自回归移动平均模型
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自回归滑动平均模型中阶数及参数的确定页数:2
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滑动平均模型页数:40
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第3章自回归滑动平均模型页数:38
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自回归滑动平均模型页数:37
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滑动平均模型页数:73
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自回归移动平均模型页数:72
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自回归移动平均模型页数:73
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【生产管理】计量学1-自回归移动平均模型分析
23
当系数序列绝对可加时，MA(∞)过程的均值、 方差和协方差，都可以从MA(∞)的相应结果简 单推广得到：
E(Yt )
lim
j
E(
t
1 t 1
2 t 2
j t j )
0
Var(Yt )
lim
j
E(t
1 t 1
2 t 2
jt j )2
lim
j
2
(1
12
2 j
)
k Cov(Yt ,Ytk ) (k k 1 1 k22
32
性质
1 1 2
k 1 k 1 2 k 2
0
11
2 2
2
(1
2
)
2
(1 2 )[(12 )2
12
]
(1
2
)
2
(1 2 )[(11 2 )(1 1 2 )]
33
3、AR(p)模型
AR(p)模型为：
p
Yt 1Yt 1 pYt p t iYt i t
这些模型分别记为MA(2)、MA(q)和MA(∞)。
9
引进滞后算子L（ Lt t1, L2t t2 , ），移动
平均模型可分别表示为：
Yt
Yt t t1 (1 L)t (L)t
Yt t 1t1 2t2 (11L 2L2 )t 2 (L)t
q
Yt j t j (11L 2L2 q Lq )t q (L)t j0
12
（三）自回归滑动平均模型
既包含一系列白噪声扰动的加权平均，也包含 时间序列本身滞后项加权平均的混合时间序列 过程。这样的过程称为“自回归移动平均过 程”，记为ARMA。
最简单的自回归移动平均过程包括一阶自回归 项和一阶移动平均项，即
Ch2 自回归移动平均模型
2
随机过程
• 由随机变量构成的一个有序序列称为随机过程，通常记 为 {x(s, t ), s ∈ S , t ∈ T } S是样本空间，T为序数集。 • 对于每个t (t∈T)，x(•, t)是样本空间S中的随机变量； • 对于每个s(s∈S)，x(s,•)是随机过程在序数集T中的一次 实现。一般将随机过程简称为过程，记为{xt}或xt 。 • 随机过程的一次观测结果称为时间序列，{xt, t∈T}用表 示。时间序列数据是所要研究变量的观测值按时间先后 顺序排列的一组数据。如果我们把1997年1月1日至 2002年12月31日间每个交易日收盘时的中信指数按时 间先后排列起来，得到了中信指数时间序列。 • 通常，分析的数据是等时间间隔的，从而是一个离散的 时间序列。 • 研究时间序列{xt}的目的，就是分析xt与其过去值{xt-1, xt-2,…}间的动态相关性。如果用线性模型分析，意味着 3 xt与其过去值{xt-1, xt-2,…}存在着线性关系。
=ψk E a
γ k = E ( xt xt − k ) = E (at + ψ 1 at −1 + ... + ψ k at − k + ...)(at − k + ψ 1 at − k −1 + ...)
