函数与方程——经典练习.doc

函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即__________，则α叫做这个函数的________．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_______有交点⇔函数y＝f(x)有_____．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点无交点零点个数3.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[难点正本疑点清源]1．函数的零点不是点函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．零点存在性定理的条件是充分而不必要条件若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c就是方程f(x)＝0的根．这就是零点存在性定理．满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)>0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以我们说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．1．设f(x)＝3x ＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间________．2．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是_____．3．已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N*)，则k的值为________．4．若函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________.题型一判断函数在给定区间上零点的存在性例1函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．(1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)(2)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 题型二 二次函数的零点分布问题例3 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．数形结合思想在函数零点问题中的应用 试题：(12分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；A 组 专项基础训练题组一、选择题1．已知函数f (x )＝log 2x －⎝⎛⎭⎫13x，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为 A ．恒为负 B ．等于零 C ．恒为正 D ．不小于零2．已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则 ( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．c <a <b3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0 二、填空题4．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 012x ＋log 2 012x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________．三、解答题5．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．6．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．B 组 专项能力提升题组一、选择题1．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]上的图象如图所示，给出下列四个选项，其中不正确的是( )A ．函数f [g (x )]的零点有且仅有6个B ．函数g [f (x )]的零点有且仅有3个C ．函数f [f (x )]的零点有且仅有5个D ．函数g [g (x )]的零点有且仅有4个 二、填空题4．已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________． 三、解答题8．m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. 有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；答案 要点梳理1．(1)f (α)＝0 零点 (2)x 轴 零点 2．(x 1,0)，(x 2,0) (x 1,0) 两个 一个 无 基础自测1．(1.25,1.5) 2.－12，－133．3 4.a >1 5.(－2,0) 题型分类·深度剖析例1 解 (1)方法一 ∵f (1)＝12－3×1－18＝－20<0， f (8)＝82－3×8－18＝22>0， ∴f (1)·f (8)<0，故f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]存在零点．方法二 令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0，x ∈[1,8]． ∴(x －6)(x ＋3)＝0，∵x ＝6∈[1,8]， x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]存在零点．(2)方法一 ∵f (1)＝log 23－1>log 22－1＝0，f (3)＝log 25－3<log 28－3＝0， ∴f (1)·f (3)<0，故f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]存在零点．方法二 设y ＝log 2(x ＋2)，y ＝x ，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1≤x ≤3时，两图象有一个交点， 因此f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]存在零点． 变式训练1 (1)B (2)D 例2 4变式训练2 B例3 解 (1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1,2)内，如图(1)所示，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0，f (－1)＝2>0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12.(2)抛物线与x 轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示列不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (1)>0，Δ≥0，0<－m <1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.即－12<m ≤1－ 2.变式训练3 解 方法一 若a ＝0，则f (x )＝2x －3，f (x )＝0⇒x ＝32∉[－1,1]，不合题意，故a ≠0.下面就a ≠0分两种情况讨论：(1)当f (－1)·f (1)≤0时，f (x )在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a －5)(2a －1)≤0，解得12≤a ≤52.(2)当f (－1)·f (1)>0时，f (x )在[－1,1]上有零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a f (1)≤0，－1<－12a<1，f (－1)·f (1)>0，解得a >52.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.方法二 函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点等价于方程2ax 2＋2x －3＝0在区间[－1,1]上有实根．显然0不是y ＝f (x )的零点，由题意转化为x ∈[－1,1]时求a ＝32·1x 2－1x 的值域．∵1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴a ＝32⎝⎛⎭⎫1x －132－16在1x ＝1时取得最小值12. ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 课时规范训练 A 组1．C 2.B 3.B 4.35．解 ∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)>0， ∴若存在实数a 满足条件， 则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0. 所以a ≤－15或a ≥1.检验：①当f (－1)＝0时，a ＝1. 所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0. 得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意， 故a ≠1.②当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65，令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意， 故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.6．解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)，∴2x ＝1，x ＝0符合题意． 当Δ>0时，即m >2或m <－2时， t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根， 即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0. B 组1．B 4.(2,3)8．解 ①f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点⇔方程f (x )＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1.②方法一 设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4. 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4(3m ＋4)>0(x 1＋1)(x 2＋1)>0(x 1＋1)＋(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4>03m ＋4－2m ＋1>0－2m ＋2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >4或m <－1，m >－5，m <1，∴－5<m <－1.故m 的取值范围为(－5，－1)． 方法二 由题意， 知⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－m >－1，f (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4>0，m <1，1－2m ＋3m ＋4>0.∴－5<m <－1.∴m 的取值范围为(－5，－1)．。

