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位置矢量运动方程轨迹方程位移-新乡学院精品课程

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DXWL01--第一章质点运动学

DXWL01--第一章质点运动学
青岛科技大学 大学物理教案 WXJ-V2.0
第一章
质点运动学
重点和难点：
本章重点是：运用运动方程求质点的位置、 速度和加速度；以及已知质点运动的加速度和初 始条件求速度和运动方程的方法. 本章难点是：圆周运动中切向加速度的理解.
教学手段和方法：
教师（课堂）讲授、多媒体辅助教学
教学时间安排：
青岛科技大学
大学物理教案 WXJ-V2.0
平均速度 v
与r 同方向.
§1-1 质点运动的描述
2.瞬时速度: 当 t 0 时平均速度的极限值叫做瞬时速度, 简称速度
当质点做曲线运动时, 质点在某一点的速度方向 就是沿该点曲线的切线方向.
青岛科技大学 大学物理教案 WXJ-V2.0
当 t 0 时, dr ds ds v et dt
6
t 2s
-6 -4 -2
青岛科技大学
4 2 0
t0
2 4
t 2s
x/m
6
大学物理教案 WXJ-V2.0
§1-1 质点运动的描述 [例2] 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚
性细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行. 如 物体A以恒定的速率 v 向左滑行, 当 60 时, 物体 B的速率为多少？
青岛科技大学 大学物理教案 WXJ-V2.0
§1-1 质点运动的描述
v v 吗？ 讨论 b v a v v(t t ) v(t ) c v(t ) v v(t t ) v(t ) v(t t )
解 （1）由题意可得速度分量分别为
1 1 t 3 s 时速度为 v (1m s )i (1.5m s ) j

第1章-质点运动学大学普通物理课件

第1章-质点运动学大学普通物理课件

方向：速度与 x、 y、z 轴的夹
角为 、、，且有
z
v


y
x
其中cos、cos、cos 称
为 x、 y、z 方向的方向余弦。

cos



cos



cos

vx
v
2 x

v
2 y

v
2 z
vy
v
2 x

v
2 y

v
2 z
vz
vx2

v
2 y

vz2

位矢: r xi yj zk

位移:
速度:
vrdrrB
rA
dx
i

dy
j
dz
k
(大小和方向)
加速度:
dt dt dt dt vxi vy j vzk
速率: v ds dt
a
dv

dvx
i
dvy
j
个参考系。
例如： 坐标轴(两个)固定在地面上的参考系——地面参考系； 以实验室的墙壁地板为参考物——实验室参考系；
§1-2 质点的位矢 位移和速度
Position vector of particle, Displacement and Velocity
1.1. 位置矢量
z
设质点在P点，相应的坐

例瞬时1:速一率个为质v 点在,某平时面间上内作的一平般均曲速线度运为v动,其, 瞬平时均速速度率为为v v
, ,
它们之间的关系必有D( )

位置矢量运动方程轨迹方程位移-新乡学院精品课程

位置矢量运动方程轨迹方程位移-新乡学院精品课程
t 0 t 0
3、角加速度 为了描述角速度变化的快慢，引进角 加速度概念。 （1）平均角加速度： 设在 t 内，质点角速度增量为 定义： （2-12） t 称为时间间隔内质点的平均角加速度 瞬时角加速度： d d 定义： lim lim t dt dt （2-13） 称为 t 时刻质点的瞬时角加速度，简称 角加速度。 d d （2-14） dt dt
y B , t t

O
A, t
x
图 1-11
2、角速度 平均角速度： 定义： （2-9） t 称为平均角速度。平均角速度粗略地描述 了物体的运动。为了描述运动细节，需要引 进瞬时角速度。 d lim lim t dt 定义： （ 2-10 ） d （2-11） dt 结论：角速度等于角坐标对时间的一阶导 数 说明：角速度是矢量,方向与角位移 方向一致。
此时0?nar????????????000000dvdvdvdtdvat匀速曲线运动减速曲线运动加速曲线运动?????????????????????斜抛平抛竖直下抛抛体运动匀速圆周运动减速圆周运动加速圆周运动圆周运动曲线运动特例1角坐标如图111t时刻质点在a处tt时刻质点在b处是oa与x轴正向夹角是ob与x轴正向夹角称为t时刻质点角坐标为t时间间隔内角坐标增量称为在时间间隔内的角位移
加速圆周运动 圆周运动 减速圆周运动 匀速圆周运动 曲线运动特例 竖直下抛 抛体运动 平抛 斜抛
⑷
三、圆周运动的角量描述
1、角坐标 如图1-11，t时刻质点在A处，t+Δt 时刻质点在B处，θ是OA与x轴正向 夹角， θ+ Δ θ是OB与x轴正向夹角， 称θ为t时刻质点角坐标， Δ θ为Δt时 间间隔内角坐标增量，称为在时间 间隔内的角位移。

