北师大版-数学-七年级上册-有理数 教材内容解析与重难点突破

初中-数学-打印版
初中-数学-打印版 《有理数的除法》教法建议与教材分析
教法建议
1．教学时可以对比乘法的运算法则，而且乘法与除法互为逆运算，小学已经学过．这里事实上是承认它在有理数范围内也成立（相当于规定）．
2．为了总结出法则，教师可多给学生一些算式，使他们发现其中的规律，并引导学生关注商的符号和绝对值与被除数和除数的关系．
3．教师要向学生说明除法的两个运算法则可根据具体情况灵活选用．一般来说，能整除的情况下，往往采用法则的前一种形式，在确定符号之后，直接除．在不能整除的情况下，则可以先将除数换成倒数，转化为乘法．
教学目标
1．理解有理数除法的法则，会进行有理数的除法运算．
2．知道除法是乘法的逆运算．
3．会求有理数的倒数．
教学重点难点
本节的重点是熟练进行有理数的除法运算，难点是理解有理数的除法法则．
1．有理数除法有两种法则．法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数．是把除法转化为乘法来解决问题．法则2是把有理数除法纳入有理数运算的统一程序：一确定符号；二计算绝对值．如：)8()72(-÷-按法则1计算：原式9)8
1()72(+=-⨯-=；按法则2计算：原式9)872(+=÷+=．
2．对于除法的两个法则，在计算时可根据具体的情况选用，一般在不能整除的情况下应用第一法则．如4
3)53(45)3
21(411-=-⨯=
-÷；在能整除的情况下，应用第二个法则比较方便，如8216)2()16(-=÷-=+÷-，如写成8)21(16)2()16(-=+⨯-=+÷-就麻烦了．。

一全章解读成都市教科院附属学校课程标准对本章的基本要求01本章教学目标、学情及难点03本章的教学内容、解析及重点学生的易错点与易混淆点本章的常考点05本章教学设计思路分析02040607教学实践过程中的思考成都市教科院附属学校义务教育课程标准2011版，对“有理数”的要求如下：理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。

借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道a 的绝对值的含义（这里a 表示有理数）。

12理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算。

3理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。

4能运用有理数的运算解决简单的问题。

501 课程标准对本章的要求成都市教科院附属学校02 本章教学内容及解析教学内容：本章是北师版教材七年级数学上册第二章“有理数及其运算”，主要研究内容为有理数定义，有理数运算。

教学内容解析：1、从算术数到有理数，解决的问题范围扩大，是进一步学习代数式、方程等知识的基础2、通过学习有理数的分类、相反数、数轴、绝对值、有理数大小的比较，理解并掌握有理数的概念3、初步渗透数形结合的数学思想，通过探索归纳的方式，寻求有理数的加法、减法法则和运算律4、通过探索规律的方式归纳总结有理数的乘、除法法则和运算律，在现实背景中理解有理数乘方的意义5、通过24点游戏的设立，训练基本运算能力，培养思维能力，通过计算器的使用，既使学生解脱了繁杂的运算，同时又培养了学生探索数字规律的能力成都市教科院附属学校成都市教科院附属学校本章的知识结构成都市教科院附属学校教学目标5.会利用科学记数法表示数4.经历探索有理数运算法则和运算律的过程；理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算 3.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值1.在具体情境中，理解有理数及其运算的意义2.能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小03 本章教学目标6.了解近似数，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值成都市教科院附属学校目标（1）的具体要求是：认识负数，能用正负数来表示生活中具有相反意义的量，按照定义或正负性对有理数进行分类目标（2）的具体要求是：了解有理数与数轴的关系，会画数轴，能在数轴上比较数的大小，通过数与形之间的相互转化，体会数形结合思想03 本章教学目标解析目标解析03 本章教学目标解析成都市教科院附属学校目标（3）的具体要求是：理解相反数，绝对值的概念及他们的关联，通过对有理数绝对值的计算，归纳绝对值的性质，体会化归的思想方法目标解析目标（4）的具体要求是：掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；在有理数减法运算中将减法转化为加法，除法运算将除法转化为乘法，体会转化思想方法，能够熟练应用有理数的运算法则进行运算解决一些实际问题成都市教科院附属学校03 本章教学目标解析目标解析目标（5）的具体要求是：借助身边熟悉的问题情境感受大数，用科学记数法表示大数，发展数感目标（6）的具体要求是：会使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算.经历计算器探求规律的活动，发展合情推理能力成都市教科院附属学校03本章学情分析认知基础：学生在小学已经学习了非负有理数，已经熟练地掌握了非负有理数的四则运算法则及运算律，能规范条理地表述运算过程，初步具有了有条理地思考和书面表达能力．活动经验基础：学生在学习中掌握了基本的数学知识和方法，形成了良好的数学思维习惯和应用意识，有了一定的解决问题的能力，具备了一定的主动参与、合作意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力．不足：探究能力和数形结合的能力，带负号的运算．成都市教科院附属学校难点03 本章教学难点S OTW（2） 利用数轴表示有理数及比较大小（4）有理数混合运算（1）有理数按不同 定义分类（3）绝对值的理解及数轴上点的距离问题易错点03 本章学生的易错点成都市教科院附属学校成都市教科院附属学校（1）利用绝对值比较两个负数的大小（2）科学记数法的实际运用04 本章学生的易混淆点（3）同号两数相加与异号两数相加法则成都市教科院附属学校有理数计算、绝对值化简、非负性等基本定义及概念：绝对值、倒数、相反数等05 本章的常考点123常考点有理数及其运算有理数的混合运算在生活中的运用 数轴上点的表示及点与点之间的距离45科学记数法的实际运用成都市教科院附属学校2017-2018分值约22分2018-2019分值约31分2019-2020分值约35分成都市教科院附属学校06本章教学设计思路分析成都市教科院附属学校1.遵循知识发展顺序4.思想方法和核心素养2.注意类比数的相关知识，展开类比性教学。

