高级中学高中数学 14空间几何体的体积学案(无答案)苏教版必修

3 OD＝ 6 ×30＝5 3(cm) ，
6/9
所以棱台的高 h＝ O′O＝ D′D2－ OD－O′D′ 2
13 3
10 3
＝
3 2－ 5 3－ 3 2
＝ 4 3(cm) ． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为
h V＝ ( S上 ＋ S下＋ S上× S下 )
3
＝
4
3
3
×（
3 4×
20
2＋
3 4×
30
1. 柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系
S′＝ S
1
S′＝ 0
1
V 柱体 ＝Sh
V
台体
＝
h( 3
S＋
SS′ ＋ S′）――→ V 锥体 ＝3Sh.
3V 2. 在三棱锥 A－ BCD中，若求点 A 到平面 BCD的距离 h，可以先求 VA－ ， BCD h＝ S△BCD. 这种
方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中
5. 如图 (1) 所示，一只装了水的密封瓶子可以看成是由底面半径为
1 cm 和底面半径为 3 cm
的两个圆柱组成的简单几何体 . 当这个几何体如图 (2) 水平放置时，液面高度为 20 cm ，当
这个几何体如图 (3) 水平放置时，液面高度为
28 cm ，则这个简单几何体的总高度为
________ cm.
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作
2 正方体的对角面有 r 2＝ 2 a，如图 ②．
(3) 长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体
对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为
a， b， c，则过球心作长方体的对