理论力学(第7版)第五章 点的运动学

理论力学(第7版)第五章 点的运动学
a 4、匀速运动： v 常数， 0, s s0 vt
运 动 规 律
[例5-1 ] 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， z=4t m。 求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：
vx x 8 cos 4t , ax 32 sin 4t x
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
3
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
三.加速度
dv d 2r a r 2 dt dt
dv v2 a a a n a a n n n dt
17
5-3 自然法 曲率(1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
d lim| | t 0 S dS 1
由于a , an均在密切面内，全加速a必在密切面内。 度
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
(动画自然坐标轴的几何性质)
曲线在P点的密切面形成
5-3 自然法
二.点的速度
当t 0时，r MM' S
v y y 8 sin 4t , a y 32 cos 4t y
v z z 4, a z 0 z
2 2 2 2 v v x v 2 v z 80 m s , a a x a 2 a z 32m s 2 y y

第二章 质点运动学

第二章 质点运动学

五. 直线运动 1.直线运动的描述 直线运动：质点运动轨迹为一直线； 位矢： r xi 直线运动中，用坐标x(代数量)可表 示质点的位置； 运动方程：x x(t )
P2
x2
P1
0
x1
x
§ 1-2圆周运动
本节先讨论圆周运动，之后再推广 到一般曲线运动。 一、自然坐标系 图1-6中，BAC为质点轨迹，t时刻 质点P位于A 点，et、en分别为A点切向及法向 的单位矢量，以A为原点， et切向 和en法向为坐标轴，由此构成的 参照系为自然坐标系（可推广到 三维）
xi yj zk
讨论： a. 路程：质点沿轨迹运动所经历的路径长 度； b. 路程是标量，大小与位移的大小一般不 r s 相等，即； dr ds c. 在极限情况下 ； d. 单方向直线运动时； r s



三. 速度 描述质点运动快慢和运动方向的物量； 1.平均速度
det d v ds v 2 式（2-2）中第二项为： v v en en en dt dt r dt r
该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。 称此项为法向加速度，记为
v a n en （2-5） r
2
det
et
et d
大小为 （2-6） 是加速度的法向分量。 结论：法向加速度分量等于速率平方除 以曲率半径 。
⑷
三、圆周运动的角量描述 1、角坐标 如图1-11，t时刻质点在A处，t+Δt时刻质点在 B处，θ是OA与x轴正向夹角， θ+ Δ θ是OB与 x轴正向夹角，称θ为t时刻质点角坐标， Δ θ 为Δt时间间隔内角坐标增量，称为在时间间 隔内的角位移。

《大学物理矢量》课件

《大学物理矢量》课件
《大学物理矢量》PPT课 件
想深入了解物理矢量，掌握坐标系下矢量运算和微积分，本课件是你的不二 选择。
第一章：引言
矢量的定义和分类
向量和标量的区别， 矢量的种类及用途。
矢量的加法与减法
矢量和标量的加减方法，矢量夹角余弦定理。
矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示法及其转化。
第二章：物理矢量
1
知识点总结
总结各章的重点和难点，归纳矢量的基本知识。
提出问题和展望
对矢量的未来发展和最新成果进行介绍，提出学术问题和需求。
第四章：平面矢量问题
平面矢量的几何意义
平行四边形面积公式，平行线斜 截式公式等几何应用。
平面矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示 法及其转化。
Hale Waihona Puke 平面矢量的运算平移、旋转、翻折、变形等平面 矢量的运算。
第五章：空间矢量问题
1
空间矢量的几何意义
空间矢量坐标系的表示法，空间直线斜截式与空间面点法式公式。
2
空间矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示法及其转化。
3
空间矢量的运算
平移、旋转、翻折、变形等空间矢量的运算。
第六章：矢量的微积分与场论
1 矢量的微积分运算
矢量场的导数，散度和旋度等运算。
2 矢量场的概念与表示
矢量场的概念与表示方法。
结束语
矢量的应用
矢量在物理学，工程学，图形图像学，机器人等方面的应用。
位移、速度、加速度等基本物理量的矢量特征
矢量在平面直角坐标系下表示
2
物理定律的矢量形式
动量定理、角动量定理等定律的矢量形式。
3
物理问题的矢量分析方法