北师大版数学七年级上册2.1《有理数》说课稿一. 教材分析《有理数》是北师大版数学七年级上册第二章的第一节内容。

本节内容主要介绍有理数的概念、分类和运算。

有理数是中学数学中的基础概念，对于学生来说，理解和掌握有理数的概念和运算是十分重要的。

教材从实际生活中的正负数入手，引导学生认识和理解有理数的概念，接着通过举例和讨论，让学生掌握有理数的分类，最后介绍有理数的运算方法。

二. 学情分析七年级的学生已经初步接触过正负数，对正负数有一定的认识。

但是，对于有理数的概念、分类和运算，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要引导学生从实际生活中感知正负数，从而引出有理数的概念，并通过具体的例子和练习，让学生理解和掌握有理数的分类和运算。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握有理数的概念、分类和运算方法。

2.过程与方法：通过观察、思考、讨论等过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学与生活的密切联系。

四. 说教学重难点1.重点：有理数的概念、分类和运算方法。

2.难点：有理数的运算方法，特别是异号有理数的加减法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、讨论法、案例分析法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。

六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中的一些正负数例子，如温度、高度、收入等，引导学生认识和理解正负数，从而引出有理数的概念。

2.新课导入：介绍有理数的概念，引导学生掌握有理数的定义和特点。

3.案例分析：通过具体的例子，让学生理解和掌握有理数的分类。

4.教学互动：让学生分组讨论，探索有理数的运算方法。

5.知识拓展：介绍有理数运算的拓展知识，如运算律等。

6.课堂练习：布置一些练习题，让学生巩固所学知识。

7.总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

8.布置作业：布置一些作业，让学生进一步巩固所学知识。

有理数的乘法第2课时教材内容解析与重难点突破1.教材分析本节课内容分为两个部分，第一部分是若干个有理数的乘法运算，第二部分是乘法的运算律及其简单应用.若干个有理数相乘的符号法则与有理数乘法的运算律是本节课的教学重点，而负号问题的处理(包括若干个非零有理数相乘符号法则的应用，以及分配律使用时负号的处理)是本节课的教学难点.本节课教学，要选择一定量有代表性、典型性的问题，让学生练习以巩固若干个有理数相乘的符号法则及有理数乘法运算的运算律.2.重难点突破⑴多个有理数乘法的符号法则突破建议①探究多个有理数相乘的符号法则，可以利用两个有理数的乘法法则，通过若干个具体的正、负数相乘逐一计算验证，得到“若干个不为0的有理数相乘，其积的符号由负因数的个数决定”的结论.②几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后再把各因数的绝对值相乘.若负因数的个数是偶数，其积为正数；若负因数的个数是奇数，其积为负数.③多个有理数相乘，若有一个数是0，则可以不逐一计算，直接得出最终结果为0.反之，如果若干个有理数相乘的积为0，那么这些因数中，至少有一个因数为0.例1.五个有理数的积为负数，则五个数中负数的个数是( ).A.1B.3C.5D.1或3或5解析：多个有理数相乘的符号法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.由于本题中5个有理数的积为负数，负数的个数是奇数个，则五个数中负数的个数可能是1，或3，或5，因此答案应选D．例2.2013个数相乘，若积为0，那么这2013个数( ).A.都为0B.只有一个为0C.至少一个为0D.有两个数互为倒数解析：根据“0乘以任何数都等于0”可知，这2013个数相乘积为0，则其中至少有一个因数为0，所以答案应选择C.