一道课本习题的解法研究

一道课本例题的十种解法作者：杜海洋来源：《新课程·中学》2019年第09期摘要：一题多解对于培养学生的发散思维和创造能力，对增强数学知识的横向联系意识是非常有效的。

通过这种方式的训练，能够培养学生思维的灵活性及提高解题的效率，达到事半功倍的目的。

关键词：课本例题;一题多解;过焦点直线纵观近几年高考试题涉及抛物线知识，则将过抛物线焦点的直线的性质常作为考查的切入点，本例由一道课本例题出发，笔者从不同角度用十种方法来解答，以飨读者。

（普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1）69页：例4：斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于A、B两点。

求线段AB的长。

方法一：（两点间的距离公式）由已知可得直线AB的方程为y=x-1（1）。

与抛物线y2=4x联立解得x2-6x+1=0（2）。

方法二：直接利用公式：8。

方法三：利用勾股定理：（过B点向x轴作垂线交DA的延长线于点N）由直线的倾斜角θ=45°。

可得Rt△ABN为等腰Rt△AB2=2BN2=2（x1-x2）2=2（x1+x2）2=8（x1x2）=2（36-4）=64∴AB=8方法四：利用性质：AB=x1+x2+P。

由方法一可得AB=6+2=8。

方法五：利用性方法六：利用性质S△∵S（d为原点到直线的距离）∴AB=8。

方法七：利用=1∴AB2P2=8方法八：根据以AB为直径的圆与准线L相切的性质。

即找到AB的到准线L的距离为AB的一半。

由（2）可得x1+x2，即M（3，2）.所以点M到准线L的距离为3-（-1）=4，则AB=8方法九：利用参数方程。

设A（2pt2，2pt）则点A在直线y=x-1。

即4t2-4t-1=，仿方法一可得结论。

方法十：利用以AF，BF分别为直径的圆与y轴相切的性质。

即分别求出AF，BF的中点到y轴的距离即可。

AF+2=8附：过抛物线焦点弦的常用性质。

（以下希望读者结合课本例题仿照引例证明）。

（1）xAxB=2）焦点弦中通径（垂直于x轴的焦点弦）最短;（3）Aα是直线AB的倾斜角）;（4）S△直线AB的倾斜角）;（5）以AB为直径的圆与准线MN相切，切点为MN的中点Q;（6）以MN为直径的圆与AB相切，切点为焦点F;（7）A，O，N三点共线，B，O，M三点共线;（点评：通过对教材典型代表例题进行一题多解的训练，不仅能让学生对本节知識掌握更透彻，还能使学生的解题思路更加开阔，在进一步培养了学生思维迁移的能力和提高学生的解题能力的同时，还激发了学生学习的主动性、求知欲，并潜移默化地培养了学生优良的数学素养。

