高三数学函数模型及其应用1

增长型函数模型及其应用复习教学目标：1、使学生在掌握函数基本知识要点的基础上，学会用函数的观点、思想与方法分析、解决实际问题；2、使学生学会正确理解题意，能够把实际问题转化为数学问题并灵活运用数学知识加以解决，提高学生数学建模、解模的能力．复习教学重点：提高学生应用函数的知识分析、解决问题的能力，采用研究、尝试、训练的方法解决． 复习教学难点：根据已知条件建立函数关系式，把实际问题抽象、转化为数学问题，即建立数学模型． 复习教学设计：一、基础梳理1、几种常见的函数模型(1) 一次函数模型：()()0f x ax b a b a =+≠、为常数，；(2) 二次函数模型：()()20f x ax bx c a b c a =++≠、、为常数，；(3) 指数函数模型：()()010x f x b a c a b c a a b =⋅+>≠≠、、为常数，且，；(4) 对数函数模型：()()log 010a f x b x c a b c a a b =+>≠≠、、为常数，且，；(5) 幂函数模型：()()0n f x ax b a b a =+≠、为常数，．(1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，把握数学本质，选择数学模型；(2) 建模：由题设中的数量关系，将文字语言转化为数学符号语言，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3) 解模：运用数学知识和方法解决转化得出的数学问题；(4) 还原：回到题目本身，检验求解结果的实际意义，得出结论．二、小试身手1、(巩固对不同函数增长速度的理解)下列命题不正确的是 ( C )(A) 函数()2f x x =在()0+∞，　是增函数；(B) 函数()2x f x =在()0+∞，　是增函数； (C) ()00+x ∃∈∞，　，当0x x >时，22x x >恒成立； (D) ()00+x ∃∈∞，　，当0x x >时，22x x >恒成立． 2、(指数型函数的应用) 某林场计划第一年造林1万亩，以后每年比前一年多造林20%，则三年后一共造林 ( D )(A) 1.4万亩； (B) 1.44万亩； (C) 3.6万亩； (D) 3.64万亩．三、热点考向探究热点1、一次函数、二次函数模型例1、有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润分别是P (万元)和Q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有以下公式：5x P =，Q =今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？ 解：设对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资()3x -万元，总利润为y 万元，根据题意得：)035x y x =+≤≤，令t =，则230x t t --≤≤，　， ∴ ()2213132130555220y t t t t ⎛⎫⎡=-+=--+∈ ⎪⎣⎝⎭，， 当32t =时，max 1.05y =，此时，0.753 2.25x x =-=，　， 答：为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，能获得的最大利润是1.05万元．方法小结：利用一次函数、二次函数的单调性求最值时，要注意实际问题中自变量的取值范围，对于比较复杂的形式可用换元等方法进行化简．热点二：指数函数与对数函数模型例2、某工厂一、二、三月份的某产品产量分别为1万件、1. 2万件、1. 3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y (万件)与月份x 的关系，模拟函数可选用二次函数或(c b a c ab y x 、、+=为常数，0a ≠)，已知四月份的产量为1. 36万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由．解：若用二次函数模拟，设()20y ax bx c a =++≠，根据题意得：142 1.293 1.3a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组得：177202010a b c =-==，，，∴ 2177202010y x x =-++，当4x =时， 1.3y =，与四月份实际产量误差0.06万件； 若用(c b a c ab y x 、、+=为常数，0a ≠)模拟，根据题意得：2311.21.3a b c a b c a b c ⋅+=⎧⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩，解方程组得：417525a b c =-==，，， ∴ 417525xy ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，当4x =时， 1.35y =，与四月份实际产量误差0.01万件； 故：用(c b a c ab y x 、、+=为常数)作为模拟函数较好，417525x y ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭． 方法小结：在日常生活中，增长问题常用指数函数模型和幂函数模型进行模拟，有时也可以选用对数函数模型模拟，需和实际情况进行对比，看用哪种模型更为合理．变式练习：根据统计数据发现，从2000年开始，某地区的森林面积y (万亩)与经过的年数x 的关系可用一个对数函数模型()lg 0y a x b a =+≠进行模拟，已知2002年该地区森林面积为3.6万亩，2005年该地区森林面积为4.4万亩，请据此估计该地区2020年的森林面积．(参考数据：lg 20.30≈)解：由题意得：lg 2 3.6lg 5 4.4a b a b ⋅+=⎧⎨⋅+=⎩，解方程组得：23a b ==，， ∴ 2lg 3y x =+，当20x =时，()2lg 20321lg 23 5.6y =+=++≈，答：估计该地区2020年的森林面积约为5.6万亩．四、课堂教学小结：解答应用题的要求：认真审题，合理建模，仔细运算，检查作答．常见的增长类函数模型：一次、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型． 常用的数学方法：待定系数法．五、分层练习：A 级：1、(人教A 版教材第101页练习改编，检验学生对不同函数增长速度的掌握)已知()2f x x =，()2x g x =，()2log h x x =，当()4+x ∈∞，　时，对三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是 ( C )(A) ()()()f x g x h x >>； (B) ()()()g x h x f x >>；(C) ()()()g x f x h x >>； (D) ()()()f x h x g x >>．2、(( B )(A) y a bx =+； (B) x y a b =+； (C) 2y ax b =+； (D) b y a x=+． 3、(检验学生对指数函数型模型的掌握) 将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线nt y ae =，假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟后甲桶的水只有8a ，则m = ( D ) (A) 7； (B) 8； (C) 9； (D) 10．