⑵乘法的运算律突破建议①有理数乘法的运算律有3条，分别是乘法的交换律、结合律与分配律.有理数乘法的交换律与结合律与有理数加法的交换律、结合律类似，只是运算不同而已，一个是加法，一个是乘法.有理数乘法的交换律是“交换两个因数的位置，积不变”；有理数乘法的结合律是“三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变”.教学时，可以使用类比的方法，既给学生以熟悉感，同时又要说明区别.②分配律涉及到有理数的乘法、加法两种运算.正向运用去掉了括号，逆向运用提取了公因数，因此，乘法的分配律有着广泛的应用. 课本例4就是乘法分配律正向运用提高运算速度和准确率的例子.乘法分配律逆向运用可以变和为积，使得运算简便，可以应用于以后要学习的合并同类项、代数式化简等问题.③使用乘法的三条运算律与加法的运算律一样，一定要注意将有理数的符号作整体的移动，不能将符号丢掉或弄错.同时需要注意，两个或三个有理数相乘的运算律，可以推广到三个以上有理数相乘的情况，建议通过编制若干个具体的非零有理数相乘的练习题，引导学生加深对多个有理数相乘时可以使用交换律、结合律、分配律的理解.④用字母表示有理数乘法的运算律：，，，目的是表明运算律具有一般性，即表达式中的字母，可以表示任意有理数，可正、可负、可为0.同时，还需要提请学生注意，这三个运算律都既可以正向使用，也可以逆向使用.要通过编制一些正、逆向使用的练习题，让学生体会学习乘法运算律的必要性，争取让学生能够熟练和灵活应用乘法的运算律.例3.，这样简便运算的根据是( ).A.加法结合律B.乘法交换律C.乘法结合律D.分配律解析：根据算式形式与运算结果可知，此题利用了乘法的分配律，答案应选D.例4.用简便方法计算： .解析：观察算式可知，是三个积的加减法运算，每一个积的两个因数中，都有一个因数含有1.57的倍数，如3.14是1.57的2倍速，6.28是1.57的4倍，据此探究逆向使用乘法分配律的可能性.原式，答案等于314.。

第二讲：有理数思维导图重难点分析例1：下列说法正确的是( )①零是整数；②零是有理数；③零是自然数；④零是正数；⑤零是负数；⑥零是非负数。

A. ①②③⑥ B. ①②⑥ C. ①②③ D. ②③⑥例2：（1）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数。

如果收入100元记作+100元。

那么−80元表示_______。

（2）如果把中午12:00记作0时，下午14:00记作+2时，那么上午11:00应记作_______时。

例3：某种圆形零件的尺寸要求是ψ50±0.02（ψ表示直径，单位：mm ）.小明加工了一个这种零件，经张师傅检查后发现这个零件的直径是49.97mm ，它_____________（填“合格”或“不合格”）. 例4：把下列各数填入相应的集合中：3-，2.0，14.3，8，0，2-，20，41，5.6-，0017，812- 整数集合：｛ ...｝； 分数集合：｛ ...｝； 正数集合：｛ ...｝； 负数集合：｛ ...｝； 自然数集合：｛ ...｝； 负有理数集合：｛ ...｝；例1：请根据各数之间的关系，找规律填空。

拓展训练A组1、下列各数中，不是负数的是（）A. 2015B. 2016C. 2017D. 20186、在体育课的跳远比赛中，以5.00米为标准，若小东跳出了5.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了4.85米，10、把下列10个数填入对应的框框中：18-，722，5-，14.3，0，2015，53-，01.0-，0095-，20161 负正数集合（ ）； 整数集合（ ）； 非负数集合（ ）； 负分数集合（ ）；请问：（1）这6个螺丝帽中符合要求的有几个。

（2）指出合乎要求的产品中那个质量最好？（3）如果该厂要在10天内向市场投放100万枚合格的螺丝帽，那么你认为至少每天应生产多少枚螺丝帽？B 组1、下列说法正确的有( )(1)整数就是正整数和负整数;(2)零是整数,但不是自然数;(3)分数包括正分数、负分数;(4)正数和负数统称为有理数;(5)一个有理数，它不是整数就是分数。