2023高考一轮复习讲与练12 函数与方程练高考 明方向1.（2022·新高考Ⅰ卷T10）（多选题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线 【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得x <<，所以()f x 在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增，所以x =是极值点，故A 正确；因(10f =+>，10f =>，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点，当x ≥时，()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x 在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心， 将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误. 2.（2022·全国乙（文）T20） 已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+． （1）当0a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）1- （2）()0,+∞ 【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得()()()211ax x f x x --'=，按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【小问1详解】 当0a =时，()1ln ,0f x x x x =-->，则()22111x f x x x x-'=-=， 当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 11f x f ==-； 【小问2详解】()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>，则()()()221111ax x a f x a x x x--+'=+-=， 当0a ≤时，10-≤ax ，所以当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==-<，此时函数无零点，不合题意； 当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递减；又()110f a =-<，当x 趋近正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x -'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =-=， 所以()f x 有唯一零点，符合题意；当1a >时，11a <，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x ，()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0fx，()f x 单调递减；此时()110f a =->，又()1111ln n n n f a n a a aa -⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当n 趋近正无穷大时，1n f a⎛⎫⎪⎝⎭趋近负无穷，所以()f x在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为()0,+∞.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.3.（2022·全国乙（理）T21）已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++（1（当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2（若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）2y x = （2）(,1)-∞- 【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0ex xf x x f =++=,所以切点为(0,0)，11(),(0)21ex xf x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =。

函数与方程试题及解答1. 函数题（1）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。

解答：将x = 2代入函数f(x)，得到f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1。

所以f(2)的值为-1。

（2）已知函数g(x) = 3x - 5，求满足g(x) = 10的x的值。

解答：将g(x) = 10代入函数表达式，得到3x - 5 = 10。

解这个方程，将常数项移到右边，得到3x = 15。

再将方程两边除以3，得到x = 5。

所以满足g(x) = 10的x的值为5。

2. 方程题（1）解方程3x + 5 = 8。

解答：将常数项移到右边，得到3x = 8 - 5 = 3。

再将方程两边除以3，得到x = 1。

所以方程3x + 5 = 8的解为x = 1。

（2）解方程2(x - 3) = 4x + 5。

解答：先将方程两边展开，得到2x - 6 = 4x + 5。

将2x移动到右边，将4x移动到左边，得到-6 - 5 = 4x - 2x。

计算得到-11 = 2x。

再将方程两边除以2，得到x = -5.5。

所以方程2(x - 3) = 4x + 5的解为x = -5.5。

3. 综合题有一个数列，前两项为1，第三项开始，每一项是前两项的和。

求这个数列的第10项。

解答：根据数列的定义，可以得到数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34，接下来可以继续计算得到第10项为34。

所以这个数列的第10项为34。

4. 应用题某公司销售一种产品，根据市场调研，每降低产品售价1元，销量就会增加1000件。

已知该产品售价为20元时，销量为20000件。

问降低售价至多少元时，销量可以达到40000件？解答：假设降价x元时，销量为40000件。

根据已知条件，可以得到方程20 - x = 40000/1000。

将方程简化，得到20 - x = 40。

将常数项移到右边，得到-x = 40 - 20 = 20。

函数与方程练习题一、选择题1. 下列哪个不是函数的图像？A. 抛物线B. 圆C. 反比例函数D. 正弦曲线2. 函数f(x)=x^2+3x+2的对称轴方程是：A. x=-1B. x=3/2C. y=-1D. y=3/23. 若直线y=mx-1与曲线y=f(x)有惟一交点，则m的取值范围是：A. (-∞,-1)B. (0,∞)C. (-∞,0)D. 全体实数4. 函数y=2x-1与x轴交点的个数为：A. 0个B. 1个C. 2个D. 无穷个5. 函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上是：A. 递增函数B. 递减函数C. 奇函数D. 偶函数二、填空题1. 若函数y=f(x)的定义域为[-2,5]，则其增函数的自变量取值范围为_______。

2. 函数y=f(x)在区间[0,6]上是递减函数，则其定义域范围为_______。

3. 解不等式2x+1>5，得到的解集为_______。

4. 函数y=f(x)在整个实数集上都是递增函数，则其值域范围为_______。

5. 若函数y=f(x)的图像关于y轴对称，则其对称轴方程为_______。

三、简答题1. 请画出函数y=2x-1的图像，并说明其特点。

2. 若两个函数的图像都在第一象限，且其中一个是增函数，另一个是减函数，问这两个函数的交点个数可能为多少个？并举例说明。

3. 若函数f(x)在区间[1,3]上是递减函数，且满足f(1)+2f(2)=f(3)，求函数f(x)的解析式。

四、解答题1. 解方程组：{ 2x+y=6{ x-y=22. 解不等式组：{ 2x-y>4{ x+2y<83. 已知函数f(x)=x^2+ax+b，其中a，b为常数，且对于任意实数x，f(x)<0，求a和b的取值范围。