4、(检验学生对数学建模的掌握) 商店经销一种洗衣粉，年销量为6000袋，每袋进价为2. 8元，销售价为3. 4元，全年分若干次进货，每次进货均为x 袋，已知每次进货运输费用为62. 5元，全年保管费为x 5.1元，要使利润最大，每次进货量应为 500 袋．B 级：1、(2011年湖北高考，检验学生对指数型函数增长情况的综合应用)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0t =时铯137的含量．已知30t =时，铯137含量的变化率是10ln 2-(太贝克／年)，则()60M = ( D )(A) 5太贝克； (B) 75ln 2太贝克； (C) 150ln 2太贝克；(D)150太贝克．2、(增长型函数模型的综合应用)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙的抛物线表示：)(1) 写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系式()t f P =；写出图乙表示的种植成本与时间的函数关系式()t g Q =；(2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？答案：(1)()()()⎩⎨⎧≤-≤≤+-=30020030022000300t t t t t f ＜，　，　，()()()300010015020012≤≤+-=t t t g ，　； (2) 第50天上市收益最大．六、考题赏析(2011年湖北17题) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(I) 当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(II) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．解：(I) 由题意：当()02060x v x ≤≤=时，；当()20200x v x ax b ≤≤=+时，设，再由已知得12000320602003a a b a b b ⎧=-⎪+=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩，，　解得，，故函数()v x 的表达式为()()600201200202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩， ，，　． (II) 依题意并由(I)可得()()600201200202003x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩， ，，　， 当()020x f x ≤≤时，为增函数，故当20x =时，其最大值为6020=1200⨯；当20200x <≤时，()()()220011100002003323x x f x x x +-⎡⎤=-≤=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立。

○高○考中常用函数模型．．．．归纳及应用 山东莘县观城中学 郭银生 岳红霞高中数学中，函数是重点内容，函数思想贯穿于数学的每一个领域，函数图象是数形结合的常用工具。

复杂的函数问题也是有简单的基本初等函数组合而成，熟练掌握常见的函数模型对解决函数综合问题大有裨益。

高考试题中，函数问题是“大块头”，各套试题所占比重在30%以上。

现归纳常用的函数模型及其常见应用如下： 一． 常数函数y=a判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a ≠0时只是偶函数。

关于方程解的个数问题时常用。

例1．已知x ∈(0, π],关于方程2sin(x+3π)=a 有两个不同的实数解，则实数a 的取植范围是（ ）A ．[-2，2] B.[3,2] C.( 3,2] D.( 3,2)解析；令y=2sin(x+3π), y=a 画出函数y=2sin(x+3π)，y=a 图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点，由图象知( 3,2)，选D二． 一次函数y=kx+b (k ≠0)函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。

常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归为一次函数问题。

有定义域限制时，要考虑区间的端点值。

例2．不等式2x 2+1≤m(x-1)对一切│m │≤2恒成立，则x 的范围是（ ）A ．-2≤x ≤2 B.431- ≤x ≤0 C.0≤x ≤471+ D. 471-≤x ≤413-解析：不等式可化为m(x-1)- 2x 2+1≥0设f(m)= m(x-1)- 2x 2+1若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则x ≠1则f(m)是关于m 的一次函数，要使不等式在│m │≤2条件下恒成立，只需⎩⎨⎧≥-≥0)2(0)2(f f ，解之可得答案D 三．二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。

高三数学函数模型及其应用试题答案及解析1.某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新墙所用材料最省时，堆料场的长和宽的比为()A．1B．2C．D．【答案】B【解析】设宽为x，长为kx，则kx2＝512，用料为y＝(k＋2)x＝(＋2)x＝2(＋x)≥4＝64(当且仅当x＝16时取“＝”)，所以k＝＝2.2.某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30－R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是() A．[4,8]B．[6,10]C．[4%,8%]D．[6%,100%]【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需(30－R)×160×R%≥128，整理得R2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8]．3.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()A．上午10：00B．中午12：00C．下午4：00D．下午6：00【答案】C【解析】当x∈[0,4]时，设y＝kx，1＝80，∴y＝80x.把(4,320)代入，得k1x＋b.当x∈[4,20]时，设y＝k2把(4,320)，(20,0)代入得解得∴y＝400－20x.∴y＝f(x)＝由y≥240，得或解得3≤x≤4或4<x≤8，∴3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.4.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15—0.1x万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？