函数项级数的一致收敛性及基本性质
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一致收敛函数列与函数项级数的性质
1 n 1
12n
2
(2n 2n2x)dx
而
1
lim
0 n
1
1 0dx
n
fn (x)dx
1 2
0
不相等
(2) 定理的条件是充分的, 但不必要
例3 fn (x) nxenx n 1, 2,... 在区间[0,1]上讨论.
f
(x)
lim
n
fn (x)
lim nxenx
n
0
x [0,1]
但在[0,1]上, fn(x) nxenx n 1, 2,...不一致收敛. 事实上,
{ fn(x)}的每一项在[a,b]上有连续的导数, 且{ fn(x)}在[a,b]上一致收敛,
则
d dx
f
(x)
d (lim dx n
fn (x))
lim n
d dx
fn (x)
3. 可微性
定理13.10 设{ fn (x)}为定义在[a,b]上的函数列, x0 [a,b]为{ fn(x)}的收敛点,
f (x)
f (x0 )
lim lim
xx0 n
fn (x)
f (x0 )
又 lim n
fn (x0 )
f (x0 )
lim
x x0
fn (x)
fn (x0 )
lim lim
n xx0
fn (x)
f (x0 )
所以
lim lim
xx0 n
fn
(x)
lim
n
lim
x x0
fn (x)
★ 在一致收敛条件下, 关于x与n极限可以交换极限顺序
fn (x) nxenx 在[0,1]的最大值为:
13.2一致收敛函数列与函数项级数级数的性质
因为函数列 { fn } 在 [a , b]上一致收敛于 f ，所以
对任给的ε> 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对一切
x ∈ [a , b]，
都有
| fn ( x ) － f ( x ) | < ε
b
于是当 n > N 时有
| f n ( x ) dx f ( x ) dx |
由柯西准则知数列 { an } 收敛．
设
lim a n A ,
n
x x0
下面证明： lim f ( x ) A . 因为{ fn } 一致收敛于 f ，数列 { an } 收敛于 A ， 因此对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时， 对任何 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有 | fn(x) – f (x) | <ε/3 和 | an – A | <ε/3 同时成立．特别取 n = N +1，有 | fN+1(x) – f (x) | <ε/3 和 | aN+1 – A | <ε/3
n
( iii ) lim f n ( a ) 不存在，
n
则{ f n ( x )} 在 ( a , b )内不一致收敛
定理 13.9（连续性） 设函数列 { fn } 在区间 I 上一致收敛于 f ，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在 I 上连续， 则 f在 I 上也连续．
证 要证：对任何 x0 ∈I , lim f ( x ) f ( x 0 ) .
x x0
由定理 13.8， lim lim lim f ( x ) x x lim f n ( x ) lim x x f n ( x ) n n
多元函数项级数的一致收敛及性质
高教视野
GAOJIAO SHIYE
17
多元函数项级数的一致收敛及性质
◎王 飞 费时龙 （ 宿州学院数学与统计学院，安徽 宿州 234000）
【摘要】在一元函数项级数一致收敛的基础上定义了多 元函数列一致收 敛 的 概 念，给 出 了 多 元 函 数 项 级 数 一 致 收 敛的判别方法，分别研究了一致收敛极限函数的连续性、可 微性与可积性并讨论了一致收敛极限函数的一致连续性．
在 E 上一致收敛．
定理 2． 6 （ 二元函数项级数狄利克雷判别法） 设：
∑ （ ⅰ） un （ x，y） 的部分和函数列
n
∑ Un （ x，y） = um （ x，y） m =1
在 D 上一致有界；
（ n = 1，2，…）
（ ⅱ） 对每一个（ x，y） ∈ D，｛ vn （ x，y） ｝ 是单调的； （ ⅲ） 在 D 上 vn （ x，y） 0（ n → ∞ ） ，则级数
∑ 定理 3． 2 （ 连续性） 若 k 元函数项级数 un （ x1 ，x2 ，
…，xk ） 在区域 E Ｒk 上一致收敛，且每一项都连续，则其和 函数 S（ x1 ，x2 ，…，xk ） 在 E Ｒk 上也连续．
∑ 定理 3． 3 （ 一致连续性） 若二元函数项级数 un （ x，
y） 在区域 D Ｒ2 上一致收敛于 S（ x，y） ，且每一项 un （ x，y） 都一致连续，则其和函数 S（ x，y） 在 D Ｒ2 上也一致连续．
∑un（ x，y） vn（ x，y） = u1（ x，y） v1（ x，y） + u2（ x，y） v2（ x，y） +
… + un （ x，y） vn （ x，y） + … 在 D 上一致收敛．
GAOJIAO SHIYE
17
多元函数项级数的一致收敛及性质
◎王 飞 费时龙 （ 宿州学院数学与统计学院，安徽 宿州 234000）
【摘要】在一元函数项级数一致收敛的基础上定义了多 元函数列一致收 敛 的 概 念，给 出 了 多 元 函 数 项 级 数 一 致 收 敛的判别方法，分别研究了一致收敛极限函数的连续性、可 微性与可积性并讨论了一致收敛极限函数的一致连续性．
在 E 上一致收敛．
定理 2． 6 （ 二元函数项级数狄利克雷判别法） 设：
∑ （ ⅰ） un （ x，y） 的部分和函数列
n
∑ Un （ x，y） = um （ x，y） m =1
在 D 上一致有界；
（ n = 1，2，…）
（ ⅱ） 对每一个（ x，y） ∈ D，｛ vn （ x，y） ｝ 是单调的； （ ⅲ） 在 D 上 vn （ x，y） 0（ n → ∞ ） ，则级数
∑ 定理 3． 2 （ 连续性） 若 k 元函数项级数 un （ x1 ，x2 ，
…，xk ） 在区域 E Ｒk 上一致收敛，且每一项都连续，则其和 函数 S（ x1 ，x2 ，…，xk ） 在 E Ｒk 上也连续．
∑ 定理 3． 3 （ 一致连续性） 若二元函数项级数 un （ x，
y） 在区域 D Ｒ2 上一致收敛于 S（ x，y） ，且每一项 un （ x，y） 都一致连续，则其和函数 S（ x，y） 在 D Ｒ2 上也一致连续．
∑un（ x，y） vn（ x，y） = u1（ x，y） v1（ x，y） + u2（ x，y） v2（ x，y） +
… + un （ x，y） vn （ x，y） + … 在 D 上一致收敛．
数学分析课件一致收敛函数列与函数项级数的性质