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有理数的除法第1课时教材内容解析与重难点突破1。

教材分析本节课教学内容有两个部分，一是探究有理数的除法法则，根据除法是乘法的逆运算，就是要求一个数，使它与相乘等于，从而得出“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”;二是利用有理数除法运算化简分数.约分时，应先处理分子、分母的“负号”，再约去分子、分母的公因数.本节课的教学重点是有理数的除法法则及其应用，难点是有理数除法法则的灵活应用。

2。

重难点突破⑴有理数的除法法则突破建议①对于有理数除法法则“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”的引入,一是可以先回顾小学所学习的除法法则过渡得来,只需要指出，不等于0的数现在即可以是正数，也可以是负数.二是采用课本借助于有理数乘法与除法互为逆运算，验证两个非零有理数相除等于一个非零有理数乘以另一个非零有理数的倒数得到结论.归纳提炼结论前，应多举几个类似的例子，让学生多一点感知与理解。

②对于有理数除法法则“两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除．0除以任何不等于0的数得0”，完全是根据有理数除法第一个法则,将有理数除法改写为有理数乘法后，类比有理数乘法法则得到.教学时，需要根据学生的认知水平，对“0除以任何不等于0的数得0”、“0不能作除数”作简单说明.对于(）,若设其结果为，即，则可改写为，因为,所以只有，即得到“0除以任何不等于0的数得0”。

北师大版初一上册第二章有理数运算的基本概念及运用知识点总结有理数运算是数学中的基础知识，对于初一学生来说尤为重要。

本文总结了北师大版初一上册第二章有理数运算的基本概念及运用的知识点。

1. 有理数的概念有理数是可以表示为分数形式的数，包括正数、负数和零。

有理数的表示形式可以是整数、分数或小数。

2. 有理数的运算法则有理数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法。

- 加法：有理数相加时，符号相同则相加；符号不同则求差，结果的符号取绝对值较大的数的符号。

- 减法：有理数相减时，可以转化为加法运算，将减数取相反数再相加。

- 乘法：有理数相乘时，符号相同则结果为正，符号不同则结果为负。

- 除法：有理数相除时，可以转化为乘法运算，将除数取倒数再相乘。

3. 有理数的绝对值有理数的绝对值是该数到原点的距离，表示为正数。

有理数的绝对值可以通过去掉符号得到。

4. 有理数的比较有理数的比较可以通过将两个数的分数形式转化为相同的分母后进行比较，也可以通过比较两个数的绝对值来判断大小关系。

5. 有理数的乘方和开方有理数的乘方是将该数连乘若干次，有理数的开方是该数的平方根。

乘方和开方的结果仍然是有理数或者无理数。

6. 有理数的运算性质有理数的运算具有交换律、结合律和分配律等性质。

根据这些性质，可以简化有理数的运算过程。

7. 实际问题中的有理数运算有理数的运算在实际问题中也有广泛应用，例如温度计的读数、海拔的计算等都涉及有理数的运算。

以上是北师大版初一上册第二章有理数运算的基本概念及运用的知识点总结。

希望对同学们理解和掌握有理数运算有所帮助。

参考资料：- 北师大版初一数学上册教材。

六、教学环境及资源准备：多媒体、投影仪七、教学过程：第一环节：复习回顾，引入新课活动内容观察中国地图，珠穆朗玛峰高出海平面8844.43米，记作：+8844.43米；吐鲁番盆地地狱海平面155米，记作-155米.教师出示上图，提出问题：（1）生活中我们会遇到用负数表示的量，你能说出一些例子吗？（2）你对负数有什么样的认识？（3）有了负数，数的运算与过去相比有什么区别和联系？有了负数，能解决哪些实际问题？本章将在小学学习的基础上，进一步学习负数，研究有理数的有关概念及其运算，并利用有理数的知识解决实际问题。