位置矢量


τ
r
6
y x z cos α = , cos β = , cos γ = r r r
此三个角满足关系： 此三个角满足关系：
2 2
设位矢与x， ， 三轴的夹角为 三轴的夹角为α 设位矢与 ，y，z三轴的夹角为α、β、γ。
z
γ
P ( x, y , z )
cos α + cos β + cos γ = 1
2
α
x
4
二、 n
ˆ τ
ˆ n
ˆ τ
O
质点P沿已知的平面轨道运动。 质点 沿已知的平面轨道运动。 沿已知的平面轨道运动 将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一 将此轨道曲线作为一维坐标的轴线， 作为坐标原点。 点O作为坐标原点。 作为坐标原点 质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长 质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长 来表示， 称为弧坐标。 称为弧坐标 度s来表示，s称为弧坐标。 来表示 运动方程： 运动方程：s = s (t ) 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。 在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标和法向坐标。 在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标和法向坐标。 •切向坐标 τ 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向； 切向坐标 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向； •法向坐标 n 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。 法向坐标 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。
r r
o
β
y
2.质点的运动方程 2.质点的运动方程
r r 质点运动时，在某时刻t，位矢可表示为： r = r (t ) 质点运动时，在某时刻t 位矢可表示为：
r r r = r ( t ) 称为运动方程（位矢方程） 称为运动方程 位矢方程） 运动方程（

02位置矢量运动学方程


•法向坐标 n 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。
5
ˆ 为单位矢量， 大小不变， ˆ, n
但方向改变。 强调：自然坐标系是建立在运动 质点上的，它随质点一起运动在 轨道曲线上。轨道上各点的自然 坐标系的二个坐标轴的方位是不 断变化的。
n
n

s 0O s 0
6
位置矢量在直角坐标系中可以从原点o向质点p所在位置画一矢量来表示质点位置称为位置矢量简称位矢
位置矢量 运动学方程
1
一、位置矢量
1.位置矢量 描写质点空间位置的物理量。 在直角坐标系中，可以从原点 O向质点P所在位置画 一矢量 r 来表示质点位置， z P( x, y, z ) r 称为位置矢量，简称位矢。
4
二、自然坐标系
1.自然坐标系
ˆ n
ˆ
ˆ n
ˆ
O
质点P沿已知的平面轨道运动。 将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一 点O作为坐标原点。
质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长 度s来表示，s称为弧坐标。 运动方程：s s(t ) 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。
在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标的端点代表质点的位置，位 矢的大小表示原点到质点的距离，位 矢的方向由原点指向质点P。 位矢可表示为：
r xi yj zk
o x
x
z
r
y
y
i , j, k 表示沿x，y，z轴的单位矢量。
2
2 2 2 位矢大小（位矢的模）：r | r | x y z
y
质点的运动实际上就是它的位置在随时间的变化。 即质点运动时，位置矢量是时间的函数。
质点运动时，在某时刻t，位矢可表示为： r r (t )

1-3 位置矢量和运动方程

A．抛物线；
）
B．椭圆；
C．圆；
x 2t 1 2 y gt 2
D和路程
1、位移 （反映物体位置的变化）
r rB rA
r r ( xB x A ) ( y B y A ) ( z B z A )
例：匀速率圆周运动 消去 t ，得到：
{
x = R cos ω t y = R sin ω t
为轨迹方程。
x2 +y2 = R2
轨迹?
圆
轨迹：质点在运动时所描绘出的空间径迹。
【习题 1-1】 一质点在平面内运动，其参数方
1 2 程为： x 2t ， y gt （g为重力加速 2
度）。则此质点的运动轨迹为（