1.3.2 空间几何体的体积1．了解球、柱、锥和台的体积的计算公式(不要求记忆公式)．(重点) 2．会求柱、锥、台和球的体积．(重点、易错点)3．会求简单组合体的体积及表面积．(难点)[基础·初探]教材整理1 柱体、锥体、台体的体积阅读教材P56～P58第8行，完成下列问题．柱体、锥体、台体的体积1．若正方体的体对角线长为a，则它的体积为________．【解析】设正方体的边长为x，则3x＝a，故x＝a3，V＝39a3.【答案】3 9a32．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方体，则此圆柱的体积为__________．【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则有2πr＝2，即r＝1π，故圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫1π2×2＝2π.【答案】2π3．如图1－3－6，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.图1－3－6【解析】 设三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S ，则V 1＝13×14S ·12h ＝124Sh＝124V 2，即V 1∶V 2＝1∶24. 【答案】 1∶24教材整理2 球的体积和表面积 阅读教材P 58～P 59例1，完成下列问题． 若球的半径为R ，则 (1)球的体积V ＝43πR 3.(2)球的表面积S ＝4πR 2.1．若球的表面积为36π，则该球的体积等于________． 【解析】 设球的半径为R ，由题意可知4πR 2＝36π，∴R ＝3. ∴该球的体积V ＝43πR 3＝36π.【答案】 36π2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为________.【导学号：41292051】【解析】 S 1S 2＝4πr 214πr 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1r 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19.【答案】 1∶9[小组合作型]多面体的体积如图1－3－7，已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝4，BC ＝3，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，求三棱锥A 1－B 1CD 的体积．图1－3－7【精彩点拨】 法一：VA 1－B 1CD ＝V 柱－VA 1－ADC －VB 1－BDC －VC －A 1B 1C 1. 法二：利用等体积法求解，VA 1－B 1CD ＝VC －A 1B 1D .【自主解答】 ∵AA 1＝AC ＝4，BC ＝3，AC ⊥BC ，∴AB ＝A 1B 1＝5. 法一 由题意可知VA 1B 1C 1－ABC ＝S △ABC ×AA 1 ＝12×4×3×4＝24. 又VA 1－ADC ＝13×12S △ABC ×AA 1＝16S △ABC ×AA 1＝4.VB 1－BDC ＝13×12S △ABC ×BB 1＝16S △ABC ×BB 1＝4. VC －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1×CC 1＝8，∴VA 1－B 1CD ＝VA 1B 1C 1－ABC －VA 1－ADC －VB 1－BDC －VC －A 1B 1C 1 ＝24－4－4－8＝8.法二 在△ABC 中，过C 作CF ⊥AB ，垂足为F ， 由平面ABB 1A 1⊥平面ABC 知，CF ⊥平面A 1B 1BA .又S △A 1B 1D ＝12A 1B 1·AA 1＝12×5×4＝10.在△ABC 中，CF ＝AC ·BC AB ＝3×45＝125. ∴VA 1－B 1CD ＝VC －A 1B 1D ＝13S △A 1B 1D ·CF＝13×10×125＝8.几何体的体积的求法1．直接法：直接套用体积公式求解．2．等体积转移法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面．为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到．3．分割法：在求一些不规则的几何体的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的几何体．4．补形法：对一些不规则(或难求解)的几何体，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的几何体．[再练一题]1．如图1－3－8，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝a ，AB ＝AC ＝2a ，∠PAB ＝∠PAC ＝∠BAC ＝60°，求三棱锥P －ABC 的体积．图1－3－8【解】 ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 为正三角形，设D 为BC 的中点，连结AD ，PD ，作PO ⊥平面ABC .∵∠PAB ＝∠PAC 且AB ＝AC ，∴O ∈AD . 作PE ⊥AB 于点E ，连结OE ， 则OE ⊥AB .在Rt △PAE 中，PE ＝a sin 60° ＝32a ，AE ＝a 2. 在Rt △AEO 中，OE ＝a 2tan 30°＝36a .∴OP ＝PE 2－OE 2＝63a . 又S △ABC ＝12BC ·AD ＝3a 2.∴V P －ABC ＝13·S △ABC ·OP ＝23a 3.旋转体的体积圆台上底的面积为16π cm 2，下底半径为6 cm ，母线长为10 cm ，那么圆台的侧面积和体积各是多少？【导学号：41292052】【精彩点拨】 解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解决问题．【自主解答】 如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm ，于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)． 圆台的高h ＝BC ＝BD 2－OD －AB 2＝102－－2＝46(cm)，V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π)＝3046π3(cm 3)．求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算．对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．[再练一题]2.如图1－3－9，△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．图1－3－9【解】 如图所示，所得的旋转体是两个底面重合的圆锥的组合体，高的和AB ＝5，底面半径DC ＝AC ·BC AB ＝125， 故S 表＝π·DC ·(BC ＋AC )＝845π， V ＝13π·CD 2·DA ＋13π·CD 2·BD＝13π·CD 2·(DA ＋BD )＝485π. [探究共研型]球的表面积和体积探究1 如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为多少？ 【提示】V 1∶V 2＝8∶27＝R 31∶R 32，∴R 1∶R 2＝2∶3，S 1∶S 2＝R 21∶R 22＝4∶9.探究2 一底面边长为4的正六棱柱，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积是多少？【提示】 因为正六棱柱的底面边长为4，所以它的底面圆的半径为4，所以球的半径为42＋32＝5，故球的表面积为4πr 2＝4π×25＝100π.已知正四面体的棱长为a ，四个顶点都在同一个球面上，试求这个球的表面积和体积．【精彩点拨】 正四面体的顶点都在同一个球面上，球心和正四面体的中心是同一个点，球心与正四面体各顶点的距离即球的半径．【自主解答】 如图所示，设正四面体P －ABC 的高为PO 1，球的球心为O ，半径为R ，则AO 1＝33AB ＝33a . 在Rt △PO 1A 中，PO 1＝PA 2－AO 21＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ， 在Rt △OO 1A 中，AO 2＝AO 21＋OO 21， 即R 2＝⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2， 解得R ＝64a . 所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎪⎫64a 2＝32πa 2， 体积V ＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫64a 3＝68πa 3.处理有关几何体外接球的问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总是在几何体的特殊位置，比如中心、对角线中点等．该类问题的求解就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径．[再练一题]3．已知过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，求球面面积与球的体积．【解】 如图，设球心为O ，球半径为R ，作OO 1⊥平面ABC 于点O 1，由于OA ＝OB ＝OC ＝R ，则O 1是△ABC 的外心，设M 是AB 的中点，由于AC ＝BC ，则O 1∈CM .设O 1M ＝x ，易知O 1M ⊥AB ，则O 1A ＝22＋x 2，O 1C ＝CM －O 1M ＝62－22－x . 又O 1A ＝O 1C ，∴22＋x 2＝62－22－x ， 解得x ＝724.∴O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝924.在Rt △OO 1A 中，O 1O ＝R2，∠OO 1A ＝90°，OA ＝R ，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9242＝R 2，解得R ＝362，则S 球＝4πR 2＝54π，V 球＝43πR 3＝276π.1．已知一个长方体共顶点的三个面的面积为2，3，6，这个长方体的对角线长是________．【解析】 设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1. ∴l ＝3＋2＋1＝ 6. 【答案】62．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________． 【解析】 设正方体棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2.所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π.【答案】 12π3．已知正六棱柱的侧面积为72 cm 2，高为6 cm ，那么它的体积为______cm 3.【导学号：41292053】【解析】 设正六棱柱的底面边长为x cm ，由题意得6x ·6＝72，所以x ＝2 cm ， 于是其体积V ＝34×22×6×6＝36 3 cm 3. 【答案】 36 34．如图1－3－10，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．图1－3－10【解析】 由题目条件可得，旋转体是一个大圆锥去掉一个同底的小圆锥，故其体积为大圆锥体积减去小圆锥体积．∴V ＝13π·AD 2·DC －13π·AD 2·DB＝13π·AD 2·BC ＝13π×(3)2×32＝32π. 【答案】 32π5．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的体积是32π3，求此三棱柱的体积．【解】 由43πR 3＝32π3，得R ＝2，∴正三棱柱的高h ＝4.设其底面边长为a ，则13·32a ＝2，∴a ＝43，∴V ＝34(43)2·4＝48 3.。