以上为函数与方程的练习题，希望能够对你的学习有所帮助。

如果有需要再提问，祝你学习进步！。

例1：已知二次函数()y f x =的图象经过点(0,8),(1,5),(3,7)--三点， （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的零点；（3）比较(2)(4)f f ，(1)(3)f f ，(5)(1)f f -，(3)(6)f f -与0的大小关系．分析：可设函数解析式为2y ax bx c =++，将已知点的坐标代入方程解方程组求a 、b 、c ． 【解】（1）设函数解析式为2y ax bx c =++， 由85937c a b c a b c =-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得128a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴2()28f x x x =+-． （2）令()0f x =得2x =或4-， ∴零点是122,4x x ==-． （3） (2)(4)0f f =，(1)(3)97630f f -=-⨯=-<，(5)(1)350f f -=-<，(3)(6)1120f f -=>．点评：当二次函数()y f x =的两个零点12,x x 12()x x ≠都在（或都不在）区间(,)m n 中时，()()0f m f n >；有且只有一个零点在区间(,)m n 中时，()()0f m f n <．例2：利用计算器，求方程2670x x -+=的近似解（精确到0.1）． 分析一：可先找出方程的根所在的一个区间，再用二分法求解． 解法一：设2()67f x x x =-+，通过观察函数的草图得：(1)20f =>，(2)10f =-<，∴方程2670x x -+=有一根在(1,2)内，设为1x ， ∵(1.5)0.250f =>，∴11.52x <<， 又∵ 1.52()(1.75)0.437502f f +==-<，∴11.5 1.75x <<，如此继续下去，得1(1)0,(2)0(1,2)f f x ><⇒∈，1(1.5)0,(2)0(1.5,2)f f x ><⇒∈， 1(1.5)0,(1.75)0(1.5,1.75)f f x ><⇒∈1(1.5)0,(1.625)0(1.5,1.625)f f x ><⇒∈(1.5625)0,(1.625)0f f <>1(1.5625,1.625)x ⇒∈∵1.5625,1.625精确到0.1的近似值都为1.6，所以方程2670x x -+=的一个近似值都为1.6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似值为4.4．点评：解题过程中要始终抓住重点：区间两端点的函数值必须异号． 分析二：还可以用方程近似解的另一种方法——“迭代法”来求解． 解法二：将原方程写成276x x +=①取12x =代入等式右边得211 1.8333336x =≈，再将2x 代入方程①右边，得3 1.72685x ≈，……如此循环计算数十次后，可得计算结果稳定在1.58583，∴该方程的近似解为1.58583，精确到0.1后为1.6．用同样的方法可以求出方程的另一个近似解为4.4． 点评：“迭代法”也是一种常用的求近似解的方法．例3：已知函数2()(3)1f x kx k x =+-+的图象与x 轴在原点的右侧有交点，试确定实数k 的取值范围． 分析：【解】（1）当0k =时，()31f x x =-+与x 轴的交点为1(,0)3，符合题意；（2）0k ≠时，(0)1f =，0k <时，()f x 的图象是开口向下的抛物线，它与x 轴的两交点分别在原点的两侧；0k >时，()f x 的图象是开口向上的抛物线，必须2(3)40302k k k k ⎧∆=--≥⎪⎨-->⎪⎩，解得01k <≤综上可得k 的取值范围为(,1]-∞.追踪训练一1．函数22()log (45)f x x x =-+的图象与x 轴交点横坐标为 （ D ））A .1B .0C .2或0D . 22．已知01a <<则方程0log=+x a ax的解的个数是（ A ）A .1B . 2C .3D . 不确定 3．直线23+=kx y 与曲线223y y x --+0=只有一个公共点，则k 的值为（ A ）A . 0，41,21-B . 0，41-C . 41,21-D . 0，41,21-4．函数265y x x =-+与x 轴交点坐标是 (1,0)、(5,0)，方程2650x x -+=的根为1或5 ．5．已知方程220x kx -+=在区间(0,3)中有且只有一解，则实数k 的取值范围为113k ≥ .6．已知函数()2x f x a =-过点(1,0)，则方程()f x x =的解为 1.7- ． 7．求方程22850x x -+=的近似解（精确到0.1）． 答案：3.2和0.88．判断方程2(22)250x a x a -+++=（其中2a >）在区间(1,3)内是否有解． 答案：有解．。

函数与方程的练习题一、选择题1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(2) \)的值是多少？A. 5B. 7C. 9D. 112. 已知\( g(x) = \frac{1}{x} \)，当\( x \)不等于0时，\( g(x) \)的值域是什么？A. \( (-\infty, 0) \)B. \( (0, +\infty) \)C. \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)D. \( \mathbb{R} \)（实数集）3. 对于函数\( h(x) = |x - 2| \)，下列哪个选项是\( h(x) \)的零点？A. 0B. 1C. 2D. 34. 若\( k(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( k(x) \)的极值点。

