1.2.3空间几何体的直观图学案

云南省德宏州潞西市芒市中学2014年高中数学 1.2.3 空间几何体的直观图教学案新人教A版必修2一、内容及解析1、内容：本节在投影知识的基础上，学习空间几何体的三视图和直观图，包括中心投影与平行投影、空间几何体的三视图和空间几何体的直观图三部分内容。

2、解析：在立体几何的教学中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下把空间图像展现在平面上，用平面上的图形表示空间几何体。

“空间几何体的直观图”只介绍了斜二测画法。

斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的方法和步骤。

二、目标及解析1、目标：（1）掌握斜二测画法的规则，并且会用它来哈一些简单空间几何体的直观图；（2）由特殊到一般，由具体到抽象，由例题到画法，倡导学生动手实践，阅读自学等学习数学的方式。

2、解析：在教学中，要引导学生体会画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置。

因为多边形顶点的位置一旦确定，一次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。

在平面上确定点的位置，可以借助平面直角坐标系，确定点的坐标就可以确定点的位置。

三、数学问题诊断分析空间几何体的三视图与直观图有密切的联系。

为此，教科书在第19页提出了一个“探究”，指出它们能够帮助我们从不同侧面、不同角度对几何体的结构特点进行认识。

教学中应当引导学生对这两种图形的特点及其关系进行讨论。

实际上，三视图从细节上刻画了空间几何体的结构。

根据三视图，我们就可以得到一个精确的空间几何体，正式因为三视图的这个特点，使它在生产生活中得到广泛应用。

直观图是对空间几何体的整体刻画，人们可以根据直观图的结构想象事物的形象。

四、教学支持条件1、用斜二测画法画完水平放置的正六边形的直观图后，归纳了斜二测画法画水平放置的平面图形的画法和步骤。

2、关于水平放置的圆的直观图的画法，常用正等测画法，正等测画法不作为基本的教学要求。

1.2.3 《空间几何体的直观图》导学案【学习目标】1．体会平面图形和空间图形的直观图的含义。

2．结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤。

3．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。

4．会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图【重点、难点】用斜二测画法画空间几何体的直观图.预 习 案一、【知识链接】1．表示空间图形的 平面图形 ，叫做空间图形的直观图。

2．用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成 平行 于x '轴、y '轴或z '轴的线段。

平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中长度不变 ;平行于y 轴的线段，长度变为原来的 一半 。

3．斜二测画法是一种特殊的 平行 投影画法。

4．利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则（1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感,被挡住的部分通常用虚线表示．(2）画图时要紧紧把握一斜-—在已知图形中垂直于x 轴的线段在直观图中与x 轴成45°或135°；二测——两种度量形式，即在直观图中,平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段变为原长度的一半． 牢记下列口诀：横不变，竖折半；平行关系不改变;九十度角画一半．(3)一般多边形的直观图：①作出各顶点的直观图；②连结各个顶点即可．2．由几何体直观图还原空间几何体解决由空间几何体的直观图还原成空间几何体的问题要注意画法步骤中有关规划的逆向转换．比如:直观图中x ′轴与y ′轴的夹角为45°(或135°)，则需还原成90°，与y ′轴平行的线段还原时长度应为原线段长度的二倍,即斜二测画法的逆向转换．【例题讲解】例1。

用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图反思：画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.强调斜二测画法的步骤。

