高中数学模块综合测评新人教A版选修4-4

模块综合检测卷（测试时间：120分钟评价分值：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1. 将点的极坐标（n,—2 n）化为直角坐标为（)A.(n, 0)B. ( n, 2 n )C.(—n, 0)D.(—2n, 0)1.Ae ex= cos — + sin —,2. 参数方程（e为参数，o w e < 2 n ）表示（）1 y= —（1 + sin e）、1A. 双曲线的一支，这支过点 1 ,—1B. 抛物线的一部分，这部分过点1,—1c.双曲线的一支，这支过点一1,—1D.抛物线的一部分，这部分过点—1, 22.Bx = a +1 cos e ,3. 在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有y = b+1 sin e参数值分别为「、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（玄阜系是B C两点，它们对应的A. B. 11+ 122C. |t1—t2|2D.I t1 + t2|23.B4.设r > 0,那么直线x cos e + y sin e = r 与圆x=rcos y =r si n （0为参数）的位置关5.在极坐标系中与圆 p = 4sin B 相切的一条直线的方程为 （ ）4A. 相交B .相切C. 相离D .视r 的大小而定 4. B5.在极坐标系中与圆 p = 4sin B 相切的一条直线的方程为 （ ）46. Cx = 3 + 2sin e ,7.原点到曲线C y_2+2^ e （°为参数）上各点的最短距离为（C. 3+ 13D. 137. A8 .圆 p = 5cos e — 5 3sine 的圆心是( )B.A. 1 B 10. C11.集合 M = (x ,x = 3cos e , y= 3si n e(e 是参数，0< e < n), N = {( x , y )| y = x + A. p cos e = 2 B . p sin e = 2nC. p = 4si n e + ㊁ nD . p = 4sin e ——5. A6.若双曲线的参数方程为 x = — 2+ ta n ey =1 + 2sec e （ °为参数），则它的渐近线方程为（1A. y — 1 = ± ^(x + 2) C. y — 1 = ± 2( x + 2).y =±2 xnC. 5, - D.—5,8.A9.曲线x = cos y = sin（e 为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是1A” B .1 D. 29. D 10.若曲线p = 2 2上有n 个点到曲线p cos e +nn = ,2的距离等于 2，则n =（b ｝，若集合Mn NM ?，贝y b 应满足（）A. — 3 2 w b w 3 2 B 3 2<b <— 3 C. O w b w 3 2 D . — 3<b <3 211. 解析：集合M 表示x 2+ y 2= 9的圆，其中y > 0,集合N 表示一条直线，画出集合 M 和N 表示的图形，可知一3v b w3 2.答案：D 12.点P （x ，y ）是曲线3x 2 + 4y 2— 6x — 8y — 5 = 0上的点，贝U z = x + 2y 的最大值和最小 值分别是（ ）A. 7，— 1 B . 5，1 C . 7，1 D . 4，— 1（X - 1） 2 （V - 1） 2X = 1 + 2cos 0，12.解析：将原方程配方得（X/ +（VQ ）= 1,令（0为参数），43y = 1 3sin 0兀” 兀r n则 x + 2y = 3+ 4sin 0 + §，二当 sin 0 + § = 1 时，（x + 2y ）max = 7，当 sin 0 + § =一 1 时，（X + 2y ）min = — 1.答案：A13. _____________________________________________________ 设点p 的直角坐标为（1，1,、/2），则点P 的柱坐标是 __________________________________ ，球坐标是 ________x = 1 — 2t ，x = s ，14.若直线11 ：（t 为参数）与直线12： （s为参数）垂直，则k =y = 2 + kt y = 1 — 2s14. — 1 15.（2015 •深圳市高三第一次调研考试， 理数）在极坐标系中，曲线C : p cos 0 =羽2与曲线Q ： p cos 2 0 = 1相交于A ，B 两点，则| AEB = _____________ .15. 2、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分•将正确答案填在题中的横线上13.2，4， 22,x=J2cos t，16. （2013 •广东卷）已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，y=Q2sin t1）处的切线为I，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则I的极坐标方程为_____________ .16. p cos B + p sin 0 = 2三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17. (本题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极— n n轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为2,—，直线I的极坐标方程为p cos 0 —牙=a,且点A在直线I 上.(1) 求a的值及直线I的直角坐标方程；x = 1 + cos a ,(2) 圆C的参数方程为(a为参数)，试判断直线I与圆的位置关系.y = sin a17. 解析：⑴由点A“』2, 4在直线p cos 0 —4 = a上，可得a=“J2.所以直线I的方程可化为p cos 0 + p sin 0 = 2，从而直线I的直角坐标方程为x + y—2 = 0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为2 2(x —1) + y = 1.所以圆心为(1 , 0)，半径r = 1,贝U圆心到直线I的距离d= ¥<1，所以直线I与圆C相交.x= t cos a ,18. （2015 •全国卷n,数学文理23）在直角坐标系xOy中，曲线C: （ty= t sin a ,为参数，且t丰0)，其中O W a <n,在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2: p = 2sin 0 , C3: p = 2 3cos 0 .(1) 求G与G交点的直角坐标；(2) 若C与Q相交于点A, C与G相交于点B,求| AB最大值.18. 解析：(1)曲线G的直角坐标方程为x2+ y2—2y= 0,曲线C3的直角坐标方程为x2+ y23x =十x= 0 2—2叮3 x= 0，联立两方程解得或，所以C2与G交点的直角坐标为(0 , 0), y= 0 3(2)曲线C极坐标方程为0= a ( p € R, p工0)，其中0W a V n，因此点A的极坐标为（2sin a , a ），点B 的极坐标为（2』3C0S a , a ）.大值为4.x = 1 + 专t ,⑵把直线代入X 2+ y 2= 4得1 +1y = 1 + 2t••• t 2 + ( 3 + 1)t — 2= 0,••• t 1t 2=— 2,故点P 到A , B 两点的距离之积为 2.20.(本小题满分14分)(2013 •辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，圆C : x 2+ y 2= 4,圆C 2:2 2(X — 2) + y = 4.（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C , Q 的极坐标方程,并求出圆C , C 2的交点坐标（用极坐标表示）；（2）求圆C 与C 2的公共弦的参数方程. 20.解析：（1）圆C 的极坐标方程为 p = 2. 圆C 2的极坐标方程为 p = 4cos 9 .p = 2, p = 4cosnn故圆C 与圆G 交点的坐标为 2, — , 2,——.注：极坐标系下点的表示不唯一.x = p cos 9 ,f-⑵ 解法一 由得圆C 与C 2交点的直角坐标分别为（1 ,、3） , （1 ,—y = p sin 9所以 | AB = |2sina — 2 3C0S a |7t=4sin a3 ，当5 n6时| AB 取得最大值，最19.（本小题满分 14分）已知直线I 经过R1， 1），倾斜角7t6⑴写出直线 I 的参数方程;（2）设I 与圆X 2+ y 2 = 4相交于 A B 两点, 求点 P 到A B 两点的距离之积. 19.解析：（1）直线的参数方程为nX= 1 + tC0S6，x = 1 +7ty = 1 +1 sin1y = 1 + 2t（t 为参数）.21+ 1 + 2t11cos e •sin e— tan e,原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 的极坐标方程是的顶点都在 G 上，且A B, C, D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为⑴ 求点A B, C, D 的直角坐标;⑵设P 为C 上任意一点，求|PA 2 + |PB 2+ |PC 2+ I PD 2的取值范围.令 S =| PA 2+ | PB 2+ I PC 2+ I PD 2，贝U S = 16COS 20 + 36sin 2 0 + 16= 32 + 20sin 2 0 .因为O w sin 20 w 1,所以S 的取值范围是[32 , 52].1 x =2 22.（本小题满分14分）分别在下列两种情况下， 把参数方程1 y=2化为普通方程.于是圆C 与C 2的公共弦的参数方程为x = 1, y = tane 为参数,21.（本小题满分14分）已知曲线C 的参数方程是x = 2cos y = 3sin为参数），以坐标故圆C 与C 2的公共弦的参数方程为x = 1, y = t(t 为参数，—3 < t w 3)x = 解法二 将x = 1代入y =p cosp sin p cos e = 1,从而cos e ? y —p = 2，正方形ABCDA 2cos3 , 2sin 3 ,nnn nB 2cos —+ 2 , 2sin 一 +— 332 ，nnC 2cos 3 + n , 2sin3 + n,n3n n 3 nD 2cos 3 + 2 , 2sin —+------3十2,即 A (1,3) ,B ( — 3 , 1), q — 1 ,3) , Q 3,— 1).(e t+ e —t ) cos e , 21.解析：（1）由已知可得冗冗⑵设 F(2cos 0 , 3sin 0 ),1（1）e为参数，t为常数;（2）t为参数，e为常数.22 .解析： ⑴ 当 t = 0 时，y = 0, x = cos B ,即 | x | < 1,且 y = 0;/当t 工0时，cos x0 = 1--------------------， t —t 、 2 (e + e ) sin 0 y 2 (e t — e -1) ，而 x 2+ y 2= 1, 即 ------------ +1 t — t2 .(e t + e t ) 2 4 2= 1. I t — t 2 4 ( e — e ) 0= k n, k € Z 时，y = o , 1 —x =± 2(e t + e —t)，即 | x | > 1,且 y = 0;n r , 2 , k € Z 时, x = 0, y =± 2(e t — e — t )，即 x = 0;k € Z 时, t 2e —t 2e t — t 2x e + e = cos 0， t —t 2y e — e = sin 0， t 2x 2y 2e = ------ 2e cos 0 sin 0 ' 2x cos 0 sin 0 2y 2x 2y cos 0 sin 0 2y cos 0 sin 0 ' 2 2 即 —■ ^2 = 1.cos 0 sin 02e -t 2x。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程cos θ＝32(ρ∈R )表示的曲线是( ) A ．两条相交直线 B ．两条射线 C ．一条直线D ．一条射线【解析】 由cos θ＝32，解得θ＝π6或θ＝116π， 又ρ∈R ，故为两条过极点的直线． 【答案】 A2．极坐标系中，过点P (1，π)且倾斜角为π4的直线方程为( ) A ．ρ＝sin θ＋cos θ B ．ρ＝sin θ－cos θ C ．ρ＝1sin θ＋cos θD ．ρ＝1sin θ－cos θ【解析】 设M (ρ，θ) 为直线上任意一点，则 在△OPM 中，由正弦定理得ρsin π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4， ∴ρ＝1sin θ－cos θ.【答案】 D3．已知参数方程⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θy ＝bt ＋λsin θ(a 、b 、λ均不为零，0≤θ≤2π)，分别取①t 为参数；②λ为参数；③θ为参数，则下列结论中成立的是( )A ．①、②、③均是直线B ．只有②是直线C ．