第二环节：创设情境，探索新知活动内容问题：答对答错不回答某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，答错一题扣1分，不回答得0分；每个队的基本分均为0分．两个代表队答题情况如下表：答题情况第一队第二队如果答对题所得的分用正数表示，那么你能用正负数表示每个代表队答题得分的情况吗？试完成下表：练习：1.把消费价格比上年上涨4.8%记为+4.8%，那么下跌0.6%记为.2.零上温度1℃记为+1℃，零下温度5℃记为.3.生活中你见过其他用负数表示的量吗？与同伴进行交流．第三环节：实际应用，巩固提高活动内容例1 （1）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？（2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋0.02克，那么﹣0.03克表示什么？（3）某大米包装袋上标注着：“净重量：10kg±150g”，这里的“10kg±150g”表示什么？答对题的得分答错题的得分未回答题的得分第一队+6第二队-2解：（1）沿顺时针方向转了12圈记作-12圈；（2）-0.03克表示乒乓球的质量低于标准质量0.03克；（3）每袋大米的标准质量应为10kg ，但实际每袋大米可能有150g 的误差，即最多超出标准质量150g ，最少少于标准质量150g 。

《有理数》知识点解读知识点1 相反意义的量（重点）知识讲解相反意义的量在日常生活中，经常会遇到这样一些量：向南和向北，买进和卖出，零上和零下，收入和支出等，这些量都具有相反的意义.所以，上面出现的一对量中的两个量，都称作是具有相反意义的量.注意：它包含两个要素，一是他们的意义相反，如“收入”与“支出”，“零上”与“零下”，二是它们都是数量，且是同类量，如“气温升高2℃”与“气温降低3℃”.典例剖析【例1】下列说法中，互为相反意义的量是（）A.“黑色”与“白色”是具有相反意义的量B.向东走4 km，再向南走2.5 kmC.比赛某队胜6场负3场D.温度上升10摄氏度，与水位下降0.3 m解析 A只是具有相反意义，而不能表示为一个数量，B中东与南不具有相反意义，D中不是同类量.答案 C方法提示判断是否是具有相反意义的量，要弄清：①把1个量去掉它后面的单位名称是一个数，在一个数后边加上某种单位就是一个量.②相反意义的量，必须表示同一个问题的相对的两面，一般以相反意义的词语为标志. 【类型突破】判断下列个句话中的两个量是不是具有相反意义的量.（1）某商品的价格上涨20%和下降15%；（2）小强向南走8米，又向北走10米；（3）松花湖的水位上升0.5米和下降1.1米.【答案】（1）（2）（3）都是.知识点2 正数和负数（重点）知识讲解比0大的数叫正数，比0小的数叫负数.（1）像5,1,2，12，…这样的数叫做正数，它们都比0大；（2）在正数前面加上“-”号的数叫做负数，如-10，-3，…（3）0既不是正数，又不是负数；（4）为了突出数的符合，可以在正数前面加上“+”号，如+5，+1，+2，+12，…（5）正负数与相反意义的量：可以用正数和负数分别表示具有相反意义的量. 注意：0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点.典例剖析【例2】下列数中，哪些是正数？哪些是负数？-56，6,0,0.51，-1，-31.2，125，-0.3，+10，-20%，-934解析正确理解正数、负数的概念是解题的关键，除0以外，前面带有“-”号的数就是负数，前面带有“+”号的数或者省略符合的数都是正数.【答案】正数有6,0.51，125，+10；负数有-56，-1，-31.2，-0.3，-20%，-934.错因分析由于受小学思维定势的负面影响，误把0当作正数，其实0既不是正数，又不是负数.【类型突破】下列各数中，正数有个，负数有个.4.3,85%，-13，14，0,0.2，-0.03【答案】正数有4个，负数有2个.知识点3 有理数的概念及分类（重点）知识讲解有理数的概念及分类（1）有理数的概念：整数和分数统称为有理数.（2）有理数的分类①按整数、分数的关系分类 ②按正数、负数与0的关系0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数 0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数负分数有理数负整数负有理数负分数典例剖析【例3】把下列各数填在相应的大括号内：133431,3.14,0,2,70, 3.2,,130,0.0001,, 2.2,,5%41135π------- 正数集合：｛ …｝负数集合：｛ …｝分数集合：｛ …｝有理数集合：｛ …｝非负数集合：｛ …｝解析 根据所学知识，可先把这些数分为两大类：整数和分数，再把整数分为三类：正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数两类，而π是一个无限不循环小数，不属于整数，也不属于分数，但它是一个正数，非负数即不是负数，它是正数或0.答案 正数集合：｛3343.14,70,,0.0001,113π…｝ 负数集合：｛131,2, 3.2,130, 2.2,,5%45-------…｝ 分数集合：｛133431,3.14, 3.2,,130,0.0001, 2.2,,5%41135------…｝ 有理数集合：｛133431,3.14,0,2,70, 3.2,,130,0.0001, 2.2,,5%41135-------…｝ 非负数集合：｛3343.14,0,70,,0.0001,113π…｝解题规律（1）“正”和“整”的区别：“正”是相对于“负”而言的；而“整”是相对于“分”而言的.（2）0的位置：是整数，不是分数.既不是正数也不是负数，而是正数和负数的分界，是唯一的中性数.（3）带负号的数与负数：带负号的数不一定是负数，如负数前再加上一个负号就不是负数. 【类型突破】下列说法正确的个数是（）①零是正数；②零是整数；③不是正数的数一定是负数；④零是非负数；⑤零是偶数；A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 C。

