第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上;能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此;还要善于根据题目条件;将推理与计算相结合;灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题;从而提高运算能力;发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中;可以根据运算法则和运算律;去掉或者添上括号;以此来改变运算的次序;使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中;由于负数的引入;符号“+”与“-”具有了双重涵义;它既是表示加法与减法的运算符号;也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时;一定要正确运用有理数的运算法则;尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中;常常把小数变成分数;把带分数变成假分数;这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦;根据运算规则;添加括号改变运算次序;可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=211×555+211×445+445×789+555×789=211×555+445+445+555×789=211×1000+1000×789=1000×211+789=1000000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”;它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+-1n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项;第三、第四项;…;分别配对的方式计算;就能得到一系列的“-1”;于是一改“去括号”的习惯;而取“添括号”之法．解S=1-2+3-4+…+-1n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时;上式是n／2个-1的和;所以有当n为奇数时;上式是n-1／2个-1的和;再加上最后一项-1n+1·n=n;所以有例4在数1;2;3;…;1998前添符号“+”和“-”;并依次运算;所得可能的最小非负数是多少分析与解因为若干个整数和的奇偶性;只与奇数的个数有关;所以在1;2;3; (1998)前任意添加符号“+”或“-”;不会改变和的奇偶性．在1;2;3;…;1998中有1998÷2个奇数;即有999个奇数;所以任意添加符号“+”或“-”之后;所得的代数和总为奇数;故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n;n+1;n+2;n+3之间添加符号“+”或“-”;显然n-n+1-n+2+n+3=0．这启发我们将1;2;3;…;1998每连续四个数分为一组;再按上述规则添加符号;即1-2-3+4+5-6-7+8+…+1993-1994-1995+1996-1997+1998=1．所以;所求最小非负数是1．说明本例中;添括号是为了造出一系列的“零”;这种方法可使计算大大简化．有这种竞赛讲义一整套小学初中的含答案最新的需要的可以联系我46~8453~607微信13699~77~10742．用字母表示数我们先来计算100+2×100-2的值：100+2×100-2=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算;若用字母a代换100;用字母b代换2;上述运算过程变为a+ba-b=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式a+ba-b=a2-b2;①这个公式叫平方差公式;以后应用这个公式计算时;不必重复公式的证明过程;可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．解3001×2999=3000+13000-1=30002-12=8999999．例6计算103×97×10009的值．解原式=100+3100-310000+9=1002-91002+9=1004-92=99999919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察;发现分母中涉及到三个连续整数：12345;12346;12347．可设字母n=12346;那么12345=n-1;12347=n+1;于是分母变为n2-n-1n+1．应用平方差公式化简得n2-n2-12=n2-n2+1=1;即原式分母的值是1;所以原式=24690．例8计算：2+122+124+128+1216+1232+1．分析式子中2;22;24;…每一个数都是前一个数的平方;若在2+1前面有一个2-1;就可以连续递进地运用a+ba-b=a2-b2了．解原式=2-12+122+124+128+1×216+1232+1=22-122+124+128+1216+1×232+1=24-124+128+1216+1232+1=……=232-1232+1=264-1．例9计算：分析在前面的例题中;应用过公式a+ba-b=a2-b2．这个公式也可以反着使用;即a2-b2=a+ba-b．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到;用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题;从中可以看到用字母表示一个式子;也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下;请计算他们的总分与平均分．87;91;94;88;93;91;89;87;92;86;90;92;88;90;91;86;89;92;95;88．分析与解若直接把20个数加起来;显然运算量较大;粗略地估计一下;这些数均在90上下;所以可取90为基准数;大于90的数取“正”;小于90的数取“负”;考察这20个数与90的差;这样会大大简化运算．所以总分为90×20+-3+1+4+-2+3+1+-1+-3+2+-4+0+2+-2+0+1+-4+-1+2+5+-2=1800-1=1799;平均分为90+-1÷20=89.95．例12计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中;从第二项开始;后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000;于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式;即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①;②两式左右分别相加;得2S=1+1999+3+1997+…+1997+3+1999+1=2000+2000+…+2000+2000500个2000=2000×500．