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数 ，在每个点的某个邻域内，函数列或 级数的每一项都是有界的。这意味着 在每个点的附近，函数列或级数的变 化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函 数项级数在每个点的邻域内都是连续的 。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在 每个点的某个邻域内，函数列或级数的每 一项都是连续的。这意味着在每个点的附 近，函数列或级数的值是平滑变化的，没 有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项 级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列 或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中， 一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微 性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好 地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分 学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表 明实数具有某些理想的完备性。利用一致收 敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要 定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套 定理等。这些定理在实数理论中起着至关重 要的作用，为实数性质的研究提供了重要的 理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项 级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。
对于一致收敛的函数列或函数项级数 ，在每个点的某个邻域内，函数列或 级数的每一项都是有界的。这意味着 在每个点的附近，函数列或级数的变 化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函 数项级数在每个点的邻域内都是连续的 。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在 每个点的某个邻域内，函数列或级数的每 一项都是连续的。这意味着在每个点的附 近，函数列或级数的值是平滑变化的，没 有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项 级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列 或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中， 一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微 性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好 地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分 学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表 明实数具有某些理想的完备性。利用一致收 敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要 定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套 定理等。这些定理在实数理论中起着至关重 要的作用，为实数性质的研究提供了重要的 理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项 级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。
一致收敛函数列与函数项级数级数的性质.ppt
又
lim
x x0
fN1( x) aN1
,
所以存在δ > 0 , 当0 < | x – x0 | <δ时，
| fN+1(x) – aN+1 | <ε/3
这样当0 < | x – x0 | <δ时，
| f (x) A|
| f ( x) f N 1( x) | | f N 1( x) aN 1 | | aN 1 A |
? lim
x x0
n1
un ( x)
n1
lim
x x0
un
(
x)
注：对函数序列{Sn ( x)}而言，应为
? lim
x x0
lim
n
Sn
(
x
)
lim
n
lim
x x0
Sn
(
x)
2.求导运算与无限求和运算交换次序问题
? d
dx n1 un ( x)
d n1 dx un ( x)
lim lim
x x0 n
fn
(
x)
lim
n
lim
x x0
fn(x) .
这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．
证 先证数列 { an } 收敛．因为{ fn } 一致收敛，
故对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对任何 正整数 p ，对一切 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有
| fn(x) – f n+p(x) | <ε
从而
lim
x x0
|
函数项级数的一致收敛性及基本性质ppt课件
闭 区 间 [a,b]上 一 致 连 续 ，
.
故 幂 级 数 anxn在 [a,b]上 适 合 定 理3条 件 ， 从 n1
而 可 以 逐 项 求 导 ． 由 [a ,b ]在 ( R ,R )内 的 任 意 性 ，
即 得 幂 级 数 a n x n 在 ( R ,R )内 可 逐 项 求 导 . n 1
区间上的一致收敛性．
cos nx
1.
n1
2n
,
x ;
2. x2enx , 0 x .
n1
.
练习题答案 一1、 .取自然 N数 x．
二、一致收敛．
.
由 比 值 审 敛 法 可 知 级 数 nn 1 q 收 敛 ， n 1
于是 nn 1 q 0 (n ),
.
故 数 列nn q1有 界 ， 必 有 M0， 使 得
nn q 11M (n1,2,) x1
又 0x 1R ， 级 数a nx 1 n收 敛 ， n 1
由 比 较 审 敛 法 即 得 级 数 nn x a n 1收 敛 ． n 1 由 定 理4， 级 数 nnaxn1在 (R,R)内 的 任 意 n1
致收敛.