北师大版初一上册第二章有理数概念及其运算知识点总结一、有理数有理数包括正整数、负整数、0和分数。

其中正整数和负整数统称为整数。

有理数可以用分数的形式表示，即分子、分母都是整数，并且分母不为0。

二、有理数的比较两个有理数的大小关系取决于它们的大小和符号，具体规则如下：- 同号，比大小；- 异号，比绝对值大小，正数大于负数。

三、有理数的加减运算有理数的加减运算遵循以下规则：- 同号相加，不改变符号，绝对值相加；- 异号相加，绝对值相减，符号与绝对值较大的数相同。

例如：- $2-3=-1$- $-2+3=1$- $-2-(-3)=1$- $-2+(-3)=-5$四、有理数的乘法有理数的乘法运算遵循以下规则：- 同号相乘得正，异号相乘得负；- 0乘任何数都得0。

例如：- $2\times 3=6$- $-2\times 3=-6$- $-2\times (-3)=6$- $0\times 5=0$五、有理数的除法有理数的除法其实就是乘以倒数，即$\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}$。

其中$b\neq 0$，$c\neq 0$。

例如：- $\dfrac{2}{3}\div \dfrac{4}{5}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{6}$- $(-2)\div \dfrac{3}{4}=(-2)\times \dfrac{4}{3}=-\dfrac{8}{3}$六、绝对值一个数的绝对值表示这个数到0点的距离，记作$|a|$。

其中：- 若$a>0$，则$|a|=a$；- 若$a<0$，则$|a|=-a$；- 若$a=0$，则$|a|=0$。

例如：$|-5|=5$，$|6|=6$，$|0|=0$。

七、有理数的混合运算有理数的混合运算是指有理数的加减乘除四则运算的有理数表达式计算。

初中-数学-打印版有理数课标解读1.有理数的意义是在回顾先前学习的正整数、负整数、零，正分数、负分数等相关内容后给出的，据此可以给出有理数两种方法的分类，即整数和分数的统称，或正有理数、负有理数和零。

为了更好地研究有理数的相关概念和性质，需要介绍数轴，学习“用数轴上的点表示有理数”，从而建立了(有理)数与形(数轴—直线)的对应关系，也为研究有理数大小的比较方法、相反数和绝对值提供了直观手段。

2.对有理数概念的深化理解，教材是借助于数轴来完成的。

数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线。

《课标》要求“能用数轴上的点表示有理数“，即有理数可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点并不都表示有理数。

数轴上的点也可以表示无限不循环小数(即无理数)。

限于知识的局限(实数与无理数的概念将在七下学习)，这里只要求学生理解“有理数可以用数轴上的点来表示”即可，不必向学生作过多的说明。

3.借助于数轴，我们可以直观地得到有理数大小的比较方法，即“正数大于负数与零；零大于负数；两个负数，绝对值大的反而小”。

对两个负数大小的比较方法，需要借助于对数轴表示的数的直观介绍与感知，让学生明白，越是向数轴正方向上移动的点表示的数越大，越是向数轴负方向上移动的点表示的数越小。

4.对相反数、绝对值的概念与性质，既是一种规(约)定，又可以借助于数轴理解一个数的相反数、绝对值的意义。

两个数只有符号不同(言下之意是其他完全相同)，则它们互为相反数，并规定：0的相反数是0。

人教版七上教材还用字母表示了数与互为相反数，并通过反问“一定是负数吗？”进一步揭示了“字母可能是负数，也可能是正数或0”。

在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。

字母表示一个数的相反数与绝对值，学生初始理解可能困难，需要教师仔细地分析和讲解对一个数的绝对值，教材是利用其几何意义(即数轴上表示数离开原点的距离)来定义的。

正因为表示数离开原点的距离，因此就不可能是负数，即或，这样就容易得到下面的结论：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