【答案】（1）340(万元)（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元【解析】解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x元时，由解得0<x<150.依题意，单套丛书利润P＝x－(30＋)＝x－－30，∴P＝－[(150－x)＋]＋120.∵0<x<150，∴150－x>0，由(150－x)＋≥2＝2×10＝20，＝－20＋120＝100.当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，此时，Pmax∴当每套丛书售价定为100元时，书商获得总利润为340万元，每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．5.[2014·武汉模拟]国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为()A．3000元B．3800元C．3818元D．5600元【答案】B【解析】由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y＝，显然由0.14(x－800)＝420，可得x＝3800.6.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【答案】（1）当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元（2）当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．【解析】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960＝1 296(x＋)＋12 960≥1 296×2 ＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．(2)由限制条件知，∴10≤x≤16，设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，g(x)在上是增函数，∴当x＝10时（此时），g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为1 296×＋12 960＝38 882元．∴当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．7.为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品，同时获得国家补贴万元．（1）当时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？【答案】(1) 国家最少需要补贴万元，该工厂才能不会亏损；（2）30.【解析】（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润，化简后它是关于的二次函数，利用二次函数的知识求出的取值范围，如果有非负的取值，就能说明可能获利，如果没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是中最大值的绝对值. （2）每吨平均成本等于，由题意，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的值.试题解析：（1）根据题意得，利润和处理量之间的关系：2分，.∵，在上为增函数，可求得. 5分∴国家只需要补贴万元，该工厂就不会亏损． 7分（2）设平均处理成本为 9分11分当且仅当时等号成立，由得．因此，当处理量为吨时，每吨的处理成本最少为万元． 14分【考点】函数应用题，二次函数的值域，基本不等式的应用.8.设函数f（x）的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D）有x+l∈D，且f（x ＋l）≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数，如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f （x）＝｜x－a2｜－a2，且f(x)为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，则，即为上的8高调函数；当时，函数的图象如图所示，若为上的8高调函数，则，解得且.综上.【考点】1.新定义题；2.函数图像.9.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)．【答案】当r＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．【解析】由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1.2－2r，∴塑料片面积S＝πr2＋2πr(1.2－2r)＝πr2＋2.4πr－4πr2＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)＝－3π(r－0.4)2＋0.48π.∴当r ＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．10.要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？【答案】半圆直径与矩形的高的比为2∶1【解析】设半圆直径为2R,矩形的高为a，则2a＋2R＋πR＝L(定值)，S＝2Ra＋πR2＝－R2＋LR，当R＝时S最大，此时＝1，即半圆直径与矩形的高的比为2∶1时，窗户能够透过最多的光线．11.已知某种产品今年产量为1000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件．【答案】1331【解析】1000×(1＋10%)3＝1331.12.某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y＝x－2lnx＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)【答案】（1）不符合（2）a的值为1.【解析】审题引导：正确理解三个条件：①要求模型函数在[2，10]上是增函数；②要满足y≥恒成立；③要满足y的最大值小于8.规范解答：解：(1)函数y＝0.05(x2＋4x＋8)在[2，10]上是增函数，满足条件①，(2分)当x＝10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③.(4分)但当x＝3时，y＝，即y≥不恒成立，不满足条件②，故该函数模型不符合该单位报销方案．(6分)(2)对于函数模型y＝x－2lnx＋a，设f(x)＝x－2lnx＋a，则f′(x)＝1－＝≥0.∴f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①.由条件②，得x－2lnx＋a≥，即a≥2lnx－在x∈[2，10]上恒成立，令g(x)＝2lnx－，则g′(x)＝－＝，由g′(x)>0得0＜x<4，∴g(x)在(0，4)上是增函数，在(4，10)上是减函数．∴a≥g(4)＝2ln4－2＝4ln2－2.(10分)由条件③，得f(10)＝10－2ln10＋a≤8，解得a≤2ln10－2.另一方面，由x－2lnx＋a≤x，得a≤2lnx在x∈[2，10]上恒成立，∴a≤2ln2.