对一道课本习题的研究通过多年的教学，我发现教材中有许多极有价值的题目.对于这类题目，我们不能就题论题，或者仅仅满足于能正确解答题目，而应引导学生认真挖掘题目的内涵，不断地完善学生的知识结构和认知结构，激发学生对教材研究的兴趣，培养学生的探究能力、创新能力.高中数学新教材第二册（上）p96练习4：△abc的一边的两顶点是b（0，6）、c（0，-6），另两边的斜率的积是-49，求顶点a的轨迹.这道题的答案是：轨迹方程为x281+y236=1（x≠0），轨迹是一个椭圆（除短轴端点外）.我把这道题当做作业布置给学生，学生只是满足于把题目解答出来，而且绝大多数学生都能正确解答本题.但是，在学了椭圆和双曲线之后的一节习题课中，我要求学生研究这道题.下面是这一道课本习题的教学实录.师：今天这节课，老师想请同学们研究一道课本题（p96练习4）. 开始，许多学生都认真研究他们的解答，看看是否做错，很快他们发现他们没有做错，他们说：“老师，我们没有做错，你要我们研究什么？”师：是的，这道题你们是没有做错，但老师就是要你们研究这道题.经过热烈的讨论，有学生说：“老师，我想看看它的逆命题是否正确？”师：很好，大家不妨以这位同学的想法为例做一些研究.很快有学生写出了它的逆命题：已知椭圆方程为x281+y236=1（x≠0），短轴的两个端点为b、c，若点a是椭圆上任意一点（异于b、c），求点a与b、点a与c的连线的斜率的积.经过计算得到答案正好是-49.这时一些学生脸上露出成功的喜悦，并感叹：“原来这个命题的逆命题也成立！”师：很好，同学们经过研究，发现了这个命题及它的逆命题都是正确的，但这仅仅是研究的开始，请同学们继续研究.于是，学生再次进入思维、探索的高潮，所有学生都在进行积极的探索.有的学生想研究它的否命题、逆否命题，但很快发现研究这四种命题的关系没有什么价值；有的学生研究椭圆的方程x281+y236=1（x≠0）中的数值与-49的关系；有的学生写出了p96练习4的一般形式：△abc一边的两顶点b（0，m）、c（0，-m），另两边的斜率之积是常数-p，求顶点a的轨迹；还有的学生得出了更一般的命题：与两定点的连线的斜率之积是定值的点的轨迹是椭圆……教师在教室巡视，不时给学生一些提示和点拨，经过学生的研究和讨论，得到了如下命题：平面内的一个动点m（x，y）到两定点a1（-a，0），a2（a，0）的斜率之积等于常数e2-1（-1<e2-1此时，同学们十分高兴，个个脸上都露出了成功的喜悦.师：你们真了不起，通过研究你们发现了这样漂亮的命题，真是太棒了.但是，谁能使这个命题更加完美呢？学生再一次进入思维、探索的高潮.有的学生想到了教材p108习题1：△abc一边的两个端点是b（0，6）、c（0，-6），另两边的斜率的积是49，求顶点a的轨迹.[答案：双曲线x281+y236=1（x≠0）]；有些学生则直接对命题中的常数的取值范围进行研究，他们觉得这个常数的改变会引起曲线的形状的改变……（下课铃响了.）师：同学们，这节课你们通过对一道课本题的研究，发现了一个重要的命题：平面内的一个动点m（x，y）到两定点a1（-a，0），a2（a，0）的斜率之积等于常数e2-1（-1<e2-11.这里面蕴含了什么哲学原理？2.请大家给出一个统一的圆锥曲线的定义.综上可知，一道优秀的习题、一种较好的解法及得出的优美结论，可激发学生的兴趣，发展学生的智力，提高学生的能力.作为教师，我们应该培养学生探索研究的能力，让学生逐步形成良好的思维习惯.</e2-1</e2-1（责任编辑黄春香）。

例谈数学课本习题的解析与处理方法■文/周晓燕习题能起到巩固新知、形成技能、训练思维的作用。

每道习题都是经过长期酝酿、深思熟虑的，浸染着编者的良苦用心，值得每位教师去琢磨钻研，最大限度地发挥出每一道习题的潜藏价值。

一、首先挖掘出习题的基本价值要研读习题，就得弄懂其基本价值。

每道习题既贮藏着知识，又储蓄着锤炼技能的功能，起着为学生积累思维经验、接受基本思想、提升思维品质的作用。

粗略分析习题的基本价值，主要体现在对课本例题的补充上。

有些习题是对例题的补充完善与应用拓展，有的习题是对例题的改造变式，诱导学生进行思辨和质疑、对比和反思。

示范这些习题时，应洞明其编写意图，发挥出其应有功效。

例如课本习题10是二年级下数学“有余数除法”的教材习题。

分组呈现相关习题，除了训练计算，还意在通过强烈对比突出“带余数除法”和“带加数乘法”之间的逆转回环关系，初步感受“商×除数＋余数=被除数”，捎带了“带余除法”的验算方法。