A. 1B. 2C. 3D. 45. 函数\( m(x) = \sin(x) \)的周期是多少？A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( 4\pi \)D. \( 8\pi \)二、填空题6. 函数\( n(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \)的导数是________。

7. 若方程\( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \)有实数解，求\( \Delta \)的值，其中\( \Delta = b^2 - 4ac \)。

8. 函数\( p(x) = \log_2(x) \)的定义域是________。

9. 函数\( q(x) = \sqrt{x} \)的值域是________。

10. 若方程\( x^2 - 4x + 4 = 0 \)有重根，则该方程的根是________。

三、解答题11. 求函数\( r(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \)的单调区间。

12. 已知函数\( s(x) = x^2 + 2x + 1 \)，求\( s(x) \)的最小值。

函数与方程专项训练1、（山东文11）设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)， 2、（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、（江西卷12）已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ）A ． (0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ． (,0)-∞4、（2009天津卷理）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =( ) A 在区间1(,1),(1,)e e内均有零点。

B 在区间1(,1),(1,)e e内均无零点。

C 在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。

D 在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点。

5、（2009福建卷文）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ）A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D. 1()ln()2f x x =-6、(2009山东卷理)若函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 。

7、（湖北卷13）已知函数2()2f x x x a =++,2()962f bx x x =-+,其中x R ∈,,a b 为常数，则方程()0f ax b +=的解集为 . ∅8、（上海卷11）方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x+2的图像与函数y ＝1x的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 。