空间几何体的直观图整体设计教课剖析“空间几何体的直观图”只介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法. 用斜二测画法画直观图，要点是掌握水平搁置的平面图形直观图的画法，这是画空间几何体直观图的基础.所以，教科书安排了两个例题，用以说明画水平搁置的平面图形直观图的方法和步骤. 在教学中，要指引学生领会画水平搁置的多边形的直观图的要点是确立多边形极点的地点. 因为多边形极点的地点一旦确立，挨次连结这些极点便可画出多边形来，所以平面多边形水平放置时，直观图的画法能够归纳为确立点的地点的画法. 而在平面上确立点的地点，能够借助于平面直角坐标系，确立了点的坐标就能够确立点的地点. 所以，画水平搁置的平面直角坐标系应当是学生第一要掌握的方法.值得注意的是直观图的教课应注意指引学生正确掌握图形尺寸大小之间的关系；此外，教课中还能够借助于信息技术向学生多展现一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形.三维目标经过用斜二测画法画水平搁置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和绘图的能力，培育研究精神和意识，以及转变与化归的数学思想方法.要点难点教课要点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.教课难点：直观图和三视图的互化.课时安排1 课时教课过程导入新课思路 1. 画几何体时，画得既富裕立体感，又能表达出图形各主要部分的地点关系和胸怀关系，如何画呢？教师指出课题：直观图.思路 2. 正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被宽泛采纳，但三视图的直观性较差，所以绘制物体的直观图一般采纳斜投影或中心投影 . 中心投影固然能够显示空间图形的直观形象，但作图方法比较复杂，又不易胸怀，所以在立体几何中往常采纳斜投影的方法来画空间图形的直观图 . 把空间图形画在纸上，是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不是空间图形的真切形状，而是它的直观图.推动新课新知研究提出问题①如何用斜二测画法画水平搁置的正六边形的直观图？②上述画直观图的方法称为斜二测画法，请总结其步骤.③研究空间几何体的直观图的画法. 用斜二测画法画长、宽、高分别是 4 cm、3 cm、2 cm 的长方体ABCD— A′B′ C′ D′的直观图 .④用斜二测画法画水平搁置的平面图形和几何体的直观图有什么不一样？并总结画几何体的直观图的步骤.活动：①和③教师第一示范画法，并让学生思虑斜二测画法的要点步骤, 让学生发布自己的看法，教师实时赐予评论.②依据上述画法来概括.③让学生比较两种画法的步骤.议论结果：①画法： 1°如图 1（ 1），在正六边形ABCDEF中，取 AD所在直线为 x 轴，对称轴 MN所在直线为y 轴，两轴订交于点O.在图 1(2) 中，画相应的x′轴与 y′轴，两轴订交于点 O′，使∠ x′ O′ y′ =45° .2°在图 1(2) 中，以 O′为中点，在 x′轴上取 A′D′ =AD，在 y′轴上取 M′ N′ = 1MN.2以点 N′为中点画B′ C′平行于 x′轴，而且等于BC；再以 M′为中点画E′F′平行于x′轴，而且等于EF.3 °连结A′B′， C′D′， D′E′， F′A′，并擦去协助线x′轴和y′轴，便获取正六边形 ABCDEF水平搁置的直观图A′ B′ C′ D′E′ F′〔图 1(3) 〕 .图 1②步骤是： 1°在已知图形中取相互垂直的 x 轴和 y 轴，两轴订交于点 O. 画直观图时，把它们画成对应的 x′轴与 y′轴，两轴交于点 O′，且使∠ x′ O′ y′ =45° ( 或 135° ) ，它们确立的平面表示水平面 .2°已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y 段.3°已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为本来的一半 .③画法： 1°画轴 . 如图 2，画 x 轴、y 轴、z 轴，三轴订交于点O，使∠ xOy=45°，∠ xOz=90° .图 22°画底面 . 以点 O为中点，在 x 轴上取线段 MN，使 MN=4cm;在 y 轴上取线段3PQ，使 PQ= cm.2分别过点 M和 N 作 y 轴的平行线，过点P 和 Q作 x 轴的平行线，设它们的交点分别为A、 B、C、 D，四边形 ABCD就是长方体的底面ABCD.3°画侧棱 . 过 A、B、C、D各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 2 cm长的线段 AA′、 BB′、 CC′、 DD′.4°成图 . 按序连结 A′、 B′、 C′、 D′，并加以整理（去掉协助线，将被遮挡的部分改为虚线），就获取长方体的直观图 .评论：画几何体的直观图时，假如不作严格要求，图形尺寸能够适入选用，用斜二测画法画图的角度也能够自定，可是要求图形拥有必定的立体感.④画几何体的直观图时还要成立三条轴，实质是成立了空间直角坐标系，而画水平搁置平面图形的直观图实质上成立的是平面直角坐标系. 画几何体的直观图的步骤是：1 °在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox、 Oy，再作 Oz 轴，使∠xOy=90° , ∠ yOz=90° .2°画出与 Ox、Oy、Oz 的 O′ x′、O′ y′、O′ z′，使∠ x′ O′ y′ =45°，∠ y′O′ z′ =90° ,x ′ O′y.3 °已知形中，平行于x 、 y 和 z 的段，在直中分画成平行于x′ 、y′ 和 z′ 的段，并使它在所画坐中的地点关系与已知形中相段和原坐的地点关系同样 .4 °已知形中平行于x 和 z 的段，在直中保持度不，平行于y 的段，度本来的一半.5 °擦除作助的坐，就获取了空形的直.