46÷7=28÷5=74÷8=7×6+4=5×5+3=8×9+2=计算后，仔细观察上下两题，你发现了什么？又如在“带余除法应用”中，例题讲述的是“进一法”。

如“做一做”第1题与例题雷同，也是用到“进一法”解决估值预算问题。

第2题则反其道而行之，余下的零钱无法购进1个面包，“进一法”脱离实际，只能用“去尾法”。

由此，通过“习题”对“例题”涉及面、篇幅有限进行补偿，使学生的视野全面铺开。

题1：有27箱菠萝，王叔叔每次最多能运8箱。

至少要运多少次才能运完这些菠萝？题2：有三种价位的面包：5元1个，3元1个，4元1个。

（1）小丽有10元钱，买3元一个的面包，最多能买几个？（2）用这些钱能买几个单价4元的面包？说说理由。

二、根据课标理念培养学生相应能力新课标以全新视角将小学数学课程统合归置为四个领域，提炼出十个核心词。

许多习题都诠释了某些核心词的要义。

对课本一些例题解法的探讨在学习过程中，课本中提供的例题是我们复习知识点、做题巩固的重要素材。

但是，在一些例题中，题解可能有多种不同的理解和解法方式。

本篇文章将探讨一些课本例题的解法，包括但不限于以下几个方面：1.利用图形辅助解题2.利用逻辑推理解题3.利用数学公式解题利用图形辅助解题能否想象一下，在解一道数学题时，能用自己画的简单图形来辅助解题？这就是利用图形辅助解题。

下面列举几个例子进行讲解。

例1有一个球从高为ℎ0的地方自由落下，第n秒落地，求球的落地速度。

解法：这道题可以利用自己画一个小图来辅助解题，如下图所示。

imageimage在这个小图中，球自由落下的路程可以表示为一个等差数列，每一个点代表球运动到的位置。

由此不难看出，在第n秒时，球经过了n个点，也就是落地了。

根据匀加速直线运动的公式$S_n=S_0+\\dfrac{1}{2}at^2$，可以列出球运动的路程方程：$$ h_0=S_0+\\dfrac{1}{2}gt^2 $$其中g为重力加速度，可以取物理学习中的$9.8\\text{ m/s}^2$。

因为球在落地前从静止开始运动，所以S0=0。

将落地时间n代入公式，得到：$$ h_0=\\dfrac{1}{2}gn^2 $$根据运动学中的公式V t=at，可以计算出球在落地瞬间的速度为：V n=gn利用逻辑推理解题在一些题目中，需要运用逻辑推理才能解决问题，以下是一个例子。

