微分几何复习题

第一章 曲线论一、单项选择题1、过点0r 且以非零向量a 为方向的直线方程为A 、 00 =-⨯r a rB 、0)(0 =⨯-r a rC 、0)(0=⋅-a r rD 、0)(0 =⨯-a r r 2、已知向量b a ⊥，则必有 ； A 、 0 =⋅b a B 、 b a λ= C 、0 =⨯b a D 、 0=⋅b a 3、设s , r 分别是可微的向量函数,则以下运算正确的是 ； A 、s r s r ⋅'='⋅)( B 、s r s r s r '⋅+⋅'='⋅ )( C 、s r s r ⨯'='⨯)( D 、r s r s s r '⨯+⨯'='⨯ )( 4、过0r 且垂直于非零向量n 的平面方程是A 、0)(0=⋅-n r rB 、 0)(0 =⨯-n r rC 、n v r r =-0D 、0)(0=⋅-r n r 5、设)(),(),(t u t s t r 分别是可微的向量函数,则='),,(u s r ； A 、u s r '⨯⋅ )( B 、u s r '⋅⨯ )( C 、)',','(u s r D 、),,(),,(),,(u s r u s r u s r '+'+'6、单位向量函数)(t r 关于t 的旋转速度等于A 、)('t rB 、)(''t rC 、)('t rD 、 )(''t r7、向量函数)(t r r=具有固定方向的充要条件是 ； A 、1)(=t r B 、1)('=t r C 、 0)(')( =⨯t r t r D 、 o t r t r =⋅)(')(8、向量函数)(t r r =具有固定长的充要条件是 ；A 、0)(')(=⋅t r t rB 、0)()(' =⨯t r t rC 、1)(=t rD 、1)('=t r9、星形线t a y t a x 33sin ,cos ==上对应于t 从0到π的一段弧的长等于 ；A 、aB 、a 2C 、a 3D 、 a 6 10、已知向量b a //，则必有 ；A 、 0 =⨯b aB 、 b a λ=C 、0 =⋅b aD 、 0=⋅b a11、在曲线的正常点处,曲线的切线和主法线所确定的平面是曲线上该点的 ；A 、法平面B 、切平面C 、密切平面D 、从切平面12、平面曲线的曲率或挠率特征是 ；A 、曲率0≡κB 、曲率∞≡κC 、挠率)0(≠=c c τD 、挠率0≡τ13、设圆的半径为R ，则圆上每一点的曲率都是 ；A 、0B 、1C 、RD 、R1 14、如果一条曲线的密切平面固定，则此曲线是 ；A 、平面曲线B 、挠曲线C 、一般螺线D 、直线15、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r=，则曲线在任一点的单位切向量是 ；A 、)(t rB 、)(s rC 、 dt r dD 、 dsr d 16、曲率恒等于零的曲线是 ；A 、平面曲线B 、直线C 、挠曲线D 、一般螺线17、 圆柱螺线},sin ,{cos t t t r = ，在点π=t 的切线方程是 ；A 、1101π-=-=+z y xB 、1111π-=-=+z y xC 、1101z y x =-=+ D 、0=-+-πz y 18、对于一般螺线，下列命题成立的个数是 ；① 切线和固定方向作固定角 ②主法线与一个固定方向垂直 ③曲率和挠率的比等于一个常数 ④副法线与一个固定方向作固定角A 、二个B 、三个C 、四个D 、五个19、下列不是一般螺线性质的是 ；A 、切线和固定方向作固定角B 、主法线与一个固定方向垂直C 、曲率和挠率的积等于一个常数D 、副法线与一个固定方向作固定角E 、曲率和挠率的比等于一个常数20、如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么此曲线是 ；A 、球面曲线B 、圆C 、平面曲线D 、直线21、空间曲线c 上正则点P 的切线和该点邻近点Q 的平面π，当点Q 沿曲线趋于点P 时，平面π的极限位置称为曲线的点的 ；A 、密切平面B 、法平面C 、切平面D 、从切平面二、填空题1、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r =，则曲线在任一点的单位切向量是 ；2、 向量函数)(t r 是区间],[b a 上的连续函数,则=⎰])([x adt t r dx d ； 3、 直线{}t t t t r 3,2,)(= 的自然参数方程是 ；4、设曲线参数方程)(s r r =，则参数s 