2020年新课标全国高考数学冲刺原创预测卷B卷-理科(含答案解析)

泄露天机——高考押题 精粹数学理科本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题。

选择题30小题，填空题4小题，解答题14小题。

1.已知集合22{|log 1},{|60},A x x B x x x =≥=--<则()RA B 等于（ ）A.{|21}x x -<<B.{|22}x x -<<C.{|23}x x ≤<D.{|2}x x <2. 已知复数()4i 1ib z b R +=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.若复数z 满足()1i 1i i z -=-+,则z 的实部为（ ）1 C.14.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)2π上是减函数的是（ ）A ．3y x = B. sin y x =- C ．21y x =+ D ．cos y x =5.若()(),,,A a b B c d 是()ln f x x =图象上不同两点,则下列各点一定在()f x 图象上的是( )A.(),a c b d ++ B.()a c bd +， C.(),ac b d + D.(),ac bd6.双曲线22:13y C x -=的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（ ）A.12B.2C.D.27.在区间[]1,1-内随机取两个实数x ，y ，则满足12-≥x y 的概率是（ ）A.92B.97C.61D.568.执行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值是（ ）A ．2B ．－12 C ．－3 D ．139.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x 值为2016，则输出的i 值为 ( )A.3B.4C.5D.610.若向量,a b 满足||||2==a b ，a b 与的夹角为60︒，a 在+a b 上的投影等于 ( )A.2 B.2C. 3D.4＋2 311.不等式组2503020x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≥≤的解集记为D ，11y z x +=+，有下面四个命题： p 1：(,)x y D ∀∈，1z ≥ p 2：(,)x y D ∃∈，1z ≥p 3：(,)x y D ∀∈，2z ≤ p 4：(,)x y D ∃∈，0z <其中的真命题是 ( ) A ．p 1，p 2 B ．p 1，p 3 C ．p 1，p 4D ．p 2，p 312.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是（）13．一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（）A.2333cmB.2233cmC.4763cmD.73cm14.若数列{na}满足11na－－1=nda（dNn,*∈为常数），则称数列{na}为调和数列．已知数列{1nx}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则165xx+等于（）A．10 B．20 C．30 D．4015.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布.A．21B.158C.3116D.291616.在某次联考测试中，学生数学成绩X()()21000Nσσ>,，若,8.0)12080(=<<XP则)800(<<XP等于（）A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.217．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（）A.2544B.1332C.2532D.132018.已知()2cos2,21xxf x ax x=+++若π()3f=2,则π()3f-等于（）A.2- B.1- C.0 D. 119.函数()()sin 2()2f x A x πϕϕ=+≤部分图象如图所示，对不同的[]b a x x ,,21∈，若()()21x f x f =，有()321=+x x f ，则（ ）A ．()x f 在5(,)1212ππ-上是减函数 B ．()x f 在5(,)36ππ上是减函数 C ．()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数 D ．()x f 在5(,)36ππ上是增函数20．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ）A.2-B.3- C ．125 D.131-21.设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点、右焦点,直线2a x c=交该双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ） 332 D.222.过抛物线2y x ＝4焦点F 的直线交其于B A ,两点，O 为坐标原点．若3=AF ，则AOB ∆的面积为（ ）A.222 C.322223.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2c ，若圆12,C C 都在椭圆C 内，则椭圆C 离心率的范围是（ ）A ．1[,1)2 B ．1(0]2， C ．22D ．2(0]2，24.已知向量AB 、AC 、AD 满足AC AB AD =+,2AB =,1AD =,E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点．若54DE BF ⋅=-,则向量AB 与向量AD 的夹角为（ ） A ．π3 B ．2π3 C ．π6 D ．5π625.已知函数()⎩⎨⎧<+≥+=0,0,3x b ax x x x f 满足条件：对于R ∈∀1x ，∃唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =.当()()b f a f 32=成立时，则实数=+b a ( )A.26 B.26- C.26+3 D.26-+3 26.函数2ln xy x=的图象大致为（ ）27.已知定义在(0,)2π上的函数()f x ,()f x '为其导数,且()()tan f x f x x '<恒成立，则（ ）3()2()43ππ>2()()64f ππ>3()()63f ππ< D.()12()sin16f f π<⋅28.若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条,则实数a 的取值范围是( )A.(),e -∞B.()e,+∞C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,+∞29.已知四边形ABCD 的对角线相交于一点,(1,3AC =,()3,1BD =-,则AB CD ⋅的最小值是（ ）A.2B.4C.2-D.4-30.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦31.已知边长为3的正ABC ∆的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为30，则球O 的表面积为________．32.设1>m ,当实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥12y x x y x y 时，目标函数my x z +=的最大值等于2，则m 的值是_______．33.已知数列{}n a 中,对任意的*n ∈N ,若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数）,则称该数列为4阶等和数列,其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数）,则称该数列为3阶等积数列,其中t 为3阶公积,已知数列{}n p 是首项为1的4阶等和数列,且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 是公积为1的3阶等积数列,且121q q ==-,设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和,则2016S = ___________．