从而有S=500000．说明一般地;一列数;如果从第二项开始;后项减前项的差都相等本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997;都等于2;那么;这列数的求和问题;都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现;上式从第二项起;每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5;所得新和式中除个别项外;其余与原和式中的项相同;于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100;①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1;说明如果一列数;从第二项起每一项与前一项之比都相等本例中是都等于5;那么这列数的求和问题;均可用上述“错位相减”法来解决．例14计算：分析一般情况下;分数计算是先通分．本题通分计算将很繁;所以我们不但不通分;反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差;然后再计算;这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项;这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：1-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；211+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；31991×1999-1990×2000；44726342+4726352-472633×472635-472634×472636；61+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下;试计算他们的平均分．81;72;77;83;73;85;92;84;75;63;76;97;80;90;76;91;86;78;74;85．。
专题05有理数的乘方及混合运算(含科学记数法)压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一有理数幂的概念理解】 (1)【考点二有理数的乘方运算】 (2)【考点三用科学记数法表示绝对值大于1的数】 (4)【考点四程序流程图与有理数计算】 (5)【考点五含乘方的有理数混合运算】 (6)【考点六乘方的应用】 (7)【过关检测】 (9)【典型例题】【考点一有理数幂的概念理解】-是底数，4是指数，则这个算式是（）例题：（2023·全国·七年级假期作业）若一个算式中，3A．43-B．()43-C．34-D．()34-【答案】B【分析】根据n a中，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，去列式即可．-是底数，4是指数，这个算式是()43-．【详解】解：3故选：B．【点睛】本题考查了幂的构造，底数，指数，正确理解幂的意义是解题的关键．【变式训练】【考点二有理数的乘方运算】【变式训练】【考点三用科学记数法表示绝对值大于1的数】【变式训练】【考点四程序流程图与有理数计算】【答案】0【分析】按照程序流程图，把a =【详解】解：由题意得，()224-⨯【变式训练】【答案】4【考点五含乘方的有理数混合运算】【变式训练】【考点六乘方的应用】例题：（2023·全国·七年级假期作业）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第6次后可拉出几根面条？【答案】第6次后可拉出64根面条．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．=，【详解】解：根据题意得：6264答：这样捏合到第6次后可拉出64根面条．【点睛】此题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方的意义．【变式训练】1.（2023·全国·七年级假期作业）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：(1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？(2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？【答案】(1)16(2)3【分析】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案；（2）根据题意，得到规律，设经过n个30分钟得到64个细胞，列方程求解即可得到答案．=个细胞，【详解】（1）解：经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成4216∴经过2小时后，可分裂成16个细胞；（2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即12个细胞；第2个30分钟分裂成4个，即22个；…依此类推，第n个30分钟分裂为2n个细胞；264nn=，\=，解得6∴经过6个30分钟，即3小时后可分裂成64个细胞．【点睛】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·甘肃平凉·校考三模）22-等于（）A ．14B ．14-C ．4D ．4-【答案】D【分析】根据有理数的乘方法则，进行计算即可．【详解】解：242-=-；故选D【点睛】本题考查有理数的乘方运算．熟练掌握有理数的乘方法则，是解题的关键．2．（2023·广东·统考中考真题）2023年5月28日，我国自主研发的C 919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C 919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（）A ．50.18610⨯B ．51.8610⨯C ．418.610⨯D ．318610⨯【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n 是正整数；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数．【详解】解：将数据186000用科学记数法表示为51.8610⨯；故选B【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．3．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）下列各组数中互为相反数的是（）A ．1-与2(1)-B ．2与12C ．2与2-D ．