①、②是直线，③是圆D ．②是直线，①③是圆【解析】 ①t 为参数，原方程可化为：y －λsin θ＝ba (x －λcos θ)，②λ为参数，原方程可化为：y －bt ＝(x －at )·tan θ，③θ为参数，原方程可化为： (x －at )2＋(y －bt )2＝λ2，即①、②是直线，③是圆． 【答案】 C4．将曲线x 23＋y 22＝1按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 变换后的曲线的参数方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ B.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13cos θy ＝12sin θD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θy ＝22sin θ【解析】 x 23＋y 22＝1→(3x ′)23＋(2y ′)22＝1→(3x ′)2＋(2y ′)2＝1→⎩⎨⎧3x ′＝cos θ，2y ′＝sin θ→⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝33cos θ，y ′＝22sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θ，y ＝22sin θ，故选D.【答案】 D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝1【解析】 由ρ2cos θ－ρ＝0，得ρ(ρcos θ－1)＝0， 又ρ＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝0或x ＝1. 【答案】 C6．柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( )A ．(3，－1,1)B ．(3，1,1)C ．(1，3，1)D ．(－1，3，1)【解析】由直角坐标与柱坐标之间的变换公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θz ＝z，可得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1，故应选C.【答案】 C7．直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)的公共点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定【解析】 圆C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心C (－1,2)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离 d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42＝75，因此d <r ，直线与圆C 相交于两点． 【答案】 C8．双曲线⎩⎨⎧x ＝4sec θy ＝2tan θ(θ为参数)上，当θ＝2π3时对应的点为P ，O 为原点，则OP 的斜率为( )A.34B.32C. 3D ．2【解析】 ∵x ＝4sec θ＝4cos 2π3＝－8， y ＝2tan θ＝2tan 2π3＝－23， ∴k OP ＝y x ＝34. 【答案】 A9．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t(t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所得弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9，直线⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t的直角坐标方程为x －2y ＋1＝0，∵圆心C 到直线l 的距离 d ＝|0－2×3＋1|12＋(－2)2＝5，∴直线l 与圆C 相交所得弦长为 2r 2－d 2＝29－5＝4. 【答案】 D10．直线⎩⎨⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【解析】 直线⎩⎨⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0，圆ρ＝2cos θ的普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心到直线3x ＋4y ＋2＝0的距离d ＝1＝r ，所以直线与圆的位置关系为相切．故选B.【答案】 B11．已知曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2，y ＝12sin α(α为参数)，若以此曲线所在的直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为( )A ．ρ＝sin θB ．ρ＝2sin θC ．ρ＝2cos θD ．ρ＝cos θ【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2＝12＋12cos α，y ＝12sin α(α为参数)得普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径r ＝12，所以极坐标方程为ρ＝cos θ. 【答案】 D12．若动点(x ，y )在曲线x 24＋y 2b 2＝1(b >0)上变化，则x 2＋2y 的最大值为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ b 24＋4 (0<b ≤4)2b (b >4) B.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4 (0<b <2)2b (b ≥2)C.b 24＋4 D ．2b【解析】 设动点的坐标为(2cos θ，b sin θ)， 代入x 2＋2y ＝4cos 2θ＋2b sin θ ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ－b 22＋4＋b 24，当0<b ≤4时，(x 2＋2y )max ＝b 24＋4；当b >4时，(x 2＋2y )max ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 22＋4＋b 24＝2b .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】 射线θ＝π4的普通方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，得t 2－3t ＝0，解得t＝0或t ＝3.当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)； 当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)． 所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5214．极坐标系中，曲线ρ＝－4cos θ上的点到直线ρ()cos θ＋3sin θ＝8的距离的最大值是________．【解析】 曲线方程化为：ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＋4x ＝0，化为：(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－2,0)，半径为r ＝2，直线方程化为：x ＋3y －8＝0，圆心到直线的距离为：d ＝|－2－8|2＝5，所以最大距离为：5＋2＝7.【答案】 715．直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．【解析】 直线与曲线的普通方程分别为 x ＋y －1＝0， ① x 2＋y 2＝9, ②②表示圆心为O (0,0)，半径为3的圆， 设O 到直线的距离为d ，则d ＝|－1|2＝22， ∵22<3，∴直线与圆有2个交点． 【答案】 216．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．【解析】 由sin 2t ＋cos 2t ＝1得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为－1，所以切线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的方程可得ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，即2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2＝0，化简得ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.【答案】 ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线的普通方程．【解】 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中， 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2，所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1， 所以直线l 与圆C 相交．19．(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解】 (1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4. (1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．【解】 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)法一 将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝tan θ，⎝⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3. 法二 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与圆C 2交点的直角坐标分别为(1，－3)或(1，3)．故圆C 1与C 2公共弦的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t ，(－3≤t ≤3)． 21．(本小题满分12分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值． 【解】 (1)曲线C ：y 2＝2ax ，直线l ：x －y －2＝0. (2)将直线的参数表达式代入抛物线得 12t 2－(42＋2a )t ＋16＋4a ＝0， 所以t 1＋t 2＝82＋22a ，t 1t 2＝32＋8a . 因为|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|， 由题意知，|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|⇒(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2， 代入得a ＝1.22．(本小题满分12分)如图1，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．图1(1)求证：1|F A |＋1|FB |为定值； (2)求AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 设直线AB 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α≠0)，代入y 2＝2px 整理，得t 2sin 2α－2pt cos α－p 2＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则由根与系数的关系，得 t 1＋t 2＝2p cos αsin 2α，t 1t 2＝－p 2sin 2α. (1)1|F A |＋1|FB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p cos αsin 2α2＋4p 2sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2sin 2α＝2p (定值)． (2)设AB 的中点M (x ，y )，则M 对应的参数为t ＝t 1＋t 22＝p cos αsin 2α， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2＋p cos 2αsin 2α，y ＝p cos αsin α(α为参数)，消去α，得y 2＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2为所求的轨迹方程．。