34.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g=，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .35.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos 14sin sin B C B C -=+.(1)求A ；(2)若27a =，ABC ∆的面积23，求b c +.36.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，,4π=∠CAD 27=AC ，102cos -=∠ADB .（1）求C ∠sin 的值；（2）若ABD ∆的面积为7，求AB 的长.已知公差不为0的等差数列{}n a 中，12a =，且2481,1,1a a a +++成等比数列. (1)求数列{}n a 通项公式； (2)设数列{n b }满足3n nb a =，求适合方程1223145...32n n b b b b b b ++++=的正整数n 的值.38.（本小题满分12分）设*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，125,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1(2)n a nnb a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .39.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++）某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A、B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；(2) 记事件C为“A校学生计算机优秀成绩高于B校学生计算机优秀成绩”．假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立．根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．41.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD 平面ABPE=AB，且2,1AB BP AD AE====，,AE AB⊥且AE∥BP．（1）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，,//,AD CD AB CD ⊥122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上且不与C E ,重合．（1）当点M 是EC 中点时，求证：ADEF BM 平面//；（2）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥BDE M -的体积．43.（本小题满分12分）已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y ax 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=⋅NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，A 是椭圆C 的右顶点，直线AQ AP 、分别与y 轴交于点N M 、，问：以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若恒过x 轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x 轴上的定点，请说明理由.45.（本小题满分12分）已知函数()ln 3f x a x ax =--（0a ≠）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()140f x a x e +++-≤对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围（e 为自然常数）； （3）求证：()()()()2222ln 21ln 31ln 41ln 112ln !n n ++++++⋅⋅⋅++<+（2n ≥，n *∈N ）．46.（本小题满分12分）已知函数()(1)()xf x a x e a =--.（常数R a ∈且0a ≠）.（1）证明：当0>a 时，函数()x f 有且只有一个极值点； （2）若函数()x f 存在两个极值点12,x x ，证明：()2140e x f <<且()2240e x f <<.(2)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且AB =求直线l 的倾斜角α的值． (3)选修4-5：不等式选讲设函数()121f x x x =--+的最大值为m . （1）求m ；（2）若()222,,0,,2a b c a b c m ∈+∞++=，求ab bc +的最大值.(2)选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C . (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围.(3)选修4－5：不等式选讲已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ,且(2)1f x +≥的解集A 满足[]1,1A -⊆． （1）求实数m 的取值范围B ；（2）若(),,0,a b c ∈+∞,0m 为B 中的最小元素且011123m a b c++=, 求证：9232a b c ++≥.泄露天机——高考押题 精粹数学理科本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题。

MNI2020高三模拟测试卷【B 卷】数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生顺利！第Ⅰ卷（选择题 60 分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写清楚。

2．将试题的答案，填在相应的答题卡内，答在试题卷上无效。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项是最符合题意的。

） 1．在下列各数中，与sin2020°的值最接近的数是A ．21B ．23C ．21-D ．23-2．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1·z 2在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 3．设全集I ＝R ，M ＝{x ∣x 2＞4}，N ＝{x ∣21x -≥1}，如图所示：则图中阴影部分所表示的集合为 A ．{x ∣x ＜2} B ．{x ∣-2＜x ＜1} C ．{x ∣-2≤x ≤2}D ．{x ∣1＜x ≤2}4．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题，其中为真命题的是 ①//////αββγαγ⇒⎧⎨⎩ ②//m m αββα⊥⇒⊥⎧⎨⎩ ③//m m ααββ⊥⇒⊥⎧⎨⎩ ④////m nm n αα⇒⊂⎧⎨⎩A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④5．若函数y ＝sin x ＋f (x )在[-4π，34π]内单调递增，则f (x )可以是A ．1B ．cos xC ．sin xD ．-cos x6．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线 A 1B 与AD 1所成角的余弦值为绝密★启用前D 1 1 A 1 B 1D CAA ．15B ．25C ．35D ．457．某公园有甲、乙、丙三条大小不同的游艇，甲可坐3人，乙可坐2人，丙只能坐1人，现在3个大人带2个小孩租游艇，但小孩不能单独坐游艇（即需要大人陪同），则不同的坐法种数有 A ．21B ．27C ．33D ．348．一双曲线以椭圆225x ＋2y 9＝1长轴两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线渐近线的斜率是 A ．