定时训练（11）函数与方程 1．函数f(x)＝lnx －2x 的零点所在的区间是( )A ．(1,2)B ．(2，e)C ．(e,3)D ．(3,4)若f(x)＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)＝0的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，122．函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1 D ．m ＝13．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋lnx ，x>0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．34.已知三个函数f(x)＝2x＋x ，g(x)＝x －2，h(x)＝log 2x ＋x 的零点依次为a 、b 、c ，则( )A ．a<b<cB ．a<c<bC ．b<a<cD ．c<a<b①函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lnx ＋2x －6 x>0－x x ＋1 x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3②函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－sinx 在区间[0,2π]上的零点个数为( )A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( ) A ．f(x)＝|x|xB ．f(x)＝12x－1＋12C ．f(x)＝e x－e－xe x ＋e －xD ．f(x)＝lgsinx5．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意x ≥0，都有f(x ＋2)＝－f(x)，且当x ∈[0,2)时，f(x)＝log 2(x ＋1)，则f(2009)＋f(－2010)的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．26.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1 x ≤0f x －1＋1 x>0，把函数g(x)＝f(x)－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －12(n ∈N *) B ．a n ＝n(n －1)(n ∈N *) C ．a n ＝n －1(n ∈N *) D ．a n ＝2n－2(n ∈N *)6．若a ，b 在区间[0，3]上取值，则函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋ax 在R 上有两个相异极值点的概率是( )A.12B.33C.36D ．1－36设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f(x)＝x 3＋ax－b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116D.347．如图，A、B、C、D是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形，A、B、C、D四个采矿点的采矿量之比为6 2 3 4，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P、Q、R、S中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选( )A．P点 B．Q点C．R点D．S点某航空公司经营A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A—B为2000元；A—C为1600元；A—D为2500元；B—C为1200元；C—D为900元．若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B—D的机票价格为( )(注：计算时视A、B、C、D四城市位于同一平面内)A．1000元B．1200元 C．1400元D．1500元8．定义域为D的函数f(x)同时满足条件：①常数a，b满足a<b，区间[a，b]⊆D，②使f(x)在[a，b]上的值域为[ka，kb](k∈N*)，那么我们把f(x)叫做[a，b]上的“k级矩形”函数．函数f(x)＝x3是[a，b]上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对(a，b)共有( ) A．1对B．2对 C．3对 D．4对9．若a>1，设函数f(x)＝a x＋x－4的零点为m，g(x)＝log a x＋x－4的零点为n，则1m＋1n的取值范围是( )A．(3.5，＋∞) B．(1，＋∞)C．(4，＋∞) D．(4.5，＋∞)(理)函数f(x)＝x2－ax＋2b的零点有两个，一个在区间(0,1)上，另一个在区间(1,2)上，则2a＋3b的取值范围是( )A．(2,9) B．(2,4) C．(4,9) D．(4,17)10．如图所示，为了测量该工件上面凹槽的圆弧半径R，由于没有直接的测量工具，工人用三个半径均为r(r相对R较小)的圆柱棒O1、O2、O3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h，若r＝10mm，h＝4mm，则R的值为( )A．25mm B．5mm C．50mm D．15mm二、填空题11．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为________．(理)设函数f(x)＝|x|x＋bx＋c，给出下列4个命题：①b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实数根；②c＝0时，y＝f(x)是奇函数；③y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称；④函数f(x)至多有2个零点．上述命题中的所有正确命题的序号是________．12． 2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取1000户，按本地区确定的标准，情况如表：本地区在“十一五”规划中明确提出要中等收入低收入400户475户缩小贫富差距，到2010年要实现一个美好的愿景由右边圆图显示，则中等收入家庭的数量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基础要降低的百分比分别为________．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d(km)(d<200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d 达到n(km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n 的值为________.[[解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y 1、y 2、y 3、y 4，则y 1＝50－0.6d ，y 2＝15－0.3d ，y 3＝40－0.4d ，y 4＝18－0.3d ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 3≥y 1y 3≥y 2y 3≥y 4d<200⇒50≤d<200，故n ＝50.13．(文)(2010·上海市嘉定区模考)已知函数y ＝f(x)的定义域和值域都是[－1,1](其图象如下图所示)，函数g(x)＝sinx ，x ∈[－π，π]．定义：当f(x 1)＝0(x 1∈[－1,1])且g(x 2)＝x 1(x 2∈[－π，π])时，称x 2是方程f(g(x))＝0的一个实数根．则方程f(g(x))＝0的所有不同实数根的个数是________．[解析] 由图知f(x)在[－1,1]上有4个零点，分别位于区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和12，1内，当f(x 1)＝0，x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12时，存在两个值x 2∈[－π，π]，使g(x 2)＝sinx 2＝x 1，同理在其它区间上也都有两个这样的x 2，故在[－π，π]上共有8个x 2，使f[g(x 2)]＝0成立．[答案] 8(理)对于函数f(x)＝x －1x ＋1，设f 1(x)＝f(x)，f 2(x)＝f[f 1(x)]，f 3(x)＝f[f 2(x)]，…，f n ＋1(x)＝f[f n (x)](n ∈N *，且n ≥2)，若x ∈C(C 为复数集)，则方程f 2010(x)＝x 的解集是________．[解析] f 1(x)＝1－2x ＋1，f 2(x)＝1－2f 1x ＋1＝1－22－2x ＋1＝－1x ， f 3(x)＝1＋x 1－x ，f 4(x)＝x ，f 5(x)＝x －1x ＋1＝f(x)．故{f n (x)}是周期为4的函数列．∴f 2010(x)＝f 2(x)＝－1x，故方程f 2010(x)＝x 化为－1x＝x ，∴x ＝±i. [答案] {i ，－i}14．有一批材料可以建成200m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．设所围场地的长为x ，则宽为200－x 4，其中0<x<200，场地的面积为x ×200－x4≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋200－x 22＝2500m 2，等号当且仅当x ＝100时成立．[答案] 2500m 215．设某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a 万元(a 为正常数)，现在决定从中分流x 万人去加强第三产业．分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0<x<100)．而分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值1.2a 万元．(1)若要保证第二产业的产值不减少，求x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，问应分流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？[解析] (1)由题意得， ⎩⎨⎧0<x<100100－x 1＋2x%a ≥100a，∴⎩⎨⎧0<x<100x 2－50x ≤0，∴0<x ≤50.(2)设该市第二、三产业的总产值增加f(x)(0<x ≤50)万元，则f(x)＝(100－x)(1＋2x%)a －100a ＋1.2ax＝－a 50(x 2－110x)＝－a 50[(x －55)2－3025]∵x ∈(0,50]时，f(x)单调递增，∴x ＝50时，f(x)max ＝60a 即应分流出50万人才能使该市第二、三产业的总产值增加最多．16． 2009年，浙江吉利与褔特就收购福特旗下的沃尔沃达成初步协议，吉利计划投资20亿美元来发展该品牌．据专家预测，从2009年起，沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆(2009年销售量为20000辆)，销售利润每辆每年比上一年减少10%(2009年销售利润为2万美元/辆)．(1)第n 年的销售利润为多少？(2)求到2013年年底，浙江吉利能否实现盈利(即销售利润超过总投资，0.95≈0.59)．[解析] (1)∵沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆，∴沃尔沃汽车的销售量构成了首项为20000，公差为10000的等差数列{a n }． ∴a n ＝10000＋10000n.∵沃尔沃汽车的销售利润按照每辆每年比上一年减少10%，因此每辆汽车的销售利润构成了首项为2，公比为1－10%的等比数列{b n }．∴b n ＝2×0.9n －1.第n 年的销售利润记为c n ，则c n ＝a n ·b n ＝(10000＋10000n)×2×0.9n －1.(2)设到2013年年底，浙江吉利盈利为S ，则S ＝20000×2＋30000×2×0.9＋40000×2×0.92＋50000×2×0.93＋60000×2×0.94① 0．9S ＝20000×2×0.9＋30000×2×0.92＋40000×2×0.93＋50000×2×0.94＋60000×2×0.95②①－②得，0.1S ＝20000×2＋20000×(0.9＋0.92＋0.93＋0.94)－60000×2×0.95， 解得S ＝10×(220000－320000×0.95)≈31.2×104>(20＋1.5)×104.所以到2013年年底，浙江吉利能实现盈利．17．(文)甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系：x ＝2000t.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元(以下称s 为赔付价格)．(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)在乙方年产量为t 吨时，甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？[解析] (1)因为赔付价格为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为：w ＝2000t －st(t ≥0)因为w ＝2000t －st ＝－s(t －1000s )2＋10002s，所以当t ＝⎝⎛⎭⎫1000s 2时，w 取得最大值．所以乙方取得最大利润的年产量t ＝⎝⎛⎭⎫1000s 2吨 (2)设甲方净收入为v 元，则v ＝st －0.002t 2，将t ＝⎝⎛⎭⎫1000s 2代入上式，得到甲方纯收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式： v ＝10002s －2×10003s 4，又v ′＝－10002s 2＋8×10003s 5＝100028000－s 3s5， 令v ′＝0得s ＝20.当s<20时，v ′>0；当s>20时，v ′<0.所以s ＝20时，v 取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格s ＝20(元/吨)时，获最大纯收入．某乡镇为了盘活资本，优化组合，决定引进资本拯救出现严重亏损的企业．长年在外经商的王先生为了回报家乡，决定投资线路板厂和机械加工厂．王先生经过预算，如果引进新技术在优化管理的情况下，线路板厂和机械加工厂可能的最大盈利率分别为95%和80%，可能的最大亏损率分别为30%和10%。

