22.3实际问题与二次函数3_建立坐标系解决实际问题
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第3课时建立适当坐标系解决实际问题知识要点基础练知识点1“抛物线”型建筑问题1。
某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示。
现测得水面宽AB=4 m,涵洞顶点O到水面的距离为1 m,根据图中的平面直角坐标系,你可推断点A的坐标是(2,—1),点B的坐标为(—2,—1),则涵洞所在的抛物线的解析式为y=-x2.2.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是15米。
知识点2“抛物线”型运动问题3.小明学习了这节课后,课下竖直向上抛一个小球做实验,小球上升的高度h(m)与运动时间t(s)的函数解析式为h=at2+bt,图象如图所示,若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是(B)A。
第3秒 B.第3.9秒C.第4.5秒D。
第6。
5秒4。
某市府广场喷泉的喷嘴安装在平地上.有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状,喷出的水流高度y (m)与喷出水流离喷嘴的水平距离x(m)之间满足y=—x2+2x.(1)喷嘴喷出的水流的最大高度是多少?(2)喷嘴喷出水流的最远距离是多少?解:y=—x2+2x=—(x—2)2+2。
22.3 实际问题与二次函数第3课时 二次函数与拱桥类问题课题第3课时 二次函数与拱桥类问题授课人知识技能1.能根据具体的问题情境建立数学模型,应用二次函数的知识求解,并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性;2.学会从多个角度思考问题,逐步提高解决问题的能力.数学思考1.通过对实际问题的研究,体会建模的数学思想;2.经历将实际问题抽象为数学问题的过程,体会转化和数形结合的思想.问题解决通过问题的设计、解答,使学生学会从不同角度寻求解决问题的方法,获得解决问题的经验.教学目标情感态度1.通过小组合作交流,提高合作意识,培养创新精神;2.通过用二次函数的知识解决实际问题,体会数学与现实生活的紧密联系,提高学习数学的兴趣,增强应用数学的意识.教学重点探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法.教学难点如何从实际问题中抽象出数学问题,建立数学模型.授课新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.二次函数解析式常见的形式有哪几种?并说明其特征.2.对二次函数y=ax2+bx+c的图象进行平移时:向上平移k(k>0)个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么?向下平移k(k>0)个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么?向左平移h(h>0)个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么?向右平移h(h>0)个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么?师生活动:教师引导学生回忆知识,学生进行解答,教师做好点评.在已有知识的基础上提出新的问题,能为学生营造一个主动思考、探索的氛围,激发学生的学习兴趣.活动一:创设情境【课堂引入】问题:图22-3-23是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2米时,水面宽4米.若水面下降1米,则水面宽度将增加多少米?通过日常生活中的实际问题,激发学生的学习兴趣,培养学生的探究意识和解决实际问题的能力.新课图22-3-23师生活动:教师进行引导,提出问题:对于本题你认为应该运用什么知识进行解答?根据问题中的图形为抛物线,由此可知本题应该运用二次函数的知识进行解答.学生分组讨论,如何利用函数模型解决问题,教师帮助学生解决问题.活动二:实践探究交流新知1.探究新知活动一:针对[课堂引入]的问题,教师进行提示:①要解答二次函数的问题,必须把抛物线放在平面直角坐标系中,所以必须建立适当的平面直角坐标系;②求水面增加的宽度,实际上就是求水面与抛物线的交点的坐标;③求出函数解析式,进而求点的坐标;④求函数解析式应该用待定系数法.师生活动:学生先独立进行解答,然后小组内交流讨论,教师适时点拨,指导学生写出解题过程.解:以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图22-3-24.根据图象的特殊性,设抛物线的函数解析式为y=ax2,由抛物线经过点A1.通过建立不同的平面直角坐标系得到不同的函数解析式,但结果是相同的,选择合适的平面直角坐标系可以使解答更简便,更明确易懂.2.通过总结抛物线形实际问题的解题步骤,使学生明确问题的解答方法,思路清晰,明确解题方向.(-2,-2),可得a =-12,所以抛物线的函数解析式为y =-12x 2.把y =-3代入函数解析式,得x =±6,所以CD -AB =(2 6-4)米,则水面宽度将增加(2 6-4)米.图22-3-24活动二:教师指导学生建立不同的平面直角坐标系进行解答.学生独立完成解题过程,小组内交流比较:建立的平面直角坐标系是否相同,计算结果是否一致.