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第12章整式的乘除12.1 幂的运算1.同底数幂的乘法【基本目标】1.掌握同底数幂的乘法法则，并能运用它进行熟练的计算.2.能利用同底数幂的乘法法则解决简单实际的问题.【教学重点】同底数幂乘法法则的推导与运用.【教学难点】同底数幂乘法法则的运用.一、创设情景，导入新课【情境导入】“盘古开天辟地”的故事：公元前一百万年，没有天没有地，整个宇宙是混浊的一团，突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了，他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流.【教师提问】盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢？你可以计算一下，太阳到地球的距离是多少？光的速度为3×105千米/秒，太阳光照射到地球大约需要5×102秒，你能计算出地球距离太阳大约有多远呢？【学生活动】开始动笔计算，大部分学生可以列出算式：3×105×5×102=15×105×102=15×？（引入课题）二、师生互动，探究新知同底数幂的乘法法则.【教师活动】到底105×102=？同学们根据幂的意义自己推导一下，现在分四人小组讨论.【学生活动】分四人小组讨论、交流，举手发言，上台演示.计算过程：105×102=（10×10×10×10×10）×（10×10）=10×10×10×10×10×10×10=107.【教师活动】下面引例.请同学们计算并探索规律.（1）23×24=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2（）；（2）53×54= =5（）；（3）（-3）7×（-3）6= =（-3）（）；（4）（110）3×（110）= =（110）( );（5）a3·a4= =a（）.提出问题：①这几道题目有什么共同特点？②请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？【学生活动】独立完成，并在黑板上演算.【教师总结】从而得出同底数幂的乘法法则a m·a n=a m+n（m、n为正整数）即同底数幂相乘，底数不变,指数相加.【教学说明】通过以上5个计算，让学生根据乘方的意义从特殊到一般探索同底数幂的乘法法则，水到渠成.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.四、典例精析，拓展新知例如果x m-n·x2n+1=x11，且y m-1·y4-n=y5，求m、n的值.【分析】根据同底数幂的乘法法则得：（m-n）+(2n+1)=11,(m-1)+(4-n)=5,用方程组解决.【答案】m=6，n=4【教学说明】教师提问：由两个等式我们想到了什么知识？如何建立m与n 之间的等量关系？教师深入强化数学中的转化思想.五、运用新知，深化理解【教学说明】注意同底数幂乘法可以推广到多个因式相乘，遇到形如（-a）6·a9转化为a6·a9.六、师生互动，课堂小结这节课你学习到什么？有什么收获？有何疑问与困惑与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本节课从故事引入为激发学生探究同底数幂乘法法则的兴趣，探究同底数幂乘法法则时，注意用乘方的意义让学生自己发现归纳.始终遵循从特殊到一般的认知规律.在同底数幂乘法法则的运用中，不断渗透转化方程的数学思想.2.幂的乘方【基本目标】1.理解幂的乘方法则.2.运用幂的乘方法则计算.【教学重点】三理解幂的乘方法则.【教学难点】幂的乘方法则的灵活运用.一、创设情景，导入新课大家知道太阳、木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，木星的半径是地球半径的102倍，太阳的半径是地球半径的103倍，假如地球的半径为r，那么，请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？（球的体积公式为V=43πr3）【学生活动】进行计算，并在黑板上演算.解：设地球的半径为1，则木星的半径就是102，因此，木星的体积为V木星=43π（102）3.二、师生互动，探究新知【教师引导】（102）3=？利用幂的意义来推导.【学生活动】有些同学这时无从下手.【教师启发】请同学们思考一下a3代表什么？（102）3呢？【学生回答】a3=a×a×a,指3个a相乘.（102）3=102×102×102，就变成了同底数幂乘法运算，根据同底数幂乘法运算法则，底数不变，指数相加，102×102×102=102+2+2=106，因此（102）3=106.【教师活动】利用上面推导方法求（1）（a3）2；（2）（24）3；（3）（b n）+.【学生活动】推导上面几个算式并板演.