微积分(上册)第五章

1 sin x dx 2、 sin x(1 cos x) dx 4、 (2 cos x) sin x
dx 1、 1 3 sin x dx 3、 2 sin x cos x 5
§3 分部积分法
第二节
一 、 降次法
例1 求下列积分
分部积分法
1、 x cos xdx
2 x x 3、 e dx
2、 xe x dx
第五章 不定积分
§3 分部积分法
二 、 转换法
例2
1、
求下列积分
x ln xdx
2、 x arctan xdx
3、 arcsin xdx
第五章 不定积分
§3 分部积分法
三 、 循环法
x e sin xdx
例3
求
第五章 不定积分
§3 分部积分法
四 、 递推法
例4
n I (ln x ) dx 的递推公式（其中 n 为正整 求 n 3 (ln x ) dx 。
数，且 n 2 ），并用公式计算 例5 求下列积分
3 sec xdx 1、
dx
2 2
a x dx 3、 3x 2 5、 x 1 x 2 dx
dx 7、 2 a x2
2、 4、
2 cos 2 xdx
6、
xe dx tan xdx
x2
dx 8、 2 x a2 dx dx arctanx 9、 e 10、 2 x(1 2 ln x) 1 x dx dx 11、 cos x sec xdx 12、 x ln x ln ln x
第五章 不定积分
§1
§2 §3 §4
不定积分的概念、性质

最小值, 则
•性质9(定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连
续, 则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 , 使下式成立:
·性质10设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则
a
f
(x)dx
0,
a
a
2 0 f (x)dx,
(f (x)是奇函数); (f (x)是偶函数).
第二节 微积分基本定理
则该曲线弧长L为
L r2( ) r2( ) d
注意：弧长计算公式中的下限一定要小于上限.
＊三、定积分在物理上的应用
1.变力沿直线做功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
Oa
A(x) bx
y c, y dV π d 2 ( y)dy. c
y
平行截面面积已知的立体体积
❖ 有一立体被垂直于x轴的平面相截，被截体积 位于 x a和 x b的两平面之间，而且它被垂 直于x轴的平面所截的截面积是x的已知连续 函数 A(x) ，其立体的体积为
b
V a A(x) d x
(1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, tititi1;
(2)近似: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为
Siv(i)ti ( ti1< i<ti );
(3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
n
S v( i )ti ;
i 1
(4)取极限: 记max{t1, t2,, tn}, 物体所经过的路程为
取 ε 0 ，如果极限 lim b f (x)dx 存在，则称此极限为函 ε0 a

微分方程。
例如 dy 2xy ，ysec x y ， (1 x2 ) ydy arctan xdx 0
dx
等等都是可分离变量的微分方程。
形如 y f ( y) 的微分方程称为齐次微分方程。
例如 y yx tan y ，y 2dx (x 2 xy)dy 0 为齐次微
为微分方程。 未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程。 方程中未知函数导数的最高阶数，称为该微分方程
的阶。
第五章 常微分方程
例如 y x2 1 ，2 y 3xy x2 0 是一阶微分方程 d 2s 1 ，y py q f (x) 是二阶微分方程 。
案例1【跳伞规律】 求高空跳伞者的速度随时间的变化规律。（设阻力与
降落速度成比）
解 假设质量为m的物体在降落伞张开后降落时所受的空气
阻力与速度成正比，开始降落时速度为零。
当降落伞降落速度为ν (t )时，降落伞所受重力mg的 方向与ν (t )的方向一致，并受阻力-kν （k为比例系数，
与降落伞的受风面积有关，且大于0），负号表示阻力的
第五章 常微分方程
解 设w表示 圆桶重量，这里为239.456千克，V表示圆桶 体积,这里为0.208立方米，B表示海水浮力，这里为 1025.94V=213.396千克，k表示圆桶下沉时的阻力系数， 这里为0.12，v表示圆桶下沉时的速度，D表示圆桶下沉时 的阻力，这里为kv，t表示圆桶离开海平面下沉的时间，单 位为秒，y(t)表示圆桶在t时刻下沉的深度，单位为米。
dt2 2
阶微分方程的一般形式为：
F (x, y, y, y,, y(n) ) 0
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。

反常积分 I1 收敛 .
( 2) s 0 时, 反常积分 I 2 收敛 .
0 e x x s 1dx 对 s 0 均收敛 ,
(s )
即 ( s ) 在 (0, ) 上有定义.
o
s
－函数的几个重要性质：
１．递推公式 ( s 1) s( s ) ( s 0).
若 a f ( x ) dx 收敛, 则 a f ( x )dx 也收敛．
例7 判定反常积分 0 解
1
1 1 sin dx 的收敛性 . x x
1 dx 1 1 1 收敛， sin , 而 ０ x x x x
据比较审敛原理2可知,
进而可知 0
1
0
1
1 1 sin dx 收敛， x x
f ( x )dx 收敛．
定理 2 ( 比较审敛原理 1 ) 设 f ( x )、g ( x ) C [a , ), 且 0 f ( x ) g ( x ) ( x [a , ) ), 则
(1) a g ( x )dx 收敛 a f ( x )dx 收敛； ( 2) a f ( x )dx 发散 a g ( x )dx 发散．
第五节 反常积分的审敛法 函数
一、 函数
一、无穷限的反常积分的审敛法
定理１ 设 f ( x ) C [a , ), 且 f ( x ) 0．若 F ( x)
x a
f ( t )dt
a
在 [a , ) 上有界, 则反常积分
arctan x 例４ 判定反常积分 dx 的收敛性. x arctan x lim arctan x , 解 lim x x x x 2