如解法:如图22-3-25,设AB 所在直线为x 轴,经过AB 的中点O 且与AB 垂直的直线为y 轴,则通过画图可知O 为原点,抛物线以y 轴为对称轴,且经过A ,B 两点,可求出OA 和OB 的长为AB 长的一半,即为2米,抛物线的顶点坐标为(0,2),通过以上条件可设解析式为顶点式y =ax 2+2.将点A 的坐标(-2,0)代入解析式,得a =-12,所以抛物线的函数解析式为y =-12x 2+2.把y =-1代入上式,得x =±6,所以CD -AB =(2 6-4)米,则水面宽度将增加(2 6-4)米.图22-3-252.归纳总结教师引导学生进行归纳总结:①建立适当的平面直角坐标系;②根据题意找出题目中的点的坐标;③求出抛物线的函数解析式;④直接利用图象解决实际问题.活动三:开放训练体现应用【应用举例】例1 自动喷灌设备的喷流情况如图22-3-26所示,设水管AB在高出地面3.5米的B处有一自动旋转的喷水头,水流是抛物线形,喷头B与水流最高点C连线与地面成45°角,水流最高点C比喷头B高2米,求水流落点D到点A的距离.图22-3-26师生活动:学生按要求进行解答,教师做好指导、点拨.教师关注:(1)学生能否熟练地运用二次函数的有关知识解决实际问题;激发学生的学习欲望和兴趣,让学生切实感受到数学就在身边.让学生学会将获得的知识经验进行类比迁移,并让学生体验数学建模思想,增强应用意识.(2)学生是否具有探索精神.【拓展提升】例2 如图22-3-27,一场篮球赛中,小明跳起投篮,已知球出手时离地面209米,与篮筐中心的水平距离为7米,当球出手后水平距离为4米时达到最大高度4米.设篮球运动的轨迹为抛物线,篮筐中心距离地面3.05米.问此球能否投中篮筐?图22-3-27师生活动:学生独立解答,再合作交流,然后展示成果.教师巡视,观察学生解决问题的过程与方法,并给予学习有困难的学生及时的引导和帮助.通过抛物线与常见生活情景相联系的题目的展示,拓宽学生视野,提高学生灵活运用知识的能力.活动四:课堂总结反思【达标测评】1.如图22-3-28所示的是一学生推铅球时铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象,观察图象,则铅球推出的水平距离是 10 m.图22-3-28 图22-3-29针对本课时的主要问题,从多个角度、分层次进行检测,达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.2.小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感为“北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子,如图22-3-29为杯子的设计稿,若AB=4,DE=3,则杯子的高CE为( B )A.14B.11C.6D.33.某工厂的大门是一个抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8 m,两侧距地面3 m高处各有一盏壁灯,两盏壁灯之间的水平距离为6 m,如图22-3-30所示,则厂门的高约为 6.9 m (水泥建筑物厚度不计,精确到0.1 m).图22-3-304.城市花园广场喷泉的喷嘴安装在平地上,有一喷嘴喷出的水流呈抛物线形,喷出水流的高度y(m)与喷出水流距喷嘴的水平距离x(m)之间满足函数解析式y=-12x2+2x.(1)求喷嘴喷出的水流的最大高度是多少;(2)求喷嘴喷出的水流的最远距离是多少.学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解.1.课堂总结:(1)你在本节课中有哪些收获?有哪些进步?(2)学习本节课后,还存在哪些困惑?2.布置作业:教材第52页习题22.3第3题.小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力.【知识网络】提纲挈领,重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在探究新知环节中,充分利用多媒体手段提高课堂效率,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,有效解决了教学的重难点;在课堂训练环节中,教师给予学生充分的自由时间,让学生能够体会建立平面直角坐标系的作用,明确解答问题的步骤,树立建模思想.②[讲授效果反思]教师强调重点:(1)明确解决抛物线形问题的步骤;(2)设抛物线的函数解析式时,要根据函数图象选反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.择恰当的形式.③[师生互动反思]在开放、多样的教学活动中,培养学生主动合作的意识及对数学的兴趣和爱好.④[习题反思]好题题号 错题题号 典案二导学设计学案一学习目标:1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,了解数学的应用价值。