初二下册数学函数与方程练习题1. 解一元一次方程（1）求解方程：3x + 4 = 19解析：将方程化简：3x = 19 - 43x = 15x = 15 ÷ 3x = 5所以方程的解为 x = 5。

（2）求解方程：2(y - 3) = 8解析：将方程化简：2y - 6 = 82y = 8 + 62y = 14y = 14 ÷ 2y = 7所以方程的解为 y = 7。

2. 解一元一次不等式（1）求解不等式：2x - 3 > 9解析：将不等式化简：2x > 9 + 32x > 12x > 12 ÷ 2x > 6所以不等式的解为 x > 6。

（2）求解不等式：3 - y ≤ 2解析：将不等式化简：-y ≤ 2 - 3-y ≤ -1注意：因为系数为-1，所以需要修改不等号的方向y ≥ -1所以不等式的解为y ≥ -1。

3. 求函数图像（1）画出函数 y = 2x + 1 的图像解析：根据函数的一般形式 y = ax + b，可以得到以下坐标点：当 x = 0 时，y = 2(0) + 1 = 1；当 x = 1 时，y = 2(1) + 1 = 3；当 x = 2 时，y = 2(2) + 1 = 5；绘制坐标轴，并在坐标轴上标注点 (0, 1)，(1, 3)，(2, 5) 连接这三个点，并延伸得到函数 y = 2x + 1 的图像。

（2）画出函数 y = x^2 的图像解析：根据函数的一般形式 y = ax^2 + b，可以得到以下坐标点：当 x = -2 时，y = (-2)^2 = 4；当 x = -1 时，y = (-1)^2 = 1；当 x = 0 时，y = 0^2 = 0；当 x = 1 时，y = (1)^2 = 1；当 x = 2 时，y = (2)^2 = 4；绘制坐标轴，并在坐标轴上标注点 (-2, 4)，(-1, 1)，(0, 0)，(1, 1)，(2, 4) 连接这五个点，并延伸得到函数 y = x^2 的图像。