例2某人家中有一只狗和一只猫，他们的颜色均为黑白相间。

狗的头黑身白，猫的头白身黑。

某个深夜，该人在家中迷迷糊糊地摸到了一只动物，想要确定它是狗还是猫。

但他的手摸到的是动物的身体，他无法直接看到动物的头。

解法：根据题目，可以得知猫狗的颜色为黑白相间。

而狗的头黑身白，猫的头白身黑。

因此，如果手摸到的是黑色的，则动物不可能是猫，只能是狗；如果摸到的是白色的，则还需要从身体长相上进行推理。

因为猫的头白身黑，所以如果身体长相与猫相似，则动物是猫；如果身体长相与狗相似，则动物是狗。

题目 (人教A 版《数学》选择性必修一课本P38第2题)PA ，PB ，PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60 ，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为（ ）A.12B. 22 C. 33 D. 36几何问题通性通法通性通法是具有普遍意义的方法和相关知识，因为问题中PA ，PB ，PC 的长度没有给出，需要用一般的量来表示解决问题，体现对数学本质的思考．解法1 在PC 上任取一点D 并作DO APB ⊥平面,则 DPO 即为直线PC 与平面PAB 所成的角．过点O 作OE PA ,OF PB ,垂足分别为E F ,．因为DO APB 平面，所以DE PA ,DF PB ,所以△△DEP DFP Ｑ．所以EP FP =,所以△△OEP OFP Ｑ．因为 APB =60 ,所以 OPE OPF ==30 ．设OE b =，所以OP b PF b PD b =2,=3,=23,所以cos === DPO OP PD 一道课本习题的多种解法及反思王希红ABC DE FPO由n nPA PB,,则n a b c a⋅=++⋅PA x y z()=+⋅+⋅x y za b a c a2=+a x aby212+=012acz, n a b c b⋅=++⋅PB x y z()⋅++⋅x y za b b c b2=+12abx b y bcz2+=012．取x b y a=,=,则z=−3abc，所以n a b c=+−b a3abc,n a b c c⋅+−⋅PC b a3abc⋅+⋅−b aa cbc c3abc2=+−=−1122abc abc abc abc32,||n===6ab, cos<,>nPC=||||nn⋅PCPC==设直线PC与平面PAB所成角为θ，则sin=|cos<,>|=θPCn36．因为θ∈0,π2，所以cos1sinθθ=−=233．所以 x z y z −=−=00，，取z =1，则x y ==1,所以平面PAB 的一个法向量n =(1,1,1)．则cos ,<>===n PC |||| PCPC ⋅n n 23¨263．设直线PC 与平面PAB 所成角为θ，则sin |cos ,|θ=<>=nPC 36．因为θ∈0,π2，所以cos 1-sin θθ==233．直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为33． （王希红，山东省聊城第一中学）第34页参考答案：1.P 到直线C D 11的距离即为PC 1，在面BCC B 11中，动点P 到定点C 1的距离与到定直线BC 的距离之比为2，因此点P 轨迹所在曲线是离心率为2的双曲线，选C.2.设侧面PAB 与底面ABC 所成的二面角大小为θ，过M 作MO 垂直于底面ABC 于O ，过O 作OD 垂直于AB 于D ，则∠MDO 即为θ，所以MO MD =sin θ，即MDMP=sin θ.因为θθ∈π∈(0,),sin (0,1]，当0sin 1<<θ时M 所在曲线为椭圆；当sin 1θ=时M 所在曲线为抛物线．故选BD.第44页参考答案：证明：（法1）记不等式左边为A ，构造A 的对偶式：B =...+a a a a a a a a 122311a a ++++2122+++a a 322n n n −n ，同例3的方法可证明．（法2）由柯西不等式，设a a 1+1=n ，知不等式左边∑i =n1a a i i +aii 2+1≥=∑i =n1()()∑aa =n1ii a +i 2+112.（本题由于数列平方因子出现，显然直接用柯西不等式最简单．）。