实际问题与二次函数(第3课时)教 学 目 标知识 技能 1. 利用二次函数解决有关拱桥等问题2. 用二次函数的知识分析解决有关抛物问题的实际问题过程 方法1. 在问题转化、建模过程中,发展合情推理能力,体会数形结合的思想.2. 通过实际问题,体验数学在生活实际的广泛应用性,发展数学思维.3. 在转化、建模中,学会合作、交流.情感 态度1•通过对拱桥图片的欣赏,感受数学在生活中的应用,激发学习热情. 2 .在转化、建模中,体验解决冋题的方法,培养学生的合作交流意识和探 索精神.重点 利用二次函数解决有关拱桥等问题. 用二次函数的知识分析解决有关抛物问题的实际问题.难点建立二次函数数学模型.问:你见过石拱桥吗?你观察过桥拱的形状吗? 【问题】一抛物线形拱桥,如图 26.3.3 — 2当水面在l 时, 拱顶离水面2米,水面宽4米.水面下降1米,水面宽度增加 多少?一、独立思考一一题目探究1 .分析问题(1 )如何建坐标系; (2)如何设抛物线的解析式?(3 )水面下降1米的含义是什 么,怎样把距离转化成坐标?(4 )如何求宽度增加多少?2 •解决问题解:设抛物线表示的二次函数为y ax 2 .如图 26.3.3 — 3.图 26.3.3 — 3由题意知抛物线经过点(2, 2),可得 2ax 2 , a 1 .21 2这条抛物线表示的二次函数为y —x .环节 情境 引入 教学问题设计欣赏一组石拱桥的图片26.3.3 — 1观察桥拱的形状.教学活动设计 教师出示图 片•学生观察图片 发表见解.自 主 探 究 合 作 交 流教师展示图片 并提出问题;学生 观察图片,自主分 析,得出结论.设二次函数,用 抛物线知识解决 教师关注:(1) 二次函数是 生活中实际问题的 模型,可以解决现 实问题;(2) 通过数学模 型的使用,感受数 学的应用价值.2又知水面下降1米时,水面的纵坐标为 y 3,则对应的横坐标是 ,6和6所以水面增加的宽度是 (2 • 6 4)米.二、小组活动——归纳总结请你按以下思路分析本类型题目的解法•⑴考察实物(抛物线形):⑵选建坐标系;⑶化距离成坐标; ⑷构建二次函数;⑸解决实际问题1.有一抛物线拱桥,已知水位在 AB 位置时,水面的宽度是4J6米,水位上升 4米就达到警戒线 CD 这时水面宽是4 3米•若洪水到来时,水位以每小时0.5米速度上升,如图26.3.3 — 4求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端M 处.成果 展示补 偿 提 高2.要修建一个圆形喷水池,如图 26.3.3 — 5池中心竖直安 装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线 形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高,高度为3m水柱落地处离池中心 3m,水管应多长?1. 本节课你有哪些收获?还有那些疑惑?2. 在课上你参与了多少问题的讨论,哪些问题得到了其他同学的认可?你最赞同哪一位同学的发言.1.如图 26.3.3—6,是某河上一 座古拱桥的截面 图,拱桥桥洞上 沿是抛物线形状,抛物线两端 点与水面的和距 离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4m 的景观灯,建立适当坐标系 .(1)求抛物 线的解析式(2)求两盏景观丁之间的水平距离.的关系;(2)由已给抛物线 图象如何求解析 式;(3)如果题中不给图象,关注学生 怎样建立抛物线模 型.学习小组内互 相交流,讨论,展 示.针对前几个环节出 现的问题,进行针 对性的补偿,对学 有余力的学生拓展 提高.作业 作业:1.必做:课本第52页,7、8题. 作业设必做题设计尝 试应 用学生独立完成.教师关注: (1)学生能否独立 找到两个变量之间。
22.3实际问题与二次函数同步练习第3课时建立适当坐标系解决实际问题一、选择题1.如图,某拱桥呈抛物线形状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,则在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是()A.15米B.14米C.13米D.12米第1题图第2题图2.某公园草坪的防护栏是由150段形状相同的抛物线组成的.如图是其中一段抛物线,为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5 m,则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()A.240 mB.200 mC.160 mD.150 m3.小明在进行物理实验时竖直向上抛一个小球,小球上升的高度h(m)与运动时间t(s)的函数关系式为h=at2+bt,图象如图所示.若小球在抛出后第2 s与第6 s时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是()A.第3 sB.第3.9 sC.第4.5 sD.第6.5 s4.滑雪者从山坡上滑下,其滑行距离s(m)与滑行时间t(s)之间的关系可以近似地用二次函数刻画,其图象如图所示,根据图象,当滑行时间为4 s时,滑行距离为()A.40 mB.48 mC.56 mD.72 m5.位于中国贵州省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大、精度最高的望远镜.根据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点C到口径面AB的距离是100米.若按如图2建立平面直角坐标系,则抛物线的解析式是()A .y =1625x 2-100 B .y =-1625x 2-100 C .y =1625x 2D .y =-1625x 26.超市有一种果冻礼盒,内装两个上下倒置的果冻,果冻高为4 cm,底面是个直径为6 cm 的圆,轴截面可以近似地看作一个抛物线.为了节省成本,包装应尽可能的小,这个包装盒的长AD (不计重合部分,两个果冻之间没有挤压)至少为( )A.