( )+ψ
2 t −k
k +1
ψ 1 E (a
2 t − k −1
)+
=σ
∞
2
∑ψ ψ
k =0 j
(
)
(
)
• 称这个随机过程为强平稳过程。其中，F(•)表示n个随 机变量的联合分布函数，这意味着该平稳过程所有存在 的矩都不随时间的变化而变化。 • 强平稳表明了 x 和 x 的概率分布相同， {x , x } 的联合分布和 {xt +k , xt + k }的联合分布相 • 同，…， {xt , xt , xt } 的联合分布和 {xt , xt , xt } 的联合分 • 7 布相同。
随机过程
• 由随机变量构成的一个有序序列称为随机过程，通常记 为 {x(s, t ), s ∈ S , t ∈ T } S是样本空间，T为序数集。 • 对于每个t (t∈T)，x(•, t)是样本空间S中的随机变量； • 对于每个s(s∈S)，x(s,•)是随机过程在序数集T中的一次 实现。一般将随机过程简称为过程，记为{xt}或xt 。 • 随机过程的一次观测结果称为时间序列，{xt, t∈T}用表 示。时间序列数据是所要研究变量的观测值按时间先后 顺序排列的一组数据。如果我们把1997年1月1日至 2002年12月31日间每个交易日收盘时的中信指数按时 间先后排列起来，得到了中信指数时间序列。 • 通常，分析的数据是等时间间隔的，从而是一个离散的 时间序列。 • 研究时间序列{xt}的目的，就是分析xt与其过去值{xt-1, xt-2,…}间的动态相关性。如果用线性模型分析，意味着 3 xt与其过去值{xt-1, xt-2,…}存在着线性关系。
=ψk E a
γ k = E ( xt xt − k ) = E (at + ψ 1 at −1 + ... + ψ k at − k + ...)(at − k + ψ 1 at − k −1 + ...)
( )+ψ
2 t −k
k +1
ψ 1 E (a
2 t − k −1
)+
=σ
∞
2
∑ψ ψ
k =0 j
(
)
(
)
• 称这个随机过程为强平稳过程。其中，F(•)表示n个随 机变量的联合分布函数，这意味着该平稳过程所有存在 的矩都不随时间的变化而变化。 • 强平稳表明了 x 和 x 的概率分布相同， {x , x } 的联合分布和 {xt +k , xt + k }的联合分布相 • 同，…， {xt , xt , xt } 的联合分布和 {xt , xt , xt } 的联合分 • 7 布相同。
自回归AR模型、移动平均MA模型与自回归移动平均ARMA模型的比较分析
自回归AR模型、移动平均MA模型与自回归移动平均ARMA模型的比较分析系统中某一因素变量的时间序列数据没有确定的变化形式，也不能用时间的确定函数描述，但可以用概率统计方法寻求比较合适的随机模型近似反映其变化规律。
(自变量不直接含有时间变量,但隐含时间因素)1．自回归AR(p)模型（R：模型的名称 P：模型的参数）（自己影响自己，但可能存在误差，误差即没有考虑到的因素）(1)模型形式（εt越小越好，但不能为0：ε为0表示只受以前Y的历史的影响不受其他因素影响）yt=φ1yt-1+φ2yt-2+……+φpyt-p+εt式中假设：yt的变化主要与时间序列的历史数据有关，与其它因素无关；εt不同时刻互不相关，εt与yt历史序列不相关。
式中符号：p模型的阶次，滞后的时间周期，通过实验和参数确定；yt当前预测值，与自身过去观测值yt-1、…、yt-p是同一序列不同时刻的随机变量，相互间有线性关系，也反映时间滞后关系；yt-1、yt-2、……、yt-p同一平稳序列过去p个时期的观测值；φ1、φ2、……、φp自回归系数，通过计算得出的权数，表达yt 依赖于过去的程度，且这种依赖关系恒定不变；εt随机干扰误差项，是0均值、常方差σ2、独立的白噪声序列，通过估计指定的模型获得。
(2)识别条件当k>p时，有φk=0或φk服从渐近正态分布N(0,1/n)且(|φk|>2/n1/2)的个数≤4.5%，即平稳时间序列的偏相关系数φk为p步截尾，自相关系数rk逐步衰减而不截尾，则序列是AR(p)模型。
实际中，一般AR过程的ACF函数呈单边递减或阻尼振荡，所以用PACF函数判别(从p阶开始的所有偏自相关系数均为0)。
(3)平稳条件一阶：|φ1|<1。
二阶：φ1+φ2<1、φ1-φ2<1、|φ2|<1。
φ越大，自回归过程的波动影响越持久。