±2B ．±12C ．±43D ．±349．设数列{a n }是公比为a （a ≠1），首项为b 的等比数列，S n 是前n 项和，则点（S n ，S n ＋1） A ．在直线y ＝ax －b 上 B ．在直线y ＝bx ＋a 上 C ．在直线y ＝bx －a 上D ．在直线y ＝ax ＋b 上10．在ABC AB BC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,02是A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形11．如果函数数f (x )＝2a b-ln(x ＋1)的图像在x ＝1处的切线l 过点（0，-1b），并且l 与圆x 2＋y 2＝110相离，则点（a ，b ）与圆x 2＋y 2＝10的位置关系是 A ．在圆内 B ．在圆外 C ．在圆上D ．不能确定12．已知实数x ，y 满足约束条件y 102y 01x a x x ⎧⎪⎨⎪⎩－－≥＋≥≤（a ∈R ），目标函数z ＝x ＋3y 只有当1y 0x ⎧⎨⎩＝＝时取得最大值，则a 的取值范围是A ． -13＜a ＜0B ． a ＞-13C ． a ＞0D ．a ＜-13或a ＞0第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上。

2020届全国高考数学（理）冲刺高考预测卷（一）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{y |y ＝log 3x,0<x ≤9}，B ＝{x |2 019x >1}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,2) B ．(0,2] C ．(－∞，2]D ．R解析 集合A ＝{y |y ＝log 3x,0<x ≤9}＝{y |y ≤2}， 集合B ＝{x |2 019x >1}＝{x |x >0}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤2}＝(0,2]．故选B. 答案 B2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝1＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－1＋i B ．2 C ．－2D ．－1－i解析 因为两个复数对应的点关于虚轴对称，所以两个复数的实部互为相反数且虚部相同，所以复数z 2＝－1＋i ，z 1z 2＝(1＋i)(－1＋i)＝－2，故选C.答案 C3.如图，A 、B 、C 是单位圆上的三等分点，下列说法错误的是( )A.OA →＝－(OB →＋OC →)B.OA →与BO →的夹角为120° C.OA →⊥(OB →－OC →) D.OA →在OB →上的投影为－12解析 对于A ，由平行四边形法则可知OB →＋OC →＝AO →＝－OA →，正确； 对于B ，OA →与BO →的夹角为60°，错误；对于C ，OA →·(OB →－OC →)＝OA →·OB →－OA →·OC →＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，正确；对于D ，OA →在OB →上的投影为－12，正确，故选B. 答案 B4．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，若b n ＝(n －5)a n ，则b n 的最小值为( ) A ．－252 B ．－12 C ．－8D ．－52解析 当n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，当n ＝1时显然适合上式，所以a n ＝2n ，n ∈N *，所以b n ＝(n －5)a n ＝2n (n －5)．令f (x )＝2x (x －5)，易知对称轴为x ＝52， 所以b n 的最小值为b 2＝b 3＝－12.故选B. 答案 B5．已知p ：x ≤m ，q ：4x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1) 解析 设A ＝{x |x ≤m }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪4x ＋1<1＝{x |x <－1或x >3}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，∴m <－1，∴实数m 的取值范围是(－∞，－1)．故选D.答案 D6．从6人中选出4人参加数学、物理、化学、生物竞赛，每人只能参加其中一项，每项竞赛必须有人参加，其中甲、乙两人都仅能参加化学竞赛，其他4人四项竞赛都能参加，则不同的参赛方案的种数为( )A ．48B ．72C ．144D ．480解析 分成两类：(1)甲乙均不参加比赛：共有A 44＝24种情况；(2)甲乙有且只有一人参加比赛：共有C 12A 34＝48种情况．∴不同的参赛方案共有24＋48＝72种．故选B.答案 B7．如图所示的程序框图的输出结果为y＝44.5，则循环体的判断框内应填()A．x<88? B．x≤89?C．x<89? D．x≤88?解析因为cos21°＋cos22°＋…＋cos289°＝44(cos21°＋cos289°)＋cos245°＝44(cos21°＋sin21°)＋cos245°＝44.5，所以x≤89.答案 B8．已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a3＝7，且{a n＋1－a n}成等比数列，则满足不等式1 1＋a n－11＋a n＋1≥λ1＋a n＋2的实数λ的最大值是()A．2 B．3C．5 D．6解析由a2－a1＝2，a3－a2＝4，得公比q＝2，所以a n＋1－a n＝(a2－a1)·2n－1＝2n.所以a n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.从而，由不等式11＋a n－11＋a n＋1≥λ1＋a n＋2，得12n－12n＋1≥λ2n＋2，即λ≤2.则λ的最大值是2. 答案 A9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为4π3，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．12 3B ．2 3C ．6 3D ．48 3解析 由43πR 3＝43π，得球的半径R ＝1， ∴正三棱柱的高等于球的直径，即h ＝2R ＝2. 设三棱柱的底面边长为a ， 则13×32a ＝1，∴a ＝23，∴该正三棱柱的体积V ＝34×(23)2×2＝63，故选C. 答案 C10．已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的部分图像如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12，－2，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋k π，5π3＋k π(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＋k π，13π6＋k π(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋k π，17π12＋k π(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12＋k π，23π12＋k π(k ∈Z ) 解析 依题意，T 2＝13π12－7π12＝π2，所以T ＝π＝2πω，解得ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝12，所以7π6＋φ＝π6＋2n π(n ∈Z )或7π6＋φ＝5π6＋2n π(n ∈Z )，解得φ＝－π＋2n π(n∈Z )或φ＝－π3＋2n π(n ∈Z )．因为－π2<φ<0，所以φ＝－π3，所以f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令π2＋2k π<2x－π3<3π2＋2k π(k ∈Z )，解得5π12＋k π<x <11π12＋k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )．因为函数f (x )的最小正周期为π，所以选项D 符合题意．故选D. 