斜二画法的作技巧:1°在已知中成立直角坐系，理上在任何地点成立坐系都行，但作，一般成立特别的直角坐系，尽量运用原有直坐或形的称直坐或形的称点原点或利用原有垂直正交的直坐等.2 °在原中与x 或 y 平行的段在直中依旧与x′ 或 y′ 平行，原中不与坐平行的段能够先画出段的端点再，画端点作坐的平行助.原中的曲段能够通取一些关点，利用上述方法作出直中的相点后，用光滑的曲接而画出.3°在画一个水平搁置的平面，因为平面是无穷延展的，往常我只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四形表示空一个水平平面的直.用示例思路 1例 1用斜二画法画水平搁置的的直.活：学生回斜二画法的步，自己画出来后再相互沟通. 教适合点 .解：（ 1）如 3(1) ，在⊙ O上取相互垂直的直径AB、CD，分以它所在的直x 与 y，将段 AB n 平分 . 各分点分作 y 的平行，交⊙ O于 E，F，G， H，⋯，画的x′ 和 y′ ，使∠ x′O′ y′ =45° .3(2) 如 3(2) ，以 O′ 中点，在 x′ 上取A′ B′ =AB，在 y′ 上取C′ D′ = 1CD，将 A′2B′ n 平分，分以些分点中点，画与y′ 平行的段E′ F′，G′ H′，⋯，使 E′ F′=1EF ,G′H′=1GH ，⋯. 22（3）用圆滑曲次接A′， D′， F′， H′，⋯， B′， G′， E′， C′， A′并擦去助，获取的水平搁置的直〔3(3) 〕 .点：本主要考用斜二画法画水平搁置的平面形的直.式1. 画水平搁置的等三角形的直.答案：略.2. 对于“斜二画法” ，以下法不正确的选项是（）A. 原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B. 原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变成本来的1 2C.在画与直角坐标系 xOy 对应的 x′ O′ y′时，∠ x′ O′ y′一定是 45°D.在画直观图时，因为选轴的不一样，所得的直观图可能不一样剖析：在画与直角坐标系 xOy 对应的 x′ O′y′时，∠ x′ O′ y′也能够是 135°，所以 C 不正确 .答案： C例 2如图4，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.图 4活动：让学生由三视图复原为实物图，并判断该几何体的构造特点. 教师剖析：由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，而且圆锥的底面与圆柱的上底面重合. 我们能够先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥 .解：画法：（1）画轴 . 如图 5（1），画 x 轴、 y 轴、 z 轴，使∠ xOy=45° , ∠ xOz=90° .(1)(2)图 5（2）画圆柱的两底面，模仿例 2 画法，画出底面⊙ O.在 z 轴上截取 O′，使 OO′等于三视图中相应高度，过 O′作 Ox 的平行线 O′ x′ ,Oy 的平行线 O′y′ , 利用 O′ x′与 O′y′画出底面⊙O′（与画⊙ O同样） .（3）画圆锥的极点 . 在 Oz 上截取点 P，使 PO′等于三视图中相应的高度 .（4）成图 . 连结 PA′，PB′，A′ A，B′ B，整理获取三视图表示的几何体的直观图〔图5(2) 〕.评论：空间几何体的三视图与直观图有着亲密的联系，我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图 . 同时，也能够由空间几何体的直观图获取它的三视图.变式训练图 6 所示是一个奖杯的三视图，你能想象出它的几何构造，并画出它的直观图吗？图 6答案：奖杯的几何构造是最上边是一个球，中间是一个四棱柱，最下边是一个棱台拼接成的简单组合体 . 其直观图略 .思路 2例 1 如图 7 所示，梯形 ABCD中， AB∥CD， AB=4 cm， CD=2 cm，∠ DAB=30°， AD=3 cm，试画出它的直观图 .图 7活动：利用斜二测画法作该梯形的直观图，要注意在斜二测画法中，要有一些平行于原坐标轴的线段才好循规蹈矩地作图，所以先在原坐标系中过Ｄ作出该点在x 轴的垂足，则对应地能够作出线段ＤＥ的直观图，从而作出整个梯形的直观图.解：步骤是：（ 1）如图 8 所示，在梯形 ABCD中，以边 AB所在的直线为 x 轴，点 A 为原点，成立平面直角坐标系 xOy. 如图 9 所示，画出对应的 x′轴， y′轴，使∠ x′A′ y′ =45° . （2）如图 8 所示，过 D 点作 DE⊥ x 轴，垂足为 E. 在 x′轴上取 A′ B′ =AB=4 cm， A′ E′=AE=33 cm≈2.598 cm；过E′作E′D′∥y′轴，使E′D′=1ED ，再过点D′作D′22C′∥ x′轴，且使D′ C′ =CD=2 cm.图8图9图10（3）连结 A′D′、 B′ C′、 C′ D′，并擦去 x′轴与 y′轴及其余一些协助线，如图 10 所示，则四边形 A′ B′ C′ D′就是所求作的直观图 .评论：此题考察利用斜二测画法画空间图形的直观图. 在画水平搁置的平面图形的直观图时，选用适合的直角坐标系是要点，一般要使得平面多边形尽可能多的极点在座标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直观图中还是共线点；原图中的共点线，在直观图中还是共点线；原图中的平行线，在直观图中还是平行线. 此题中，要点在于点D′地点确实定，这里我们采纳作垂线的方法，先找到垂足E′，再去确立D′的地点 .