进一步还可以证明，如果幂级数anxn在收敛 n1
区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包 含端点．
.
定理5 如 果 幂 级 数 a n x n 的 收 敛 半 径 为 n1
R 0 ，则其和函数s(x) 在( R, R) 内可导，且
有逐项求导公式
s( x )
an xn
n1
na n x n1 ,
n1
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收
敛半径．
.
证 先证级数 nanxn1在(R,R)内收敛． n1
.
故 幂 级 数 anxn在 [a,b]上 适 合 定 理3条 件 ， 从 n1
而 可 以 逐 项 求 导 ． 由 [a ,b ]在 ( R ,R )内 的 任 意 性 ，
即 得 幂 级 数 a n x n 在 ( R ,R )内 可 逐 项 求 导 . n 1
区间上的一致收敛性．
cos nx
1.
n1
2n
,
x ;
2. x2enx , 0 x .
n1
.
练习题答案 一1、 .取自然 N数 x．
二、一致收敛．
.
由 比 值 审 敛 法 可 知 级 数 nn 1 q 收 敛 ， n 1
于是 nn 1 q 0 (n ),
.
故 数 列nn q1有 界 ， 必 有 M0， 使 得
nn q 11M (n1,2,) x1
又 0x 1R ， 级 数a nx 1 n收 敛 ， n 1
由 比 较 审 敛 法 即 得 级 数 nn x a n 1收 敛 ． n 1 由 定 理4， 级 数 nnaxn1在 (R,R)内 的 任 意 n1
致收敛.
进一步还可以证明，如果幂级数anxn在收敛 n1
区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包 含端点．
.
定理5 如 果 幂 级 数 a n x n 的 收 敛 半 径 为 n1
R 0 ，则其和函数s(x) 在( R, R) 内可导，且
有逐项求导公式
s( x )
an xn
n1
na n x n1 ,
n1
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收
敛半径．
.
证 先证级数 nanxn1在(R,R)内收敛． n1
第七节函数项级数的一致收敛性幂级数的一致收敛性
第七节 函数项级数的一致收敛性内容分布图示★ 引例(讲义例1) ★ 一致收敛的概念★ 例2 ★ 例3 ★ 魏尔斯特拉斯判别法 ★ 例4 ★ 例5 一致收敛级数的基本性质 ★ 定理2★ 定理3★ 定理4幂级数的一致收敛性★ 定理5★ 定理6 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题11—7 ★ 返回讲解注意：一、 一致收敛的概念：函数项级数在收敛域I 上收敛于和)(x s ，指的是它在I 上的每一点都收敛，即对任意给定的0>ε及收敛域上的每一点x ，总相应地存在自然数),(x N ε，使 得当N n >时，恒有ε<-|)()(|x s x s n .一般来说，这里的N 不仅与ε有关，而且与x 也有关. 如果对某个函数项级数能够找到这样的一个只与ε有关而不依赖于x 的自然数N ，则当N n >时，不等式ε<-|)()(|x s x s n 对于区间I 上每一点都成立，这类函数项级数就是所谓的一致收敛的级数.定义1 设函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区间I 上收敛于和函数)(x s , 如果对任意给定的0>ε，都存在着一个与x 无关的自然数N , 使得当N n >时, 对区间I 上的一切x 恒有ε<-=|)()(||)(|x s x s x r n n ，则称该函数项级数在区间I 上一致收敛于和)(x s ，此时也称函数序列)}({x s n 在区间I 上一致收敛于)(x s .二、定理1（魏尔斯特拉斯判别法）如果函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区间I 上满足条件：（1）);,3,2,1(|)(| =≤n a x u n n （2）正项级数∑∞=1n n a 收敛.则该函数项级数在区间I 上一致收敛. 三、 一致收敛级数的基本性质定理2 如果级数∑∞=1)(n n x u 的各项)(x u n 在区间],[b a 上都连续，且级数在区间],[b a 上一致收敛于),(x s 则)(x s 在],[b a 上也连续.定理3 设)(x u n ),3,2,1( =n 在],[b a 上连续，且级数∑∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上一致收敛于)(x s ，则⎰xx dx x s 0)(存在，且级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上可以逐项积分，即])([])([)(11∑⎰⎰∑⎰∞=∞===n xx n x x n n xxdx x u dx x u dx x s (7.2)其中,0b x x a ≤<≤ 且上式右端的级数在],[b a 上也一致收敛.定理4 如果级数∑∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上收敛于和)(x s , 它的各项)(x u n 都有连续导数)(x u n'，并且级数∑∞='1)(n nx u 在],[b a 上一致收敛，则级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上也一致收敛，且可 逐项求导，即有∑∑∞=∞='='⎪⎪⎭⎫⎝⎛='11)()()(n nn n x u x u x s (7.3) 四、 幂级数的一致收敛性定理5 如果幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径为,0>R 则此级数在),(R R -内的任一闭区间],[b a 上一致收敛.定理6 如果幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径为,0>R 则其和函数)(x s 在),(R R -内可导，且有逐项求导公式,)(111∑∑∞=-∞=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='n n n n n n x na x a x s逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径.