【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目，推导一下（a m）n的结果是多少？【学生活动】归纳总结并进行小组讨论，最后得出结论：【教学说明】通过问题的提出，再依据“问题推进”所导出的规律，利用乘方的意义和幂的乘法法则，让学生自己主动建构，获取新知：幂的乘方，底数不变，指数相乘.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.四、典例精析，拓展新知【教学说明】教师提问x6m与x2m在指数上有何关系，你想到了如何变形，化未知为已知（逆用幂的乘方法则）.五、运用新知,深化理解【教学说明】从跟踪练习中捕捉学生知识上、思维上的不足并及时跟进.六、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本节课在熟悉乘方的意义与同底数幂的法则的前提下推导幂的乘方法则，在教学过程中注意引导学生运用转化思想来解决新问题.在拓展新知时，注意联想与逆向思维能力的培养.3.积的乘方【基础目标】1.理解积的乘方法则.2.运用积的乘方法则计算.【教学重点】理解并掌握积的乘方法则.【教师难点】积的乘方法则的灵活运用.一、回顾交流，导入新课【教学说明】提问学生在前面学过的同底数幂的运算法则；幂的乘方运算法则的内容以及区别.【学生活动】踊跃举手发言，解说老师的提问.【课堂演练】计算：（1）（x4）3；（2）a·a5；（3）x7·x9（x2）3.【学生活动】完成上面的演练题，并从中领会这两个幂的运算法则.【教师活动】巡视，关注学生的练习，并请3位学生上台演示，然后再提出下面的问题.二、师生互动，探究新知【教师活动】请同学们完成教材P20填空，并注意每步变形的依据.【学生活动】完成书本填空并回答教师问题.【教师活动】你发现了什么规律？如何解释这个规律？【学生活动】分组讨论，解释.【师生互动】教师在学生发言的基础上板书.即积的乘方，把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.四、典例精析，拓展新知例1 计算：（1）［（-x2y）3·（-x2y）2］3；（2）a3·a4·a+（a2）4+（-2a4）2.【分析】（1）按积的乘方法则先算括号里面的；（2）第一项是同底数幂的乘法，第二项是幂的乘方，第三项是积的乘方.【答案】（１）－ｘ３０ｙ１５；（2）6a8例2 用简便方法计算：【分析】先将指数化为相同的再逆用积的乘方法则.【答案】13/5【教学说明】例1由小组讨论交流解题思路，小组活动后，展示计算结果.教师根据反馈的情况总评.如（-2a4）2中的负号处理.例2在教师引导下，由小组合作完成，并强调遇到高指数时化成同指数,再利用积的乘方法则.五、运用新知,深化理解1.计算：（-3a3）2·a3+（-4a）2·a7-（5a3）3.b =0,求a2014·b2013的值.2.已知：（a-2）2+21【答案】1.-100a9; 2.-2【教学说明】由跟踪练习情况及时点评，如第一题中符号问题引起重视.六、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本节课釆用探究与自主学习相结合的模式完成的，探究的目的是让学生会推导积的乘方法则.通过小组合作学习增强学习的主动性，突出学生的主体地位.并注意在其中的及时引导，发挥教师主导作用.教学中的简便运算应让学生体会转化思想的核心作用.4.同底数幂的除法【基本目标】1.理解同底数幂的除法法则.2.运用同底数幂的除法法则计算.【教学重点】掌握同底数幂的除法法则.【教学难点】同底数幂除法的应用.一、创设情景，导入新课【教师活动】地球的体积是1.1×1012km3，月球的体积2.2×1010km3，求地球的体积是月球的多少倍？如何列式？【学生活动】学生代表发言：（1.1×1012）÷（2.2×1010）【教师活动】1012÷1010=？下面我们一起探究.二、师生互动，探究新知【教师活动】完成教材P22填空，由填空你得出了什么规律？【学生活动】经小组交流后，汇报结果.【教学说明】板书：a m÷a n=a m-n，（a≠0，m＞n,且m、n为正整数）同底数相除，底数不变，指数相减.【教师活动】乘法与除法互为逆运算，我们能由同底数幂乘法法则来推导它吗？教师引导a n·（）=a m.设（）=a k.【学生活动】由小组讨论交流后汇报推导结果.【教学说明】我们的认知规律：猜测——归纳——证明.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.【教学说明】根据反馈情况及时订正，并与法则对比，找准错因.四、典例精析，拓展新知例1一张数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M=210K）的移动存储器能存储多少张这样的照片？【分析】用储量26M除以每张照片的存储量的大小.