教学资料参考范本【2019-2020】高中数学模块综合评价检测含解析新人教A版选修4_4撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 的直角坐标是(－1，)，则点M 的极坐标为( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3C.D.(k ∈Z)解析：点M 的极径是2，点M 在第二象限，故点M 的极坐标是. 答案：C2．极坐标方程cos θ＝(ρ∈R)表示的曲线是( )A ．两条相交直线B ．两条射线C ．一条直线D ．一条射线解析：由cos θ＝，解得θ＝或θ＝π，又ρ∈R，故为两条过极点的直线．答案：A3．曲线ρcos θ＋1＝0关于直线θ＝对称的曲线的方程是( )A ．ρsin θ＋1＝0B ．ρcos θ＋1＝0C ．ρsin θ＝2D ．ρcos θ＝2解析：因为M(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点是N ，从而所求曲线方程为ρcos ＋1＝0，即ρsin θ＋1＝0.答案：A4．直线(t 为参数)和圆x2＋y2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A．(3，－3) B．(－，3)C．(，－3) D．(3，－)解析：将x＝1＋，y＝－3＋t代入圆方程，得＋＝16，所以t2－8t＋12＝0，则t1＝2，t2＝6，因此AB的中点M对应参数t＝＝4，所以x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－，故AB中点M的坐标为(3，－)．答案：D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1解析：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0或ρcos θ＝x＝1.答案：C6．极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ的两个圆的圆心距是( )A．2 B. C．5 D.5解析：ρ＝2cos θ是圆心为(1，0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心为，半径为2的圆，所以两圆的圆心距是.答案：D7．已知圆M：x2＋y2－2x－4y＝10，则圆心M到直线(t为参数)的距离为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意易知圆的圆心M(1，2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x －4y －5＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝＝2.答案：B8．点M 关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π6 解析：点M 的直角坐标为＝，直线θ＝(ρ∈R)，即直线y ＝x ，点关于直线y ＝x 的对称点为，再化为极坐标为.答案：A9．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)和参数方程(θ为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、射线和圆B ．圆、射线和双曲线C ．两直线和椭圆D ．圆和抛物线解析：因为(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，参数方程(θ为参数)化为普通方程为－x2＝1，表示双曲线．答案：B10．已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为(θ为参数)，且它们总有公共点．则a 的取值范围是( )A.∪(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，4 解析：由已知得⎩⎨⎧at＝1＋cos θ，a2t－1＝2sin θ，则4(at －1)2＋(a2t －1)2＝4，即a2(a2＋4)t2－2a(a ＋4)t ＋1＝0，Δ＝4a2(a ＋4)2－4a2(a2＋4)＝16a2(2a ＋3)．直线l 与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0，即a≥－.答案：C11．已知圆锥曲线(θ是参数)和定点A(0，)，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线AF2的极坐标方程为( )A ．ρcos θ＋ρsin θ＝3B ．ρcos θ－ρsin θ＝3C.ρcos θ＋ρsin θ＝3D.ρcos θ－ρsin θ＝3解析：圆锥曲线为椭圆，c ＝1，故F2的坐标为(1，0)，直线AF2的直角坐标方程是x ＋＝1，即x ＋y ＝，化为极坐标方程就是ρcos θ＋ρsin θ＝.答案：C12．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，直线l 的参数方程为(t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所得弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：曲线C 的直角坐标方程为x2＋y2－6y ＝0，即x2＋(y －3)2＝9，直线的直角坐标方程为x －2y ＋1＝0，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝＝，所以直线l 与圆C 相交所得弦长为2＝2＝4.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在极坐标系中，点关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为________．解析：结合图形不难知道点关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4 14．已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数)，当φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为________．解析：当φ＝时，代入渐开线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3cos π4＋3·π4·sin π4，y＝3sin π4－3·π4·cos π4，x ＝＋，y ＝－，所以当φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋32π8，322－32π8 15．若直线l 的极坐标方程为ρcos ＝3，曲线C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．解析：直线的直角坐标方程为x ＋y －6＝0，曲线C 的方程为x2＋y2＝1，为圆；d 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax ＝＋1＝3＋1.答案：3＋116．在直角坐标系Oxy 中，椭圆C 的参数方程为(θ为参数，a>b>0)．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ＝，若直线l 与x 轴、y 轴的交点分别是椭圆C 的右焦点、短轴端点，则a ＝________.解析：椭圆C 的普通方程为＋＝1(a>b>0)，直线l 的直角坐标方程为x －y －＝0，令x ＝0，则y ＝－1，令y ＝0，则x ＝，所以c ＝，b ＝1，所以a2＝3＋1＝4，所以a ＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(t 为参数)，曲线C 的参数方程为(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为(t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y2＝2x.联立方程组⎩⎨⎧y＝2（x－1），y2＝2x，解得公共点的坐标为(2，2)，.18．(本小题满分12分)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ＝.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．解：(1)由ρ＝cos θ＋sin θ，可得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， ⎩⎨⎧ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，代入得⊙O：x2＋y2－x －y ＝0，由l ：ρsin ＝，得：ρsin θ－ρcos θ＝，ρsin θ－ρcos θ＝1，又代入得：x －y ＋1＝0.(2)由解得⎩⎨⎧x＝0，y＝1，又得ρ＝1，tan θ不存在，又因为θ∈(0，π)，则θ＝，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为.19．(本小题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)当m ＝2时，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB|的值． 解：(1)由ρ＝2cos θ，得：ρ2＝2ρcos θ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.由得x＝y＋m，即x－y－m＝0，所以直线l的普通方程为x－y－m＝0.(2)设圆心到直线l的距离为d，由(1)可知直线l：x－y－2＝0，曲线C：(x－1)2＋y2＝1，圆C的圆心坐标为(1，0)，半径1，则圆心到直线l的距离为d＝＝.所以|AB|＝2 ＝.因此|AB|的值为.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．解：(1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝，所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(1，0)，半径r＝1.因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，所以直线l与圆C相交．21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．(1)求圆心的极坐标；(2)求△PAB面积的最大值．解：(1)圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为.(2)直线l的普通方程为2x－y－1＝0，圆心到直线l的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝，点P到直线AB距离的最大值为＋＝，故最大面积Smax＝××＝.22．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.11 / 11 (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上． 所以a ＝1.。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作数学选修4-4综合测试卷A （含答案）一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．将参数方程22sin＝＋2＝y x sin (为参数)化为普通方程为()．A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)2．设椭圆的参数方程为sin＝cos ＝b y a x (a ＞0，0≤≤)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是椭圆上两点，M ，N 对应的参数为1，2且x 1＜x 2，则()．A ．1＜2B ．1＞2C ．1≥2D ．1≤23．参数方程为2＝1＋＝y tt x (t 为参数)表示的曲线是()．A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线4．在极坐标系中，点P(，)关于极点对称的点的一个坐标是()．A ．(－，－)B ．(，－)C ．(，－)D ．(，＋)5．在同一坐标系中，将曲线y ＝2sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换是()．A ．'y y 'x x 21＝3＝B ．y'y x 'x 21＝3＝C ．'y y 'x x 2＝3＝D ．y'y x 'x 2＝3＝6．圆2＝(cos ＋sin )的圆心坐标是()．A ．4π1，B ．4π2，C ．4π2，D ．4π22，。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作数学选修4-4综合测试卷A （含答案）一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．将参数方程⎪⎩⎪⎨⎧θθ22sin ＝ ＋ 2 ＝ y x sin (θ 为参数)化为普通方程为( )．