(4)模型意义仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用，不受模型变量相互独立的假设条件约束，所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性等造成的困难。
自回归移动平均模型
12
线性时间序列
z 如果要生成一个不独立的序列，我们可以利用白
噪声的线性组合，
∞
∑ xt = at +ψ 1at−1 +ψ 2at−2 + ... = ψ j at− j
j=0
z 其中，ψ0=1，{at}为白噪声序列。
z 平实均际而上生，成上观式测将序白列噪x声t。{a依t}这的种现方行式值生和成过的去过值程的 称为线性过程，实际上是移动平均过程。
矩都不随时间的变化而变化。
{ } { } z 强平稳表明了 xt1 和 xt1+k的概率分布相同，
z
xt1 , xt2 的联合分布和 xt1+k , xt2 +的k 联合分布相同，…，
{ } { } z xt1 , xt2 ," xtn 同。
的联合分布和
xt1 , xt2 ," xtn
的联合分布相
7
z 2研与,…究其}时过间间去的序值动{列态xt{-相1x,t}x关的t-2性,目…。的}存如，在果就着用是线线分性性析关模xt系与型。其分过析去，值意{x味t-1着, x3xt-t
滞后算子
z 滞后算子“L”是这样定义的 Lxt = xt−1
z Lxt就是时间序列{xt}在第t-1时刻的值xt-1
z 自相关函数(ACF)定义为， ρk = γ k γ 0
z 间对系“，于相它每似可个”的以k，度作ρ量为k是。xt过的程一在次相实隔现时与间时为移kk的后一的对同值一的次相实关现关之 z 注=要ρ。意-k。，自ρk相只关是函k的数函在数建，立与自观回测归值移的动时平期均t无模关型，时而非且常，重ρk
z 因此，当k=0时，则 γ 0 − φγ −1 = σ 2 = γ 0 − φγ 1
线性时间序列
z 如果要生成一个不独立的序列，我们可以利用白
噪声的线性组合，
∞
∑ xt = at +ψ 1at−1 +ψ 2at−2 + ... = ψ j at− j
j=0
z 其中，ψ0=1，{at}为白噪声序列。
z 平实均际而上生，成上观式测将序白列噪x声t。{a依t}这的种现方行式值生和成过的去过值程的 称为线性过程，实际上是移动平均过程。
矩都不随时间的变化而变化。
{ } { } z 强平稳表明了 xt1 和 xt1+k的概率分布相同，
z
xt1 , xt2 的联合分布和 xt1+k , xt2 +的k 联合分布相同，…，
{ } { } z xt1 , xt2 ," xtn 同。
的联合分布和
xt1 , xt2 ," xtn
的联合分布相
7
z 2研与,…究其}时过间间去的序值动{列态xt{-相1x,t}x关的t-2性,目…。的}存如，在果就着用是线线分性性析关模xt系与型。其分过析去，值意{x味t-1着, x3xt-t
滞后算子
z 滞后算子“L”是这样定义的 Lxt = xt−1
z Lxt就是时间序列{xt}在第t-1时刻的值xt-1
z 自相关函数(ACF)定义为， ρk = γ k γ 0
z 间对系“，于相它每似可个”的以k，度作ρ量为k是。xt过的程一在次相实隔现时与间时为移kk的后一的对同值一的次相实关现关之 z 注=要ρ。意-k。，自ρk相只关是函k的数函在数建，立与自观回测归值移的动时平期均t无模关型，时而非且常，重ρk
z 因此，当k=0时，则 γ 0 − φγ −1 = σ 2 = γ 0 − φγ 1
差分整合移动平均自回归模型
差分整合移动平均自回归模型差分整合移动平均自回归模型，简称ARIMA模型，是一种常用的时间序列分析方法。
它可以用来对非平稳时间序列进行建模和预测，常用于经济、金融、股票、气象等领域。
本文将介绍ARIMA模型的基本原理、建模方法和应用实例。
一、ARIMA模型的基本原理ARIMA模型是由自回归（AR）、移动平均（MA）和差分（I）三个部分组成的。
其中，自回归部分是指用过去的数据来预测未来的数据，移动平均部分是指用过去的误差来预测未来的数据，差分部分是指对非平稳序列进行差分处理，使其成为平稳序列。
ARIMA模型的一般形式可以表示为ARIMA(p,d,q)，其中p是自回归项数，d是差分次数，q是移动平均项数。
ARIMA模型的基本原理是建立在时间序列的平稳性基础上的。
平稳序列是指时间序列的均值、方差和自协方差函数都不随时间发生变化。
在实际应用中，很多时间序列都是非平稳的，例如股票价格、经济增长率等，这时需要对其进行差分处理，使其成为平稳序列。