(12分)综上所述，a的取值范围为[4ln2－2，2ln2]，∴满足条件的整数a的值为1.(14分)13.用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm时，容器的容积最大．【答案】10【解析】设容器的高为xcm，即小正方形的边长为xcm，该容器的容积为V，则V＝(90－2x)(48－2x)x＝4(x3－69x2＋1080x)，0<x<12，V′＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)，当0<x<10时，V′>0；当10<x<12时，V′<0.所以V在(0，10]上是增函数，在[10，12)上是减函数，故当x ＝10时，V最大．14.某同学从A地跑步到B地，随路程的增加速度减小．若以y表示该同学离B地的距离，x表示出发后的时间，则下列图象中较符合该同学走法的是____________．(填序号)【答案】③【解析】由于y表示该同学离B地的距离，所以答案在①③中选，又随路程的增加速度减小，一半的时间内所走的路程要大于总路程的一半，故选③.15.里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为__________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.【答案】6 10000【解析】由题意,在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则M=lgA-lgA=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6.设9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y,9=lgx+3,5=lgy+3,解得x=106,y=102.所以==10000.16.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过小时,才能开车(精确到1小时).【答案】5【解析】设x小时后,该驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,则有0.3·()x≤0.09,即()x≤0.3,估算或取对数计算得至少5小时后,可以开车.17.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?【答案】(1) 国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损(2) 当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.【解析】(1)该项目不会获利.当x∈[200,300]时,设该项目获利为S,则S=200x-(x2-200x+80000)=-x2+400x-80000=-(x-400)2,所以当x∈[200,300]时,S<0,因此该项目不会获利.当x=300时,S取得最大值-5000,所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损.(2)由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为:=①当x∈[120,144)时,=x2-80x+5040=(x-120)2+240,所以当x=120时,取得最小值240.②当x∈[144,500]时,=x+-200≥2-200=200,当且仅当x=,即x=400时,取得最小值200.因为200<240,所以当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.18.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q(a)．【答案】（1）L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．（2）当每件售价为6＋a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝43(万元)．【解析】(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)·(18＋2a－3x)．令L′＝0，得x＝6＋a或x＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a≤5，∴8≤6＋a≤.在x＝6＋a两侧，L′的值由正变负．所以①当8≤6＋a<9，即3≤a<时，＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)；Lmax②当9≤6＋a≤，即≤a≤5时，＝L 2＝43，Lmax所以Q(a)＝故若3≤a<，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；若≤a≤5，则当每件售价为6＋a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝43(万元)．19.设y＝f(x)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝h＋A sin (ω＋φ)的图象，写出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是______．【答案】y＝5.0＋2.5sin t.【解析】由数据可知函数的周期T＝12，又T＝12＝，所以ω＝，函数的最大值为7.5，最小值为2.5，即h＋A＝7.5，h－A＝2.5，解得h＝5.0，A＝2.5.所以函数为y＝f(x)＝5.0＋2.5sin又y＝f(3)＝5.0＋2.5sin＝7.5，所以sin ＝cos φ＝1，即φ＝2kπ，k∈Z，故y＝5.0＋2.5sin t20.某镇政府为了更好地服务于农民，派调查组到某村考察．据了解，该村有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员x(x＞0)户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高2x%，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入将为3 (a＞0)万元．(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的总年收入，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a的最大值．【答案】（1）0＜x≤50（2）5【解析】(1)由题意，得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，即x2－50x≤0，又x＞0，解得0＜x≤50.(2)从事蔬菜加工的农民总年收入为3x万元，从事蔬菜种植的农民的总年收入为3(100－x)(1＋2x%)万元．根据题意，得3x≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，即ax≤100＋x＋恒成立．因为0＜x≤50，所以a≤＋＋1恒成立，而＋＋1≥5，当且仅当x＝50时取等号，所以a的最大值为5.21.某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．【答案】30【解析】本题要列出总费用与的函数关系式，然后利用不等式知识或函数的性质解决.根据题意总费用，当且仅当，即时等号成立.【考点】函数的应用与基本不等式.22.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:)满足关系：若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。