答案 D11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( )A.2＋12 B ．2＋1 C.3＋12D ．3＋1解析 取PF 2的中点A ，则由(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，得2OA →·F 2P →＝0，即OA →⊥F 2P →.在△PF 1F 2中，OA 为△PF 1F 2的中位线，所以PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2.又由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而|PF 1|＝3|PF 2|，所以|PF 2|＝c ，所以(3－1)c ＝2a ，解得e ＝3＋1.故选D.答案 D12．已知函数f (x )＝e x |x |，关于x 的方程f 2(x )－2af (x )＋a －1＝0(a ∈R )有3个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫e 2－12e －1，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，e 2－12e －1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，e 2－12e －1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫e 2－12e －1 解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx ，x >0，－e xx ，x <0，当x >0时，f ′(x )＝e x (x －1)x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，函数单调递减，当x >1时，f ′(x )>0，函数单调递增， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e.当x <0时，f ′(x )＝－e x (x －1)x 2>0，函数单调递增， 如图，画出函数的图像，设t ＝f (x )，当t >e 时，t ＝f (x )有3个根，当t ＝e 时，t ＝f (x )有2个实根，当0<t <e 时，t ＝f (x )有1个实根，考虑到原方程的判别式大于零恒成立，所以原方程等价于t 2－2at ＋a －1＝0有2个相异实根，其中t 1＝e ，t 2∈(0，e)或t 1≤0，t 2>e ，当t ＝e 时，e 2－2a e ＋a －1＝0，解得a ＝e 2－12e －1，检验满足条件；由t 1≤0，t 2>e 得⎩⎨⎧02－2a ×0＋a －1≤0，e 2－2a e ＋a －1<0，无解．故选D.答案 D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________. 解析 本题考查空间直线和平面间的位置关系．当l ⊥m ，m ∥α时，l 与α不一定垂直，可能相交，也可能平行；当l ⊥m ，l ⊥α时，m ∥α；当m ∥α，l ⊥α时，l ⊥m ，综上可知，正确命题是若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α.或若m ∥α，l ⊥α，则l ⊥m .答案 若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α(答案不唯一)14．某企业对2018年1－4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：月份x 1 2 3 4 利润y /万元13.55.58y 关于x 的线性回归方程为________．解析 设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，∵x →＝2.5，y →＝4.5，∴由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4.5＝2.5b ^＋a ^，23.5＝12b ^＋a ^，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ^＝－0.5，b ^＝2，∴线性回归方程为y ^＝2x －0.5.答案 y ^＝2x －0.515．在(1－x ＋x 2)(1＋x )7的展开式中，x 4的系数为________．解析 (1＋x )7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7·x r ，所以x 4的系数为C 47－C 37＋C 27＝C 27＝21.答案 2116．若直线l 交抛物线y 2＝4x 于A 、B 两点，△OAB 内有一点M (6,2)满足S △AOM ∶S △BOM ∶S △AMB ＝1∶2∶3，则直线l 的斜率为________．解析 解法一：设点A ，B 到直线OM 的距离分别为d A ，d B ，直线OM 交直线AB 于点Q ，则|QA ||QB |＝d A d B ＝S △AOM S △BOM ＝12⇒S △AMQ ＝13S △AMB ＝S △AOM ，故M 为OQ 的中点，所以Q (12,4)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BQ →＝2QA →⇒⎩⎨⎧ 12－x 2＝2(x 1－12)，4－y 2＝2(y 1－4)，所以⎩⎨⎧x 2＝36－2x 1，y 2＝12－2y 1.代入y 22＝4x 2，并结合y 21＝4x 1解得⎩⎨⎧x 1＝16，y 1＝8或⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝0(不合题意，舍去)．故直线l 的斜率k ＝y 1－y Q x 1－x Q ＝8－416－12＝1.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1－6，y 1－2)，MB →＝(x 2－6，y 2－2)，又MO →＝(－6，－2)，所以由奔驰定理，得MA →·S △OMB ＋MB →·S △AMO ＋MO →·S △BMA ＝0⇒2MA →＋MB →＋3MO →＝0⇒⎩⎨⎧ 2x 1＋x 2－36＝0，2y 1＋y 2－12＝0.把x 1＝y 214，x 2＝y 224代入解得⎩⎨⎧ x 1＝16，y 1＝8，⎩⎨⎧x 2＝4，y 2＝－4.故求得k AB ＝1，即直线l 的斜率为1.结论拓展 奔驰定理：已知O 为△ABC 内一点，则有OA →·S △OBC ＋OB →·S △OAC ＋OC →·S △OAB ＝0.答案 1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分17．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝m ，a n ＋1＝S n ＋2. (1)求m 的值；(2)若b n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ＋1，n 为偶数，求b 1＋b 2＋…＋b n 的值．解析 (1)由a n ＋1＝S n ＋2，得a n ＝S n －1＋2(n ≥2)， ∴a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，∴a n ＋1＝2a n (n ≥2)．又a 2＝S 1＋2＝m ＋2，{a n }是等比数列，∴m ＋2m ＝2，∴m ＝2.(4分) (2)由(1)得，a n ＝2n ，∴b n ＝⎩⎨⎧2n ，n 为奇数，n ＋1，n 为偶数，令b 1＋b 2＋…＋b n ＝T n ，则T 2k ＝b 1＋b 2＋…＋b 2k ＝(b 1＋b 3＋…＋b 2k －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2k )＝21＋23＋…＋22k －1＋(3＋5＋…＋2k ＋1)＝2·1－4k 1－4＋k 2＋2k ＝23(4k －1)＋k 2＋2k .(7分)∴当n 为偶数时，T n ＝23(4n 2－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 22＋2·n 2＝23·2n ＋n 24＋n －23.(8分) T 2k －1＝T 2k －b 2k ＝23(4k －1)＋k 2＋2k －(2k ＋1)＝23·4k ＋k 2－53. ∴n 为奇数时，T n ＝23·4n ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122－53＝43·2n ＋n 24＋n 2－1712.