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ ２３对教材中一道习题的解法探究对教材中一道习题的解法探究Һ张㊀前㊀（安徽省庐江实验中学，安徽㊀合肥㊀２３１５００）㊀㊀ʌ摘要ɔ在数学核心素养下的解题探究，注重的是对教材知识的进一步理解与应用，更注重对习题的进一步思考与探索，体现了一题多解㊁多解归一的数学思想，同时提高了学生分析问题㊁探究问题㊁解决问题的能力，进一步发展了学生的逻辑思维能力．对此习题进行解法探究，加深了学生对数形结合思想㊁转化思想的进一步理解，提高了学生的数学核心素养．ʌ关键词ɔ习题；多解；转化；数形结合教材原题：人教版七年级数学下册教材第８０页第９题．如图，三角形ＡＯＢ中，Ａ，Ｂ两点的坐标分别为（２，４），（６，２），求三角形ＡＯＢ的面积．（提示：三角形ＡＯＢ的面积可以看作一个长方形的面积减去一些小三角形的面积．）㊀图１一㊁补形法解法１：如图２所示，根据直角坐标系中点的坐标的特点补成长方形ＯＣＥＤ，则Ｃ（０，４），Ｅ（６，４），Ｄ（６，０）．所以ＳәＡＯＢ＝Ｓ长方形ＯＣＥＤ－ＳәＡＯＣ－ＳәＡＢＥ－ＳәＢＯＤ＝６ˑ４－１２ˑ４ˑ２－１２ˑ４ˑ２－１２ˑ６ˑ２＝１０㊀图２还有其他 补 法吗？这就需要根据图形认真观察㊁分析，找出 变 与 不变 ， 变 的是补形的多样性㊁合理性，起到化繁为简的目的， 不变 的是所求的结果始终如一．解法２：如图３所示，根据直角坐标系中点的坐标的特点补成直角梯形ＡＯＤＥ，Ｅ（６，４），Ｄ（６，０）．所以ＳәＡＯＢ＝Ｓ直角梯形ＡＯＤＥ－ＳәＡＢＥ－ＳәＢＯＤ＝１２（４＋６）ˑ４－１２ˑ４ˑ２－１２ˑ６ˑ２＝１０㊀图３解法３：如图４所示，根据直角坐标系中点的坐标的特点补成直角梯形ＯＣＥＢ，则Ｅ（６，４），Ｃ（０，４）．ＳәＡＯＢ＝Ｓ直角梯形ＡＯＤＥ－ＳәＡＢＥ－ＳәＡＯＣ＝１２（２＋４）ˑ６－１２ˑ４ˑ２－１２ˑ４ˑ２＝１０㊀图４二㊁割形法割形法是指将不规则图形分割成两个或几个规则的图形，利用之间和的关系，从而求出不规则图形的面积．解法４：根据此题的特点，可以这样分割．如图５所示，分割成әＡＢＣ和әＢＯＣ，则Ｃ（１，２），而这两个三角形刚好形成了同底等高．底边长为５，高为２，故所求三角形的面积为其中一个面积的２倍，即ＳәＡＯＢ＝２ＳәＡＢＣ＝２ˑ１２ˑ５ˑ２＝１０㊀图５解法５：如图６，割成әＡＯＤ和әＡＢＤ．ＡＤ为共同的底边，对应的高易求，分别为２和４，但是，怎样求ＡＤ的长度？根据在直角坐标系中点的坐标的特点，要求ＡＤ的长度，必须知道Ａ点和Ｄ点的纵坐标，而Ａ点的坐标是（２，４），但Ｄ点不在格点上，只知道横坐标为２，不知道纵坐标为多少．那么怎样求呢？此时我们要借助于一次函数（一次函数为八年级的知识点），根据Ｏ㊁Ｂ两点的坐标，可得直线ＯＢ的解析式为ｙ＝１３ｘ，而Ｄ点横坐标为２，则其纵坐标为２３，所以ＡＤ的长度为４－２３＝１０３，故әＡＯＢ的面积为：ＳәＡＯＢ＝ＳәＡＯＤ＋ＳәＡＢＤ＝１２ˑ１０３ˑ２＋１２ˑ１０３ˑ４＝１０㊀图６. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ ２３三㊁补形法和割形法共同组合法解法６：如图７所示，过Ｂ点作ＢＤʅｘ轴于Ｄ，由Ｂ（６，２）点坐标可知，ＢＤ＝２，ＯＤ＝６，过Ａ点作ＡＣʅｘ轴于Ｃ，由Ａ（２，４）点坐标可知，ＯＣ＝２，ＡＣ＝４，则㊀图７Ｓ四边形ＯＡＢＤ＝Ｓ直角梯形ＡＢＤＣ＋ＳәＡＯＣ＝１２（２＋４）ˑ４＋１２ˑ２ˑ４＝１６ＳәＢＯＤ＝１２ˑ６ˑ２＝６；ȵＳәＡＯＢ＝Ｓ四边形ＯＡＢＤ－ＳәＢＯＤ；ʑＳәＡＯＢ＝１０．