例题选讲：一致收敛的概念例1（讲义例1）考察函数项级数+-++-+-+-)()()(1232n n x x x x x x x的和函数的连续性.本例表明，即使函数项级数的每一项都在[a , b ]上连续，并且级数在[a , b ]上收敛，但其和函数却不一定在[a , b ]上连续；同样也可举例说明，函数项级数的每一项的导数及积分所成的级数的和也不一定等于它们的和函数的导数及积分. 那么在什么条件下，我们才能够从级数每一项的连续性得出它的和函数的连续性，从级数的每一项的导数及积分所成的级数之和得出原级数的和函数的导数及积分呢? 要回答这个问题，就需要引入函数项级数的一致收敛性概念.例2（讲义例2）研究级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-111n n n n x n x 在区间]1,1[-上的一致收敛性.例3（讲义例3）研究级数∑∞=-0)1(n n x x 在区间[0,1]上的一致收敛性.例4（讲义例4）证明级数++++22222sin 22sin 1sin nx n x x 在),(+∞-∞上一致收敛.例5（讲义例5）判别级数∑∞=+1241n x n x在),(+∞-∞上一致收敛. 课堂练习1. 研究级数+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++111112111n x n x x x x 在区间),0[+∞上的一致收敛性.魏尔斯特拉斯（Weierstrass, Karl Wilhelm ，1815~1897)魏尔斯特拉斯德国数学家，1815年10月31日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林。
函数项级数一致收敛判定与性质论文
渤海大学学士学位论文题目：函数项级数一致收敛判定与性质系别：数学系专业：数学与应用数学姓名：班级：指导教师：目录摘要------------------------------------------------------------------------------1 英文摘要------------------------------------------------------------------------1 引言------------------------------------------------------------------------------2 一预备知识-----------------------------------------------------------------2 二函数项级数一致收敛的柯西准则-----------------------------------7(一)M判别法----------------------------------------------------------8(二)阿贝尔判别法----------------------------------------------------9(三)狄立克雷判别法-------------------------------------------------9 三函数项级数一致收敛的其他判别法------------------------------12(一)比式判别法-------------------------------------------------12(二)根式判别法-------------------------------------------------13(三)对数判别法-------------------------------------------------13 四函数项级数的性质--------------------------------------------------15 五反例证明--------------------------------------------------------------16 参考文献----------------------------------------------------------------21函数项级数一致收敛的判定与性质张月姣（渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国）摘要：利用柯西准则，证明函数项级数一致收敛的两个判别法。
一致收敛
n= 1
∞
n= 1
∞
∫x
证: 因为
k= 1
x
0
S(x)d x = ∑ ∫ un(x)d x
n= 1 x0
x
且上式右端级数在 [a, b] 上也一致收敛 .
∑ ∫x
n
x
0
uk (x)d x = ∫
x
x0
k= 1
∑uk (x)d x = ∫x
目录
n
x
0
Sn(x)d x
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所以只需证明对任意 x0, x∈[a,b] (x0 < x), 一致有
2 n n− 1
在 [0,1] 上不一致收敛 .
+ 证: Sn(x) = x +(x − x) +L (x − x
)=x
n
0, S(x) = 1,
− xn, 0 ≤ x <1 rn(x) = S(x) −Sn(x) = 0, x =1 1 1, 对无论多么大的正数 N , 取x = (1) N+1, 取正数 ε < 0 2 2
*第六节
第十二章
函数项级数的一致收敛性 及一致收敛级数的基本性质
一、函数项级数的一致收敛性 二、一致收敛级数的基本性质
目录
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结束
一、函数项级数的一致收敛性
幂级数在收敛区间上的性质类似于多项式, 但一般函 数项级数则不一定有这么好的特点. 例如, 例如 级数
x +(x − x) +(x − x ) +L+(x − x
2) 正 级 ∑an 收 , 项 数 敛
则函数项级数 ∑un(x) 在区间 I 上一致收敛 .
∞
n= 1
∞
∫x
证: 因为
k= 1
x
0
S(x)d x = ∑ ∫ un(x)d x
n= 1 x0
x
且上式右端级数在 [a, b] 上也一致收敛 .
∑ ∫x
n
x
0
uk (x)d x = ∫
x
x0
k= 1
∑uk (x)d x = ∫x
目录
n
x
0
Sn(x)d x
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所以只需证明对任意 x0, x∈[a,b] (x0 < x), 一致有
2 n n− 1
在 [0,1] 上不一致收敛 .