【答案】28张【教学说明】教师可将此问题类比成总价、单价与数量关系，从而化为同底数幂的除法.例2若32×92a+1÷27a+1=81，求a的值.【分析】将左右都化成3的指数幂再比较对应.【答案】a=3【教学说明】左右两边能否化成同底数幂的运算，如何使用幂的运算法则，强调转化思想.小组活动时注意对学困生的辅导.五、运用新知，深化理解1.一种计算机每秒可进行1012运算，它工作1015次运算需要秒时间.2.若y2m-1÷y=y2，求m+2的值.【答案】1.103 2.4【教学说明】由跟踪练习情况及时点评，如y的指数不是0等.六、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么？有何收获？有何疑惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本节课探究新知部分，注意如何使学生从特殊中发现规律，得到一般性结论，再由同底数幂的乘法法则（同底数幂除法法则）证明规律.积极鼓励学生主动地探究数学问题，加深对数学问题的理解,养成良好思维习惯，提高学生的数学素养.12.2整式的乘法1.单项式与单项式相乘【基本目标】1.通过学生自主探索，掌握单项式相乘的法则.2.掌握单项式相乘的几何意义.3.会运用单项式相乘的法则进行计算，并解决一些实际生活和科学计算中的问题.4.培养学生合作、探究的意识，养成良好的学习习惯.【教学重点】单项式与单项式相乘的法则.【教学难点】单项式与单项式相乘的法则的应用；单项式相乘的几何意义.一、复习旧知，导入新课我们已经学习了幂的运算性质，你能解答下面的问题吗？【教师活动】我们刚才已经复习了幂的运算性质.从本节开始，我们学习整式的乘法.我们知道，整式包括什么？（包括单项式和多项式.）因此整式的乘法可分为单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式.这节课我们就来学习最简单的一种：单项式与单项式相乘.二、师生互动，探究新知1.一个长方体的底面积是4xy，高度是3x，那么这个长方体的体积是多少？【学生活动】小组合作完成，在小组交流讨论后由代表发言.【教师活动】每一步的依据是什么？（乘法交换律）因此4xy·3x=4·xy·3·x=（4·3）·（x·x）·y=12x2y.（要强调解题的步骤和格式）2.仿照刚才的作法，你能解出下面的题目吗？【教师活动】第（2）题中在第二个单项式-4b2c中出现的c怎么办？【学生活动】由小组讨论归纳单项式乘单项式的法则.【教学说明】教师板书：单项式和单项式相乘，系数与系数相乘,相同字母的幂分别相乘；对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分。
12．1 幂的运算课前知识管理1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘， 不变，指数 .字母表达式为 .同底数幂的乘法法则也可推广到三个或三个以上同底数幂相乘的情形，即mnpm n pa a a a ++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.答案：底数，相加，mnm na a a+⋅=（,m n 都是正整数）2、运用同底数幂的乘法法则的关键在于底数，只有底数相同，并且二者是相乘关系，才能把指数相加，底数不同时，如果能化成同底数，也可以运用此法则，否则不能用此法则.对于()nx -形式的式子要利用下面的计算方法正确计算：()()()n nn x n x x ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数n 为奇数3、法则中的底数既可以是具体的数，也可以是式（单项式或多项式），指数,m n 可以是任意的正整数或表示正整数的式子（单项式或多项式）.4、不要把同底数幂的乘法与合并同类项相混淆：如3333362,x x x x x x ⋅=+=都是错的，33x x ⋅是同底数幂相乘，运用“底数不变，指数相加”，得33x x ⋅=6x ，33x x +应根据合并同类项法则“系数相加，字母及字母指数不变”进行计算，得3332x x x +=. 5、法则的逆用，即m nm n aa a +=⋅（,m n 都是正整数）.名师导学互动典例精析：知识点1：同底数幂的乘法运算例1. 计算： （１）（－８）12×（－８）5; （２）7x x ⋅;（３）36a a -⋅; （４）321m m a a -⋅（m 是正整数）.【解题思路】根据同底数幂的乘法法则进行计算,其中(3)把3a -看作是-1×3a . 【解】（1）178-； （2）8x ； （3）9a -； （4）51m a-.【方法归纳】解答本题，应注意以下问题：①同底数幂相乘运算实际上是指数的相加运算； ②在法则中的幂与幂之间的运算是相乘，而不是相加、相减或相除．像2333+、3255-、52m m ÷等都不能运用此法则；③法则中的底数a 既可以是单独的一个字母、一个数，也可以是单项式、多项式或其他代数式．