1.3.2 空间几何体的体积教学目标：1．了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题；2．了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系；3．培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力．教材分析及教材内容的定位：通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合．教学重点：柱、锥、台的体积计算公式及其应用．教学难点：运用公式解决有关体积计算问题．教学方法：通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合教学过程：一、问题情境类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积．一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少．长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为V=abc或V长方体=Sh长方体（这里，S，h分别表示长方体的底面积和高．）二、学生活动阅读课本P59“祖暅原理”．思考：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？三、建构数学1．柱体的体积．棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．V 柱体= sh 2．锥体的体积．类似地,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等．13V sh =锥体 3．台体的体积．上下底面积分别是S’,S ,高是h ，则1('')3V h S SS S =++台体 柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？4．球的体积．一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积有什么样神奇的关系呢？——相等．223112233V R R R R R πππ=-=球，所以343V R π=球． 四、数学运用例1 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是37.8/kg cm )六角螺帽共重6kg ，已知底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个（π 取3．14，可用计算器）？分析：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由密度算出一个六角螺帽的质量．解：223331012610 3.14()102956() 2.956()42V mm cm =⨯⨯⨯-⨯⨯≈=, 所以螺帽的个数为61000(7.8 2.956)260⨯÷⨯≈（个）答：这堆螺帽大约有260个．例2 圆锥形封闭容器，高为h ，圆锥内水面高为11,3h h h =,若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为2h ,求2h ． 分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比．解：3283()27S AB S CD h V V h --== 1333332219191919::2727273V V V h h h h h V ⎛⎫∴===∴== ⎪⎝⎭水水锥锥倒置后： 例3 用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm ，高度为5 cm ，该西瓜体积大约有多大?练习：1．直三棱柱ABC -A ′B ′C ′各侧棱和底面边长均为a ，点D 是CC ′上任意一点，连结A ′B ，BD ，A ′D ，AD ，则三棱锥A －A ′BD 的体积是多少？2．将一个正三棱柱形的木块，旋成与它等高并且尽可能大的圆柱形，则旋去部分的体积是原三棱柱体积的 倍；3．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容1．理解柱体、锥体、台体之间的关系；2．球的表面积和体积公式．中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

江苏省淮安中学高二数学《空间几何体的体积》学案一教学目标（1）了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题；（2）了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系； （3）培养学生空见想象能力、理性思维能力以及观察能力． 教学重点与难点重点：柱、锥、台的体积计算公式及其应用． 难点：运用公式解决有关体积计算问题． 教学过程一、课前检测：正棱柱、正棱锥、正棱台及圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式。