+ 证: Sn(x) = x +(x − x) +L (x − x
)=x
n
0, S(x) = 1,
− xn, 0 ≤ x <1 rn(x) = S(x) −Sn(x) = 0, x =1 1 1, 对无论多么大的正数 N , 取x = (1) N+1, 取正数 ε < 0 2 2
*第六节
第十二章
函数项级数的一致收敛性 及一致收敛级数的基本性质
一、函数项级数的一致收敛性 二、一致收敛级数的基本性质
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结束
一、函数项级数的一致收敛性
幂级数在收敛区间上的性质类似于多项式, 但一般函 数项级数则不一定有这么好的特点. 例如, 例如 级数
x +(x − x) +(x − x ) +L+(x − x
2) 正 级 ∑an 收 , 项 数 敛
则函数项级数 ∑un(x) 在区间 I 上一致收敛 .
为什么函数项级数内闭一致收敛
为什么函数项级数内闭一致收敛文章题目：探究函数项级数内闭一致收敛的原因在数学分析领域中，函数项级数内闭一致收敛是一个重要的概念。
它不仅在数学理论中有着重要的地位，也在实际问题的研究中发挥着重要作用。
本文将从函数项级数内闭一致收敛的定义和特性入手，探讨其原因，并对其在数学和科学研究中的应用进行分析。
一、函数项级数内闭一致收敛的定义和特性1. 函数项级数的定义函数项级数即由一系列函数组成的级数，形式为∑(n=1到∞)fn(x)，其中每一项fn(x)都是定义在某个区间上的函数。
2. 内闭一致收敛的定义对于给定函数项级数∑(n=1到∞)fn(x)，如果对任意ε>0，存在自然数N，使得当m≥n≥N时，有|∑(k=n到m)fn(x)|<ε对任意x∈E都成立，那么称该函数项级数在E上内闭一致收敛。
3. 特性函数项级数内闭一致收敛的特性包括一致收敛、极限函数连续等。
具体而言，内闭一致收敛意味着极限函数的存在，并且该极限函数在区间上连续。
二、函数项级数内闭一致收敛的原因探究在深入探究函数项级数内闭一致收敛的原因时，我们可以从以下几个方面入手：1. 函数项级数内闭一致收敛的几何解释函数项级数内闭一致收敛可以被解释为一个区间上的一致收敛。
这意味着，对于每一个ε>0，存在N，使得当m≥n≥N时，函数项级数的部分和与其极限函数之差小于ε，从而函数项级数在该区间上表现出较强的稳定性。
2. 一致收敛性质的影响一致收敛性质保证了在给定区间上的整体收敛性，这使得函数项级数的极限函数存在并且在该区间上连续。
这与点wise收敛不同，点wise收敛只能保证每个点上的收敛性，无法保证极限函数的连续性。
3. 函数项级数内闭一致收敛的充分条件内闭一致收敛的充分条件之一是Cauchy准则。
对于给定的ε>0，存在N，使得当m≥n≥N时，有|∑(k=n到m)fn(x)|<ε，这保证了函数项级数的部分和随着n的增大而趋向一个极限值，从而使得函数项级数内闭一致收敛。
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和函数的连续性．
解 因为该级数每一项都在[0,1]是连续的，
且 sn(x)xn, 得和函数：
0 , 0x1 , s(x)ln is m n(x) 1 , x1 .
和函 s(x)在 数 x1处间 . 断
.
3
结论 函数项级数的每一项在[a,b]上连续，并且 级数在[a,b]上收敛，其和函数不一定在[a,b] 上
致收敛于s(x),则s(x)在[a,b ]上可以逐项积分,
即
x
s(x)dx
x0
x
x
x
x0u1(x)dx x0u2(x)dx x0un(x)dx (4)
其 中 ax 0xb ,并 且 上 式 右 端 的 级 数 在 [a ,b] 上 也 一 致 收 敛 .
.
19
证 级 数 u n (x )在 [a ,b]一 致 收 敛 于 s(x ), n 1 由定理 1, s(x)，rn(x)都在[a,b ]上连续，
收敛．同样函数项级数的每一项的导数及积分所 成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及 积分．
问题 对什么级数，能从每一项的连续性得出和 函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？
.
4
二、函数项级数的一致收敛性
定义 设 有 函 数 项 级 数 un ( x ) ． 如 果 对 于 任 意 n1
区间上的一致收敛性．
cos nx
1.
n1
2n
,
x ;
2. x2enx , 0 x .
所以积分
x x0
s(x)dx， x x0
rn(x)dx存在,从而有
x
x
x
x
x 0 s (x ) d x x 0 s n (x ) d x x 0 r n (x ) dx x0 rn(x)dx.
又 由 级 数 的 一 致 收 敛 性 ,对 任 给 正 数 必 有
NN()使 得 当 nN时 ,对 [a,b]上 的 一 切 x,都
致收敛.
进一步还可以证明，如果幂级数anxn 在收敛 n1
区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包
含端点．
.
24
定理5 如 果 幂 级 数 a n x n 的 收 敛 半 径 为 n1 R 0 ， 则其 和 函数s( x) 在( R, R) 内 可导 ， 且
有逐项求导公式
s( x )
n1
un1(x)un2(x)unp(x)
an 1an 2an p2,
.