第15讲函数模型及其应用➢考点1 利用函数图象刻画实际问题[名师点睛]判断函数图像与实际问题变化过程是否吻合的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．[典例]1.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()2.(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝ma x＋n(m>0,0<a<1)C．y＝ma x＋n(m>0，a>1)D．y＝m log a x＋n(m>0，a>0，a≠1)[举一反三]1.(2022·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是()2.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①0时到3时只进水不出水； ②3时到4时不进水只出水； ③4时到5时不进水也不出水. 则一定正确的论断是________(填序号).3.(2022·武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t (年)与树高y (米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y ＝2t －a ；②y ＝a ＋log 2t ；③y ＝12t ＋a ；④y＝t ＋a 中(其中a 为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.➢考点2 已知函数模型解决实际问题[名师点睛]求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 1.（2022·江苏·高三阶段练习）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()t n （单位：小时）大致服从的关系为00()n N t n n N <=≥（0t ，0N 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为__________小时. 2.（2022·浙江·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()253,025050-,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）20x 元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）. (1)求()f x 的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？[举一反三]1．（2022·广东茂名·二模）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：A·h ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流10A I =时，放电时间57h t =，则当放电电流15A I =，放电时间为（ ）A ．28hB ．28.5hC ．29hD ．29.5h2．（2022·全国·高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102ta t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，函数的图象如图所示．如果商场规定9:30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）A ．9:00B ．8:40C ．8:30D ．8:003．（2022·福建福州·三模）某地在20年间经济高质量增长，GDP 的值P （单位，亿元）与时间t （单位：年）之间的关系为()()0110%tP t P =+，其中0P 为0=t 时的P 值.假定02P =，那么在10t =时，GDP 增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：101.1 2.59≈，当x 取很小的正数时，()ln 1x x +≈4．（2022·上海交大附中高三开学考试）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为()R x 万元，且25002,020()21406250370,20x x R x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩. (1)写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本） (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.➢考点3 构建函数模型解决实际问题1.（2022·全国·高三专题练习）A，B两城相距100km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度.（1）求x的取值范围；（2）把月供电总费用y表示成x的函数；（3）核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？2.（2022·全国·高三专题练习）杭州地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时列车为满载状态，载客量为500人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为()p t ．（Ⅰ）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （Ⅱ）若该线路每分钟的净收益为8()2656()60p t Q t t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．[举一反三]1．（2022·福建龙岩·模拟预测）进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A 地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A 地距离上海500km ，设车队从A 地匀速行驶到上海，高速公路限速为60km/h 110~km/h .已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v km/h 的立方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.若1200b =，410a =，为了使全程运输成本最低，车队速度v 应为（ ） A ．80km/hB ．90km/hC ．100km/hD ．110km/h2．