二、创设情境、引入新课在初中的学习中，我们已经会根据长方体的长、宽、高来计算长方体的体积，棱柱、棱锥、棱台以及圆柱、圆锥、圆台的体积如何计算？它们的体积计算公式之间有何联系？三、讲解新课1、 棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平行得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）具有相等的体积。

柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积s 和高h 的积，即 V sh =柱体2、底面积相等，高也相等的两个锥体，它们的体积也相等13V sh =锥体3、台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算，如果台体的上、下底面面积分别为's ，s ，高是h ，可以推得它的体积是'1()3V h s s s s =++台体4、柱、锥、台体的体积公式之间的关系如下：''''011()33s s s V sh V h s s s s V sh===⇐=++⇒=柱体台体锥体V 1V 2C 1B 1A 1FCBEA四、数学应用例1、有一堆规格相同的铁制（铁的密度是37.8/g cm )六角螺帽共重6kg ，已知底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14，可用计算器）？例2、三棱柱111ABC A B C 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成体积为1V 、2V 的两部分， 求12:V V 的值。

空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积一、课标要求：了解一些简单的几何体的表面积的计算方法，了解棱柱、棱锥、台的表面积计算公式（不要求记忆公式）二、教学目标：(1)了解平面展开图的概念及柱、锥、台的表面积公式；(2)会求一些简单几何体的表面积公式；(3)让学生经历空间几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状；(4)让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体侧面积之间的转换关系，体会“数”和“形”的完美结合.(5)通过学习使学生感受到空间几何体侧面积的求解过程，对自己空间思维能力的影响，从而增强学习数学的信心.三、教学重点、难点：重点；空间几何体侧面积的计算难点；空间几何体侧面展开四、设计思路：借助多媒体，通过动态演示一些多面体的平面展开图的过程，让学生在直观感知的基础上了解平面展开图的概念，进而结合前面已研究的柱、锥、台这三类几何体的概念，介绍正棱柱、正棱锥、正棱台的概念，结合模型组织学生感知探索侧面展开图的形成过程及侧面展开图的构成，得出它们侧面积的计算公式。

五、活动设计教学进程教师活动学生活动活动目标及说明1、创设情境多媒体演示空间几何体的平面展开图什么叫空间几何体的平面展开图？观察演示图，感受空间几何体的平面展开图通过观察，初步感知空间几何体的平面展开图2、学生活动这些图形哪些是空间图形的平面展开图？（1）、（2）由定义，进一步感知空间几何体的平面展开图（3）（2）（1）六、同行点评：这节课设计很好，它让学生经历了从直观感受、操作确认、思维论证、度量计算的过程，符合新课程标准的要求。

“问题是数学的心脏”在设计中体现得十分准确和淋漓尽致，该设计刚开始借助多媒体通过动态演示，创设了一个有利于学生生动活泼、主动发展的数学学习环境，再通过这些问题把学生引入探索学习之路。

空间几何体的体积教学目标：1、了解单位正方体的意义，掌握柱、锥、台体的体积公式及公式之间的关系；2、掌握等体积法在求距离中的应用；3、体会积分思想在计算体积中的运用。

课时14 空间几何体的体积（1）【课标展示】1.理解柱体锥体台体的体积公式的推导．2.会求一些简单几何体的体积. 【课前预习】 （一）学点：1．阅读教材50~52P P 及59P “祖暅原理”，了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题；并了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系；2．回忆初中学过的计算长方体的体积公式．_________________或_______________． 3．棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．柱体（棱柱、圆柱）的体积等于 ， 即V =柱体 ．4．类似于柱体，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等． 棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到， 由于底面积为S ，高为h 的棱柱的体积V =棱锥 ，所以V =锥体 ．5．台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算．如果台体的上、下底面面积分别为S S '，，高为h ，可以推得它的体积是V =台体 ．6．柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下：V Sh =⇐柱体（）1()3V h S S '=台体（ ）13V Sh ⇒=锥体．（二）练习：1．用一张长12cm,宽8cm 的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，则这个圆柱的体积为 。

2．已知一个铜质的五棱柱的底面积为162cm ，高为4cm ，现将它融化后铸成一个正方体的铜块，（不计损耗）则铸成的铜块的棱长为 。

3．若一个六棱锥的高为10cm ，底面边长为6cm 的正六边形，则这个六棱锥的体积为 4．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm ，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，所得旋转体的体积为 。