二、ARIMA模型的建模方法ARIMA模型的建模方法包括模型识别、参数估计、模型检验和预测四个步骤。
1. 模型识别模型识别是指确定ARIMA模型的阶数。
一般采用自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来进行识别。
ACF是指时间序列的自协方差函数，PACF是指在去除其他相关性的影响后，时间序列的自相关函数。
通过观察ACF和PACF的图形，可以确定ARIMA模型的阶数。
一般情况下，如果ACF呈现出指数衰减的趋势，而PACF在某个阶数后截尾，就可以确定AR模型的阶数。
如果ACF和PACF都呈现出指数衰减的趋势，就可以确定MA模型的阶数。
如果ACF呈现出周期性的趋势，就可以确定差分的阶数。
2. 参数估计在确定了ARIMA模型的阶数之后，需要对模型的参数进行估计。
估计方法包括最小二乘估计法、极大似然估计法和贝叶斯估计法等。
其中，最小二乘估计法是指通过最小化残差平方和来估计模型的参数；极大似然估计法是指通过最大化似然函数来估计模型的参数；贝叶斯估计法是指通过贝叶斯公式来估计模型的参数。
时序预测中的ARIMA模型详解(Ⅱ)
时序预测中的ARIMA模型详解时序预测是一项重要的研究课题，它涉及到对未来一段时间内的数据进行预测和分析。
在时序预测中，ARIMA（自回归移动平均）模型是一种常用的预测方法，它能够对时间序列数据进行建模和预测，具有较好的预测效果。
本文将对ARIMA模型进行详细地介绍和分析，以便读者更好地了解和应用该模型。
1. ARIMA模型的基本概念ARIMA模型是由自回归（AR）模型、差分（I）运算和移动平均（MA）模型组成的。
AR模型是指时间序列数据与其过去若干个时间点的值之间存在线性关系，而MA模型是指时间序列数据与其滞后值的误差之间存在线性关系。
差分运算是指对时间序列数据进行差分处理，将非平稳时间序列数据转换成平稳时间序列数据。
ARIMA模型能够很好地处理非平稳时间序列数据，并且适用于各种类型的时间序列预测问题。
2. ARIMA模型的建模过程ARIMA模型的建模过程包括模型识别、参数估计和模型检验三个步骤。
模型识别是指根据时间序列数据的自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来确定ARIMA模型的阶数。
参数估计是指利用最大似然估计方法对ARIMA模型的参数进行估计。
模型检验是指对所建立的ARIMA模型进行残差检验，以验证模型的拟合效果和预测能力。
这三个步骤是建立ARIMA模型的关键，需要认真对待和仔细分析。
3. ARIMA模型的应用场景ARIMA模型适用于多种时间序列预测问题，例如股票价格预测、气温预测、销售额预测等。
在金融领域，ARIMA模型能够较好地捕捉股票价格的波动规律，帮助投资者进行风险控制和收益预测。
在气象领域，ARIMA模型能够准确地预测未来的气温变化趋势，为农业生产和城市规划提供重要参考。
在商业领域，ARIMA模型能够有效地预测销售额的变化，帮助企业制定营销策略和库存管理计划。
可以看出，ARIMA模型具有广泛的应用前景和市场需求。
4. ARIMA模型的局限性尽管ARIMA模型在时序预测中具有较好的预测效果，但它也存在一定的局限性。
差分整合移动平均自回归模型
差分整合移动平均自回归模型差分整合移动平均自回归模型（ARIMA）是一种经典的时间序列分析方法，被广泛应用于经济、金融、气象等领域。
本文将介绍ARIMA 模型的基本原理、建模方法和应用案例，并探讨其优缺点及未来发展方向。
一、ARIMA模型的基本原理ARIMA模型是由自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和差分模型（I）三部分组成的，其基本原理可以用以下公式表示：ARIMA(p,d,q) = AR(p) + I(d) + MA(q)其中，p表示自回归模型的阶数，d表示差分模型的阶数，q表示移动平均模型的阶数。
ARIMA模型的基本思想是将时间序列分解为趋势、季节性和随机性三个部分，并通过建立这三个部分之间的关系来预测未来数据。
具体来说，ARIMA模型的建立过程可以分为以下几步：1. 数据预处理：对时间序列进行平稳性检验，确定需要进行差分的阶数d，使得序列的均值和方差不随时间变化。
2. 模型选择：根据自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的图形分析，选择合适的自回归模型AR(p)和移动平均模型MA(q)。