A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)2．设椭圆的参数方程为⎩⎨⎧θθsin ＝ cos ＝b y a x (a ＞0，0≤θ≤π)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是椭圆上两点，M ，N 对应的参数为θ 1，θ2且x 1＜x 2，则( )．A ．θ 1＜θ2B ．θ 1＞θ2C ．θ 1≥θ2D ．θ 1≤θ23．参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧2＝1＋＝y t t x (t 为参数)表示的曲线是( )． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线4．在极坐标系中，点P (ρ，θ)关于极点对称的点的一个坐标是( )． A ．(－ρ，－θ)B ．(ρ，－θ)C ．(ρ，π－θ)D ．(ρ，π＋θ)5．在同一坐标系中，将曲线y ＝2sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换是( )． A ．⎪⎩⎪⎨⎧'y y 'x x 21＝3＝B ．⎪⎩⎪⎨⎧y 'y x'x 21＝3＝C ．⎪⎩⎪⎨⎧'y y 'x x 2＝3＝D ．⎪⎩⎪⎨⎧y 'y x'x 2＝3＝6．圆2＝ ρ(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是( )． A ．⎪⎭⎫⎝⎛4π 1 ，B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4π 2 ，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4π 2 ，D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛4π 22 ，7．点(ρ，θ )满足3ρ cos 2 θ ＋2ρ sin 2 θ ＝6cos θ ，则 ρ2的最大值为( )． A ．27B ．4C ．29D ．58．极坐标方程 ρ＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛θ－4π表示的曲线是( )．A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆9．两圆 ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ 的公共部分面积是( )． A ．4π－21B ．π－2C ．2π－1 D ．2π 10．直线12+=x y 的参数方程是( )．A ．⎪⎩⎪⎨⎧＋1＝＝22t y tx 2(t 为参数)B ．⎩⎨⎧1＋4＝1－2＝t y t x (t 为参数)C ．⎩⎨⎧1－2＝－＝t y t x 1(t 为参数)D ．⎩⎨⎧1＋ sin ＝sin ＝θθ2y x (t 为参数)11．已知过曲线 sin 4＝cos 3＝⎩⎨⎧θθy x (θ 为参数，0≤θ ≤π)上一点P 和原点O 的直线OP 的倾斜角为4π，则P 点坐标是( )． A ．(3，4) B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛512512－－ ，C ．(－3，－4)D ．⎪⎭⎫⎝⎛512512 ，12．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：y ＋k x ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ 相交，则k 的取值范围是( )．A ．k ＜－43B ．k ≥－43C ．k ∈RD ．k ∈R 但k ≠013．当θ∈R 时，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧22＝2cos 3sin 22＝2sin ＋3cos θθθθy －x y x (θ 为参数)表示的图形是( )． A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线14．参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1 －1＝1＝2t t y tx (t 为参数)所表示的曲线是( )．A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中横线上． 15．已知点A (6，6π)和B (10，6π)，则A ，B 两点间的距离为 ．16．把曲线的极坐标方程 ρ＝tan θ·θcos 1化为直角坐标方程为___________________． 17．过点P (2，4π)并且与极轴垂直的直线方程是 ． 18．在直径为a 的圆上取一定点作为极点O ，自O 到圆心引射线作为极轴．过O 点作圆的弦OP ，并延长OP 到M 点，使|PM |＝a ，当P 点在圆周上移动时，动点M 的轨迹方程是 ．三、解答题：本大题共3小题,共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．在平面直角坐标系中已知点A (3，0)，P 是圆x 2＋y 2＝1上一个动点，且∠AOP 的平分线交PA 于Q 点，建立适当的极坐标系求Q 点的轨迹的极坐标方程．20．点P 在椭圆1＝9＋1622x y 上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离21．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ (0＜θ＜2π)，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)写出曲线C 的普通方程，并说明它表示什么曲线；x yxy xxyO OOO y(2)过点P(－2，0)作倾斜角为α 的直线l与曲线C相交于A，B两点，证明|PA|·|PB|为定值，并求倾斜角α 的取值范围．参考答案一、选择题1．C 解析：由于0≤sin 2θ ≤1，故2≤x ≤3， y 代入后移项即为y ＝x －2；从而选C ． 2．B 解析：由x 1＜x 2知a cos θ1＜a cos θ2，而余弦函数在[0，π]是减函数，故θ1＞θ2，． 3．D 解析：y ＝2表示一条平行于x 轴直线，而x ≥2，或x ≤－2，所以表示两条射线． 4．D 解析：关于极点对称即为反向延长，故其坐标为(ρ，π＋θ)． 5．B 解析：把y ＝2sin 3x 化为＝2y sin 3x ，则令y y'＝ 2，3x ＝x'即可．6．A 解析：圆方程可化为ρ＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛4π －θ，故圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛4π1 ，．另解：其直角坐标系下的方程是x 2＋y 2－2x －2y ＝0，圆心坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222，，故极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛4π1 ，．7．B 解析： 由3ρ cos 2 θ ＋2ρ sin 2 θ ＝6cos θ，两边乘 ρ，化为3x 2＋2y 2＝6x ， 解出 y 2＝3x －23x 2代入到x 2＋y 2， 得x 2＋y 2＝－21x 2＋3x ＝－21(x 2－6x ＋9)＋29＝－21(x －3)2＋29． 但因为22233 ＝ x x －y ≥0，可得0≤x ≤2，故当x = 2 时，ρ2＝x 2＋y 2的最大值为4． 8．D 解析：展开后两边同乘 ρ 即知是圆． 9．C 解析：作图可知公共部分是两个四分之一圆重叠部分，恰好是两个四分之一圆面积和减去正方形面积．即2π－1． 1O xy－1(第9题)10．C 解析：变量x ∈R ，故排除A ，D ．而B 中消去参数t 为y ＝2x ＋3，也不符合， 11．D 解析：因为OP 的倾斜角为4π，所以横坐标等于纵坐标，且在第一象限，故选D ． 12．A 解析：因曲线C 是半径为1的圆，圆心(1 ，0)到直线l ：y ＋k x ＋2＝0的距离为1＋ 2 ＋ ＝2k k ||d <1，解得k ＜－43．13．B 解析：把两式分别平方，再相加得1 ＝ 4＋922y x ．14．D 解析：因为变量x ，y 同号且x ≠0，故选D ． 二、填空题15．4．解析：作图可知O ，A ，B 在同一直线上，且A ，B 在O 点同侧，所以|AB |＝10－6＝4．16．2x y =因为ρ＝tan θ·θcos 1＝θθ cos sin 2，ρcos 2 θ＝sin θ，ρ2cos 2 θ＝ρsin θ，故x 2＝y ． 17．ρcos θ＝2．解析：设直线与极轴交点为Q ，M (ρ，θ)为直线上任意一点，∵∠POQ ＝4π， |OP |＝2， ∴|OQ |＝2． 在△MOQ 中，|OQ |＝|OM |cos θ，即 2＝ρcos θ，故所求的直线方程为 ρcos θ＝ 2． 18．ρ＝α(1＋cos θ)．解析：设动点M 的坐标为(ρ，θ)，则P 点为(ρ a ，θ)，已知圆的方程为 ρ＝a cos θ， 因为P 点的圆上，∴|OP |＝a cos θ，即 ρ－a ＝a cos θ，故所求的方程为 ρ＝a (1＋cos θ)． 三、解答题19．解：以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q (ρ，θ)，则P (1，2θ)． ∵S △OQA ＋S △OQP ＝S △OAP ， ∴21·3 ρsin θ＋21 ρsin θ＝21·3·1· sin 2θ， 故 23＝ρcos θ．QAPO(第19题)20．解：设P (4cos θ，3sin θ)，则d ＝5－12sin － cos 1224θθ，即d ＝5－4π cos 21224⎪⎭⎫ ⎝⎛＋θ， 当⎪⎭⎫ ⎝⎛4π cos ＋θ＝－1时，d max ＝512(2＋2)；当⎪⎭⎫ ⎝⎛4π cos ＋θ＝1时，d min ＝512(2－2)．21．解：(1)由ρ＝4cos θ (0＜θ＜2π)得 ρ2＝4ρcos θ，且x ＞0，y ＞0． 所以曲线C 的普通方程为 x 2＋y 2＝4x (y ＞0)，它表示以C (2，0)为圆心、半径为2的圆在x 轴上方的圆弧． (2)解：设直线l 的参数方程是⎩⎨⎧ααsin ＝ ＋－t y t x ＝cos 2(t 是参数)，代人x 2＋y 2＝4x (y ＞0)， 化简得t 2－8t cos α＋12＝0， 则|PA ||PB |＝|t 1t 2|＝12为定值， 结合曲线C 的图象可知，α 为锐角， 又由∆＝16(4cos 2 α－3)＞0， 则cos α＞23， ∴0＜α＜6π． (第21题)B A42OPxy。

模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.将正弦曲线y=sin x 作如下变换:{x '=2x ,x '=3x ,得到的曲线方程为( )A.y'=3si n 12x′B .x′=13sin 2x′ C.y'=12sin 2x′D .x′=3sin 2x′2.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=2 B.θ=π2(x ∈R )和ρcos θ=2 C.θ=π2(x ∈R )和ρcos θ=1D.θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=1ρ=2cos θ的直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1, 所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程为x=0和x=2. 将它们化为极坐标方程为θ=π2(x ∈R )和ρcos θ=2.故选B .3.若a ,b ∈R ,a 2+2b 2=6,则a+b 的最小值是( ) A.-2√2B .−5√33C .−3D .−72{x =√6cos x ,x =√3sin x(x 为参数),则a+b =√6cos x +√3sin α=3sin(α+φ),其中φ为锐角,tan φ=√2. 故a+b 的最小值为-3.4.若点M 的柱坐标为(2,π6,7),则x 的直角坐标是( )A.(1,√3,7)B .(√3,1,7)C .(1,7,√3)D .(√3,7,1)2co s π6=√3,x =2sinπ6=1,x =7.5.当t ∈R 时,参数方程{x =-8x4+x 2,x =4-x 24+x 2(x 为参数)表示的图形是( )A .双曲线的一部分B .椭圆(去掉一个点)C .抛物线的一部分D .圆(去掉一个点)方法一)原参数方程可化为{x =-8x4+x 2,①x +1=84+x2,②①÷②,得xx +1=−x , 代入②,得x 24+x 2=1(x ≠-1).(方法二){x =(-2)×2(x2)1+(x2)2,x =1-(x 2)21+(x 2)2,令tan θ=x 2(x ≠x π+π2,x ∈Z ),则{x =-2sin2x ,x =cos2x ,消去2θ,得x 24+x 2=1(x ≠-1).6.将点P 的直角坐标(3+√3,3−√3)化为极坐标可能是( ) A .(2√6,π12)B .(√6,π12)C .(2√6,5π12)D .