5．已知两个平行于底面的平面将棱锥的高分成相等的三段，则此棱锥被分成的三部分的体积（自上而下）之比为 。

【课堂探究】例1．如图，长方体1111D C B A ABCD -的对角线1AC 的长为a ，,4501=∠BAC,6001=∠DAC 求这个长方体的体积。

江苏省射阳县盘湾中学高中数学空间几何体的体积（第2课时）教案苏教版必修2教学目标：了解球的体积及表面积计算公式的推导过程，能用公式解决相关问题，能处理组合体的体积计算。

教学重点：球的体积及表面积计算公式及其应用教学难点：公式推导过程中体会“无穷”“极限”思想教学过程：一、问题情境，学生活动：准备三个容器：一个底面半径和高均为R的圆柱；一个底面半径和高均为R 的圆锥；一个半径为R的半球，比较三个几何体的体积的关系。

二、知识建构：1、V球=___________________________________2、S球=____________________________________推导过程：三、知识运用：例1、半径为R 的球，如果半径发生了下述变化，则体积分别增加了多少倍？（1）半径增加到原来的2倍（2）半径增大了2倍小结：例2、两个球的体积之和为12π，这两个球的大圆周长和为6π，求大球的半径与小球的半径差。

小结：例3、一个正方体内接于半径为R的球内，求正方体的体积。

小结：练习：书P60 5、6四、回顾反思：知识：思想方法：五、作业布置：书P60 习题1.3 6、7精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

高中数学《空间几何体的表面积与体积》学案1 苏教版必修一、复习目标：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆），会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积、二、知识回顾：1、棱柱、棱锥、棱台的表面积公式：2、圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式及表面积公式：3、柱体、锥体、台体的体积公式：4、球的表面积公式和体积公式：三、基础训练：1、已知圆锥的底面半径为2cm，高为2cm，则该圆锥的侧面积为_________、DCMEBAN2、把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为、3、如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE 是异面直线；③CN与 BM成60o角；④DM与NB垂直、以上四个命题中，正确命题的序号是、2020正视图20侧视图101020俯视图4、正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为、5、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是、四、例题选讲：ABCDB1A1C1D1例1、如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，BB1＝c，并且a＞b＞c＞0、求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长、例2、有三个球，第一个球内切于正方体六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比、例3、三棱锥S－ABC中，一条棱长为a，其余棱长均为1，求a 为何值时三棱锥的体积最大，并求最大值、①③④②五、反馈练习：1、以下的几个图形，可能作为空间几何体的平面展开图的有_______、2、已知某个几何体的三视图如下（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），俯视图10左视图主视图81248可得这个几何体的体积是、正视图侧视图俯视图3、如图，一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角DCAB三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为___________、4、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD在原正方体中的位置关系是、5、若一个六棱锥的侧棱为10cm，底面是边长为6cm的正六边形，则这个六棱锥的体积、6、圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8：3，则圆台的体积为、7、水管或煤气管经常需要从外部包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很长的带子缠绕在管道外部、若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分（不考虑管子两端的情况，如图所示），这就要精确地计算带子的缠绕角度a （a指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）、若带子宽度为1，水管直径为2，则缠绕角度a的余弦值为、8、已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的外接球表面积为__ ___cm2、6主视图左视图6俯视图69、一几何体的表面展开如图所示，则这个几何体是哪一种几何体？选择适当的角度，画出它水平放置时的直观图与三视图，并计算该几何体的体积。