对于此图形，还有其他的 补 和 割 吗？答案是肯定的，当然有．解法７：如图８所示，过Ａ点作ＡＣʅｙ轴于Ｃ，由Ａ（２，４）点坐标可知，ＯＣ＝４，ＡＣ＝２，过Ｂ点作ＢＤʅｙ轴于Ｄ，由Ｂ（６，２）点坐标可知，ＢＤ＝６，ＯＤ＝２，Ｓ四边形ＯＣＡＢ＝Ｓ直角梯形ＡＣＤＢ＋ＳәＢＯＤ＝１２（２＋６）ˑ２＋１２ˑ２ˑ６＝１４；ＳәＡＯＣ＝１２ˑ４ˑ２＝４；ʑＳәＡＯＢ＝Ｓ四边形ＯＣＡＢ－ＳәＡＯＣ，ʑＳәＡＯＢ＝１０．㊀图８四㊁ 铅垂高，水平宽 面积法解法８：如图９所示，水平宽为ＢＣ，由Ｏ（０，０）㊁Ｂ（６，２）可知水平宽ＢＣ＝６，铅垂高为ＡＤ，Ａ点的纵坐标知道，但Ｄ点的纵坐标不知道，可由解法５中的方法，求得Ｄ点的纵坐标为２３，则铅垂高为ＡＤ＝１０３；故：ＳәＡＯＢ＝１２ˑ６ˑ１０３＝１０．㊀图９五㊁格点三角形面积公式法格点三角形面积公式为：Ｓ＝ａ＋ｂ２－１，其中ａ表示三角形内部的点数，ｂ表示三角形边界上的点数，Ｓ表示三角形的面积．解法９：如图１０所示，三角形内部的点数ａ＝８，三角形边界上的点数ｂ＝６，故ＳәＡＯＢ＝ａ＋ｂ２－１＝８＋６２－１＝１０．运用公式时，无论是三角形内部的点数，还是三角形边界上的点数，数格点时，都要做到不重不漏，只有这样才不会出错．㊀图１０六㊁一次函数法（八年级的知识点）借助于一次函数的方法来求三角形的面积，在解法５和解法８中都有应用，解答时也非常简便．解法１０：Ｏ（０，０）㊁Ａ（２，４）㊁Ｂ（６，２），如图１１所示，延长ＡＢ交ｘ轴于点Ｍ，延长ＢＡ交ｙ轴于点Ｎ，如果知道点Ｍ和点Ｎ的坐标，再根据Ａ，Ｂ两点的坐标，就可以求得әＡＯＢ的面积，即ＳәＡＯＢ＝ＳәＭＯＮ－ＳәＡＯＮ－ＳәＢＯＭ；那么，对于点Ｍ和点Ｎ的坐标怎么求呢？此时要借助于一次函数才能求出点Ｍ和点Ｎ的坐标；设直线ＡＢ的解析式为：ｙ＝ｋｘ＋ｂ，ȵＡ（２，４），Ｂ（６，２）在直线ＡＢ上，ʑ４＝２ｋ＋ｂ２＝６ｋ＋ｂ{ʑｋ＝－０．５ｂ＝５{ʑ直线ＡＢ的解析式为：ｙ＝－０．５ｘ＋５；设ｙ＝０，则得ｘ＝１０，即Ｍ（１０，０）；设ｘ＝０，则得ｙ＝５，即Ｎ（０，５）．由Ｏ（０，０）㊁Ａ（２，４）㊁Ｂ（６，２）可得：ＳәＡＯＢ＝１２ˑ１０ˑ５－１２ˑ５ˑ２－１２ˑ１０ˑ２＝１０．㊀图１１七㊁勾股定理法（八年级的知识点）如图１２所示：根据图形的特点以及Ｏ（０，０）㊁Ａ（２，４）㊁Ｂ（６，２），可以根据勾股定理求出әＡＯＢ三边的长度，再结合勾股定理的逆定理，看看是否为直角三角形，若为直角三角形，则所求三角形面积易求．㊀图１２解法１１：由Ｏ（０，０）㊁Ａ（２，４）㊁Ｂ（６，２）可得：ＯＡ＝２５，ＡＢ＝２５，ＯＢ＝２１０，即ＯＡ２＝２０，ＡＢ２＝２０，ＯＢ２＝４０，得出ＯＡ２＋ＡＢ２＝ＯＢ２，所以әＡＯＢ是øＯＡＢ＝９０ʎ的等腰直角三角形．故：ＳәＡＯＢ＝１２ＯＡ㊃ＡＢ＝１２ˑ２５ˑ２５＝１０．笔者认为，对于一道题的解法探究，需要深刻理解题意，不仅要熟练掌握教材的知识，还要灵活运用教材的知识，同时要认真㊁仔细地观察图形，寻找其中的关键点，只有经过了深思熟虑，才能正确解题．这就要求教师在平时的教学中要善于思考㊁善于总结㊁善于做个有心人，这样才会收到意想不到的效果．. All Rights Reserved.。