(6+3√2)cmB.(6+2√3)cmC.(6+2√5)cmD.(6+3√5)cm7.(2020·山西)竖直上抛物体离地面的高度h (m)与运动时间t (s)之间的关系可以近似地用公式h =-5t 2+v 0t +h 0表示,其中h 0(m)是物体抛出时离地面的高度,v 0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5 m 的高处以20 m/s 的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为( ) A .23.5 m B .22.5 m C .21.5 mD .20.5 m8.(中考·临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h (单位:m)与足球被踢出后经过的时间t (单位:s)之间的关系如下表:下列结论:①足球距离地面的最大高度为20 m ;②足球飞行路线的对称轴是直线t =92; ③足球被踢出9 s 时落地;④足球被踢出1.5 s 时,距离地面的高度是11 m. 其中正确结论的个数是( ) A .1 B .2 C .3D .49.(中考·巴中)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m 处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5 m 时,达到最大高度3.5 m ,然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m ,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是( )A .此抛物线对应的解析式是y =-15x 2+3.5 B .篮圈中心的坐标是(4,3.05) C .此抛物线的顶点坐标是(3.5,0) D .篮球出手时离地面的高度是2 m10.(2020·绵阳)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同(如图).当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面宽度为14米时,单个小孔的水面宽度为4米.若大孔水面宽度为20米,则单个小孔的水面宽度为( )A .43米B .52米C .213米D .7米 二、填空题11.图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯.防滑螺母C 为抛物线支架的最高点,灯罩D 距离地面1.86 m,灯柱AB 及支架的相关数据如图2所示.若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE 为 m .12.某飞机着陆后滑行的路程s (m)与滑行时间t (s)的函数关系式为s =60t -1.5t 2,则飞机着陆后直至完全停下来,滑行了 m .13.一位运动员在距篮下4m 处跳起投篮,球运行的路线是抛物线.当球运行的水平距离为2.5m 时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.如图所示,已知篮圈中心到地面的距离为3.05m,该运动员身高1.9m .在这次跳投中,球在头顶上方0.25m 处出手,则球出手时,他跳离地面的高度是 .14.如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状.身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点到地面的距离为米.15.(中考·武汉)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t-32t2.在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是________m.三、解答题16.如图是丁丁设计的一款杯子的平面图,建立平面直角坐标系后杯子的上半部分是二次函数y=2x2+8的图象的一部分.若AB=4,DE=3,求杯子的高CE.17.如图,一名男生推铅球,铅球行进的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是二次函数的关系.铅球行进起点的高度为53m,行进到水平距离为4 m时达到最高处,最大高度为3 m.(1)以地面为x轴,以过铅球行进起点且垂直于地面的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,求该二次函数的解析式(化成一般形式);(2)求铅球推出的距离.18.如图,某隧道的横截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是8 m 、宽是2 m,抛物线的解析式为y =-14x 2+4.一辆高4 m 、宽2 m 的货车正准备进入该隧道. (1)如果该隧道为单行道,这辆货车能安全通过吗?(2)如果该隧道内设双行道,中间遇车间隙为0.4 m,那么这辆货车是否可以通过?19.如图1,在地面上有两根等长的立柱AB ,CD ,它们之间悬挂了一根抛物线形状的绳子,按照图中的平面直角坐标系,这条绳子可以用y=110x 2-45x+3表示. (1)求这条绳子的最低点到地面的距离;(2)现由于实际需要,要在两根立柱之间再加一根立柱EF 对绳子进行支撑(如图2),已知立柱EF 到AB 的距离为3 m,两旁的绳子也是抛物线形状,且立柱EF 左侧绳子的最低点到EF 的距离为1 m,到地面的距离为1.8 m,求立柱EF 的长.20.