（2022·福建·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G GL L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下（不含0.05）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈） A ．11B ．22C ．227D ．4813．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为（ ）m ．A ．400B ．12C ．20D ．304．（2022·全国·高三专题练习）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3vN v v d =++，其中0d 为安全距离，v 为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）A．135 B．149C．165 D．1955．（2022·北京西城·一模）调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg，则额外奖励x分（x为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.①当10x=时，若某家庭某月产生120kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元；②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为___________.6．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml，已知一驾驶员某次饮酒后体内每100ml血液中的酒精含量y（单位：mg）与时间x（单位：h）的关系是：当113x<<时，227010801111y x x=-+；当113x≥时，110yx=，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________h才可驾车.7．（2022·全国·高三专题练习）某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为___________元第15讲函数模型及其应用➢考点1 利用函数图象刻画实际问题[名师点睛]判断函数图像与实际问题变化过程是否吻合的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．[典例]1.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()答案 B解析水匀速流出，所以鱼缸水深h先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快．2.(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝ma x＋n(m>0,0<a<1)C．y＝ma x＋n(m>0，a>1)D．y＝m log a x＋n(m>0，a>0，a≠1)答案 B解析由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0,0<a<1.[举一反三]1.(2022·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是()答案 A解析根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方．结合选项只有A选项能够较好的达到目的．2.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①0时到3时只进水不出水； ②3时到4时不进水只出水； ③4时到5时不进水也不出水. 则一定正确的论断是________(填序号). 答案 ①解析 由甲、乙、丙图可得进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故①正确； 不进只出水时，蓄水量减少的速度为2，故②不正确；两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故③不正确.3.(2022·武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t (年)与树高y (米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y ＝2t －a ；②y ＝a ＋log 2t ；③y ＝12t ＋a ；④y＝t ＋a 中(其中a 为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.答案 ②103解析 由散点图的走势，知模型①不合适.曲线过点⎝⎛⎭⎫4，73，则后三个模型的解析式分别为②y ＝13＋log 2t ；③y ＝12t ＋13；④y ＝t ＋13，当t ＝1时，代入④中，得y ＝43，与图不符，易知拟合最好的是②.将t ＝8代入②式，得y ＝13＋log 28＝103(米).➢考点2 已知函数模型解决实际问题[名师点睛]求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．1.（2022·江苏·高三阶段练习）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()tn （单位：小时）大致服从的关系为00()n N t n n N <=≥（0t ，0N 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为__________小时. 【答案】647【解析】由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，016N >， 16=，解得064t =.8，解得064N =，所以64()8,64n t n n <=≥⎩，所以当49n =时，64(49)7t =. 故答案为：6472.（2022·浙江·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()253,025050-,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）20x 元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）. (1)求()f x 的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【解】(1)由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-()22155330,02,7530225,02,75050750-30,2 5.1550-)30,2511x x x x x x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎧-+≤≤⎪⎪==⎨⎨-<≤⨯-<≤⎪⎪+⎩+⎩（ (2)解：由（1）得()()22175222,02,7530225,02,5=750750-30,2 5.25780301,2 5.11x x x x x f x x x x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎧-+≤≤⎪⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎩⎢⎥⎪+⎣⎦⎩当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==；当25x <≤时，()()25780301780304801f x x x ⎡⎤=-++≤-⨯=⎢⎥+⎣⎦ 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立. 