(10分) 故b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧23·2n ＋n 24＋n －23，n 为偶数，43·2n ＋n 24＋n 2－1712，n 为奇数.(12分)18．(12分)某企业对现有设备进行了改造，为了了解设备改造后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在[20,60)内，则该产品视为合格品，否则视为不合格品．下图是设备改造前的样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表．质量指标值频数[10,20) 2[20,30)18[30,40)48[40,50)14[50,60)16[60,70) 2(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关：设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计(2)根据图1和表(3)企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[30,40)内的定为一等品，每件售价180元；质量指标值落在[20,30)或[40,50)内的定为二等品，每件售价150元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据频数分布表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．附：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k 02.072 2.7063.841 5.024 6.635K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解析 (1)根据图1和表1得到2×2列联表：设备改造前 设备改造后 合计合格品 86 96 182 不合格品 14 4 18 合计100100200(1分)将2×2列联表中的数据代入公式计算得： K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝200×86×4－96×142182×18×100×100＝5 000819≈6.105.(3分)∵6.105<6.635，∴没有99%的把握认为该企业生产的产品的质量指标值与设备改造有关．(4分) (2)根据图1和表1可知，设备改造前的产品为合格品的概率约为86100＝4350，设备改造后产品为合格品的概率约为96100＝2425；显然设备改造后产品合格率更高，因此，改造后的设备更优．(6分)(3)由表1知：一等品的频率为12，即从所有合格产品中随机抽到一件一等品的概率为12； 二等品的频率为13，即从所有合格产品中随机抽到一件二等品的概率为13； 三等品的概率为16，即从所有合格产品中随机抽到一件三等品的概率为16.(7分)由已知得：随机变量X 的取值为：240,270,300,330,360.(8分) P (X ＝240)＝16×16＝136，P (X ＝270)＝C 12×13×16＝19，P (X ＝300)＝C 12×12×16＋13×13＝518，P (X ＝330)＝C 12×12×13＝13，P (X ＝360)＝12×12＝14. ∴随机变量X 的分布列为：X 240 270 300 330 360 P136195181314(10分)∴E (X )＝240×136＋270×19＋300×518＋330×13＋360×14＝320.(12分)19.(12分)如图，在几何体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，四边形ABCD 是边长为22的正方形，四边形A ′B ′C ′D ′是平行四边形，AA ′⊥平面ABCD ，AA ′∥BB ′∥CC ′∥DD ′，DD ′＝4，BB ′＝1，M 是线段CC ′上一点，且CM ＝1，AM ∥平面A ′B ′C ′D ′.(1)求线段AA ′的长；(2)求直线DD ′与平面A ′D ′B 所成角的正弦值．解析 (1)设AA ′＝x ，连接A ′C ′，则由AM ∥平面A ′B ′C ′D ′，平面AMC ′A ′∩平面A ′B ′C ′D ′＝A ′C ′，得AM ∥A ′C ′，所以四边形A ′C ′MA 是平行四边形，则C ′M ＝x ，C ′C ＝x ＋1.连接B ′D ′交A ′C ′于点O ′，连接AC ，BD 交于点O ，连接OO ′，则OO ′为梯形BB ′D ′D 的中位线，得2OO ′＝5.又易知OO ′为梯形A ′C ′CA 的中位线，所以x ＋x ＋1＝2OO ′＝5，得x ＝2，即线段AA ′的长为2.(5分)(2)解法一：延长D ′A ′，DA 交于点Q ，由AA ′＝2，D ′D ＝4，得AA ′是△QD ′D 的中位线．连接BQ ，则AO 为△DQB 的中位线，AO ∥BQ ，所以BQ ⊥BD ，又DD ′∥AA ′，AA ′⊥平面ABCD ，所以BQ ⊥D ′D ， 所以BQ ⊥平面BDD ′B ′，所以平面BQD ′⊥平面BDD ′.作DH ⊥BD ′于点H ，则DH ⊥平面BQD ′，∠DD ′B 即所求线面角．由DB ＝DD ′＝4，得∠DD ′B ＝45°，则直线DD ′与平面A ′D ′B 所成角的正弦值为22.(12分)解法二：以点D 为坐标原点，DA →，DC →，DD ′→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A ′(22，0,2)，D ′(0,0,4)，B (22，22，0)，A ′D ′→＝(－22，0,2)，A ′B →＝(0,22，－2)，D ′D →＝(0,0，－4)．设平面A ′D ′B 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′D ′→＝0，m ·A ′B →＝0，所以⎩⎨⎧－22a ＋2c ＝0，22b －2c ＝0.令a ＝1，则m ＝(1,1，2)为平面A ′D ′B 的一个法向量．(9分)故直线DD ′与平面A ′D ′B 所成角的正弦值为|cos 〈m ，D ′D →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ·D ′D →|m |·|D ′D →|＝22.(12分)20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y ＝2x ＋3相切，点P 在椭圆C 上，|PF 1|＝2，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，试求△AOB 的面积(O 为坐标原点)．解析 (1)依题意有b ＝32＋1＝3，∴b 2＝3. 由|PF 1|＝2及椭圆的定义得|PF 2|＝2a －2.由|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，得a 2－3a ＋3＝c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，解得c ＝1，a ＝2. 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，化简可得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)＝48(3＋4k 2－m 2)>0，即3＋4k 2－m 2>0， 又x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，(6分)所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2.由3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，得3×4(m 2－3)3＋4k 2＋4×3m 2－12k 23＋4k 2＝0，即2m 2＝3＋4k 2.(8分) |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·48(3＋4k 2－m 2)(3＋4k 2)2＝1＋k 2·12m 2，点O 到AB 的距离d ＝|m |1＋k 2＝m 21＋k 2，(10分) 所以S △AOB ＝12·d ·|AB |＝12·1＋k 2·12m 2·m 21＋k 2＝3，故三角形AOB 的面积为 3.