如图,需在一面墙上绘制几个相同的“抛物线”形图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y =ax 2+bx (a ≠0)表示.已知抛物线上B ,C 两点到地面的距离均为34m ,到墙边OA 的距离分别为12m ,32m.(1)求该抛物线对应的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;(2)若该墙的长度为10m ,则最多可以连续绘制几个这样的“抛物线”形图案?21.(2020·绍兴)如图①,排球场长为18 m ,宽为9 m ,网高为2.24 m ,队员站在底线O 点处发球,球从点O 的正上方1.9 m 的C 点发出,运动路线是抛物线的一部分,当球运动到最高点A 时,高度为2.88 m ,即BA =2.88 m ,这时水平距离OB =7 m ,以直线OB 为x 轴,直线OC 为y 轴,建立平面直角坐标系,如图②所示.(1)若球向正前方运动(即x 轴垂直于底线),求球运动的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式(不必写出x 的取值范围).并判断这次发球能否过网?是否出界?说明理由.(2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P (如图①,点P 距底线1 m ,边线0.5 m),问发球点O 在底线上的哪个位置(参考数据:2取1.4)?22.(2020·台州)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观如图①.科学原理:如图②,始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位:cm),如果在离水面竖直距离为h(单位:cm)的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位:cm)与h的关系为s2=4h(H-h).应用思考:现用高度为20 cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究,水瓶直立地面,通过连续注水保证它始终盛满水,在离水面竖直距离h cm处开一个小孔.(1)写出s2与h的关系式;并求出当h为何值时,射程s有最大值,最大射程是多少?(2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为a,b(单位:cm),要使两孔射出水的射程相同,求a,b之间的关系式.(3)如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16 cm,求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离.23.某校进行了一场足球比赛,比赛场上守门员小王在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据试验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的解析式.(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取4√3≈7)(3)运动员乙要抢到足球第二个落地点D,他应再向前跑多少米?(取2√6≈5)参考答案一、选择题1.如图,某拱桥呈抛物线形状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,则在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是(A)A.15米B.14米C.13米D.12米第1题图第2题图2.某公园草坪的防护栏是由150段形状相同的抛物线组成的.如图是其中一段抛物线,为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5 m,则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为(A)A.240 mB.200 mC.160 mD.150 m3.小明在进行物理实验时竖直向上抛一个小球,小球上升的高度h(m)与运动时间t(s)的函数关系式为h=at2+bt,图象如图所示.若小球在抛出后第2 s与第6 s时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是(B)A.第3 sB.第3.9 sC.第4.5 sD.第6.5 s4.滑雪者从山坡上滑下,其滑行距离s(m)与滑行时间t(s)之间的关系可以近似地用二次函数刻画,其图象如图所示,根据图象,当滑行时间为4 s时,滑行距离为(B)A.40 mB.48 mC.56 mD.72 m5.位于中国贵州省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大、精度最高的望远镜.根据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点C到口径面AB的距离是100米.若按如图2建立平面直角坐标系,则抛物线的解析式是(A)A .y =1625x 2-100 B .y =-1625x 2-100 C .y =1625x 2D .y =-1625x 2 6.