《运筹学》线性规划的对偶问题

运筹学对偶问题的直观描述
运筹学中的对偶问题是指原始线性规划问题和对应的对偶线性规划问题之间的关系。

直观描述对偶问题可以从几个方面来理解。

首先，可以从成本和效益的角度来理解。

原始线性规划问题通常涉及最小化成本或者最大化利润，而对偶线性规划问题则涉及最大化成本或者最小化利润。

这种对偶关系可以被解释为在资源有限的情况下，通过最小化成本来实现最大化效益，或者通过最大化效益来实现最小化成本。

其次，可以从约束条件的角度来理解。

原始线性规划问题的约束条件对应着对偶线性规划问题的变量，而对偶线性规划问题的约束条件对应着原始线性规划问题的变量。

这种对偶关系可以被理解为在资源分配和利用的过程中，对约束条件和变量之间的转换和对应关系。

另外，可以从几何图形的角度来理解。

原始线性规划问题的最优解和对偶线性规划问题的最优解之间存在着一种对偶关系，即原始问题的最优解和对偶问题的最优解分别对应着凸集的两个相对的极值点，它们之间的距离可以被理解为对偶问题的最优值和原始问
题的最优值之间的关系。

总的来说，对偶问题在运筹学中具有重要的意义，它不仅可以帮助我们理解原始问题和对偶问题之间的关系，还可以为我们寻找最优解提供了一种新的视角和方法。

通过对偶问题的研究和理解，我们可以更好地解决实际生产和管理中的复杂问题。

习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤54x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1x1，x3≥0，x2，x4无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。

分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；'x代换。

（4）模型中全部x1用312.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2x j≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2x j≥0（j＝1,2,3,4）对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试对偶问题的性质，求出原问题的最优解。

2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3st. 3x1＋4 x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x1＋3x2＋2x3≤80x j≥0 （j＝1,2,3）４７４８（1）写出其对偶问题（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；（4）比较（2）和（3）计算结果。

每个线性规划问题都有一个与之对应的对偶问题。

简单考虑如下的生产分配问题我们有下面的对偶问题：该问题的任意一个可行解对应的目标函数值都不小于原问题的目标函数值，但是两个问题的最优目标函数值（有限）相同。

一般而言：1、每个对偶变量对应原问题的一个约束条件2、原问题是等式约束则对偶变量无不等式约束（非负约束）3、原问题是不等式约束则对偶变量有不等式约束4、原问题变量和对偶问题约束条件同样具有如上规律任何原问题和对偶问题之间都存在下述相互关系：弱对偶性：原对偶问题任何可行解的目标值都是另一问题最优目标值的界（推论：原对偶问题目标值相等的一对可行解是各自的最优解）强对偶性：原对偶问题只要有一个有最优解，另一个就有最优解，并且最优目标值相等互为对偶的线性规划问题解之间关系有如下四种：原问题与对偶问题之间存在互补松弛性：一般形式的线性规划互补松弛定理：经济学中有所谓影子价格的概念：如果增加某些约束条件的数值，原问题的最优目标值应该增加，增加单位约束使得原问题最优值的增加量为该约束条件的影子价格。

影子价格可以由对偶线性规划问题清楚地描述：对偶单纯形法：当线性规划问题中地某个约束条件或价值变量中含有参数时，原问题称之为参数线性规划，它有如下的处理方法：1）固定λ的数值解线性规划问题2）确定保持当前最优基不变的λ的区间3）确定λ在上述区间附近的最优基，回2）如以下问题：在实际问题中，许多变量以及它们的约束条件往往是离散的，或者说限定在整数域上，这便引入了整数线性规划的概念。

具体而言，整数线性规划包含纯整数线性规划（所有变量是整数变量）、混合整数线性规划（同时包含整数和非整数变量）、0-1型整数线性规划（变量等于0或1）去除整数规划的整数约束后的问题称为其松弛问题。

一般情况，原问题的解并不一定是其松弛问题的最优解附近的整数解，例如：通常的解决办法是在松弛问题的基础上出发，不断地引入整数的约束条件，从而求出整数规划的解。

《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案一、填空题1. 在线性规划问题中，若原问题存在最优解，则其对偶问题也一定存在最优解，这是线性规划的基本性质之一，称为______。

答案：对偶性2. 在线性规划问题中，若原问题与对偶问题均存在可行解，则它们均有______。

答案：最优解3. 对于线性规划问题，若原问题约束条件系数矩阵为A，目标函数系数向量为c，则其对偶问题的目标函数系数向量是______。

答案：c的转置（c^T）二、选择题1. 线性规划的原问题与对偶问题之间的关系是：A. 原问题的最优解和对偶问题的最优解相同B. 原问题的最优解是对偶问题的最优解的负数C. 原问题的最优解与对偶问题的最优解互为对偶D. 原问题的最优解和对偶问题的最优解没有关系答案：C2. 在线性规划中，若原问题不可行，则其对应的对偶问题：A. 可行B. 不可行C. 无界D. 无法确定答案：B三、判断题1. 线性规划的原问题和对偶问题具有相同的可行解。

（）答案：错误2. 若线性规划的原问题存在唯一最优解，则其对偶问题也一定存在唯一最优解。

（）答案：正确四、计算题1. 已知线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0求该问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解。

答案：对偶问题为：min w = 4y1 + 5y2s.t.y1 + 2y2 ≥ 32y1 + y2 ≥ 2y1, y2 ≥ 0原问题和对偶问题的最优解如下：原问题最优解：x1 = 2, x2 = 1，最大利润z = 8对偶问题最优解：y1 = 2, y2 = 1，最小成本w = 82. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要2小时的机器时间和3小时的工人劳动时间，生产一件乙产品需要1小时的机器时间和1小时的工人劳动时间。

工厂每周最多能使用12小时的机器时间和9小时的工人劳动时间。