(√6,5π12)x=3+√3,x =3−√3,∴ρ=√x 2+x 2=√(3+√3)2+(3-√3)2=2√6, tan θ=x x=√3=1-√331+√33=tan (π4-π6)=tan π12.又点P 在第一象限,∴θ=π12. 7.已知曲线C 与曲线ρ=5√3cos x −5sin x 关于极轴对称,则曲线x 的方程为( ) A.ρ=-10co s (x -π6)B .x =10cos (x -π6)C.ρ=-10co s (x +π6)D .x =10cos (x +π6)ρ=5√3cos θ-5sin θ的直角坐标方程为x 2+y 2=5√3x −5x ,它关于极轴对称的直角坐标方程为x 2+y 2=5√3x +5x .所以极坐标方程为ρ2=5√3x cos θ+5ρsin θ.易知曲线过极点,所以方程可简化为ρ=5√3cos θ+5sin θ=10co s (x -π6).8.若曲线的参数方程为{x =1-1x ,x =1-x2(x 为参数,x ≠0),则它的普通方程是( ) A.(x-1)2(y-1)=1(x ≠1)B.y =x (x -2)(1-x )2C.y =1(1-x )2−1D .x =x1-x 2+1x=1−1x (x ≠1), ∴t =11-x ,x =1−x 2=1−1(1-x )2=x (x -2)(1-x )2.9.曲线{x =x 2-1,x =2x +1(x 为参数)的焦点坐标是( )A.(0,1)B.(1,0)C.(1,2)D.(0,2)(y-1)2=4(x+1),该曲线是将抛物线y 2=4x 向左、向上各平移一个单位长度得到的,所以焦点坐标为(0,1).10.已知曲线满足:①对称轴为坐标轴;②对称中心为(0,0);③渐近线互相垂直.则符合以上条件的曲线的参数方程为( ) A .{x =sec x ,x =tan x (x 为参数)B .{x =2x 2,x =4x(x 为参数) C .{x =1-sec x ,x =1-tan x(x 为参数) D .{x =3cos x ,x =2sin x(x 为参数),将所给选项中的参数方程化为普通方程,然后进行判断即可.选项A 对应的普通方程为x 2-y 2=1,符合题目条件.11.过点P (4,3),且斜率为2的直线的参数方程为( )A .{x =4+13,x =3+√13(x 为参数)B .{x =3+13,x =4+√13(x 为参数)C .{x =4+13,x =3+√13(x 为参数)D .{x =3+13,x =4+√13(x 为参数)α满足tan α=23, 所以sin α=√13cos x =√13.故所求参数方程为{x =4√13,x =3√13(x 为参数).12.已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线l 的参数方程为{x =-35x +2,x =45x(x 为参数).若直线x 与x 轴的交点为x ,x 是曲线x 上的动点,则|xx |的最大值为( ) A .√5+1B .√5C .√3+1D .√3C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsin θ, 又x 2+y 2=ρ2,y=ρsin θ,所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0.将直线l 的参数方程化为普通方程是y=−43(x −2).令y=0,得x=2,即点M 的坐标为(2,0). 又曲线C 为圆,圆C 的圆心坐标为C (0,1),半径r=1,则|MC|=√5.故|MN|≤|MC|+r =√5+1.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上) 13.在极坐标系中,曲线ρ=2sin θ与ρcos θ=-1的交点的极坐标为 .(ρ>0,0≤θ<2π)ρ=2sin θ,ρcos θ=-1,得2sin θcos θ=-1,即sin2θ=-1,2θ=3π2,x =3π4,x =√2,所以交点的极坐标为(√2,3π).14.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线x 与曲线x :{x =2+cos x ,x =1+sin x(x 为参数)交于x ,x 两点,且|xx |=2.以坐标原点x 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线x 的极坐标方程是 .C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.又|AB|=2,则直线l 过曲线C 的圆心(2,1).所以直线方程为y-1=x-2,即x-y-1=0,故直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ-sin θ)=1.(cos θ-sin θ)=1 15.直线{x =x 0+x ,x =x 0-√3x(x 为参数)上任一点x 到x 0(x 0,x 0)的距离为 .P (x 0+t ,y 0−√3x ),则|PP 0|2=t 2+(−√3x )2=4x 2,故|PP 0|=2|t|. |t| 16.若直线{x =1+12x ,x =-3√3+√32x (x 为参数)与圆x 2+x 2=16交于x ,x 两点,则线段xx 的中点坐标为 .x=1+12x ,x =−3√3+√32x 代入x 2+y 2=16中,得t 2-8t+12=0.设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=8.故线段AB 的中点对应的参数为t 0=12(x 1+x 2)=12×8=4.将t 0=4代入直线的参数方程,可求得中点的坐标为(3,−√3).−√3)三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)在极坐标系中,直线l 的方程为ρsi n (x +π6)=2,求极点在直线x 上的射影的极坐标.l 的极坐标方程化为直角坐标方程,得x +√3x −4=0,过极点且与l 垂直的直线方程为y =√3x .由{x +√3x -4=0,x =√3x ,得射影的直角坐标为(1,√3),化为极坐标为(2,π3).故极点在直线l 上的射影的极坐标为(2,π3).18.(12分)函数y=2x 的图象经过伸缩变换得到函数y=4x-3+1的图象,求该伸缩变换.4x-3+1可化为y'-1=22x'-6,与y=2x比较可得{x =2x '-6,x =x '-1,即{x '=x +62,x '=x +1.故所求的伸缩变换为{x '=x +62,x '=x +1.19.(12分)已知直线的参数方程为{x =-1+3x ,x =2-4x(x 为参数),它与曲线(x −2)2−x 2=1交于x ,x 两点. (1)求|AB|的长;(2)求点P (-1,2)到线段AB 中点C 的距离.把直线的参数方程代入曲线的方程并化简,得7t 2+6t-2=0.设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1+t 2=−67,x 1·t 2=−27.所以,线段AB 的长度|AB|=√32+(-4)2·|t 1-t 2|=5√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=10√237. (2)根据中点坐标的性质可得线段AB 的中点C 对应的参数为x 1+x 22=−37,所以由t 的几何意义可得点P (-1,2)到线段AB 中点C 的距离为√32+(-4)2·|-37|=157. 20.(12分)已知椭圆C 1:{x =x +2cos x ,x =√3sin x(φ为参数)及抛物线C 2:y 2=6(x -32).当C 1∩C 2≠⌀时,求m 的取值范围.C 1的参数方程代入C 2:y 2=6(x -32),整理,得3sin 2φ=6(x +2cos x -32), ∴1-cos 2φ=2m+4cos φ-3,即(cos φ+2)2=8-2m.∵1≤(cos φ+2)2≤9,∴1≤8-2m ≤9.解之,得-12≤m ≤72.∴当C 1∩C 2≠⌀时,m ∈[-12,72].21.(12分)以平面直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知点P 的直角坐标为(1,-5),点M 的极坐标为(4,π2).若直线l 过点P ,且倾斜角为π3,圆C 以M 为圆心、4为半径.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程; (2)试判断直线l 和圆C 的位置关系.直线l 的参数方程为{x =1+12x ,x =-5+√32x(t 为参数),圆C 的极坐标方程为ρ=8sin θ.(2)因为M (4,π2)对应的直角坐标为(0,4),直线l 化为普通方程为√3x-y-5-√3=0, 所以圆心M 到直线l 的距离d=√3|√3+1=|9+√3|2>4.故直线与圆相离.22.(14分)(2016·全国Ⅱ高考,理23)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25.(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(2)直线l 的参数方程是{x =x cos x ,x =x sin x ,(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB|=√10,求l 的斜率.由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ).设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√144cos 2x -44.由|AB|=√10得cos 2α=38,tan α=±√153. 所以l 的斜率为√153或-√153.。

模块综合测评(时间:120分钟,满分:150分)知识点分布表一、选择题(每小题5分,共60分)1.将正弦曲线y ＝sinx 作如下变换⎪⎩⎪⎨⎧='=',3,21y y x x 得到的曲线方程为（ ）A.x y '='21sin 3B.x y '='2sin 31C.x y '='2sin 21D.y ′＝3sin2x ′ 2.将点P 的直角坐标)33,33(+-化为极坐标是（ ） A.)12,62(π-B.)12,6(πC.)125,62(πD.)125,6(π 3.方程ρ＝2sin θ表示的图形是（ ）A.圆B.直线C.椭圆D.射线 4.设点M 的柱坐标为)7,6,2(π,则M 的直角坐标是（ ）A.)7,3,1(B.)7,1,3(C.)3,7,1(D.)1,7,3(5.曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x (t 为参数,t ≠0),它的普通方程是（ ）A.(x －1)2(y －1)＝1 B.2)1()2(x x x y --=C.1)1(12--=x y D.112+-=x x y 6.已知过曲线⎩⎨⎧==θθsin 4,cos 3y x (θ为参数,0≤θ≤π)上一点P 与原点O 的直线PO,倾斜角为4π,则点P 的极坐标为 （ ） A.)4,3(πB.)4,223(πC.)4,512(π-D.)4,5212(π 7.过点P(4,3),且斜率为32的直线的参数方程为（ ） A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 1323,1334(t 为参数) B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 1324,1333(t 为参数) C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 1333,1324(t 为参数) D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 1334,1323(t 为参数)8.直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限,则圆⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos r b y r a x (θ为参数)的圆心位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 9.设a,b ∈R ,a 2＋2b 2＝6,则a ＋b 的最小值是（ ） A.22- B.335-C.－3D.27-10.曲线⎩⎨⎧+=-=12,12t y t x (t 为参数)的焦点坐标是（ ）A.(0,1)B.(1,0)C.(1,2)D.(0,2) 11.将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2,cos 21y x (θ为参数)化为普通方程为（ ）A.(x －2)2＋y 2＝4 B.(x －1)2＋y 2＝4 C.(y －2)2＋x 2＝4 D.(y －1)2＋x 2＝412.双曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=θθcos 121,tan 2y x （θ为参数）的渐近线方程为（ ）A.)2(211+±=-x y B.x y 21±= C.y －1＝±2(x ＋2) D.y ＋1＝±2(x －2) 二、填空题(每小题4分,共16分)13.在极坐标系中,若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点,则|AB|＝_________.14.O 为坐标原点，P 为椭圆⎩⎨⎧==ϕϕsin 2,cos 3y x （φ为参数）上一点，对应的参数6πϕ=，那么直线OP 的倾斜角的正切值是__________.15.