因为465480<，所以当4x =时，()max 480f x =.∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元.[举一反三]1．（2022·广东茂名·二模）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：A·h ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流10A I =时，放电时间57h t =，则当放电电流15A I =，放电时间为（ ）A ．28hB ．28.5hC ．29hD ．29.5h【答案】B【解析】解：根据题意可得5710n C =⋅，则当15A I =时，571015n n t ⋅=⋅，所以32231log 2log 222257575728.5h 333nt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即当放电电流15A I =，放电时间为28.5h. 故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102t at t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，函数的图象如图所示．如果商场规定9:30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）A ．9:00B ．8:40C ．8:30D ．8:00【答案】A【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)， 代入函数的解析式，可得1121a-⎛⎫⎪⎝⎭=，解得1a =，所以1100.1,0101,102tt t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩， 令0.25y ≤，可得0.10.25t ≤或11020.251t -⎛⎝≤⎫ ⎪⎭，解得0 2.5t <≤或30t ≥，所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:00. 故选：A.3．（2022·福建福州·三模）某地在20年间经济高质量增长，GDP 的值P （单位，亿元）与时间t （单位：年）之间的关系为()()0110%tP t P =+，其中0P 为0=t 时的P 值.假定02P =，那么在10t =时，GDP 增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：101.1 2.59≈，当x 取很小的正数时，()ln 1x x +≈ 【答案】0.52【解析】由题可知()()2110%2 1.1tt P t =+=⨯，所以()2 1.1ln1.1tP t '=⨯，所以()10102 1.1ln1.12 2.590.10.5180.52P '=⨯≈⨯⨯=≈,即GDP 增长的速度大约是0.52. 故答案为：0.52.4．（2022·上海交大附中高三开学考试）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为()R x 万元，且25002,020()21406250370,20x x R x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩. (1)写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本） (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【解】(1)当020x <≤时，()(380150)S xR x x =-+ 25002380150x x x =--- 22120150x x =-+-，当20x >时，()(380150)S xR x x =-+ 62503702140380150x x x=+--- 6250101990x x=--+， 所以年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式为22120150,0206250101990,20x x x S x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩(2)当020x <≤时，2221201502(30)1650S x x x =-+-=--+， 所以函数S 在(0,20]上单调递增，所以当20x 时， S 取得最大值1450，当20x >时，62506250101990(10)1990S x x x x=--+=-++199050019901490≤-=-+=， 当且仅当625010x x=，即25x =时取等号，此时S 取得最大值1490，因为14901450>，所以当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元➢考点3 构建函数模型解决实际问题1.（2022·全国·高三专题练习）A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度. （1）求x 的取值范围；（2）把月供电总费用y 表示成x 的函数；（3）核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 【解】（1）由题意知x 的取值范围为[10，90].（2）222250.25200.2510(100)5(100)2y x x x x =⨯⨯+⨯⨯-=+-，∴2255(100)2y x x =+-（1090x ≤≤）；（3）2255(100)2y x x =+-215500250002x x =-+21510050000()233x =-+，∴1003x =时，min 500003y =． ∴核电站建在距A 城1003km 处，供电总费最少． 2.（2022·全国·高三专题练习）杭州地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时列车为满载状态，载客量为500人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为()p t ．（Ⅰ）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （Ⅱ）若该线路每分钟的净收益为8()2656()60p t Q t t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．【解】（Ⅰ）由题设，当210t ≤<时，令2()=500(10)p t k t --，而发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，∴2(2)=500(102)=372p k --，解得2k =.