超市有一种果冻礼盒,内装两个上下倒置的果冻,果冻高为4 cm,底面是个直径为6 cm 的圆,轴截面可以近似地看作一个抛物线.为了节省成本,包装应尽可能的小,这个包装盒的长AD (不计重合部分,两个果冻之间没有挤压)至少为( A )A.(6+3√2)cmB.(6+2√3)cmC.(6+2√5)cmD.(6+3√5)cm7.(2020·山西)竖直上抛物体离地面的高度h (m)与运动时间t (s)之间的关系可以近似地用公式h =-5t 2+v 0t +h 0表示,其中h 0(m)是物体抛出时离地面的高度,v 0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5 m 的高处以20 m/s 的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为( C ) A .23.5 m B .22.5 m C .21.5 mD .20.5 m8.(中考·临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h (单位:m)与足球被踢出后经过的时间t (单位:s)之间的关系如下表:下列结论:①足球距离地面的最大高度为20 m ;②足球飞行路线的对称轴是直线t =92; ③足球被踢出9 s 时落地;④足球被踢出1.5 s 时,距离地面的高度是11 m. 其中正确结论的个数是( B ) A .1 B .2 C .3 D .49.(中考·巴中)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m 处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5 m 时,达到最大高度3.5 m ,然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m ,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是( )A .此抛物线对应的解析式是y =-15x 2+3.5 B .篮圈中心的坐标是(4,3.05) C .此抛物线的顶点坐标是(3.5,0) D .篮球出手时离地面的高度是2 m【点拨】A.∵抛物线的顶点坐标为(0,3.5),∴可设抛物线对应的函数解析式为y =ax 2+3.5. ∵篮圈中心(1.5,3.05)在抛物线上,将它的坐标代入上式,得3.05=a ×1.52+3.5,∴a =-15.∴y =-15x 2+3.5.故本选项正确.B .由题图知,篮圈中心的坐标是(1.5,3.05),故本选项错误.C .由题图知,此抛物线的顶点坐标是(0,3.5),故本选项错误.D .设这次跳投时,篮球出手时离地面的高度是h m ,∵y =-15x 2+3.5, ∴当x =-2.5时,h =-15×(-2.5)2+3.5=2.25.∴这次跳投时,篮球出手时离地面的高度是2.25 m .故本选项错误. 【答案】A10.(2020·绵阳)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同(如图).当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面宽度为14米时,单个小孔的水面宽度为4米.若大孔水面宽度为20米,则单个小孔的水面宽度为( )A .43米B .52米C .213米D .7米 【点拨】建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可得MN =4米,EF =14米,BC =10米,DO =32米. 设大孔所在抛物线的解析式为y =ax 2+32. ∵点B (-5,0),∴0=a ×(-5)2+32. ∴a =-350.∴大孔所在抛物线的解析式为y =-350x 2+32.设点A (b ,0),顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y =m (x -b )2. ∵EF =14米,∴点E 的横坐标为-7. ∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫-7,-3625.令-3625=m (x -b )2,解得x =65-1m +b 或x =-65-1m +b .∵MN =4米,∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪65-1m +b -⎝ ⎛⎭⎪⎫-65-1m +b =4.∴m =-925.∴顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y =-925(x -b )2. ∵大孔水面宽度为20米,∴当x =-10时,y =-92. 令-92=-925(x -b )2,解得x =522+b 或x =-522+b .∴单个小孔的水面宽度=[⎝⎛⎭⎫522+b -⎝⎛⎭⎫-522+b ]=52(米).【答案】B二、填空题11.图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯.防滑螺母C 为抛物线支架的最高点,灯罩D 距离地面1.86 m,灯柱AB 及支架的相关数据如图2所示.若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE 为 2.7 m .12.某飞机着陆后滑行的路程s (m)与滑行时间t (s)的函数关系式为s =60t -1.5t 2,则飞机着陆后直至完全停下来,滑行了 600 m .13.