23与32-【答案】A【分析】只有符号不同两个数互为相反数，化简判断．【详解】A .2(1)=1-，符合相反数的定义，本选项符合题意；B .2与12，不合题意；C .2=2-，不合题意；D .23=9，382-=-，不合题意；故选：A【点睛】本题考查相反数的定义、乘方运算、绝对值的化简，理解相关定义是解题的关键．4．（2023春·黑龙江绥化·六年级校联考期末）已知4个数中：2005(1)-，(1.5)--，23-，0，其中正数的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】利用乘方的意义计算出2005(1)1-=-和239-=-，利用相反数的定义得到(1.5) 1.5--=，从而得到正数的个数．【详解】解：2005(1)1-=-，(1.5) 1.5--=，239-=-，0，所以正数为(1.5)--．故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的分类，涉及乘方、化简多重符号等知识，熟练掌握相关的运算法则以及相关概念是解题的关键．5．（2023秋·广东中山·七年级校考期末）我们规定这样一种运算：&1b a b a ab =-+，例如：32&322313=-⨯+=，那么()3&2-值为（）A ．14-B ．2-C ．4D ．16【答案】D【分析】根据题意列式计算即可．【详解】解：()()()23&2332196116-=---⨯+=++=，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是理解题意，列出算式，准确计算．6．（2023·浙江温州·校考二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．母亲甲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子1出生后的天数，如图1所示，孩子1出生后的天数是321017+37+27+47= 508⨯⨯⨯⨯（天），母亲乙按照母亲甲的做法记录孩子2出生后的天数，如图2所示，则孩子2出生后的天数比孩子1出生后的天数（）A．少41天B．少42天C．多41天D．多42天【答案】A【分析】根据已知算法求出孩子2出生后的天数，相减即可得到答案．【详解】解：由已知算法可知，孩子2出生后的天数是321017273757467⨯+⨯+⨯+⨯=（天），（天），46750841-=-∴孩子2出生后的天数比孩子1出生后的天数少41天，故选A．【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，理解题意，掌握“结绳计数”满七进一的计算方法是解题关键．二、填空题【答案】4【详解】解：由图中的程序可得，三、解答题解得n=8．故答案为16，8．【点睛】本题考查了有理数乘方的运用，根据图形，正确理解2的指数次幂是解决问题的关键．。
专题 有理数运算中的6大技巧【专题综述】有理数运算是中学数学中一切运算的基础，同学们在理解有理数的概念、法则的基础上，能够利用法则、公式等正确地运算。
但有些有理数计算题，数字大、项数多，结构貌似复杂，致使同学们望题生畏，不知所措。
下面介绍几种有理数的计算方法，以帮助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。
【典型例题】一、连续自然数的和 112123123412481.2334445555494949++++++++++++++L L 例计算 【答案】588练习：观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是 （用含n 的式子表示） 【答案】23322n n +．二、凑整法例2.计算3998＋2997＋1996＋195【答案】9186练习：（1）﹣556+（﹣923）+1734+（﹣312） 【答案】﹣114练习：（2）（﹣200856）+（﹣200723）+401723+（﹣112） 【来源】【全国市级联考】山东省潍坊市高密市2017-2018学年七年级（上）期中数学试卷【答案】-13三、拆项相消法 1113.12231011+++⨯⨯⨯L 例计算： 【答案】1011=练习：计算：2222122334(1)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+＝__________（n 为正整数）． 【来源】2014－2015学年江苏省启东市长江中学八年级12月月考数学试卷【答案】21n n +四、分组法例4.计算123420012002s =-+-++-L【答案】1001=-练习：计算：101﹣102＋103﹣104＋…＋199﹣200=______．【来源】苏科版七年级数学上册第二章 2.5 有理数的加法与减法同步测试【答案】－50五、错位相减法例5.计算232018*********s =+++++L 【答案】20181(2)(1)22s =-减得：练习：在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S ＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38 ①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S ＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39 ②，②一①得：3S ―S ＝39－1，即2S ＝39－1，∴S ＝9312-. 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m （m ≠0且m ≠1），能否求出1＋m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m 2016的值？如能求出，其正确答案是___________.【来源】2016年初中毕业升学考试（山东东营卷）数学（带解析）【答案】201711m m --.六、倒序相加法例6.计算135799+++++L【答案】2500s ∴=练习：符号“H ”表示一种运算，它对正整数的运算结果如下：H （1）=2，H （2）=3，H （3）=4，H （4）=5… 则H （7）+H （8）+H （9）+…+H （91）的结果为____．【来源】人教版七年级数学上册1.3有理数的加法【答案】4250【强化训练】1．计算1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2005﹣2006的结果是（ ）A. 0B. 100C. ﹣1003D. 1003【来源】【北师大版】初一数学第一学期2.6有理数的加减混合运算 同步练习【答案】C2．六个整数的积36a b c d e f ⋅⋅⋅⋅⋅=， a b c d e f 、、、、、互不相等，则a b c d e f +++++= ( ) ．A. 0B. 4C. 6D. 8【来源】北师大版七年级数学上册2.11 有理数的混合运算 课堂练习【答案】A3．