抛物线y 2＝2px(p ＞0)的一条过焦点的弦被分成m ，n 长的两段，则=+nm 11_______.16.在极坐标系中,点)6,2(π-P 到直线1)6sin(:=-πθρl 的距离是________. 三、解答题(共74分)17.(12分)函数y ＝2x的图象经过图象变换得到函数y ＝4x －3＋1的图象,求该坐标变换.18.(12分)已知椭圆⎩⎨⎧=+=ϕϕsin 3,cos 2:1y m x C (φ为参数)及抛物线)23(6:22-=x y C .当C 1∩C 2≠时,求m 的取值范围.19.(12分)已知直线的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=ty t x 42,31（t 为参数），它与曲线(y －2)2－x 2＝1交于A 、B 两点. （1）求|AB|的长；（2）求点P （－1，2）到线段AB 中点C 的距离. 20.(12分)已知⊙C:ρ＝cos θ＋sin θ,直线)4cos(22:πθρ+=l .求⊙C 上点到直线l 距离的最小值.21.(12分)在曲线⎩⎨⎧=+=θθs i n,c o s 1:1y x C (θ为参数)上求一点,使它到直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=t y t x C 211,2122:2(t 为参数)的距离最小,并求出该点坐标和最小距离. 22.(14分)已知某圆的极坐标方程为06)4cos(242=+--πθρρ,求：（1）圆的普通方程和参数方程；（2）圆上所有点(x,y)中x ·y 的最大值和最小值.参考答案1 答案：D2 解析：∵33-=x ,33+=y ,∴62)33()33(2222=++-=+=y x ρ,125tan )64tan(3313313333tan πππθ=+=-+=-+==x y ,∴125πθ=. 答案：C3 解析：ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2－2y ＝0,表示以(0,1)为圆心,以1为半径的圆. 答案：A 4 解析：36cos 2==πx ,16sin2==πy ,z ＝7.答案：B5 解析：t x 11-=,∴x t -=11,222)1()2()1(111x x x x t y --=--=-=. 答案：B6 解析：将曲线化成普通方程为116922=+y x (y ≥0)，与直线PO:y ＝x 联立可得P 点坐标为)512,512(.利用直角坐标与极坐标转化公式即可得到P 点的极坐标. 答案：D7 解析：∵倾斜角α满足32tan =α,∴132sin =α,133cos =α,∴所求参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.1323,1334t y t x (t 为参数) 答案：A8 解析：∵y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限,∴a ＜0,b ＞0. ∴圆心(a,b)位于第二象限. 答案：B9 解析：不妨设⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin 3,cos 6b a (α为参数),则)sin(3sin 3cos 6ϕααα+=+=+b a ,其中2tan =ϕ,∴a ＋b 的最小值为－3.答案：C10 解析：将参数方程化为普通方程为(y －1)2＝4(x ＋1),该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到的,∴焦点为(0,1). 答案：A 11 解析：∵⎩⎨⎧=+=,sin 2,cos 21θθy x ,∴21cos -=x θ,2sin y=θ,∴1)2()21(22=+-y x ,即(x －1)2＋y 2＝4. 答案：B12 解析：根据三角函数的性质把参数方程化为普通方程，得1)2(4)1(22=+--x y ，可知这是中心在(－2,1)的双曲线，利用平移知识，结合双曲线的渐近线的概念即可. 答案：C13 解析：∵ρ＝4cos θ, ∴ρ2＝4pcos θ, 即x 2＋y 2＝4x,∴(x －2)2＋y 2＝4为ρ＝4cos θ的直角坐标方程. 当x ＝3时,3±=y ,∴直线x ＝3与ρ＝4cos θ的交点坐标为)3,3(、)3,3(-, ∴32||=AB . 答案：32 14 解析：当6πϕ=时，P 点坐标为)1,233(，所以9322331tan ==ϕ,即为所求. 答案：93215 解析：利用参数方程,结合参数的几何意义,设过焦点)0,2(p的直线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin ,cos 2t y t p x (t 为参数),代入抛物线的方程得(tsin θ)2＝p 2＋2ptcos θ,即t 2sin 2θ－2ptcos θ－p 2＝0,设此方程的两个实根分别为t 1、t 2，则根据根与系数的关系，可得θθ221sin cos 2p t t =+，θ2221sin p t t -=，而根据参数的几何意义可得||112121t t t t mn n m n m -=+=+，代入化简即得答案. 答案：p216 解析：点)6,2(π-P 的直角坐标为)1,3(-,将直线1)6sin(:=-πθρl 化为直角坐标方程为:12236sincos 6cossin =-=-xy πθρπθρ. 即023=+-y x .∴132|233|+=++=d .答案：13+ 17 解:因为y ＝4x －3＋1＝22x －6＋1,所以只需把y ＝2x的图象经过下列变换就可以得到y＝4x －3＋1的图象.先把纵坐标不变，横坐标向右平移6个单位，得到函数y ＝2x －6的图象；再把横坐标缩短为原来的21,纵坐标不变,得到函数y ＝22x －6的图象； 再把所得函数图象的横坐标不变,纵坐标向上平移1个单位即得函数y ＝4x －3＋1的图象.∴⎩⎨⎧-'=-'=.1,62y y x x 则⎪⎩⎪⎨⎧+='+='.1,26y y x x18 解:将椭圆C 1的参数方程代入)23(6:22-=x y C ,整理得3sin 2φ＝6(m ＋2cos φ－23), ∴1－cos 2φ＝2m ＋4cos φ－3,即(cos φ＋2)2＝8－2m. ∵1≤(cos φ＋2)2≤9, ∴1≤8－2m ≤9. 解之,得2721≤≤-m . ∴当C 1∩C 2≠时,]27,21[-∈m . 19 解：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线的方程并化简得7t 2＋6t －2＝0,设A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2，则7621-=+t t ，7221-=∙t t .所以，线段AB 的长度237104)(5||)4(3||212212122=-+=-∙-+=t t t t t t AB .（2）根据中点坐标的性质可得AB 的中点C 对应的参数为73221-=+t t ，所以，由t 的几何意义可得点P(－1,2)到线段AB 中点C 的距离为715|73|)4(322=-∙-+.20 解:⊙O 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0, 即21)21()21(22=-+-y x . 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4, 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0. 设)sin 2221,cos 2221(θθ++M 为⊙C 上任意一点,M 点到直线l 的距离 2|4)sin 2221(cos 2221|-+-+=θθd2)4cos(4πθ+-=.当47πθ=时,22323min ==d . 21 解:直线C 2化成普通方程为0122=-++y x . 设所求的点为P(1＋cos θ,sin θ),则P 到直线C 2的距离为 |2)4sin(|2|122sin cos 1|++=-+++=πθθθd .当πππθk 2234+=+,k ∈Z 时,即ππθk 245+=,k ∈Z 时,d 取最小值1. 此时,点P 的坐标是)22,221(--. 22 解：(1)原方程可化为06)4sin sin 4cos (cos 242=++-πθπθρρ，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.①因为ρ2＝x 2＋y 2,x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ,所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2,即为所求圆的普通方程.设2)2(2cos -=x θ,2)2(2sin -=y θ,所以参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin 22,cos 22y x (θ为参数).(2)由(1)可知223sin cos 2)sin (cos 224)sin 22()cos 22(+=∙+++=+∙+=θθθθθθxy 2)sin (cos )sin (cos θθθθ+++.②设t ＝cos θ＋sin θ,则)4sin(2πθ+=t ,]2,2[-∈t .所以1)2(22322++=++=t t t xy .当2-=t 时xy 有最小值为1；当2=t 时,xy 有最大值为9.。

模块综合测评(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点M 的极坐标为π5,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的是( ) A ．2π5,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．5π5,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．4π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2．曲线1cos ,2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上3．已知点P 的极坐标为(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θ D ．ρ＝1cos θ4．将参数方程222sin ,sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1) 5．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P 与定点π1,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭的最近距离等于( ) A ．2－1 B ．5－1 C ．1 D ． 26．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A ．14B ．214C ． 2D ．2 27．若曲线的参数方程是211,1x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩(t 是参数，t ≠0)，则它的普通方程是( )A ．(x －1)2(y －1)＝1B ．y ＝x (x －2)(1－x )2C ．y ＝1(1－x )2－1D ．y ＝x1－x 28．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝12的图形是( )9．已知点M 的球坐标为π7π6,,34⎛⎫⎪⎝⎭，则它的直角坐标是( )A ．⎛- ⎝B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎝D ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭10．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π411．设曲线C 的参数方程为2,x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为( )A ．ρcos 2θ－sin θ＝0B ．ρcos θ－sin θ＝0C ．ρcos θ－sin 2θ＝0D ．cos 2θ－ρsin θ＝012．曲线C 1的参数方程为,1x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2πsin 54θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.设点P ，Q 分别在曲线C 1和C 2上运动，则|PQ |的最小值为( )A ． 2B ．2 2C ．3 2D ．4 2二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上) 13．直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线3sin ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的交点个数为__________．