11 函数与方程1、若函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，其零点分别为x 1，x 2，…，x 2 017，且x 1＋x 2＋…＋x 2 017＝m ，则关于x 的方程2x ＋x －2＝m 的根所在区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】A因为函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，故其零点x 1，x 2，…，x 2 017关于原点对称，且其中一个为0，所以x 1＋x 2＋…＋x 2 017＝m ＝0.则关于x 的方程为2x ＋x －2＝0，令h (x )＝2x ＋x －2，则h (x )为(－∞，＋∞)上的增函数．因为h (0)＝20＋0－2＝－1<0，h (1)＝21＋1－2＝1>0，所以关于x 的方程2x ＋x －2＝m 的根所在区间是(0,1)． 2、若f (x )是奇函数,且x 0是y=f (x )+e x 的一个零点,则-x 0一定是下列哪个函数的零点( ) A.y=f (-x )e x -1 B.y=f (x )e -x +1C.y=e x f (x )-1D.y=e x f (x )+1【答案】C由已知可得f (x 0)=-,则·f (x 0)=-1,f (-x 0)=1,故-x 0一定是y=e xf (x )-1的零点. 3、.函数f (x )=2x +log 2|x|的零点个数为( ) A.0B.1C.2D.3【答案】C函数f (x )=2x+log 2|x|的零点个数,即为函数y=-2x的图像和函数y=log 2|x|的图像的交点个数.如图所示,交点个数为2.故选C .4、设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 【答案】D由f (x )＝13x －ln x (x >0)得f ′(x )＝x －33x ，令f ′(x )>0得x >3，令f ′(x )<0得0<x <3，令f ′(x )＝0得x ＝3，所以函数f (x )在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x ＝3处有极小值1－ln 3<0，又f (1)＝13>0，f (e)＝e3－1<0，f⎝⎛⎭⎫1e＝13e＋1>0，所以f(x)在区间⎝⎛⎭⎫1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．故选D.5、直线y=x与函数f(x)=的图像恰有三个公共点,则实数m的取值范围是.【答案】[-1,2)直线y=x与射线y=2(x>m)有一个交点A(2,2),且与抛物线y=x2+4x+2在(-∞,m]上的部分有两个交点B、C.由解得B(-1,-1),C(-2,-2).∵抛物线y=x2+4x+2在(-∞,m]上的部分必须包含B、C两点,且点A(2,2)一定在射线y=2(x>m)上,才能使y=f(x)图像与y=x有3个交点,∴实数m的取值范围是-1≤m<2.6、已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2 016x+log2 016x,则函数f(x)的零点个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C作出函数y=2 016x和y=-log2 016x的图像如图所示,可知函数f(x)=2 016x+log2 016x在x∈(0,+∞)内存在一个零点.∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)在x∈(-∞,0)内只有一个零点.又f(0)=0,∴函数f(x)的零点个数是3,故选C.7、已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是()A.1<x1<2,x1+x2<2B.1<x1<2,x1+x2<1C.x1>1,x1+x2<2D.x1>1,x1+x2<1【答案】A函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图像有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x2<x1),在同一坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图像(如下),可知1<x1<2.当y=-b=2时,x1=2,两个函数图像只有一个交点,当y=-b<2时,由图可知x1+x2<2.8、已知函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A．6 B．7C．8D．9【答案】B当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1.根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知y＝f(x)在[0,6)上有6个零点，又f(6)＝f(3×2＋0)＝f(0)＝0，∴f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7.9、已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在三个零点,则a的取值范围是()A.(-∞,-2)B.(-2,2)C.(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2)【答案】D∵函数f (x )=ax 3-3x 2+1在R 上存在三个零点, ∴f (x )的极大值与极小值异号,很明显a ≠0,由题意可得:f'(x )=3ax 2-6x=3x (ax-2),则由f'(x )=0可得x 1=0,x 2=, 由题意得不等式:f (x 1)f (x 2)=-+1<0,即:>1,a 2<4,-2<a<2.综上,可得a 的取值范围是(-2,0)∪(0,2).10、已知函数f (x )=若方程f (x )=a 有四个不同的解x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1<x 2<x 3<x 4,则x 3(x 1+x 2)+的取值范围是( ) A.(-1,+∞) B.(-1,1] C.(-∞,1) D.[-1,1)【答案】B作出函数f (x )=的图像如下,由图可知,x 1+x 2=-2,-log 2x 3=log 2x 4,即x 3·x 4=1,当x=0时,f (0)=1,当-log 2x 3=1时,x 3=. 故方程f (x )=a 有四个不同的解时,对应的x 3∈, 又x 3(x 1+x 2)+=-2x 3+,其在x 3∈上是减少的,∴-2+1<-2x 3+≤-1+2,即-1<-2x 3+≤1.∴x 3(x 1+x 2)+ ∈(-1,1].故选B .11、已知函数f (x )＝3e |x －1|－a (2x －1＋21－x )－a 2有唯一零点，则负实数a ＝( )A ．－13B ．－12C ．－3D ．－2【答案】C根据函数式可知，直线x ＝1是y ＝3e |x －1|和y ＝2x －1＋21－x 图象的对称轴，故直线x ＝1是函数f (x )图象的对称轴．若函数f (x )有唯一零点，则零点必为1，即f (1)＝3－2a －a 2＝0，又a <0，所以a ＝－3.故选C. 12、设函数f (x )=若关于x 的方程[f (x )]2-af (x )=0恰有三个不同的实数解,则实数a 的取值范围为( ) A.(0,1]B.(0,1)C.[1,+∞)D.(-∞,1)【答案】A 关于x 的方程[f (x )]2-af (x )=0的解为f (x )=0或f (x )=a ,而函数f (x )的图像如图所示,由图像可知,方程f (x )=0只有一解x=1,而原方程有三解,所以方程f (x )=a 有两个不为1的相异的解,即0<a ≤1.13、已知函数f (x )是奇函数且是R 上的单调函数．若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B ．