如：323355⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、()()322233ab ab ⋅、32()()x y x y +⋅+、24a a ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭等都是同底数幂相乘的运算，它们都适用此法则；④两个以上的同底数幂相乘仍然适用此法则，如mnpa a a ⋅⋅＝m n pa++；⑤看不见指数的底数，该底数的指数是１而不是０，如3134a a aa +⋅==．对应练习：化简： 22223m m m m m m m m ⋅⋅+⋅-⋅-；知识点2：同底数幂的乘法的简单应用例2．如果卫星绕地球运行的速度是9.7×１０３ｍ／ｓ，求卫星运行一小时运行的路程.【解题思路】根据路程、时间、速度三者之间的关系可以求得路程.【解】（7.9×103）×(3.6×103)=(7.9×3.6)×(103×103)=2.844×107(m).答:卫星运行1h 的路程是2.844×107m.【方法归纳】运算过程中要注意运用乘法的交换律、结合律将同底数幂放到一起相乘. 对应练习：化简： 210.52x x y x y x x x x y ⋅⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅ 知识点3：底数不是单个的数或字母的同底数幂的乘法 例3．计算：32()()()a b a b a b +⋅+⋅+【解题思路】将题目中的a b +看做一个整体就可以运用同底数幂的乘法法则进行计算了. 【解】322316()()()()()a b a b a b a b a b +++⋅+⋅+=+=+【方法归纳】（1）将a b +看成一个整体，整个式子就是同底数幂的乘法；（2）（a b +）看成幂时，指数是1而不是0.对应练习：判断正误：1037)()())(1(y x y x y x +=++ 532)()())(2(b a a b b a -=-- 知识点4：拓展应用例4．计算：23()()a b b a -⋅-【解题思路】式子中的a b -与b a -虽然不相同，但由于a b -与b a -互为相反数，根据幂的意义可以将2()a b -与3()b a -转化成同底数幂.【解】2323235()()()()()()a b b a b a b a b a b a +-⋅-=-⋅-=-=-. 【方法归纳】利用公式22()()nn a b b a -=-和2121()()n n a b b a ++-=--（n 是正整数）可以将底数是互为相反数的两个幂转化为同底数的幂.底数是相反数的幂相乘时，应先化为同底数幂的形式，再应用同底数幂的乘法法则，转化时要注意符号问题.对应练习：计算：(1)25(2)(2)x x -⋅- (2)11(2)(2)n n x y y x -++⋅+知识点5：逆用同底数幂乘法法则例5. 已知8m a =，32n a =，求m na +的值。
【解题思路】根据同底数幂的乘法法则，将m na +写成m na a ⋅即可求得其值.【解】m na+=m na a ⋅=8×32=256.【方法归纳】逆用一些法则，可以拓宽解题思路.对应练习：填空：(1)若a a a m ⋅=515，则m= ；(2)若aa a m 208=⋅，则m= ；(3) 若28m a -=,2128m a +=,则2m a = .知识点6：解指数方程例6、若23·83=2n ，则n = .【解题思路】根据乘方的意义，可得83=8×8×8=23×23×23，所以23·83=23×23×23×23=212，故n =12. 【答案】12.【方法归纳】式子中的23与83虽然不相同，但可根据乘方的意义将83与23转化成同底数幂. 对应练习：已知22x m +=，用含m 的代数式表示2x . 易错警示 例7、计算55a a ⋅ 错解：5552a a a ⋅=．错因分析：上题错把乘法当加法，按照合并同类项操作了．正确的解法是按同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”来运算，答案应为10a ． 正解：55a a ⋅=10a 例8、计算23b b ⋅ 错解：236b b b ⋅=．错因分析：上题想当然以为2b 与3b 相乘，就是将指数2与3相乘，仍不能正确运用同底数幂的乘法法则，正确答案应是指数2与3相加为5b ． 正解：23b b ⋅=5b .课堂练习评测知识点1：同底数幂的乘法法则1、下列各式中，不能用同底数幂的乘法法则化简的是（ ） A ．()()3a b a b ++ B ．()()3a b a b +- C ．()()3a b b a --- D ．