北师大初一上数学重难点及措施
一、初一数学重难点。

1.1 有理数的运算。

这可是初一数学的基础中的基础，好多孩子在正负号的处理上容易犯迷糊，尤其是加法和乘法法则的运用。

还有混合运算的顺序，稍不注意就出错，那叫一个“眼花缭乱”。

1.2 整式的加减。

单项式、多项式，各种系数、次数，概念一多，孩子们就容易“蒙圈”。

合并同类项和去括号法则，也是个不小的挑战，稍不留神就会“张冠李戴”。

二、应对措施。

2.1 有理数运算。

多做练习题，熟能生巧嘛。

让孩子准备一个错题本，把做错的题目整理出来，反复琢磨，找出错误的原因，“吃一堑，长一智”。

老师和家长要多鼓励孩子，给他们信心，别让他们因为一时的错误就“垂头丧气”。

2.2 整式的加减。

一定要让孩子把概念理解透彻，不能死记硬背。

可以通过一些实际的例子，比如买东西算账，来帮助孩子理解。

多做一些针对性的练习，比如先练习同类项的识别，再练习合并同类项，一步一个脚印，“稳扎稳打”。

2.3 培养学习习惯。

督促孩子养成认真听讲、按时完成作业的好习惯。

做作业的时候要独立思考，不能一遇到问题就“抓耳挠腮”，马上问别人。

三、学习方法。

3.1 做好预习。

预习能让孩子在课堂上更有针对性地听讲，知道自己哪里不懂，“有的放矢”。

3.2 及时复习。

当天学的知识当天复习，“趁热打铁”，加深印象，不然过几天就忘得“一干二净”。

初一数学虽然有重难点，但只要孩子们掌握了正确的方法和措施，再加上老师和家长的引导和鼓励，就一定能“攻克难关”，取得好成绩！。

绝对值(二）教材内容解析与重难点突破1。

教材分析本小节教材首先由复习0及正数的大小比较方法,过渡到任意两个有理数大小比较方法的探究中.具体是由某地一周最高气温、最低气温的比较，过渡到画数轴探究有理数大小的比较方法的。

借助于数轴，容易得到有理数大小的比较法则:正数大于零和负数，负数小于零，两个负数，绝对值大的反而小.两个负数的大小比较，既是本节课的教学重点，也是难点。

2.重难点突破⑴“两个负数，绝对值大的反而小”的理解与应用突破建议：要充分地借助于数轴、绝对值的意义来帮助理解.通过画数轴发现，水平放置的数轴，若正方向向右，则数轴上右边的点表示的数总大小于左边的点表示的数.当两个有理数都是负数时，绝对值大的负数对应的点离原点较远，且在绝对值较小的负数对应的点左边，这时绝对值较大的负数较小.例1。

比较大小:-（+0。

33）和。

例2.比较和的大小.解析:例1。

因为-（+0.33)=—0.33，，而，所以。

例2.因为，，而，所以。

在学习上有理数的加减法和乘除法后，例2还可以有如下两种方法比较大小：①作差法：因为，所以.②作商法：∵，，，所以，即。

⑵有理数大小比较的综合应用有理数大小比较的综合应用涉及有理数、相反数和绝对值的概念，解答时通常需要借助于分类讨论与数形结合思想.例1.最大的负整数是，最小的自然数是，绝对值最小的有理数是 .例 2.已知,是有理数，它们在数轴上对应的点如图所示.把，在数轴上表示出来,再把，，,,0按从小到大的顺序排列出来.菁优网解析：例 1.负整数是—1，-2，—3，—4,-5，…,显然最大的负整数是-1.自然数是0，1，2，3，4，5，…，其中1,2，3，4,5,…，是正整数，显然最小的自然数是0。

正数与负数的绝对值都是正数，都大于0，只有0的绝对值等于0，所以答案分别应该填写—1，0,0。

例2.首先在数轴上表示出，，，，0对应的点，观察数轴可知：．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