13
令 p , 则 由 上 式 得 r n ( x ) 2 .
因 此 函 数 项 级 数 u n(x)在 区 间 I上 一 致 收 敛 . n 1
例4 证明级数
sixn si2n 2xsin n 2x
12
22
n2
在 (, )上 一 致 收 敛 .
.
5
几何解释:
只要n充分大(nN),在区间 I 上所有曲
线ysn(x)将位于曲线
ys(x)与ys(x)之间.
y
ys(x)
ys(x) ysn(x)
ys(x)
o
I
x
.
6
例2 研究级数
x11x12x11x1nx1n1
在区间[0,)上的一致收敛性.
解 sn(x)x1n,
1 s (x ) ln is n m (x ) ln ix m n 0(0 x )
.
14
证 在 ( , ) 内
sin n2x1 (n1,2,3,)
n2
n2
级 数 1 收 敛 ，
n 2
n 1
由 魏 尔 斯 特 拉 斯 判 别 法 ，
所 给 级 数 在 ( , )内 一 致 收 敛 ．
.
15
三、一致收敛级数的基本性质
定理1 如果级数un(x)的各项un(x)在区间 n1
一、问题的提出
问题: 有限个连续函数的和仍是连续函数，有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？
.
2
例1 考察函数项级数 x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
即nnaxn1与anxn的 收 敛 半 径 相 同 ．
n1
n1
.
29
四、小结
1、函数项级数一致收敛的定义； 2、一致收敛级数的判别法——魏尔斯特拉斯 判别法； 3、一致收敛级数的基本性质； 4、幂级数的一致收敛性．
.
30
练习题
一、已知函数s序 n 列 sinnx(n1,2,3,)在(,) 上收敛0于 ．
设 幂 级 数 n n x n a 1 的 收 敛 半 径 为 R ． RR, n 1
将 此 幂 级 数 nna xn1在 [0,x](xR)上 n1
逐 项 积 分 即 得anxn, n1
.
28
因 逐 项 积 分 所 得 级 数 的 收 敛 半 径 不 会 缩 小 ，
所R 以 R, 于R 是 R.
1.问N(, x)取多大 ,能使当 nN时,sn(x)与其极限 之差的绝对值小于 ; 正数
2. 证明sn(x) 在任一有限区 [a,b间 ]上一致收敛．
二、按定n 1义 (1)n讨 1(1xx 2 论 2)n在 级区 (数 , 间 )
上的一致收敛性．
.
31
三、利用魏尔斯特拉斯判别法证明下列级数在所给
有
rn(x)
. ba
.
20
于 是 ， 当 n N 时 有
x x 0s(x)d xx x 0sn(x)dx xx0 rn(x)dx
bq(xx0). 根据极限定义，有
x
x
nx
x 0s (x )d x ln ix m 0s n (x )d x ln ii m 1x 0u n (x )dx
在区间( 0 , 1]内的一致收敛性.
解 该 级 数 在 区 间 ( 0 ,1 ) 内 处 处 收 敛 于 和 s (x ) 0 ，
但 并 不 一 致 收 敛 ．
对于任意一个自然数 n, 取 xnn12， 于 是
sn(xn)xnn
1, 2
但 s(xn)0, 从 rn (而 x n )s(x n ) sn (x n ) 1 2 .
即
x
x
s(x)dx
x0
i1
x0ui(x)dx
由于N只依赖于 而于x0,x 无关，
所 以 级 数 i 1 x x 0u i(x)d在 x[a,b]上 一 致 收 敛 .
.
21
定理3 如 果 级 数 u n ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 收 敛 n1
于 和 s(x) ， 它 的 各 项 un(x) 都 具 有 连 续 导 数
由 比 值 审 敛 法 可 知 级 数 nn 1 q 收 敛 ， n 1
于是 nn 1 q 0 (n ),
.
26
故 数 列nq n1有 界 ， 必 有 M0， 使 得
nn q 11M x1
(n1,2,)
又 0x 1R ， 级 数a nx 1 n收 敛 ， n 1
由 比 较 审 敛 法 即 得 级 数 nn x a n 1收 敛 ． n 1 由 定 理4， 级 数 nnaxn1在 (R,R)内 的 任 意 n1
(
x0
)
. 3
(2)
.
17
s n ( x ) 是 有 限 项 连 续 函 数 之 和 ，
故sn(x)(nN)在点x0连续，
0 当 x x 0时 总 有 s n (x ) s n (x 0 ) 3(3) 由(1)、(2)、(3)可见, 对 任 给 0 ， 必 有 0 ，
当xx0 时，有s(x)s(x0).
给 定 的 正 数 ， 都 存 在 着 一 个 只 依 赖 于 的 自
然数 N ，使得当 n N 时，对区间 I 上的一切
x，都有不等式
rn ( x ) s( x ) sn ( x )
成立，则成函数项级数 un( x) 在区间 I 上一致 n1
收敛于和 s( x)， 也称函数序列 sn( x) 在区间 I 上 一致收敛于 s( x)．
a
n
x
n
na n x n1 ,
n1
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收
敛半径．
.