变式训练1. 如图 11 所示，直角梯形ABCD中， AD∥BC，且 AD＞ BC，该梯形绕边AD所在直线EF一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图.图 11答案： 该几何体是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的简单组合体，其直观图如图 12 所示，三视图如图 13所示.图 12图 132. 已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，此中有一边长为 4，则此正方形的面积是（ ）A.16B.64C.16 或 64D. 都不对剖析：依据直观图的画法， 平行于 x 轴的线段长度不变， 平行于 y 轴的线段变成本来的一半，于是长为 4 的边假如平行于 x 轴，则正方形边长为 4，面积为 16，边长为 4 的边假如平行于y 轴，则正方形边长为 8，面积是 64. 答案： C 知能训练1. 利用斜二测画法画直观图时： ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形 .以上结论中，正确的选项是 ___________.剖析： 斜二测画法保持平行性和订交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线， 订交直线的直观图还是订交直线， 故①②正确； 可是斜二测画法中平行于y 轴的线段， 在直观图中长度为本来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错 .答案： ①②2. 一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为 2 的正三角形，则原三角形的面积是（ ）A.26B.46C.3D. 都不对剖析： 依据斜二测画法的规则， 正三角形的边长是原三角形的底边长， 原三角形的高是正三角形高的 2 2 倍，而正三角形的高是 3 ，所以原三角形的高为 2 6 ，于是其面积为1×22×26=2 6.答案： A3. 一个水平搁置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（）A. 12 B.12 C.12 D.22 222剖析：平面图形是上底长为1，下底长为12，高为2的直角梯形 . 计算得面积为 2 2.答案： D4. 斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4) 在直观图中对应点是M′ , 则点 M′的找法是 ___________.剖析：在 x′轴的正方向上取点M，使 O′M=4，在 y′轴上取点 M，使 O′M=2，过 M 和 M112212分别作平行于 y′轴和 x′轴的直线的交点就是M′ .答案：在 x′ O′ y′中，过点（4， 0）和 y′轴平行的直线与过（0， 2）和 x′轴平行的直线的交点即是 .5. 依据图 14所示物体的三视图（暗影部分为空洞）描述出物体的大概形状.图 14剖析：依据该物体的三视图能够判断该物体的外轮廓是一个正方体，从正面和左面看是一个正方形中间有一个圆形的孔. 从而知这两个面应当都有一个圆柱形的孔.解：由此能够推断该物体大概形状如图15 所示 .图 15拓展提高问题：如图16 所示 , 已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.图 16研究：由这个三视图能够看出，该几何体是由一个长方体和一个以直四棱柱的上底面为底面的四棱锥拼接而成 .图 17解：步骤是：（1）作出长方体的直观图ABCD— A1B1C1D1，如图 17(1) 所示 .（2）再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点成立空间直角坐标系，如图17(2)所示，在z′上取点 V′，使得 V′ O′的长度为棱锥的高，连结 V′ A1、V′ B1、 V′C1、 V′ D1获取四棱锥的直观图，如图 17（ 2） .（3）擦去协助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，获取几何体的直观图，如图17(3).讲堂小结本节课学习了：1.直观图的观点 .2.直观图的画法 .3.直观图和三视图的关系 .4.规律总结：（1）三视图的摆列规则是：先画正视图，俯视图安排在正视图的正下方，长度与正视图一样，侧视图安排在正视图的正右方，高度与正视图同样. 正视图反应物体的主要形状特点，是三视图中最重要的视图，俯视图与侧视图共同反应物体的宽度要相等. 正视图又称为主视图，侧视图又称为左视图.(2)画三视图时，要按照“长对正，高平齐，宽相等” 的原则 . 若相邻两个几何体的表面订交，表面的交线是它们原分界限，在三视图中，分界限和可见轮廓线都用实线画出，不行见的轮廓线用虚线画出 .(3)用斜二测画法画直观图，要点是掌握水平搁置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的要点是确立多边形的极点. 因为多边形极点的地点一旦确立，挨次连结这些极点便可画出多边形来，所以平面多边形水平搁置时，直观图的画法便可归纳为确立点的地点的画法 .(4)假如同一个空间图形摆放的地点不一样，那么画出的三视图会有所不一样，画出的直观图也是会有所不一样 .作业习题 1.2 A组第5、6题.设计感想因为直观图的画法能够灵巧多变，尺寸不作严格要求. 所以本节教课方案中没有设计过多地严格按步骤画直观图的题目，这要惹起我们的注意. 特别是高考取极少见直接考察画直观图的题目，而且高考试题对于立体几何的解答题其直观图往常直接给出，所以本节主假如经过画直观图培育学生的空间想象能力，以及绘图和识图的能力.。