1.3.2 空间几何体的体积教学目标：1．了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题；2．了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系；3．培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力．教材分析及教材内容的定位：通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合．教学重点：柱、锥、台的体积计算公式及其应用．教学难点：运用公式解决有关体积计算问题．教学方法：通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合．教学过程：一、问题情境类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积．一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少．长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，那么它的体积为V 长方体＝abc 或V 长方体＝Sh（这里，S ，h 分别表示长方体的底面积和高．）二、学生活动阅读课本P65“祖暅原理”．思考：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？ 三、建构数学1．柱体的体积．棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．V柱体= sh 2．锥体的体积． 类似地，底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等．13V sh =锥体 3．台体的体积．上下底面积分别是S’，S ，高是h ，则1(')3V h S S =+台体柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？4．球的体积．一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积有什么样神奇的关系呢？——相等．223112233V R R R R R πππ=-=球，所以343V R π=球．四、数学运用例1 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8kg/cm 3）六角螺帽共重6kg ，已知底面是正六边形，边长为12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个（π取3．14，可用计算器）？分析：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由密度算出一个六角螺帽的质量．解：22331012610 3.14()102956(mm ) 2.956(cm )2V =⨯⨯-⨯⨯≈=， 所以螺帽的个数为61000(7.8 2.956)260⨯÷⨯≈（个）答：这堆螺帽大约有260个．例2 圆锥形封闭容器，高为h ，圆锥内水面高为11,3h h h =，若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为2h ，求2h ．分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比． 解：3283()27S AB S CD h V V h --==1333322191919::272727V V V h h h h V ⎛⎫∴===∴== ⎪⎝⎭水水锥锥倒置后：． 例3 用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm ，高度为5 cm ，该西瓜体积大约有多大? 练习：1．直三棱柱ABC -A ′B ′C ′各侧棱和底面边长均为a ，点D 是CC ′上任意一点，连结A ′B ，BD ，A ′D ，AD ，则三棱锥A －A ′BD 的体积是多少？2．将一个正三棱柱形的木块，旋成与它等高并且尽可能大的圆柱形，则旋去部分的体积是原三棱柱体积的倍；3．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容1．理解柱体、锥体、台体之间的关系；2．球的表面积和体积公式．。

2019-2020年高中数学第1章立体几何初步19空间几何体的体积（1）教学案（无答案）苏教版必修2目标要求1、掌握柱体（棱柱、圆柱）、锥体（棱锥、圆锥）、台体（棱台、圆台）的体积公式及其应用。

2、理解等底面积，等高的两柱体（锥体）的体积和等。

重点难点重点：柱体、锥体和台体的体积公式及其应用。

难点：等积变换。

典例剖析例1、如图，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB， PC互相垂直，又PA=2，PB=3，PC=4，求三棱锥P-ABC的体积。

C例2、有一堆相同规格的六角螺帽毛坯（如图）共重5.8kg．已知底面六边形边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm．那么约有毛坯多少个？（铁的比重是7.8g/ ）例3、（1）如图长方体中，用截面，截面，截面，求棱锥的体积与剩余部分的体积之比。

（2）三棱台中，，求三棱锥，，的体积比.例4、已知，，分别在三棱锥P-ABC的棱PA，PB，PC上．我们知道与的面积比为，类比这一结论，求出三棱锥与三棱锥P-ABC的体积比。

A学习反思1．柱体的体积公式是；锥体的体积公式是；台体的体积公式是；2．等底面积且等高的两柱体（或锥体）的体积；3．计算三棱锥的体积，可选择任何一个面作为其；江苏省泰兴中学高一数学作业(136)班级姓名得分1．一个正三棱锥的高和底面边长都为a，则它的侧棱和底面所成角的余弦值为。

2．棱台的体积为7，高为3cm, 它的一个底面面积为1，则棱台的另一个底面面积为。

3．从顶点起将棱锥的高分成三等分，过各个分点作平行于底面的截面，自上而下截得一个小棱锥和两个棱台的体积分别是，，，则：：= 。

4．已知一个正六棱柱的底面边长为，最长的对角线为8，则这个正六棱柱的体积为______. 5．若底面积相等的圆锥和圆柱的体积之比为2：1，则它们的高之比是____________6．若P是棱长为1的正四面体内的任意一点，则点P到这个四面体各面的距离之和为_______.7.正四面体的棱长为a,则它的体积为_________________.8．正方体的棱长为1，则以，，C，A为顶点的四面体的体积为 _________________. 9．设长方体三条棱长分别为a,b,c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则等于______________.10．一个正六棱锥的底面边长为6cm,高为15cm,画出它的直观图（比例尺为1：3），并计算该棱锥的体积。