是自然参数的充要条件是 ；5、最贴近曲线的直线是 、最贴近曲线的平面是 ；6、若空间曲线)(t r r =上的密切平面都垂直于一固定向量e ，则该曲线是 ；7、空间曲线是直线的充要条件是 ；8、若空间曲线)(t r r =满足0),,(=''''''r r r ，则该曲线是 ；9、曲线)(t r r =上的点都是正常点，则必有 ；10、曲线)(c 上所有点都是正常点时,则称该曲线)(c 为 .11、空间曲线的自然方程是 ；12、 )(t r 具有固定长的充要条件是 ；13、)(t r 具有固定方向的充要条件是 ；14、空间曲线是平面曲线的充要条件是 ；15、平面曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的 决定.16、空间曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的 决定.17、圆柱螺线{}t t t t r ,sin ,cos )(= 在点（1，0，0）处的切线方程是 ；18、 曲线{}t t t t r 5,sin 3,cos 3)(= 上的每一点都是 ；19、由曲线上一点的主法线与副法线构成的平面是曲线在这点的 ；20、由曲线上一点的切线与副法线构成的平面是曲线在这点的 ；21、设圆的半径为R ，则圆上每一点的曲率（按顺时针方向）都是 ；22、切线和固定方向作固定角的曲线称为 ；23、圆柱螺线},sin ,cos {bt t a t a r = 的自然参数表示为 ；24、 若曲线b t a t r r ≤≤=),(中的函数是连续可微的函数，则曲线为 ；25、按照椭圆点、双曲点、抛物点进行分类，可展曲面上的点都是 点。

三、判断题1、若0=⋅b a ，则0 =a 或0=b . （ ）2、 如果m 是常向量,则有⎰⎰⋅=⋅b ab a dt t r m dt t r m )()( . ( ) 3、对空间曲线,切向量的正向和曲线的参数t 的增值方向是一致的.( )4、 曲线{}t t t t r 5,sin 3,cos 3)(= 上的每一点都是正常点. （ ）5、如果一条曲线的密切平面固定，则曲线是平面曲线 （ ）6、曲线)(t r r =在)(0t P 点的密切平面由)(0t P 和向量)(''0t r 完全确定.( )7、 若0)()(t t s t r 是在点和 连续的向量函数,则也连续在点0)()(t t s t r ⨯. ( )8、挠率不恒为零的曲线称为挠曲线 ( )9、 如果一个向量函数的模等于固定长，那么它的微商为零. （ ）10、切线是通过切点的所有直线当中最贴近曲线的直线.( )11、 )(s τ是曲线的副法向量对于弧长的旋转速度.（ ）12、曲线在某点的曲率和挠率完全确定了曲线在该点邻近的近似形状； （ ）13、当曲线在一点处的弯曲程度越大,切向量对于弧长的旋转速度就越小. ( )14、 挠率为定数的曲线是平面曲线. ( )15、空间曲线挠率大于零时,曲线由下往上成左旋曲线.（ ）16、空间曲线穿过法平面和从切平面,但不穿过密切平面. ( )17、空间曲线)(t r r=，若0),,(=''''''r r r ，则曲线为平面曲线 18、在光滑曲线的正常点处，切线必存在且唯一 （ ）第二章 曲面论一、单项选择题 1、 如果),(11v u 是曲面),(v u r r =的正常点，则在该点处有 ； A 、0=⋅v u r r B 、0 ≠⋅v u r r C 、 0 ≠⨯v u r r D 、 0 =⨯v u r r2、两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是经过适当选择参数A 、它们的第一基本形式相等B 、 它们的第二基本形式相等C 、它们的第一基本形式成比例D 、 它们的第二基本形式成比例3、 曲面的曲纹坐标网是正交的充要条件是 ；A 、 F=0B 、 G=0C 、 L=0D 、M=04、 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是 ；A 、 F=0B 、 M=0C 、F=M=0D 、 L=N=05、 曲面上的曲纹坐标网是共轭网的充要条件是 ；A 、 F=0B 、 M=0C 、F=M=0D 、 L=N=06、 曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是 ；A 、 F=0B 、 M=0C 、F=M=0D 、 