18C ．－78D ．－38【答案】C令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)．因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.14、定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（x ＋1），x ∈[0，1），1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为( ) A ．2a －1 B ．2－a －1C ．1－2－aD ．1－2a【答案】D.当－1≤x ＜0时⇒1≥－x ＞0； x ≤－1⇒－x ≥1.又f (x )为奇函数，∴x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 12（－x ＋1），x ∈（－1，0），－1＋|x ＋3|，x ∈（－∞，－1]，画出y ＝f (x )和y ＝a (0＜a ＜1)的图象，如图，共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 22＝－3，x 4＋x 52＝3，而－log 12(－x 3＋1)＝a ⇒log 2(1－x 3)＝a ⇒x 3＝1－2a ，可得x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝1－2a ，故选D.15、已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0，1]∪[23，＋∞) B ．(0，1]∪[3，＋∞) C ．( 0， 2 ]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)【答案】B在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝⎛⎭⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形： (1)当0＜m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0，1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意．(2)当m ＞1时，0＜1m ＜1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0，1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)． 综上所述，m ∈(0，1]∪[3，＋∞)． 故选B.16、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x2，x ＜1，若F (x )＝f [f (x )＋1]＋m 有两个零点x 1，x 2，则x 1·x 2的取值范围是( ) A ．[4－2ln 2，＋∞) B ．(e ，＋∞) C ．(－∞，4－2ln 2] D ．(－∞，e)【答案】D因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x 2，x ＜1，所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （ln x ＋1）＋m ，x ≥1，ln ⎝⎛⎭⎫2－x 2＋m ，x ＜1，由F (x )＝0得，x 1＝e e －m －1，x 2＝4－2e －m，其中m ＝－ln ⎝⎛⎭⎫2－x 2＜－ln 32，∴m ＜ln 23.设t ＝e －m ，则t ＞32，所以x 1·x 2＝2e t －1(2－t )，设g (t )＝2e t －1(2－t )，则g ′(t )＝2e t －1(1－t )，因为t ＞32，所以g ′(t )＝2e t －1(1－t )＜0，即函数g (t )＝2e t －1(2－t )在区间⎝⎛⎭⎫32，＋∞上是减函数，所以g (t )＜g ⎝⎛⎭⎫32＝e ，故选D.17、已知函数f (x )=若函数g (x )=f (x )-m 有3个零点,则实数m 的取值范围是 . 【答案】(0,1)因为函数g (x )=f (x )-m 有3个零点,所以f (x )-m=0有3个根,所以y=f (x )的图像与直线y=m 有3个交点.画出函数y=f (x )的图像,由抛物线顶点为(-1,1),可知实数m 的取值范围是(0,1).18、已知a ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x ＞0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．【答案】(4，8)当x ≤0时，由x 2＋2ax ＋a ＝ax ，得a ＝－x 2－ax ；当x ＞0时，由－x 2＋2ax －2a ＝ax ，得2a ＝－x 2＋ax .令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax ，x ≤0，－x 2＋ax ，x ＞0.作出直线y ＝a ，y ＝2a ，函数g (x )的图象如图所示，g (x )的最大值为－a 24＋a 22＝a 24，由图象可知，若f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a ＜a 24＜2a ，得4＜a ＜8.19、已知函数f (x )＝log 2x ＋2x －m 有唯一零点，若它的零点在区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(2,5)因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，函数的零点在区间(1,2)内，所以f (1)·f (2)<0，即(log 21＋21－m )·(log 22＋22－m )<0⇒(2－m )(5－m )<0，解得2<m <5，所以实数m 的取值范围是(2,5)． 20、已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程； (2)若y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】⎝⎛⎭⎫12，34(1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （0）＜0，f ⎝⎛⎭⎫12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a ＞0，1－2a ＜0，34－a ＞0，解得12＜a ＜34.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，34.21、已知函数f (x )＝3x －log 2x 的零点为x 0，若x 0∈(k ，k ＋1)，其中k 为整数，则k ＝________.【答案】2由题意得f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (1)＝3>0，f (2)＝32－log 22＝12>0，f (3)＝1－log 23<0，∴f (2)f (3)<0，∴函数f (x )＝3x －log 2x 的零点x 0∈(2,3)，∴k ＝2.22、设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)做出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．【答案】(1)函数f (x )的图象如图 (2) 2 (3) 0<m <1 (1)函数f (x )的图象如图所示． (2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝ ⎩⎨⎧1x－1，x ∈，1]，1－1x ，x ∈，＋，故f (x )在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )＝m 有两个。