3. 参数估计：采用极大似然估计或最小二乘法等方法，估计模型的参数。
4. 模型检验：对模型进行残差分析，检验其是否符合假设条件，如残差序列是否为白噪声。
5. 预测应用：利用已建立的模型对未来时间序列进行预测，评估预测效果。
二、ARIMA模型的建模方法ARIMA模型的建模方法主要包括两种：自顶向下（top-down）和自底向上（bottom-up）。
自顶向下方法是先确定ARIMA模型的大致形式，再通过参数估计和模型检验来细化模型。
这种方法适用于已有一定经验和知识的专家，能够快速建立合适的模型，但容易忽略数据的特殊性。
自底向上方法是从数据出发，逐步建立ARIMA模型。
这种方法需要对数据进行详细的分析和处理，能够更好地反映数据的特征，但需要大量的计算和时间。
在实际应用中，ARIMA模型的建立方法需要根据具体情况进行选择，综合考虑建模目的、数据特征、时间和计算资源等因素。
自回归移动平均模型课件
假定某个时间序列是由某一随机过程生成，即假定 时间序列Xt的每一个数值都是从一个概率分布中随机 得到，如果时间序列Xt 满足：
1）均值E(Xt )= 是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt )=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Xt , Xt +k)=k 是只与时期间隔k 有关，
第一节 随机时间序列的特征
第二节 随机时间序列分析模型
第三节 协整分析与误差修正模型
第四节 向量自回归模型
自回归移动平均模型
1
§4.1 随机时间序列的特征
一、随机时间序列模型简介 二、趋势平稳与差分平稳 三、时间序列平稳性的检验
自回归移动平均模型
2
一、随机时间序列模型简介
一个标有时间脚标的随机变量序列被称为时间序 列(time series)。
(**)
检验（*）式是否存在单位根=1，也可通 过（**）式判断是否有 =0。
自回归移动平均模型
20
一般地:
检验一个时间序列Yt的平稳性，可通过检验带 有截距项的一阶自回归模型
Yt = +Yt-1+ t 中的参数是否小于1。
（*）
或者：检验其等价变形式
Yt = +Yt-1+ t 中的参数是否小于0 。
中减去 a + t，结果是一个平稳过程。
自回归移动平均模型
13
一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的 确定性时间趋势，例如可能存在多项式趋势：
Y t a 1 t2 t2 n tn u t (**)
t = 1, 2, , T
同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预 测去势后的时间序列。对于中长期预测而言，能 准确地给出确定性时间趋势的形式很重要。如果 Yt 能够通过去势方法排除确定性趋势，转化为平 稳序列，称为退势平稳过程。
1）均值E(Xt )= 是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt )=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Xt , Xt +k)=k 是只与时期间隔k 有关，
第一节 随机时间序列的特征
第二节 随机时间序列分析模型
第三节 协整分析与误差修正模型
第四节 向量自回归模型
自回归移动平均模型
1
§4.1 随机时间序列的特征
一、随机时间序列模型简介 二、趋势平稳与差分平稳 三、时间序列平稳性的检验
自回归移动平均模型
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一、随机时间序列模型简介
一个标有时间脚标的随机变量序列被称为时间序 列(time series)。
(**)
检验（*）式是否存在单位根=1，也可通 过（**）式判断是否有 =0。
自回归移动平均模型
20
一般地:
检验一个时间序列Yt的平稳性，可通过检验带 有截距项的一阶自回归模型
Yt = +Yt-1+ t 中的参数是否小于1。
（*）
或者：检验其等价变形式
Yt = +Yt-1+ t 中的参数是否小于0 。
中减去 a + t，结果是一个平稳过程。
自回归移动平均模型
13