一位运动员在距篮下4m 处跳起投篮,球运行的路线是抛物线.当球运行的水平距离为2.5m 时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.如图所示,已知篮圈中心到地面的距离为3.05m,该运动员身高1.9m .在这次跳投中,球在头顶上方0.25m 处出手,则球出手时,他跳离地面的高度是 0.1 m .14.如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状.身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点到地面的距离为 0.5 米.15.(中考·武汉)飞机着陆后滑行的距离y (单位:m)关于滑行时间t (单位:s)的函数解析式是y =60t -32t 2.在飞机着陆滑行中,最后4 s 滑行的距离是________m. 【点拨】当y 取得最大值时,飞机停下来.因为y =60t -32t 2=-32(t -20)2+600,所以t =20时,飞机着陆后滑行600 m 才能停下来. 因此t 的取值范围是0≤t ≤20.当t =16时,y =576,所以600-576=24(m). 【答案】24 三、解答题16.如图是丁丁设计的一款杯子的平面图,建立平面直角坐标系后杯子的上半部分是二次函数y =2x 2+8的图象的一部分.若AB =4,DE =3,求杯子的高CE.解:由题意可得,点D 的坐标为(0,8).∵AB =4,∴点B 的横坐标为2,当x =2时,y =2×4+8=16,即点B 的坐标为(2,16), ∴CD =16-8=8,∴CE =CD +DE =8+3=11.17.如图,一名男生推铅球,铅球行进的高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系是二次函数的关系.铅球行进起点的高度为53 m,行进到水平距离为4 m 时达到最高处,最大高度为3 m .(1)以地面为x 轴,以过铅球行进起点且垂直于地面的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,求该二次函数的解析式(化成一般形式); (2)求铅球推出的距离.解:(1)设二次函数的解析式为y =a (x -4)2+3, 把点(0,53)代入y =a(x -4)2+3,解得a =-112, 则二次函数的解析式为y =-112(x -4)2+3=-112x 2+23x +53. (2)由题意得-112x 2+23x +53=0, 解得x 1=-2(舍去),x 2=10, 即铅球推出的距离为10 m .18.如图,某隧道的横截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是8 m 、宽是2 m,抛物线的解析式为y =-14x 2+4.一辆高4 m 、宽2 m 的货车正准备进入该隧道.(1)如果该隧道为单行道,这辆货车能安全通过吗?(2)如果该隧道内设双行道,中间遇车间隙为0.4 m,那么这辆货车是否可以通过? 解:(1)由题意,当x =1时,y =-14×12+4=3.75. ∵3.75+2=5.75>4, ∴这辆大货车能通过该隧道.(2)由题意,当x =2.2时,y =-14×(2.2)2+4=2.79. ∵2.79+2=4.79>4, ∴这辆华车可以通过该隧道.19.如图1,在地面上有两根等长的立柱AB ,CD ,它们之间悬挂了一根抛物线形状的绳子,按照图中的平面直角坐标系,这条绳子可以用y=110x 2-45x+3表示. (1)求这条绳子的最低点到地面的距离;(2)现由于实际需要,要在两根立柱之间再加一根立柱EF 对绳子进行支撑(如图2),已知立柱EF 到AB 的距离为3 m,两旁的绳子也是抛物线形状,且立柱EF 左侧绳子的最低点到EF 的距离为1 m,到地面的距离为1.8 m,求立柱EF 的长.解:(1)因为y=110x 2-45x+3=110(x-4)2+75,所以抛物线的顶点坐标为(4,75),则这条绳子的最低点到地面的距离为75 m .(2)对于y=110x 2-45x+3,当x=0时,y=3,即点A 的坐标为(0,3).由题意,立柱EF 左侧绳子所在抛物线的顶点为(2,1.8),所以可设其解析式为y=a (x-2)2+1.8, 把x=0,y=3代入,得3=a (0-2)2+1.8,解得a=310, 所以y=310(x-2)2+1.8.当x=3时,y=310×(3-2)2+1.8=2.1, 所以立柱EF 的长为2.1 m .20.如图,需在一面墙上绘制几个相同的“抛物线”形图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y =ax 2+bx (a ≠0)表示.已知抛物线上B ,C 两点到地面的距离均为34 m ,到墙边OA 的距离分别为12 m ,32 m.(1)求该抛物线对应的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离; 解:根据题意得B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12,34,C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫32,34.把B ,C 两点的坐标分别代入y =ax 2+bx , 得⎩⎨⎧14a +12b =34,94a +32b =34,解得⎩⎨⎧a =-1,b =2,∴此抛物线对应的函数关系式为y =-x 2+2x ;图案最高点到地面的距离为-224×(-1)=1(m).