25
证 先证级数 nanxn1在(R,R)内收敛． n1
在 (R,R)内 任 意 取 定 x， 在 限 定 x1， 使 得
xx1R． 记 qxx11， 则
n 1
nn x a n 1 n x x 1 x 1 1a n x 1 n nn 1 q x 1 1a n x 1 n,
.
9
只 要 取 1， 不 论 n多 么 大 ， 在 (0 ,1 )总 存 在
2
点 x n ， 使rn 得 (xn),
因此级数在( 0, 1 )内不一致连续．
说明: 虽然函数序列 sn(x)xn在( 0, 1 )内处处 收敛于 s(x)0,但 sn(x)在( 0, 1 )内各点处收
敛于零的“快慢”程度是不一致的．
闭 区 间 [a,b]上 一 致 连 续 ，
.
27
故 幂 级 数 anxn在 [a,b]上 适 合 定 理3条 件 ， 从 n1
而 可 以 逐 项 求 导 ． 由 [a ,b ]在 ( R ,R )内 的 任 意 性 ，
即 得 幂 级 数 a n x n 在 ( R ,R )内 可 逐 项 求 导 . n 1
则 函 数 项 级 数 u n (x )在 区 间 I上 一 致 收 敛 . n 1
.
解 因为该级数每一项都在[0,1]是连续的，
且 sn(x)xn, 得和函数：
0 , 0x1 , s(x)ln is m n(x) 1 , x1 .
和函 s(x)在 数 x1处间 . 断
.
3
结论 函数项级数的每一项在[a,b]上连续，并且 级数在[a,b]上收敛，其和函数不一定在[a,b] 上
致收敛于s(x),则s(x)在[a,b ]上可以逐项积分,
即
x
s(x)dx
x0
x
x
x
x0u1(x)dx x0u2(x)dx x0un(x)dx (4)
其 中 ax 0xb ,并 且 上 式 右 端 的 级 数 在 [a ,b] 上 也 一 致 收 敛 .
.
19
证 级 数 u n (x )在 [a ,b]一 致 收 敛 于 s(x ), n 1 由定理 1, s(x)，rn(x)都在[a,b ]上连续，
收敛．同样函数项级数的每一项的导数及积分所 成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及 积分．
问题 对什么级数，能从每一项的连续性得出和 函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？
.
4
二、函数项级数的一致收敛性
定义 设 有 函 数 项 级 数 un ( x ) ． 如 果 对 于 任 意 n1
区间上的一致收敛性．
cos nx
1.
n1
2n
,
x ;
2. x2enx , 0 x .
所以积分
x x0
s(x)dx， x x0
rn(x)dx存在,从而有
x
x
x
x
x 0 s (x ) d x x 0 s n (x ) d x x 0 r n (x ) dx x0 rn(x)dx.
又 由 级 数 的 一 致 收 敛 性 ,对 任 给 正 数 必 有
NN()使 得 当 nN时 ,对 [a,b]上 的 一 切 x,都
致收敛.
进一步还可以证明，如果幂级数anxn 在收敛 n1
区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包
含端点．
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24
定理5 如 果 幂 级 数 a n x n 的 收 敛 半 径 为 n1 R 0 ， 则其 和 函数s( x) 在( R, R) 内 可导 ， 且
有逐项求导公式
s( x )
n1
un1(x)un2(x)unp(x)
an 1an 2an p2,
.
13
令 p , 则 由 上 式 得 r n ( x ) 2 .
因 此 函 数 项 级 数 u n(x)在 区 间 I上 一 致 收 敛 . n 1
例4 证明级数
sixn si2n 2xsin n 2x
12
22
n2
在 (, )上 一 致 收 敛 .
.
5
几何解释:
只要n充分大(nN),在区间 I 上所有曲
线ysn(x)将位于曲线
ys(x)与ys(x)之间.
y
ys(x)
ys(x) ysn(x)
ys(x)
o
I
x
.
6
例2 研究级数
x11x12x11x1nx1n1
在区间[0,)上的一致收敛性.
解 sn(x)x1n,
1 s (x ) ln is n m (x ) ln ix m n 0(0 x )
.
14
证 在 ( , ) 内
sin n2x1 (n1,2,3,)
n2
n2
级 数 1 收 敛 ，
n 2
n 1
由 魏 尔 斯 特 拉 斯 判 别 法 ，
所 给 级 数 在 ( , )内 一 致 收 敛 ．
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15
三、一致收敛级数的基本性质
定理1 如果级数un(x)的各项un(x)在区间 n1
一、问题的提出
问题: 有限个连续函数的和仍是连续函数，有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？
.
2
例1 考察函数项级数 x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
即nnaxn1与anxn的 收 敛 半 径 相 同 ．
n1
n1
.