∴2300402,210()=500,1020t t t p t t ⎧+-≤<⎨≤≤⎩，故5t =时有2(5)=5002(105)=450p -⨯-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：25626016,210()134460,1020t t tQ t t t⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，∵210t ≤<时，()260132Q t ≤-=当且仅当4t =等号成立， ∴210t ≤<上max ()(4)132Q t Q ==，而1020t ≤≤上，()Q t 单调递减，则max ()(10)74.4Q t Q ==， 综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元. [举一反三]1．（2022·福建龙岩·模拟预测）进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A 地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A 地距离上海500km ，设车队从A 地匀速行驶到上海，高速公路限速为60km/h 110~km/h .已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v km/h 的立方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.若1200b =，410a =，为了使全程运输成本最低，车队速度v 应为（ ） A ．80km/h B ．90km/h C ．100km/h D ．110km/h【答案】C 【解析】解：设运输成本为y 元，依题意可得432150055000000102002y v v v v ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭， 则()()()3622243222251051010105000000550000005v v v v v y v v v v v--++-=-===' 所以当210v =时0y '=，当60100v ≤<时0y '<，当100110v <≤时0y '>，即函数在()60,100上单调递减，在()100,110上单调递增，所以当100v =时取得极小值即最小值，所以100v =km/h 时全程运输成本最低； 故选：C2．（2022·福建·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G G L L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下（不含0.05）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈） A ．11 B ．22 C ．227 D ．481【答案】D【解析】由于00G GL L D =，所以220.5GL D =⨯，依题意222290.5100.45D D⇒==⨯，则229100.5GL ⎫ ⎪⎝⎭⨯⎛=， 由220.50.05190G L ⨯<⎛⎫=⎪⎝⎭得2291101G ⎛⎫⎪<⎝⎭，221lg ,1l 1099g lg 101022G G ⎛⎫ ⎭<⎝<-⎪， ()2lg9lg 021G ⋅-<-，()92222,lg10lg 9lg10lg G G ⋅>->-， 222222480.35120.4812lg 37710.045G ==≈->-⨯， 所以所需的训练迭代轮数至少为481轮.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为（ ）m ．A ．400B ．12C ．20D ．30【答案】C 【解析】设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得404040x y -=，0<x <40， 解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)， 当x ＝20时，S max ＝400．故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3v N v v d =++，其中0d 为安全距离，v 为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）A ．135B ．149C ．165D ．195【答案】B【解析】由题意得，2010001000149300.70.30.720.3300.70.3v N v v d v v ==≤≈+++⨯++，当且仅当300.3v v=，即10v =时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选：B5．（2022·北京西城·一模）调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg 积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg ，则额外奖励x 分（x 为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.①当10x =时，若某家庭某月产生120kg 生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元； ②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x 的最大值为___________.【答案】 13 36【解析】①若某家庭某月产生120kg 生活垃圾，则该家庭月底的积分为12010130+=分， 故该家庭该月积分卡能兑换1300.113⨯=元；②设每个家庭每月产生的垃圾为kg t ，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为()f t 元. 若0100t ≤<时，()0.10.340.40.136f t t t t =<⨯=恒成立；若100t ≥时，()0.10.10.340.4f t t x t =+≤⨯，可得()min 0.3636x t ≤=.故x 的最大值为36.故答案为：①13；②36.6．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml ，已知一驾驶员某次饮酒后体内每100ml 血液中的酒精含量y （单位：mg ）与时间x （单位：h ）的关系是：当1103x <<时，227010801111y x x =-+；当113x ≥时，110y x =，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________h 才可驾车.【答案】5.5 【解析】当1103x <<时，2227010802701080(2)11111111y x x x =-+=--+， 当2x =时，函数有最大值10802011>，所以当1103x <<时，饮酒后体内每100ml 血液中的酒精含量小于20mg/100ml ， 当当113x ≥时，函数110y x =单调递减，令11020 5.5y x x==⇒=，因此饮酒后5.5小时体内每100ml 血液中的酒精含量等于20mg/100ml ，故答案为：5.5。