()()()23a b a b a b ---2、下列计算错误的是( )A 、734x x x =⋅ B 、853)()(c c c =-⋅-C 、642)3()3(3-=-⋅- D 、1110222=⨯知识点2：逆用同底数幂的乘法法则3、已知2132781x -=⨯，则x 的值为 .4、已知,810=a510=b，求b a +10的值.知识点3：解指数方程5、若x 、y 是正整数，且2x ·2y ＝25，则x 、y 的值有 （ ）A. 4对B. 3对C. 2对D. 1对6、若42a ＋1＝64，解关于x 的方程a2x ＋3＝5．知识点4：同底数幂乘法法则的实际应用 7、某公司欲建如图所示的草坪（阴影部分），需要铺设草坪多少平方米？若每平方米草坪需120元，则修建该草坪需投资多少元？（单位：m ）课后作业练习基础训练： 1、已知32131bb a a a a +⋅⋅=，则b = .2、计算()()()23a b a b b a ---= .3、计算：（1）a 3·a 2·a=________；（2）-a 4·a m=________；（3）（-a ）4·（-a ）3·（-a ）=_________；（4）x 3n+1·x 2n-1=_________．4、计算：（-3）4·33等于（ ）A ．-37B ．37C ．-312D ．3125、下列计算过程正确的是（ ）A ．x·x 3·x 5=x 8B ．x 3·y 4=xy 7C ．（-9）·（-3）5=-37D ．（-x ）（-x ）5=x 66、下列各式中计算结果等于6x 的是（ ）A 、33x x + B 、82x x - C 、6x x ⋅ D 、62x x ⋅ 7、把()a b -看作一个整体，下面计算正确的是（ ） A 、()()()235a b b a a b -⋅-=- B 、()()()527a b b a a b -⋅-=--C 、()()()()236a b b a a b a b -⋅-⋅-=-D 、()()()()236a b b a b a a b -⋅-⋅-=-提高训练：8、计算：（1-8）2·（8-1）3=_________．9、卫星绕地球的运动速度为7.9×103米/秒，•则卫星绕地球运行一天走的路程是_________． 10、计算：（1）（-x+y ）（x-y ）2（y-x ）3； （2）（113）50×0.7552．11、若x 、y 是正整数，且2x ·2y =25，则x 、y 的值有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对12、计算（-2）2002+（-2）2001所得的正确结果是（ ）A ．22001B ．-22001C ．1D ．213、若128×512×64=2n+18，求2n ·5n的值．应用拓展14、已知a m =2，a n =3，求下列各式的值：（1）a m+n ；（2）a 2m+3n．15、已知（x －y ）·（x －y ）3·（x －y ）m=（x －y ）12，求（4m 2+2m+1）－2（2m 2－m －5）的值．16、我国自行研制的“神威Ⅰ”计算机的峰值运算速度达到每秒3840•亿次，如果这种计算机按这个速度工作一整天，那么它能运算多少次？（结果保留3•个有效数字）对应练习 1.答案： 0； 2.y x y x 23215.0+- 3.答案：（1）正确；（2）错误.4.答案：（1）()72x -；（2）()ny x 22+. 5.答案：（1）10；（2）12；（3）10246.解：因22x m +=，所以222,24x xm m ⨯==. 课堂练习参考答案： 1、答案：B 2、答案：C 3、答案：4 4、答案：40 5、答案：A 6、解：因为42a ＋1＝64＝43，所以2a ＋1＝3，所以a ＝1，所以原方程变为12x ＋3＝5，解得x ＝4．7、解：3a ·2a ＋4a ·2a ＋a ·3a ＋a ·4a ＝6a 2＋8a 2＋3a 2＋4a 2＝21a 2（m 2）．120×21a 2＝2520a 2（元）．课后练习参考答案： 1、92、()6a b --3、（1）a 6（2）-a 4+m（3）a 8（4）x 5n4、B5、D6、D7、D8、75=168079、6.8256×108米 10、（1）（x-y ）6（2）91611、D 12、A 13、10000 14、（1）6 （2）10815、解：由（x －y ）·（x －y ）3·（x －y ）m=（x －y ）1+3+m=（x －y ）4+m =（x －y ）12，得4+m=12，m=8．（4m 2+2m+1）－2（2m 2－m －5）=4m 2+2m+1－4m 2+2m+10=4m+11，当m=8时，原式=4×8+11=32+11=43．16、3840亿次＝3.84×103×108次，24时＝24×3.6×103秒； 由乘法的交换律和结合律，得：（3.84×103×108）×（24×3.6×103）=（3.84×24×3.6）×（103×108×103）=331.776×1014≈3.32×1016（次）答：它一天约能运算3.32×1016次．。