空间几何体的直观图学案(1)学习目标：（1）使学生掌握水平放置的平面图形的直观图的画法。

（2）掌握斜二测画法的步骤。

学习重难点：用斜二测画法画几何体的直观图。

学法及教学用具：学法：小组合作研讨式学习。

通过讨论掌握斜二测画法画空间几何体直观图的过程。

教学用具：三角板、直尺。

自学设计：（根据预习完成下列各题）1、为何叫斜二测画法？2、用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。

画法：1°如图（1），在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为轴，对称轴MN所在直线为轴，两轴相交于点O.在图(2)中，画相应的轴与轴，两轴相交于点，使（或0135）2°在图1(2)中，以O′为中点，在x′轴上取 =AD，在y′轴上取M′N′= MN.以点N′为中点画B′C′平行于轴，并且等于BC；再以M′为画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.3°连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′。

3、用斜二测画法画长为3宽为2的矩形的直观图。

4、用斜二测画法画直角边为2的等腰直角三角形的直观图。

合作探究：1、归纳斜二测画法画几何体直观图的步骤。

2、用斜二测画法画如右图所示三角形的直观图。

②3、底边在x轴上且边长为4的等边三角形，用斜二测画法其直观图的面积是原图形面积的多少倍？课堂达标：1、下列说法正确的是（）.A. 相等的线段在直观图中仍然相等B. 若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C. 两个全等三角形的直观图一定也全等D. 两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形2、如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（）.A. 3B. 6C. 32D. 3224503 23、如右图所示，该直观图表示的平面图形是（）A、钝角三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、正三角形4、利用斜二测画法可以得到以下几个结论①三角形的直观图一定是三角形②正方形的直观图一定是菱形③等腰梯形的直观图可以是平行四边形④菱形的直观图一定是菱形以上正确的是（）延伸拓展：1、对于一个底边在x轴上的三角形（如右图所示），采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的多少倍？2、如图，正方形O’A’B’C’的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图. 请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积.。