(12分) 21．(12分)已知函数f (x )＝a e 2x －a e x －x e x (a ≥0，e 为自然对数的底数)，若f (x )≥0对于x ∈R 恒成立．(1)求实数a 的值；(2)证明：f (x )存在唯一极大值点x 0，且ln 22e ＋14e 2≤f (x 0)<14. 解析 (1)由f (x )＝e x (a e x －a －x )≥0可得g (x )＝a e x －a －x ≥0. ∵g (0)＝0，∴g (x )≥g (0)， ∴x ＝0是g (x )的一个极小值点，∵g ′(x )＝a e x －1，∴g ′(0)＝a －1＝0⇒a ＝1.(2分) 当a ＝1时，g (x )＝e x －1－x ，g ′(x )＝e x －1，∵x ∈(－∞，0)，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，0)上单调递减； x ∈(0，＋∞)，g ′(x )>0，g (x )在(0，＋∞)上单调递增； ∴g (x )≥g (0)＝0，∴a ＝1.(4分)(2)当a ＝1时，f (x )＝e 2x －e x －x e x ，f ′(x )＝e x (2e x －x －2)． 令h (x )＝2e x －x －2，则h ′(x )＝2e x －1，∵x ∈(－∞，－ln 2)，h ′(x )<0，h (x )在(－∞，－ln 2)上为减函数； x ∈(－ln 2，＋∞)，h ′(x )>0，h (x )在(－ln 2，＋∞)上为增函数， ∵h (－1)<0，h (－2)>0，∴在(－2，－1)上存在x ＝x 0满足h (x 0)＝0，(6分)∵h (x )在(－∞，－ln 2)上为减函数， ∴x ∈(－∞，x 0)时h (x )>0，即f ′(x )>0，f (x )在(－∞，x 0)上为增函数； x ∈(x 0，－ln 2)时，h (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )在(x 0，－ln 2)上为减函数． ∴f (x )在(－∞，－ln 2)上只有一个极大值点x 0，(7分) 由于h (0)＝0，且h (x )在(－ln 2，＋∞)上为增函数， ∴x ∈(－ln 2,0)时，h (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )在(－ln 2,0)上为减函数； x ∈(0，＋∞)时，h (x )>0，即f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数． ∴f (x )在(－ln 2，＋∞)上只有一个极小值点0.(8分)综上可知，f (x )存在唯一的极大值点x 0，且x 0∈(－2，－1)．(9分) ∵h (x 0)＝0，∴2e x 0－x 0－2＝0，∴f (x 0)＝e2x 0－e x 0－x 0e x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋222－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋22(x 0＋1)＝－x 20＋2x 04，x 0∈(－2，－1)，(10分) ∵x ∈(－2，－1)时，－x 2＋2x 4<14，∴f (x 0)<14.∵ln 12e ∈(－2，－1)，∴f (x 0)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12e ＝ln 22e ＋14e 2.综上知，ln 22e ＋14e 2≤f (x 0)<14.(12分)(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋4t ，y ＝1＋3t (t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ3＋sin 2θ＝2 3.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1,1)，直线l 与C 交于A ，B 两点，求||P A |－|PB ||的值． 解析 (1)ρ3＋sin 2θ＝23⇔3ρ2＋ρ2sin 2θ＝12 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，得3(x 2＋y 2)＋y 2＝12，化简可得C 的直角坐标方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)由l 的参数方程可得直线l 过点P (1,1)，且直线l 的斜率是34，所以过点P (1,1)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 是参数)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 是参数)代入x 24＋y 23＝1，整理得84t 2＋240t －125＝0，设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－207，t 1t 2＝－12584，所以||P A |－|PB ||＝|t 1＋t 2|＝207.(10分) 23．(10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |－|2x －1| (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥1； (2)求证：f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12.解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|－|2x －1|. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x <12，2－x －1＋2x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ≤2，2－x －2x ＋1≥1，或⎩⎨⎧x >2，x －2－2x ＋1≥1，解得0≤x ≤23，所以当a ＝2时，不等式f (x )≥1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0≤x ≤23.(5分) (2)证明：f (x )＝|x －a |－|2x －1| ＝|x －a |－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≤|a －x |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a －x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12.(10分)。

理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足 x2 2x 3 0 ，(x 3)(x 1) 0 ，解得x3或x 1 ，则C UA {x|1 x3}，集合B满足1 2x 20，2x 2x 2 20 0，解得x1，可知(CUA)B {x |1 x 3} .故选 D.2. 【答案】B【解析】由题可得 z i i2020 1 i (1 2i)(1 i) 3 1 i ，可知1 2i 1 2i555| z | (3)2 ( 1)2 10 .故选 B.5553. 【答案】A【解析】由偶函数定义可知，函数 f (x) x2 (a 1)x a 满足f (x) f (x) ，所以 x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a 在 [2，2] 上恒成立，解得 a 1 ，所以 f (x) x2 1 ，当 f (x) 2 时，即 x2 1 2 ，解得 1 x 1，可知所求的概率为 P 1 .故选 A. 24. 【答案】B【解析】已知数列 an2n 1 ，其前 n项的和 Sn(2 11 22n 1)n n(n 2) ，则 1 1 1 ( 1 1 ) ，所以 1 1 1Sn n(n 2) 2 n n 2S1 S2Sn 1 (1 1 1 1 1 1 ) 1 (1 1 1 1 ) .故选 B.2 324n n 2 2 2 n 1 n 25. 【答案】D【解析】第一次执行， c 4，a 5，b 4，k 2 ；第二次执行，c 1，a 4，b 1，k 3 ；第三次执行， c 5，a 1，b 5，k 4 ；第四次执行， c 4，a 5，b 4，k 5 ；第五次执行，c 1，a 4，b 1，k 6 ；第六次执行， c 5，a 1，b 5，k 7 ；第七次执行， c 4，a 5，b 4，k 8 ；….