一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的 确定性时间趋势，例如可能存在多项式趋势：
Y t a 1 t2 t2 n tn u t (**)
t = 1, 2, , T
同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预 测去势后的时间序列。对于中长期预测而言，能 准确地给出确定性时间趋势的形式很重要。如果 Yt 能够通过去势方法排除确定性趋势，转化为平 稳序列，称为退势平稳过程。
arima模型
arima模型ARIMA模型（英语：AutoregressiveIntegratedMovingAverage model），差分整合移动平均自回归模型，又称整合移动平均自回归模型（移动也可称作滑动），是时间序列预测分析方法之一。
ARIMA(p，d，q)中，AR是“自回归”，p为自回归项数；MA为“滑动平均”，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳序列所做的差分次数（阶数）。
“差分”一词虽未出现在ARIMA的英文名称中，却是关键步骤。
定义非平稳时间序列，在消去其局部水平或者趋势之后，其显示出一定的同质性，也就是说，此时序列的某些部分与其它部分很相似。
这种非平稳时间序列经过差分处理后可以转换为平稳时间序列，那称这样的时间序列为齐次非平稳时间序列，其中差分的次数就是齐次的阶。
将记为差分算子，那么有对于延迟算子，有因此可以得出设有d阶其次非平稳时间序列，那么有是平稳时间序列，则可以设其为ARMA(p,q)模型，即其中，分别为自回归系数多项式和滑动平均系数多项式。
为零均值白噪声序列。
可以称所设模型为自回归求和滑动平均模型，记为ARIMA(p,d,q)。
当差分阶数d为0时，ARIMA模型就等同于ARMA模型，即这两种模型的差别就是差分阶数d是否等于零，也就是序列是否平稳，ARIMA模型对应着非平稳时间序列，ARMA模型对应着平稳时间序列。
建立ARIMA模型的方法步骤时间序列的获取时间序列的获取可以通过实验分析获得，亦或是相关部门的统计数据。
对于得到的数据，首先应该检查是否有突兀点的存在，分析这些点的存在是因为人为的疏忽错误还有有其它原因。
保证所获得数据的准确性是建立合适模型，是进行正确分析的第一步保障。
时间序列的预处理时间序列的预处理包括两个方面的检验，平稳性检验和白噪声检验。
能够适用ARMA模型进行分析预测的时间序列必须满足的条件是平稳非白噪声序列。
对数据的平稳性进行检验是时间序列分析的重要步骤，一般通过时序图和相关图来检验时间序列的平稳性。
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析模型是一种通过对时间序列数据进行建模和分析的方法，旨在揭示数据中的趋势、季节性、周期和不规则波动等特征，并进行预测和决策。
时间序列分析模型在经济、金融、市场、气象、医学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的时间序列分析模型。
1. 移动平均模型（MA）移动平均模型是时间序列分析中最简单的模型之一。
它基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是对随机误差的线性组合。
该模型表示为：y_t = c + e_t + θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，q 是移动平均项的阶数。
2. 自回归模型（AR）自回归模型是基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是过去若干时间点的线性组合。
自回归模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，p 是自回归项的阶数。
3. 自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型将自回归模型和移动平均模型结合在一起，用于处理同时具有自相关和移动平均性质的时间序列数据。
自回归移动平均模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t +θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，p 是自回归项的阶数，q 是移动平均项的阶数。