14．已知直线l 的参数方程为2,3x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝__________.标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos ,1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是__________．16．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点，若△AOB 是等边三角形，则a 的值为__________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，πcos 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 求C 1与C 2交点的极坐标． 18．(12分)参数方程cos (sin cos ),sin (sin cos )x y θθθθθθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)表示什么曲线？19．(12分)(2014·课标全国Ⅱ高考，文23)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．20．(12分)已知P 为半圆C ：cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．21．(12分)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．22．(14分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．参考答案1． 答案：C2． 解析：由已知得cos 1,sin 2,x y θθ=+⎧⎨=-⎩消参得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1. 所以其对称中心为(－1,2)．显然该点在直线y ＝－2x 上．故选B. 答案：B3．解析：由点P 的坐标可知，过点P 且垂直于极轴的直线的直角坐标方程为x ＝－1，化为极坐标方程为ρcos θ＝－1，故选C.答案：C4．解析：化为普通方程为y ＝x －2， 因为sin θ∈[－1,1]，sin 2θ∈[0,1]， 所以x ∈[2,3]，y ∈[0,1]，故选C. 答案：C5．解析：将ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，点Q 的直角坐标为(0,1)， 则P 到Q 的最短距离为点Q 与圆心(1,0)的距离减去半径，即2－1. 答案：A6．解析：由题意得直线l 的方程为x －y －4＝0， 圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. 则圆心到直线的距离d ＝2， 故弦长为2r 2－d 2＝2 2. 答案：D7．解析：由x ＝1－1t ，得1t ＝1－x .由y ＝1－t 2，得t 2＝1－y .所以(1－x )2·(1－y )＝1t 2·t 2＝1，进一步整理得到y ＝x (x －2)(1－x )2.答案：B8． 解析：把ρcos θ＝12化为直角坐标方程，得x ＝12.又圆ρ＝cos θ的圆心坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，半径为12，故选项B 正确． 答案：B9． 解析：x ＝6sin π3cos 7π4＝6×32×22＝362，y ＝6sin π3sin 7π4＝6×32×⎛ ⎝⎭＝－362，z ＝6cos π3＝6×12＝3.则点M的直角坐标为⎫⎪⎪⎝⎭.答案：B10．解析：由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，y ＝1－x 可得ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝1cos θ＋sin θ，再结合线段y ＝1－x (0≤x ≤1)在极坐标系中的情形，可知π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.因此线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2.故选A.答案：A11．解析：把曲线C 的参数方程2,x t y t=⎧⎨=⎩化为普通方程是y ＝x 2， 把曲线C 的普通方程化为极坐标方程是ρsin θ＝ρ2cos 2θ， 即ρcos 2θ－sin θ＝0.故选A. 答案：A12．解析：∵,1x y αα==+可化为221+=，整理可得x 2＋(y －1)2＝2，其图象为圆，且圆心坐标为(0,1)，半径为 2. ∴曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝2. πsin 54θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可化为522θθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝5，即x ＋y ＝5.∴曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y ＝5，其图象为直线．由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d ＝|0＋1－5|12＋12＝22，∴|PQ |的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即d －2＝ 2. 故选A. 答案：A13． 解析：由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为x ＋y －1＝0，x 2＋y 2＝9，进而求出圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝12＝22＜3，所以所求交点个数为2. 答案：214．解析：直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，联立两方程，得21,4,y x y x =+⎧⎨=⎩解得1,2.x y =⎧⎨=⎩所以公共点的坐标为(1,2)．所以公共点的极径为ρ＝22＋1＝ 5. 答案： 515．解析：由题意得曲线C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.又|AB |＝2，故直线l 过曲线C 的圆心(2,1)，则直线方程为y －1＝x －2， 即x －y －1＝0，故直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1. 答案：ρ(cos θ－sin θ)＝116． 解析：由ρ＝4sin θ可得ρ2＝4ρsin θ，所以x 2＋y 2＝4y . 所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，其圆心为C (0,2)，半径r ＝2；由ρsin θ＝a ，得直线的直角坐标方程为y ＝a ，由于△AOB 是等边三角形，所以圆心C 是等边三角形OAB 的中心，若设AB 的中点为D (如图)．则CD ＝CB ·sin 30°＝2×12＝1，即a －2＝1，所以a ＝3. 答案：317． 解：圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解22(2)4,40x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩得110,4,x y =⎧⎨=⎩222,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标为ππ4,,24⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.注：极坐标系下点的表示不唯一．18．解：∵x ＝cos θ·sin θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋12，∴x －12＝sin 2θ＋cos 2θ2.∵y ＝sin 2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ－cos 2θ＋12，∴y －12＝sin 2θ－cos 2θ2.∴221122x y ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1＋2sin 2θcos 2θ＋1－2sin 2θcos 2θ4＝12.∴原参数方程表示的曲线是圆心为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，半径为22的圆． 19． 解：(1)C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为1cos ,sin x t y t=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以C (1,0)为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线CD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为ππ1cos ,sin 33⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即32⎛ ⎝⎭. 20． 解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为ππ,33⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)点M的直角坐标为π,66⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，A (1,0)， 故直线AM 的参数方程为π11,66x t y t ⎧⎛⎫=+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)． 21． 解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得11,2x x y y =⎧⎨=⎩.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2)由221,4220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，解得1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为11122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.22． 解：(1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1的交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2的交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(2x ′＋2x )(x ′－x )2＝25.。