故该循环具有周期性，且周期为 6，则输出的 c 的值为 4 .故选 D.6. 【答案】B【解析】设圆心到双曲线的渐近线的距离为 d ，由弦长公式可得，函数 f (x) 的最小值为 2 3 3 ，最大值为 2 3 3 .故选 D.449. 【答案】A【解析】解法一：设 D 是 ABC 的边 BC 的中点，连接GD ，因为G 是 ABC 的重心，所以 A，G，D 三点共线， AG 2 AD 2 331 (AB AC) 1 (AB AC) .又 H 是 BG 的中点，所以 AH 1 ( AB232 AG) 1 [ AB 1 (AB AC)] 1 (4AB AC)，236则 AG·AH 1 (AB AC)·1 (4AB AC)36 1 (4 | AB |2 5 | AB |·| AC | cos BAC | AC |2) 18 1 (4 22 5 2 3 1 32) 20 .故选 A.1829解法二：以点 A 为原点建立平面直角坐标系如图，由已知可得 A(0，0)，B(1， 3)，C(3，0)，G( 4 ， 3 )，H (7 ，2 3 )3363 AG ( 4 ， 3 ) ， AH (7 ，2 3 ) ，3363 AG·AH 4 7 3 2 3 20 .故选 A. 36 3 3 910.【答案】A【解析】如图所示，2 2 d 2 2 ，解得 d 1，又双曲线 C 的渐近线方程为 bx ay 0 ，圆心坐标为 (0，2) ，故 | 0 2a | 1 ，即 2a 1 ，所以双曲线 C 的离a2 b2c心率 e c 2 .故选 B. a7. 【答案】A【解析】在 (2 x3)(x a)5 中，令 x 1 ，得展开式的各项系数和为(1 a)5 32 ，解得 a 1 ，故 (x 1)5 的展开式的通项 Tr1 C5r x5r .当 r 1 时 ， 得 T2 C15x4 5x4 ， 当 r 4 时 ， 得 T5 C54x 5x ， 故 (2 x3)(x 1)5 的展开式中 x4 的系数为 25 5 5 .故选 A.8. 【答案】D【解析】由 f (x) 3 cos(x )cos x 的图象过点 (0， 3) ， 2得 cos 3 .0 π， 5π ， f (x) 3 cos(x 5π)cos x266 3( 3 cos x 1 sin x) cos x 3 cos2 x 3 sin x cos x2222 3(1 cos 2x) 3 sin 2x 3 3 sin 2x 3cos 2x443 2 3 sin(2x π ) 3 3 sin(2x π ) 3 .点 ( π ，0) 不是函数42343f (x) 图象的对称中心，直线 x π 也不是函数 f (x) 图象的对称轴， 3由图知 tan NMF b ，tan FNO c ， MFN NMF 90°，abMFN FNO 90°，NMF FNO ， b c ， ab则 b2 a2 c2 ac ，e2 e 1 0 ，得 e 5 1 .故选 A. 211.【答案】B【解析】由 a2 4ab 16b2 c 0 ，得 a2 4ab 16b2 c ，所以a2 4ab 16b2 12 a2·16b2 4ab 4ab ，可得 ab 的最大值cc ccc c cc为 1 ，当且仅当 a 4b 时取等号，且 c 16b2 ，则 c 4a 3244b 416b2 16b 32 4(b2 b 2) 4[(b 1)2 3(b 1) 4]4b 4b 1b 1 4[(b 1) 4 3] 4(2 (b 1)· 4 3) 4 ，当且仅当 b 1时b 1b 1取得最小值为 4.故选 B.理科数学答案第 1 页（共 3 页）12.【答案】B【解析】易知 f (0) 1 ，故函数 f (x) 有三个不同的零点，可以转化为 | 2x m | 1 有三个不同的非零实数根，即函数 y | 2x m | 与xy 1 (x 0) 的图象有三个不同的交点.易知，当 x m 时，直线x2y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 有且仅有一个交点，当 0 x m 时，x2直线 y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 必须有两个不同的交点.而当x直线y 2x m 与曲线y1 (x 0) x相切时，1 x22 ，解得x 2 ，此时 m 2 2 ，结合图象可知 m 2 2 .故选 B. 2二、填空题13.【答案】 26【解析】由题可得 23 3k 0 ，可得 k 2 ，则 a b (5，1) ， a b 52 1 26 .14.【答案】 234【解析】由题得 x 3 4 a 6 ， y 2.5 3 4 4.5 3.5 ，这组44数据的样本中心点是 (x，3.5) ，代入回归直线方程可得 3.5 0.7（2）由 b 2 ， A π ，S 3ABC1 bc sin A 3 223，得 c 1 3 .-------------------------------------------------------------8 分M 是 AB 的中点， AB c 1 3， AM 1 3 ，-------------------------------------------------------10 分 2在 AMC 中，由余弦定理得， CM 2 b2 AM 2 2b AM cos A 4 (1 3 )2 2 2 1 3 1 4 3 .------------------------12 分222218.【解析】（1） 四边形 ABCD 是矩形， AB CD .CD 平面 DCFE，AB 平面 DCFE ， AB 平面 DCFE .----------------------------------------------------2 分又 AB 平面 ABFE ，平面 ABFE 平面 DCFE EF ， AB EF ，又 AB 平面 ABCD，EF 平面 ABCD ，EF 平面 ABCD .----------------------------------------------------5 分（2）过点 E 作 EO CD 于点 O ，平面 ABCD 平面 DCFE ，EO 平面 ABCD .过点 O 作 OH AD ，交 AB 于点 H ，四边形 ABCD 是矩形，OH CD .以 O 为坐标原点， OH ，OC，OE 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.3 4 a 6 0.35 ，解得 a 5 ，所以样本的中位数为 4 5 4.5 ，42方差为 1 [(3 4.5)2 (4 4.5)2 (5 4.5)2 (6 4.5)2] 5 ，故样本44x 的方差与中位数的和为 23 . 415.【答案】 2【解析】由 S3 ，S9 ，S6 成等差数列，得 2S9 S3 S6 .设等比数列{ an }的公比 q 1 ，则 Sn na1 .由 2 9a1 3a1 6a1 ，解得 a1 0 .又因为a2a540，所以 q 1 .所以Sna1(1 qn ) 1 q，所以 2a1(1 q9) 1 qa1(1 q3) 1 qa1(1 q6) 1 q，解得q31（ 2q3 1 舍去）.又因为a2a5 4 ，即 a1q(1 q3) 4 ，所以 a1q 8 ，则 a8 a1q7 (a1q)·(q3)2 8 ( 1)2 2 .216.【答案】 21 3【解析】如图过等边三角形 ABD 的中心 F 作平面 ABD 的垂线 l ，取 BD 的中点 E ，过点 E 作平面 CBD 的垂线 l .设 l l G ，则点G 为四面体 ABCD 的外接球的球心.因为 ABD 是边长为 2 的等边三角形，所以 EF 3 .因为二面角 A BD C 的大小为150°，所 3以 GEF 60°.所以在 Rt EFG 中， GF EF·tan60°1 .所以四面体 ABCD 的外接球的半径为 GA GF 2 AF 2 1 4 21 .33设 BC 1，则 EF ED FC BC 1 ，AB 2BC 2 ，由（1）知， EF CD .在梯形 CDEF 中， EF ED FC 1， DC 2 ， DO 1 ，EO 3 ，--------------------------------------------------7 分22于是 E(0，0， 3 ) ， A(1， 1 ，0) ， C(0，3 ，0) ， F (0，1， 3 )2222则 AE (1，1 ， 3 ) ，CF (0， 1 ， 3 ) .-------------------------10 分2222设异面直线 AE 与 CF 所成的角为 ，则 cos AE·CF1 3 4 42.