4. 季节性自回归移动平均模型（SARIMA）季节性自回归移动平均模型是自回归移动平均模型的扩展，用于处理具有季节性和趋势变化的时间序列数据。
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t (B) xt
1 q
其中
q (B) 1 1B 2 B q B
2
q
AR(p)与MR(q)的比较
AR(1) MR(1)
xt xt 1 t源自xt 1 t 1 t
(3) 自回归移动平均模型
• 定义 • 性质 • 滞后算子形式
① 自回归移动平均模型
时间序列分析入门
主要内容
• 确定性时间序列模型 • 随机时间序列模型及其性质
• 时间序列模型的估计和预测
一. 确定性时间序列模型
• 时间序列：各种社会、经济、自然现象 的数量指标按照时间次序排列起来的统 计数据 • 时间序列分析模型：解释时间序列自身 的变化规律和相互联系的数学表达式
确定性时间序列模型
k=0
k=1,2,· · · ,q
k>q
k大于q时k为零，称作截尾性
举例
ρk
1
yt 2 t 0.8 t 1
0 .8 1 0.49 2 1 0 .8
0.5
0
1
2
3
k
yt 2 t 0.8 t 1 的序列
yt 5
3
1
-1
t
③ 滞后算子形式
xt t 1 t 1 2 t 2 q t q q ( B) t
tN
a
其中
i 0
N 1
i
N
1
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通 过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋势 预测更准确
(3) 二次滑动平均模型
ˆt y ˆ t 1 y ˆ t N 1 y ˆ ˆt y N
tN
对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均
AR(p) 自相关函数的拖尾性
• 对AR(p)模型，其自相关函数不能在某一 步之后为零（截尾），而是按指数衰减， 称其具有拖尾性
举例
ρk 1
yt 2 0.9 yt 1 t
k 0.9k
0
k
yt
yt 2 0.9 yt 1 t
的序列
20
t
④ 偏自相关函数
耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程 1 1 2 1 p p 1 2 1 1 2 p p 2
AR(p)的偏自相关 函数具有截尾性
⑤ AR(p)的滞后算子形式
引进滞后算子B： Bxt xt 1 一般有： Bn xt xt n AR(p)
B0 1
xt 1xt 1 2 xt 2 p xt p t
(1 1B 2 B p B p ) xt t
1) 对任意t，均值恒为常数 2)
Ext (与t无关的常数 )
Varxt 2 (与t无关的有限常数 ) x 3) 对任意整数t和k， r t,t+k只和k有关 rt ,t k rk
• 随机序列的特征量随时间而变化，称为非平 稳序列
xt
t
xt
t
平稳序列的特性
• 方差
rt ,t r0 E[(xt ) ]
xt t 1t 1 2t 2 qt q
其中{εt}是白噪声序列，这样的模型称为 q阶移动平均模型，计为MA(q)
② MA(1) 的自相关函数
xt t 1 t 1
E ( t ) E ( t 1 ) 0 E ( xt ) 0 Var ( xt ) E ( xt2 ) E ( t2 12 t21 21 t t 1 ) (1 12 ) 2
rt ,t Var( xt )
时间序列的统计性质
• 自相关函数
t ,s
rt , s rtt rss
t ,s s,t
t ,t 1
2. 平稳时间序列
• 所谓平稳时间序列是指时间序列 {xt, t=0,±1,±2,· · · }
2 Ex ，且满足以下条件： 对任意整数t， t
• 自回归模型与移动平均模型的综合
xt 1xt 1 2 xt 2 p xt p t 1t 1 2t 2 qt q
计为ARMA(p,q)
AR( p) ARMA( p,0) MA(q) ARMA(0, q)
2 3
是否平稳？
均值为零？ 方差为有限常数？ 自协方差与t无关？
AR(1)平稳的条件
xt t t 1 t 2 t 3
2 3
• 均值
E( t ) 0 E( xt ) 0
• 方差
成立
2 (1)t充分大时Var ( xt ) ，与t无关 2 1 满足这两个 条件成立 ( 2) 1时，Var ( xt )为有限常数
耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程
1 1 2 1 p p 1 2 1 1 2 p p 2
p 1 p 1 2 p 2 p
例：求AR(1)的自相关函数
xt xt 1 t
(4) 指数平滑模型
ˆt y ˆt 1 ( yt 1 y ˆt 1 ) y ˆt yt 1 (1 ) y ˆt 1 y
0 1 平滑常数
本期预测值是前期实际值和预测值的加权和
二. 随机时间序列模型及其性质
• 随机时间序列 • 平稳时间序列
• 随机时间序列模型
3. 随机时间序列模型
• 自回归模型（AR） • 移动平均模型（MA） • 自回归—移动平均模型（ARMA）
(1) 自回归模型及其性质
• • • • • 定义 平稳条件 自相关函数 偏自相关函数 滞后算子形式
① 自回归模型的定义
• 描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列 值之间的相互关系
xt 1xt 1 2 xt 2 p xt p t
等, 则称xt 为随机过程
T 1， 2， 等，则称xt 为随机序列
随机序列的现实
• 对于一个随机序列，一般只能通过记录 或统计得到一个它的样本序列x1,x2,· · · , xn， 称它为随机序列{xt}的一个现实 • 随机序列的现实是一族非随机的普通数 列
(2) 时间序列的统计性质(特征量)
r1 Cov( xt , xt 1 ) E[(t 1t 1 )(t 1 1 t )] 1 2
r1 1 1 r0 1 12
2 3 0
MA(q) 的自相关函数
1 k 1 k 1 2 k 1 q k q k 2 2 2 1 1 2 q 0
两边同除以r0 • 自相关函数
rk k 1 k 1 2 k 2 p k p r0
AR(p)的自相关函数
rk k 1 k 1 2 k 2 p k p r0 k k , 0 1
记 p (B) 1 1B 2 B p B p
p ( B) xt t
或
1 xt p (B)t
(2) 移动平均模型及其性质
• 定义 • 自相关函数 • 滞后算子形式
① 移动平均模型的定义
• 在序列{xt}中， xt表示为若干个白噪声的 加权平均和
1. 随机时间序列
• 随机过程与随机序列 • 时间序列的性质
(1) 随机过程与随机序列
设T为某个时间集，对 t T，取xt为随机变量，
xt , t T 对于该随机变量的全体
当取T为连续集，如 T (,)或T [0,) 当取T为离散集，如 T ， 2， 1， 0， 1， 2， 或
平稳序列的判断
ρk
1
ρk
1
0 平稳序列的自相关函数
k
0
k
非平稳序列的自相关函数
迅速下降到零
缓慢下降
一类特殊的平稳序列 ——白噪声序列
• 随机序列{xt}对任何xt和xt都不相关，且 均值为零，方差为有限常数
Ext 0 r0
2 x
rk 0( k 0)
• 正态白噪声序列：白噪声序列，且服从 正态分布
随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk （k<t ）不相关，称为p阶自回归模型， 记为AR(p)
② (一阶)自回归序列平稳的条件
xt xt 1 t xt 1 xt 2 t 1
xt t t 1 t 2 t 3
Var ( xt ) 2 (1 2 4 6 )
AR(1)平稳的条件
• 自协方差
rt ,t k Cov( xt , xt k ) E ( xt xt k ) 2 k (1 2 4 6 ) t充分大时，rt ,t k
• 滑动平均模型 • 加权滑动平均模型
• 二次滑动平均模型
• 指数平滑模型
(1) 滑动平均模型
yt yt 1 yt N 1 ˆt y N
tN
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化，并用 于预测趋势
(2) 加权滑动平均模型
a0 yt a1 yt 1 a N 1 yt N 1 ˆ tw y N
• 均值函数：某个时刻t的性质
E ( xt ) t xpt ( x)dx
pt ( x)是xt 的概率密度函数
时间序列的统计性质
• 自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质
rt ,s Cov( xt , xs ) E( xt Ext )(xs Exs )
rt ,s rs,t
p 1 p 1 2 p 2 p