50个连续正奇数的和1+3+5+7+…+99与50个连续正偶数的和：2+4+6+8+…+100，它们的差是（ ）A. 0B. 50C. ﹣50D. 5050【来源】【北师大版】初一数学第一学期2.6有理数的加减混合运算 同步练习【答案】C4．对于正数x ，规定f （x ）=x x +1，例如f （2）=32212=+，f (31)=4131131=+，根据规定，计算f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2015）+f (21)+f (31)+f (41)+…+f (20151)= ． 【来源】2016届四川南充市中考二诊数学试卷（带解析）【答案】201412 5．已知f （x ）=1+x 1，其中f （a ）表示当x ＝a 时代数式的值，如f （1）=1+11，f （2）＝1＋21， f （a ）=1+a1，则f （1）·f （2）·f （3）…·f （100）= ． 【来源】2015－2016学年江苏省江阴市要塞片七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）【答案】1016．已知0|1||2|=-+-a ab ，则： a ＝ ，b ＝ ．在此条件下，计算：+ab 1()()111++b a ()()221+++b a ++Λ()()201420141++b a ＝ ． 【来源】2014－2015学年浙江省新登镇中学共同体七年级10月月考数学试卷（带解析）【答案】1; 2；20152016． 7．请观察下列等式的规律：111(1)1323=-⨯，1111()35235=-⨯， 1111()57257=-⨯，1111()79279=-⨯， …则111113355799101+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯= ． 【来源】2015年初中毕业升学考试（湖南郴州卷）数学（带解析） 【答案】50101．8．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M =1+3+32+33+…+3100，则3M =3+32+33+34+…+3101，因此，3M ﹣M =3101﹣1，所以M =101312-，即1+3+32+33+…+3100=101312-，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是 ．【来源】2015年初中毕业升学考试（广东茂名卷）数学（带解析） 【答案】2016514-． 9．若1(21)(21)n n -+=21a n -+ 21b n +，对任意自然数n 都成立，则a = ，b = ； 计算：m =113⨯+135⨯+157⨯+ …+11921⨯= ． 【来源】2015年初中毕业升学考试（广东汕尾卷）数学（带解析）【答案】a =12，b =－12；m =102110．【问题一】：观察下列等式 111122=-⨯， 1112323=-⨯， 1113434=-⨯， 将以上三个等式两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯． （1）猜想并写出： ()11n n =+_____________． （2）直接写出下列各式的计算结果：①111112233420162017++++=⨯⨯⨯⨯L ____________； ②()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯+L ______________． （3）探究并计算：①111113355720152017++++⨯⨯⨯⨯L ． ②1111111132435465717191820-+-+++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 【问题二】：为了求23201712222+++++L 的值，可令23201712222S =+++++L ，则23201822222S =++++L ，因此2018221S S -=-，所以． 23201720181222221+++++=-L .仿照上面推理计算：（1）求23201715555+++++L 的值；（2）求23499100333333-+-++-L 的值.【来源】浙江省慈溪市2017－2018学年七年级上学期期中考试数学试题 【答案】111n n -+；20162017；111n -+。
初一数学有理数混合运算解题方法与技巧板块一、有理数基本加、减混合运算有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.示例：a+b=b+a(加法交换律)②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.示例：(a+b)+c=a+(b+c)(加法结合律)有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.示例：a-b=a+(-b)有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.示例：(+3)+(-0.15)+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11，它的含义是求正3，负0.15，负9，正5，负11的和.板块二、有理数基本乘法、除法有理数乘、除法Ⅰ：有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.有理数乘法运算律：①两个数相乘，交换因数的位置，积相等.示例：ab=ba (乘法交换律)②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.示例：abc=a(bc)(乘法结合律)③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.示例：a(b+c)=ab+ac(乘法分配律)有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.Ⅱ：有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.板块三、有理数混合运算的顺序在进行有理数运算时，先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的数.-----------------------------------------------------------------------------------------------------有理数运算所需的小学知识储备：整数、小数和分数的四则运算；约分和通分；常用的小数与分数的互化；基本的运算律和运算性质；在进行有理数运算之前，必须要掌握相反数、倒数和绝对值等相关概念：相反数：倒数：绝对值：要想学好有理数运算，必须要熟练掌握有理数运算法则：加法：减法：乘法：除法：乘方：有理数运算要点：有理数的运算顺序:先乘方和绝对值，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。