| AE || CF |24故异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 2 .-------------------12 分 419.【解析】（1）完成 2 2 列联表如下：前 20 名后 30 名总计男生82028女生121022总计203050三、解答题 17.【解析】（1） 4a cos2 B 2a b 2c ，2 2c b 2acosB ，--------------------------------------------------2 分 由正弦定理得， 2sinC sin B 2cos Bsin A ，又 C π A B ， 2sin(A B) sin B 2cos Bsin A ，------------------------------4 分2sin Bcos A sin B . sin B 0 ，cos A 1 ，A π .-----------------------------------6 分 23--------------------------------------------------------------------------------2 分由列联表得 K 2 50 (8 10 20 12)2 3.463 . 28 22 20 303.463 2.706 ， 在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，可以认为该班“成绩是否优等与性别有关”.--------------------------------5 分（2） 的可能取值为 0，1，2， P( 0) C36 5 ， C83 14P( 1)C12C62 C8315 28，P(2)C22C16 C833 28.----------------------8分 的分布列为0125153P142828-------------------------------------------------------------------------------10 分理科数学答案第 2 页（共 3 页）E( ) 1 15 2 3 3 .-------------------------------------------12 分 28 28 420.【解析】（1） 抛物线 ：x2 2 py( p 0) 的焦点为 F(0，1) ，抛物线 的方程为 x2 4y .-----------------------------------------2 分由直线 l1 的斜率为 k1 ，且过 F(0，1) ，得 l1 的方程为 y k1x 1 ，代 入 x2 4y ，化简得 x2 4k1x 4 0 ， 设 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2) ，则 x1 x2 4k1 ， y1 y2 k1(x1 x2) 2 4k12 2 ，-------------------------------------4 分 | AB | y1 y2 2 4k12 4 .又 k1 3 ，| AB |16 .-------------------------------------------------6 分（2）设P( x0，x02 4)，将的方程x2 4y 化为yx2 4，求导得 y x ，------------------------------------------------------------8 分 2斜率为 k2 的直线 l2 与 相切于点 P ， k2x0 2，则P(2k2 ，k22 ) ，由（1）知 x1 x2 4k1 ，且 Q 为 AB 的中点，易得 Q(2k1 ，2k12 1) ，∵直线 PQ 过 (0，2) ， k22 2 2k12 1 ，------------------------10 分2k22k1整理得 (k1k2 1)(k2 2k1) 0 ，l2 与 l1 不垂直，k1k2 1 0 ，则k2 2k1 0 ，即k1 k21 2.---------------------------------------------12分21.【解析】（1）由题可得 f (x) ex b ，当 b 0 时， f (x) 0 ，f (x) 在 (∞， ∞) 上单调递增；------------------------------------2 分 当 b 0 时，若 x ln(b) ，则 f (x) 0 ， f (x) 在 (ln(b)， ∞) 上单调递增，若 x ln(b) ，则 f (x) 0， f (x) 在 (∞，ln(b)) 上单调递减.------------------------------------------------------------------------4 分（2）令 g(x) ex bx 1 ln x(x 0) ，则 g(x) ex b 1 ，易知 xg(x) 单调递增且一定有大于 0 的零点，不妨设为 x0 ，则 g(x0) 0 ，即 ex0b1 x00，b1 x0 ex0，故若g(x)有两个零点，则g(x0) 0 ，即 ex0 bx0 1 ln x0e x0( 1 x0 ex0 ) x0 1 ln x0 ex0 ex0 x0 ln x0 0 ，--------------------------------------------------6 分令 h(x) ex exx ln x(x 0) ，则 h(x) ex x 1 0 ， xh(x) 在 (0， ∞) 上单调递减.又 h(1) 0 ，ex0 ex0 x0 ln x0 0 的解集为 (1， ∞) ， --------------------------------------------------------------------------------8 分b 1 ex0 ，b 1 e . x0当 b 1 e 时，有 ex bx 1 ln x x bx ln x ，则 g(eb) eb beb lneb (b 1)eb b ，----------------------------10 分令 m(x) (x 1)ex x (x 1)(ex 1) 1 ，由于 x 1 e ，x 1 2 e 0 ， ex 1 ，故 m(x) (x 1)ex x 0 ， g(eb) 0 ，故 g(eb)g(x0) 0，g(x) 在 (0，x0) 上有唯一零点， 另一方面，当 x ∞ 时， g(x) ∞ ，b 1 e .-----------12 分22.【解析】（1）曲线 C：(x 2)2 ( y 1)2 9 ，-----------------------2 分故 x2 y2 4x 2y 4 0 ，即曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 2 sin 4 0 .-------4 分（2）由题可知直线 l 的斜率存在，否则无交点.设直线 l 的方程为 y 1 k(x 2) ，即 kx y 2k 1 0 .--------6 分而| AB | 2 ，则圆心到直线 l 的距离 d r2 AB 2 2 91 2 2 .--------------------------------------------------------------------------------8 分又 d | 4k | ， | 4k | 2 2 ，解得 k 1 .k2 1k2 1直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 3 0 .-------------------10 分23.【解析】（1）当 a 2 时，3，x 2 f (x) | x 2 | | x 1| 1 2x，1 x 2 .3，x 1 f (x) 1，当 x 2 时，不等式无解；--------------------------2 分当 1 x 2 时，令1 2x 1，解得 x 0 ，不等式的解集为1 x 0 ；当 x 1时， 3 1 ，符合题意. 综上可得，不等式 f (x) 1 的解集为 (∞，0] .---------------------5 分 （2） f (x) a2 1 0 恒成立等价于 f (x)max a2 1.| x a | | x 1| | (x a) (x 1) | | a 1| ， | a 1| | x a | | x 1| | a 1| .---------------------------------8 分 | a 1| a2 1 ，a2 1 a 1 a2 1(a2 1 0) ，解得 a 1或 a 2 . 实数 a 的取值范围为 (∞，1] [2， ∞) .---------------------10 分理科数学答案第 3 页（共 3 页）。