29
四、小结
1、函数项级数一致收敛的定义； 2、一致收敛级数的判别法——魏尔斯特拉斯 判别法； 3、一致收敛级数的基本性质； 4、幂级数的一致收敛性．
.
30
练习题
一、已知函数s序 n 列 sinnx(n1,2,3,)在(,) 上收敛0于 ．
设 幂 级 数 n n x n a 1 的 收 敛 半 径 为 R ． RR, n 1
将 此 幂 级 数 nna xn1在 [0,x](xR)上 n1
逐 项 积 分 即 得anxn, n1
.
28
因 逐 项 积 分 所 得 级 数 的 收 敛 半 径 不 会 缩 小 ，
所R 以 R, 于R 是 R.
1.问N(, x)取多大 ,能使当 nN时,sn(x)与其极限 之差的绝对值小于 ; 正数
2. 证明sn(x) 在任一有限区 [a,b间 ]上一致收敛．
二、按定n 1义 (1)n讨 1(1xx 2 论 2)n在 级区 (数 , 间 )
上的一致收敛性．
.
31
三、利用魏尔斯特拉斯判别法证明下列级数在所给
有
rn(x)
. ba
.
20
于 是 ， 当 n N 时 有
x x 0s(x)d xx x 0sn(x)dx xx0 rn(x)dx
bq(xx0). 根据极限定义，有
x
x
nx
x 0s (x )d x ln ix m 0s n (x )d x ln ii m 1x 0u n (x )dx
在区间( 0 , 1]内的一致收敛性.
解 该 级 数 在 区 间 ( 0 ,1 ) 内 处 处 收 敛 于 和 s (x ) 0 ，
但 并 不 一 致 收 敛 ．
对于任意一个自然数 n, 取 xnn12， 于 是
sn(xn)xnn
1, 2
但 s(xn)0, 从 rn (而 x n )s(x n ) sn (x n ) 1 2 .
即
x
x
s(x)dx
x0
i1
x0ui(x)dx
由于N只依赖于 而于x0,x 无关，
所 以 级 数 i 1 x x 0u i(x)d在 x[a,b]上 一 致 收 敛 .
.
21
定理3 如 果 级 数 u n ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 收 敛 n1
于 和 s(x) ， 它 的 各 项 un(x) 都 具 有 连 续 导 数
由 比 值 审 敛 法 可 知 级 数 nn 1 q 收 敛 ， n 1
于是 nn 1 q 0 (n ),
.
26
故 数 列nq n1有 界 ， 必 有 M0， 使 得
nn q 11M x1
(n1,2,)
又 0x 1R ， 级 数a nx 1 n收 敛 ， n 1
由 比 较 审 敛 法 即 得 级 数 nn x a n 1收 敛 ． n 1 由 定 理4， 级 数 nnaxn1在 (R,R)内 的 任 意 n1
(
x0
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. 3
(2)
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17
s n ( x ) 是 有 限 项 连 续 函 数 之 和 ，
故sn(x)(nN)在点x0连续，
0 当 x x 0时 总 有 s n (x ) s n (x 0 ) 3(3) 由(1)、(2)、(3)可见, 对 任 给 0 ， 必 有 0 ，
当xx0 时，有s(x)s(x0).
给 定 的 正 数 ， 都 存 在 着 一 个 只 依 赖 于 的 自
然数 N ，使得当 n N 时，对区间 I 上的一切
x，都有不等式
rn ( x ) s( x ) sn ( x )
成立，则成函数项级数 un( x) 在区间 I 上一致 n1
收敛于和 s( x)， 也称函数序列 sn( x) 在区间 I 上 一致收敛于 s( x)．
a
n
x
n
na n x n1 ,
n1
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收
敛半径．
.
25
证 先证级数 nanxn1在(R,R)内收敛． n1
在 (R,R)内 任 意 取 定 x， 在 限 定 x1， 使 得
xx1R． 记 qxx11， 则
n 1
nn x a n 1 n x x 1 x 1 1a n x 1 n nn 1 q x 1 1a n x 1 n,
.
9
只 要 取 1， 不 论 n多 么 大 ， 在 (0 ,1 )总 存 在
2
点 x n ， 使rn 得 (xn),
因此级数在( 0, 1 )内不一致连续．
说明: 虽然函数序列 sn(x)xn在( 0, 1 )内处处 收敛于 s(x)0,但 sn(x)在( 0, 1 )内各点处收
敛于零的“快慢”程度是不一致的．
闭 区 间 [a,b]上 一 致 连 续 ，
.
27
故 幂 级 数 anxn在 [a,b]上 适 合 定 理3条 件 ， 从 n1
而 可 以 逐 项 求 导 ． 由 [a ,b ]在 ( R ,R )内 的 任 意 性 ，
即 得 幂 级 数 a n x n 在 ( R ,R )内 可 逐 项 求 导 . n 1
则 函 数 项 级 数 u n (x )在 区 间 I上 一 致 收 敛 . n 1
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