(2)若该墙的长度为10 m ,则最多可以连续绘制几个这样的“抛物线”形图案?解:令y=0,即-x2+2x=0,解得x1=0,x2=2.∴10÷2=5(个).∴最多可以连续绘制5个这样的“抛物线”形图案.21.(2020·绍兴)如图①,排球场长为18 m,宽为9 m,网高为2.24 m,队员站在底线O点处发球,球从点O的正上方1.9 m的C点发出,运动路线是抛物线的一部分,当球运动到最高点A时,高度为2.88 m,即BA=2.88 m,这时水平距离OB=7 m,以直线OB为x轴,直线OC为y轴,建立平面直角坐标系,如图②所示.(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线),求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x的取值范围).并判断这次发球能否过网?是否出界?说明理由.解:设抛物线的解析式为y=a(x-7)2+2.88,将x=0,y=1.9代入上式并解得a=-150,故抛物线的解析式为y=-150(x-7)2+2.88.当x=9时,y=-150(x-7)2+2.88=2.8>2.24;当x=18时,y=-150(x-7)2+2.88=0.46>0,故这次发球过网,但是出界了.(2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P(如图①,点P距底线1 m,边线0.5 m),问发球点O在底线上的哪个位置(参考数据:2取1.4)?解:如图,过点P作底线的平行线PQ,过点O作边线的平行线OQ,两线交于点Q,连接PO.易知∠PQO=90°.在Rt△OPQ中,OQ=18-1=17(m).当y=0时,y=-150(x-7)2+2.88=0,解得x=19或x=-5(舍去),∴OP=19 m.而OQ=17 m,∴PQ=62≈8.4(m).∴9-8.4-0.5=0.1(m).答:发球点O 在底线上且距右边线0.1 m 处.22.(2020·台州)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观如图①.科学原理:如图②,始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H (单位:cm),如果在离水面竖直距离为h (单位:cm)的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s (单位:cm)与h 的关系为s 2=4h (H -h ).应用思考:现用高度为20 cm 的圆柱体塑料水瓶做相关研究,水瓶直立地面,通过连续注水保证它始终盛满水,在离水面竖直距离h cm 处开一个小孔.(1)写出s 2与h 的关系式;并求出当h 为何值时,射程s 有最大值,最大射程是多少? 解:∵s 2=4h (H -h ),∴当H =20时,s 2=4h (20-h )=-4(h -10)2+400. ∴当h =10时,s 2有最大值400. ∴s 有最大值20.∴当h 为10时,射程s 有最大值,最大射程是20 cm.(2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为a ,b (单位:cm),要使两孔射出水的射程相同,求a ,b 之间的关系式.解:要使两孔射出水的射程相同,则有4a (20-a )=4b (20-b ), ∴20a -a 2=20b -b 2, 即(a -b )(a +b -20)=0. ∴a -b =0或a +b -20=0. ∴a =b 或a +b =20.(3)如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16 cm ,求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离.解:设垫高的高度为m (单位:cm),则s 2=4h (20+m -h )=-4(h -20+m 2)2+(20+m )2,∴当h =20+m2时,s 有最大值,为20+m =20+16. ∴m =16,此时h =20+m2=18.答:垫高的高度为16 cm ,小孔离水面的竖直距离为18 cm.23.某校进行了一场足球比赛,比赛场上守门员小王在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据试验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的解析式.(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取4√3≈7)(3)运动员乙要抢到足球第二个落地点D,他应再向前跑多少米?(取2√6≈5)解:(1)根据题意,该抛物线的解析式为y=-112(x-6)2+4(或y=−112x2+x+1).(2)令y=0,得-112(x-6)2+4=0,解得x1=4√3+6≈13,x2=-4√3+6<0(舍去),所以足球第一次落地点C距守门员13米.(3)如图,足球第二次弹出后的距离为CD,根据题意知CD=EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位长度),所以-112(x-6)2+4=2,解得x1=6-2√6,x2=6+2√6,所以CD=x2-x1=4√6≈10,所以BD=13-6+10=17(米).答:运动员乙要抢到足球第二个落地点D,他应再向前跑17米.。