2019-2020年高中数学第1章立体几何初步第17课时空间几何体的体积教
学案无答案苏教版必修2
一、学习目标
1、了解柱、锥、台、球的体积计算公式；
2、能运用柱、锥、台、球的体积公式进行计算和解决有关实际问题.
重点与难点：球的体积与表面积公式的推导
二、数学活动
问题1 棱长为2的正方体的体积是；长、宽、高分别是2、3、4的长方体的体积是；底面半径为2，高为4的圆柱的体积是；底面半径为2，高为4的圆锥的体积是．
问题2 将两个面积相等的三角形与四边形在空间中垂直向上平移相同的距离，则形成的三棱柱与四棱柱的体积应有怎样的关系？你能得到怎样的结论呢？
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h
三、数学建构
柱体的体积公式：
台体的体积公式：
球的表面积和体积公式：
四、数学应用
例1 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重6kg．已知毛坯底面正六边形边长是12mm，高是
10mm，内孔直径是10mm．那么这堆毛坯约有多少个？（铁的密度是7.8g/cm3，）
例2 在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA=2，PB=3，PC=4，求三棱锥P-ABC的体积．
变式：在棱长为4的正方体中．求三棱锥的体积；
D1C
1
B1
A1
D C
A
B
例3 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积．
五、巩固与小结
《必修2》P60 练习 T5、 T6
小结：。

空间几何体的体积（1）(1)预习范围：课本p50-p57(2)预习目标：了解柱、锥、台的体积计算公式，能运用公式求解有关体积计算问题(3)预习任务a 知识梳理与构建的要求1．情境：回忆初中学过的计算长方体的体积公式．一、 问题：底面积，高分别相等的柱体体积之间有怎样的关系？那么如何求柱体的体积？它们的体积是多少？一、 问题：底面积，高分别相等的锥体体积之间有怎样的关系？棱锥的体积公式怎样？一、 观察柱、锥、台体的体积公式，你能发现它们之间的关系吗？=长方体V =柱体V =锥体V =台体V b 预习检测题 1.一几何体按比例绘制的三视图如图所示，(单位：m)（1）试画出它的直观图；（2）求它的体积2.假设在青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫．已知路基的形状尺寸如图所示（单位：米），问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米？C 预习提高题在长方体1111D C B A ABCD -用截面截下一个棱锥11DD A C -，求11DD A C -的体积与剩余部分的体积之比．24100011 1 1 1(4) 预习的展示与总结(5) 教师精讲点拨典型例题例1． 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg 知底面六边形边长是12mm 是10mm 孔直径是10mm 有毛坯多少个？（铁的比重是38.7cm g）例2．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使B ，D 两点间距离变为a ，求所得三棱锥D-ABC 的体积课堂巩固检测题(1)已知一正四棱台的上底面边长为4cm,下底面边长为8cm,高为3cm,其体积为______(2)用一张长12cm 、宽8cm 的铁皮围成圆柱形的侧面，该圆柱体积为______(结果保留 )(3)埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年,其形状为正四棱锥.金字塔高146.6米,底面边长230.4米.求这座金字塔的体积.我通过预习已经掌握的知识点：___________________我需要与同学交流的问题是_______________________我需要老师重点讲解的问题是_____________________我的建议_______________________________________。

空间几何体的体积【学习目标】1．了解柱、锥、台、球的体积公式。

2．会利用柱体、锥体、台体的体积公式解决一些简单的实际问题。

【学习重难点】会利用柱体、锥体、台体的体积公式解决一些简单的实际问题【学习过程】1．柱体、锥体、台体的体积柱体：V＝______，V圆柱＝________。

锥体：V＝________，V圆锥＝________。

台体：V＝____________，V圆台＝错误!πh（r′2＋r′r＋r2）。

其中S、S′为底面面积，h为高，r、r′为底面半径。

2．球的表面积和体积S球＝________，V球＝__________其中R是球的半径。

【达标检测】一、填空题1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的________倍。

2．正方体的内切球和外接球的体积之比为__________。

3．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为________。

4．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为________。

5．设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。

则该几何体的体积为________m³。

6．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为________。

7．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是错误!，则这个三棱柱的体积是________。

8．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是______cm³。

9．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是______cm。

二、解答题10如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为AB．AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比。