有理数的乘方第 1 课时教材内容分析与重难点打破1.教材剖析有理数乘方的意义，教材是先给出计算正方形面积、正方体体积等实质问题，利用求几个相同因数的乘法运算，再联合同样因数是负数等状况给出的，表现了从详细到抽象、从特别到一般的思想 . 以后给出了有理数乘方的写法、读法，及底数、指数、幂等有关观点 . 接着依据有理数乘法法例，研究议论了有理数乘方运算的符号法例与有关性质 . 最后给出了利用计算器进行有理数乘方运算的事例 .本节课的教课要点是有理数乘方的意义及其运算，本节课的难点是有理数乘方符号法例及有关性质的理解与应用 .2.重难点打破⑴有理数乘方的意义打破建议求个同样因数的积的运算叫做乘方，记作，乘方运算的结果叫做幂，叫做底数，叫指数，对此应从以下几个方面加深理解 .①与意义不一样，表示3 个(-2)相乘，底数是 -2，指数是3；而表示的相反数，底数是2，指数是 3.②与意义不一样，表示 3 个相乘，底数是，指数是3；而表示除以 3 的商的相反数 .③负数或分数的乘方，在书写时必定要把整个负数或分数( 连同符号 ) 用小括号括起来，防备因负号办理不慎出现错误，或对乘方运算中底数的划分和辨识产生困难.例 1.表示 ().A. B.4个 (-5)相加 C.5个(-4)相乘 D.4个 (-5) 相乘分析：依占有理数乘方的意义，底数是-5 ，指数是 4，表示 4 个 (-5) 相乘，因此答案应选择D.例 2. 读作，此中，底数是，指数是，幂是.分析：的 3 次方或的 3 次幂，， 3， .⑵有理数乘方运算法例打破建议①有理数乘方运算法例是利用有理数乘法运算法例研究获得的. 有理数乘方的符号法例和有关性质是：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数. 正数的任何次幂都是正数.0的任何正整数次幂都是 0. 任何数的偶次幂都是非负数.1 的任何次幂都是 1. -1 的偶次幂是1，-1 的奇次幂是 -1. 这些法例与性质，需要在理解的基础上逐渐掌握，并能娴熟地应用.②与有理数的加、减、乘、除法运算步骤同样，有理数的乘方运算也是先确立幂 ( 运算结果 ) 的符号，再计算幂 ( 运算结果 ) 的绝对值 . 教课时，应重视类比方法的使用 . 需要特别注意，有理数乘方运算中，全部的指数都是正整数 ( 正偶数、正奇数 ) ，指数临时还没有波及负整数与零 .③一个数能够看作这个数自己的一次方，这是一种规定 . 这类规定能够这样理解：指数就是指相乘的因数的个数，指数是 1，就是指只有一个因数 . 别的需要注意，当底数为带分数时，应先化带分数为假分数，再按乘方的意义进行计算 . 比如，，而应为例 3. 计算：，，，， .分析：，，，，.例 4. 以下每对数中，不相等的一对是().A. 和B.和C.和D.和分析：依占有理数乘方的意义得，，，因此；，，因此；，，因此；，，因此；故正确答案选择 C.。

七年级数学上册第二章有理数及其运算４有理数的加法第2课时教材内容解析与重难点突破素材（新版)北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(七年级数学上册第二章有理数及其运算４有理数的加法第2课时教材内容解析与重难点突破素材(新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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有理数的加法第2课时教材内容解析与重难点突破１．教材分析本小节教材首先通过设问“我们以前学过加法的交换律、结合律，在有理数的加法中它们还适用吗?"导入新内容的探究学习.同时提醒学生，在规定了有理数的加法法则后,以前学过的加法运算律不是自然适用,需要探究验证,重新认识.对加法的交换律、结合律在有理数范围内是否适用,教材是通过两个“探究”、用若干个有理数相加的结果验证,并归纳、总结得出结论的。

对有理数加法的两个运算律,不仅要求学生会用自己的语言表述其要义，能够熟练地使用,而且还要明白这两个运算律用字母表示的意义，即等式与的字母可以表示任意的有理数,因而具有广泛性和代表性.教材例2是有理数加法运算律的练习与巩固,教学时。

要求学生明确每一步变形或计算的依据,鼓励学生提供多种计算方法。

例2教学后,可适当补充利用加法运算律能够使计算简便的有理数加法问题。

教材例3是用有理数加法解决的实际问题，编者提供了两种解法.解法１是小学所学的常规方法,解法2综合运用了正数、负数的概念,以及有理数加法及其运算律等知识.教学时,要引导学生仔细分析、思考,理解这种解法的合理性、简捷性,体会转化化归思想,并通过若干个类似问题的解决,达到深化理解有理数加法运算律和转化化归思想的目的．本节课的教学重点是，有理数加法运算律的理解和应用；教学难点是,对字母表示的有理数加法运算律的理解，以及灵活应用有理数加法的运算律解决实际问题。