模块综合测评(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．方程ρ＝2sin θ表示的图形是( )A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．射线 2．将正弦曲线y ＝sin x 作如下变换：2,3,x x y y '=⎧⎨'=⎩得到的曲线方程为( )A ．y ′＝3sin 12x ′B ．y ′＝13sin 2x ′C ．y ′＝12sin 2x ′ D ．y ′＝3sin 2x ′3．若a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是( ) A ．－2 2 B ．－53 3C ．－3D ．－724．若点M 的极坐标是π2,6⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则它关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是( ) A ．11π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．7π2,6⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．π2,6⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11π2,6⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( ) A ．1,3x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数) B ．1,52x t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)C ．,12x t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数) D．2,55x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)6．在极坐标系中，曲线π4sin 3ρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭关于( ) A ．直线θ＝π3对称 B ．直线θ＝5π6对称C ．点2，π3对称 D ．极点对称7．极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0的直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝18．在极坐标系中，与圆ρ＝4cos θ相切的一条直线方程为( ) A ．ρsin θ＝4 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4 D ．ρcos θ＝－49．直线2,3x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)10．过点P (4,3)，且斜率为23的直线的参数方程为( )A．4,3x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) B．3,4x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) C．4,3x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) D．3,4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) 11．双曲线4tan ,2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)的渐近线方程为( )A ．y ＝±12x B ．y ＝±xC ．y ＝±2xD ．y ＝±3x12．直线3x－4y－9＝0与圆2cos,2sinxyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的位置关系是()A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)13．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ≤π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为__________．14．在平面直角坐标系中，曲线C：2,212xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t为参数)的普通方程为__________．15．参数方程sin 2,sin cosxyθθθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)表示的曲线的普通方程是______________．16．若直线11,22x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t为参数)与圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)在极坐标系中，直线l的方程为πsin26ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求极点在直线l上的射影的极坐标．18．(12分)(2014·福建高考，理21(2))已知直线l的参数方程为2,4x a ty t=-⎧⎨=-⎩(t为参数)，圆C的参数方程为4cos,4sinxyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．19．(12分)已知直线l过点P(3,2)，且与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求|P A|·|PB|取最小值时的直线l的方程．20．(12分)已知A，B分别是椭圆x236＋y29＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．21．(12分)(2014·课标全国Ⅰ高考，文23)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：2,22x t y t=+⎧⎨=-⎩(t为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．22．(14分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρ·πcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋6＝0，求： (1)圆的直角坐标方程和参数方程；(2)圆上所有点(x ，y )中xy 的最大值和最小值．参考答案1．解析：ρ＝2sin θ可化为x2＋y2－2y＝0，表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆．答案：A2．答案：A3．解析：不妨设,abαα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，则a＋b＝6cos α＋3sin α＝3sin(α＋φ)，其中φ为锐角，tan φ＝ 2.所以a＋b的最小值为－3.答案：C4．解析：如图，描点π2,6⎛⎫--⎪⎝⎭时，先找到角－π6的终边，又因为ρ＝－2＜0，所以再在反向延长线上找到离极点2个单位长度的点即是点π2,6⎛⎫--⎪⎝⎭.直线θ＝π2，就是极角为π2的那些点的集合．故Mπ2,6⎛⎫--⎪⎝⎭关于直线θ＝π2的对称点为M′π2,6⎛⎫⎪⎝⎭，但是选项没有这样的坐标．又因为M′π2,6⎛⎫⎪⎝⎭的坐标还可以写成M′7π2,6⎛⎫-⎪⎝⎭，故选B.答案：B5．解析：题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线的斜率为1，选项D中直线的斜率为12，所以可排除选项A，D.而选项B中直线的普通方程为2x－y＋3＝0，故选C.答案：C6．解析：由方程π4sin3ρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得ρ2＝2ρsin θ－23ρcos θ，即x2＋y2＝2y－23x.配方，得(x＋3)2＋(y－1)2＝4.它表示以(－3，1)为圆心，2为半径，且过原点的圆．所以在极坐标系中，它关于直线θ＝5π6成轴对称．答案：B7．解析：∵ρ(ρcos θ－1)＝0， ∴ρ＝x 2＋y 2＝0或ρcos θ＝x ＝1. 答案：C8．解析：圆的极坐标方程可化为直角坐标方程(x －2)2＋y 2＝4，四个选项所对应的直线方程分别为y ＝4，x ＝2，x ＝4，x ＝－4，故选C.答案：C9．解析：设Q (x 0，y 0)，则0002,3x y ⎧=--⎪⎨=⎪⎩由|PQ |＝ 2 得(－2－2t 0＋2)2＋(3＋2t 0－3)2＝2，即t 20＝12，所以t 0＝±22.当t 0＝22时，Q (－3,4)；当t 0＝－22时，Q (－1,2)．答案：C10．解析：∵倾斜角α满足tan α＝23，∴sin α＝213，cos α＝313. ∴所求参数方程为4,3x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)． 答案：A11．解析：把参数方程化为普通方程，得y 24－x 216＝1，故渐近线方程为y ＝±12x .答案：A12． 解析：圆的参数方程可化为x 2＋y 2＝4，可求得圆心(0,0)到直线的距离为95＜2，故选D.答案：D13． 解析：由ρ＝2sin θ，ρcos θ＝－1， 得2sin θcos θ＝－1，即sin 2θ＝－1.因为0≤θ≤π，所以0≤2θ≤2π，2θ＝3π2，θ＝3π4，ρ＝ 2.所以交点的极坐标为3π4⎫⎪⎭. 答案：3π4⎫⎪⎭14． 解析：两式相减得，x －y ＝2－1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝015． 解析：y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ＝1＋x ，又x ＝sin 2θ∈[－1,1]，所以曲线的普通方程是y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1)． 答案：y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1)16． 解析：把x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t 代入x 2＋y 2＝16中，得t 2－8t ＋12＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝8.故AB 中点对应的参数为t 0＝12(t 1＋t 2)＝12×8＝4，将t 0＝4代入直线参数方程，可求得中点的坐标为(3，－3)．答案：(3，－3)17．解：把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程， 得x ＋3y －4＝0，过极点且与l 垂直的直线方程为y ＝3x .由40,x y ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩得射影的直角坐标为(1，3)，化为极坐标为π2,3⎛⎫⎪⎝⎭.即极点在直线l 上的射影的极坐标为π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 18．解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.19．解：设直线的倾斜角为α，直线l 过点P (3,2)， 则直线l 的参数方程为3cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)．因为直线与x 轴正半轴交于点A ，所以令y ＝0，即2＋t sin α＝0，即|P A |＝|t |＝2sin α. 又直线与y 轴正半轴交于点B ，所以令x ＝0， 即3＋t cos α＝0，又由于α明显为钝角， 则|PB |＝|t |＝－3cos α.所以|P A |·|PB |＝2sin α·3cos a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－6sin αcos α＝－12sin 2α.由题意可知π2＜α＜π，所以π＜2α＜2π.当2α＝3π2，即α＝3π4时，sin 2α＝－1，|P A |·|PB |取最小值12.故直线l的参数方程为3,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，转化为普通方程是x ＋y －5＝0. 20．解：由题意知A (6,0)，B (0,3)．由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得606cos ,3033sin 3x y θθ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩(θ为参数)， 即22cos ,1sin .x y θθ=+⎧⎨=+⎩.消去参数θ得到(x －2)24＋(y －1)2＝1.故重心G 的轨迹方程为22cos ,1sin .x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)或(x －2)24＋(y －1)2＝1.21．分析：在第(1)问中，可根据参数方程与普通方程的关系求解；在第(2)问中，可由曲线C 的参数方程设出点P 的坐标，结合点到直线的距离公式与三角函数的定义得出|P A |与θ的关系，通过三角变换求得|P A |的最值．解：(1)曲线C 的参数方程为2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.22． 解：(1)原方程可化为2ππcos cos sin sin 6044ρθθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.① 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，即为所求圆的直角坐标方程．设2,2x y θθ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩所以所求圆的参数方程为2,2x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．(2)由(1)可知xy ＝(2＋2cos θ)·(2＋2sin θ)＝4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θ·sin θ＝3＋22(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.②设t ＝cos θ＋sin θ，则π4t θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，t ∈[－2，2]．所以xy ＝3＋22t ＋t 2＝(t ＋2)2＋1.当t ＝－2时，xy 有最小值为1；当t ＝2时，xy 有最大值为9.。