：13V Sh =棱锥 （S 是锥体的底面积，h 是锥体的高） 第一部分选择题（共40分）一．选择题（本大题共8道小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的） 1．已知集合{}21<-=x x A ，集合{}0ln >=x x B ，则集合=⋂B A ( ) A. )3,1( B. )3,0( C. )3,1(- D. )1,1(-2．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知向量)1,2(x a =，向量)2,4(-=b ，若//，则+为（ ）A ．（-2，2）B ．（-6，3）C ．（2，-1）D ．（6，-3）4．直线l ：1+=kx y 与圆O ：122=+y x 相交于A ，B 两点，则“3=k ”是“△OAB 的面积为43”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5． 直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于( )A. 030B. 045C. 060D.0906．在ABC ∆中，点M 是BC 中点，若0120=∠A ，21-=•的最小值是（ ） A. 2 B.22 C. 23 D. 21 7．若函数()f x 满足()f x ＝()f x π-，且当(,)22x ππ∈-时，()sin f x x x =+，则(1),(2),(3)f f f 的大小关系为( )A. )2()1()3(f f f <<B. )3()2()1(f f f <<C. )1()2()3(f f f <<D. )1()3()2(f f f <<8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点)0)(0,(>-c c F ，过点F 作圆：4222b y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若EP FE =，则双曲线的离心率为（ ）A. 10B. 5C.210 D. 25第二部分非选择题（110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。