L=N=07、两个曲面之间的变换是等距变换的充要条件是经过适当的参数变换A 、它们的第一基本形式成比例B 、 它们的第一基本形式相等C 、 它们的第二基本形式成比例D 、 它们的第二基本形式相等8、 曲面上的一点P 处有0===M N L ,在点P 称为曲面的A 、 双曲点B 、 椭圆点C 、抛物点D 、平点9、 下列曲面中不是可展曲面的是A 、 椭圆抛物面B 、一条曲线的切线曲面C 、柱面D 、锥面10、 在光滑曲面),(v u r r=上,微分方程0=du 表示 ；A 、 一条曲线B 、 一族曲线―曲线族C 、 两条曲线D 、 两族曲线―曲线网11、 曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的 ； A 、 法平面 B 、 密切平面 C 、 从切平面 D 、 法线曲面12、 直纹面)()(u b v u a r +=的V —曲线是 ； A 、直母线 B 、与直母线垂直相交的直线C 、与导线)(u a 垂直的曲线D 、与导线)(u a平行的曲线 13、曲面上的一点P 处有02<-MLN ,则点P 称为曲面的 ； A 、 椭圆点 B 、 抛物点 C 、 双曲点 D 、 平点 14、曲面上的一点P 处有02=-M LN ,则点P 称为曲面的 ；A 、 椭圆点B 、 抛物点C 、 双曲点D 、 平点 15、曲面上的一点P 处有02>-M LN ,则点P 称为曲面的 ；A 、 椭圆点B 、 抛物点C 、 双曲点D 、 脐点16、下面除了 之外都是曲面的等距不变量（保长不变量）A 、曲面上曲线的弧长B 、曲面上两曲线的交角C 、曲面域面积D 、曲面曲线的曲率17、曲面S ：),(v u r r=的每一点满足F=M=0，则此曲面的曲率线是A 、-u 曲线B 、-v 曲线C 、曲面上的-u 曲线和-v 曲线D 、参数曲线的二等分轨线18、曲面S ：),(v u r r=在P 点处的两个方向dv du d :)(=和v u δδδ:)(=既正交又共轭，则 A 、0,2=⋅=⋅n r d r r d δπδ B 、0,0=⋅=⨯n r d r r d δδ C 、0,0=⋅=⋅n n d r r d δδ D 、0,0=⋅=⋅n r d r r d δδ二、填空题1、在曲面),(v u r r =上，微分方程0=⋅dv du 表示 ；2、曲面{}z z r ,sin ,cos ),(θθθ= 在点（0，0）处的切平面方程是 ；3、曲面{}z z r ,sin ,cos ),(θθθ= 在点)0,(π处的切平面方程是 ；4、曲面),(v u r r =是正则曲面，则必有 ；5、曲面在脐点处，第一、第二基本量满足 ；6、曲面在圆点处，第一、第二基本量满足 ；7、球面上每一点都是 ；8、两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是 ；9、两个曲面之间的一个变换是等距变换的充要条件是 ；10、已知平面π到单位球面s 的中心距离为)10(<<d d ,则π与s 交线的曲率为 ；11、曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的 ；12、空间曲线)(t r r =的主法线曲面的方程是 ；13、设曲面),(v u r r=的u -曲线与v -曲线的交角为θ，则=θcos ；14、曲面上一曲线，如果它每一点处的切方向都是该曲面的渐近方向，则此曲线称为曲面的 ；15、曲面上的一点P 处有L=M=N=0，则点P 称为曲面的 ；16、曲面上一点P 处使法曲率n k =0的方向为曲面在点P 的 ；17、曲面上一曲线，如果它每一点处的切方向都是该曲面的主方向，则此曲线称为曲面的 ；18、平面上每一点都是 ；19、如果曲面上有直线，则它一定是曲面的 ；20、曲面在椭圆点邻近的形状近似于 ；21、曲面的三个基本形式之间满足 ；22、平面族a z ay x a 2222=++的包络是 ；23、平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络是 ；24、曲面族αS ：06sin sin cos =-++αααz y x 的包络为 ；25、曲面族αS ：03cos cos sin =-++αααz y x 的包络为 ；三、判断题1、 曲面上一点P 处使n k =0的方向称为曲面在点P 的主法方向 . ( )2、设曲面的第一基本形式为22Gdv Edu I+=，则-u 曲线和-v 曲线的位置关系为正交。