2、 质点作圆周运动位置矢量大小一定不变。
【习题1-3】一个点的运动方程是 r R cos ti R sin tj
，R 、ω是正常数，当t=T/4到t = 3T/4时间内，质点通 2 过的路程是（ ）。其中 。 y T A．2R
B．πR
C．0 D．πRω
x
【习题1-4】 一个点的运动方程是 r R cos ti R sin tj
，R 、ω是正常数，从t =T/4到t =3T/4时间内该质点的位 2 y 移是（ ）。其中 。 T A． -2R i
B． 2R i Ｃ．-2R j
Ｄ．0
x
【补充例题1】 一质点在 xoy 平面内按x = t 2 ，y = t3/16的规律沿曲线运动，其中 x、y 以m为单位，t 以s 为单位。试求：质点2s末到4s末的位移。 解：
运动方程 （分量式）
运动方程举例： x = x0 + υ0 cos θ t 斜抛运动： y = y0 + υ0 sinθ t

大学物理 位置矢量 位移.

加速度与速度的夹角等于90，质点做圆周运动。
v a
v a
a
v
加速度
加速度与速度的夹角大于90，速率减小。 加速度与速度的夹角等于 90，速率不变。
g
v v g
v
v g 远日点 g v
g v g g g g g v
v v0 at
根据速度的定义式：
dx v v0 at dt
两端积分得到运动方程
d x (v at ) d t
x t x0 0 0
消去时间，得到
2 2
1 2 x x0 v0t at 2
v v0 2a( x x0 )
根据速度的定义式：
dx v v0 at dt
v
y
x 平均加速度
平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。
Δv a Δt
加速度
瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速度是一个极 限值 2 dv d r v 2 a lim t 0 t dt dt 瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐 标系中用分量表示:
§1-2 位置矢量
位移
1. 位置矢量 在坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量， 叫做位置矢量，简称位矢。位置矢量是从坐标原
点指向质点所在位置的有向线段。
r xi yj zk 2 2 2 r r x y z
z
cos x / r cos y / r cos z / r 2 2 2 cos cos cos 1 x
速率
2. 速率
平均速率
s v t
r s ds v lim lim v dt Δ t 0 t Δ t 0 t
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六、运动的二类问题 第一类问题： 已知运动学方程利用微分 求v、a等 第二类问题： 已知 v、a和初始条件利用 积分求运动学方程
§ 1-2圆周运动 本节先讨论圆周运动，之后再推广 到一般曲线运动。
一、自然坐标系 图1-6中，BAC为质点轨迹，t时刻质 点P位于A 点， et 、 en 分别为 A 点切向及法向的 单位矢量，以A为原点， et切向和en法 向为坐标轴，由此构成的参照系为自 然坐标系（可推广到三维）
y
A, t

1

B, t t

r1
（平移） 2

r2
2
o
图 1-4
x
2、瞬时加速度 为了描述质点运动速度变化的细节，引 进瞬时加速度。 定义：a=dv/dt=dr2/d2t （1-12） 称为质点在 t 时刻的瞬时加速度，简称 加速度。 结论：加速度等于速度对时间的一阶导 数或位矢对时间的二阶导数。 说明：一般情况下a与v方向不同（如不 计空气阻力的斜上抛运动）。
二、位置矢量 运动方程 轨迹方程 位移 1、位置矢量 定义：由坐标原点到质点所在位置的 矢量称为位置矢量（简称位矢或径 矢）。如图1—2，取的是直角坐标系， 位置坐标为X.Y.Z, 为质点的位置矢量 r=xi+yj+zk（1-1）
r= (x2+y2+z2) （1-2） r方向可由方向余弦 确定： z y x ， cos ， cos cos r r
第一篇 力学
力学分为： 1. 运动学：只从几何 观点研究物体的运动。如位置、速度、 加速度等，而不涉及物体间的相互作 用。2.动力学：研究物体间相互作用 和运动间的规律。 3.静力学：研究力 及力矩的平衡问题。
第一章
质点运动学
§1-1 质点运动的描述
一、参考系 坐标系 质点 1、参考系 为描述物体运动而选择的参考物体叫 参考系。 2、坐标系 为了定量地研究物体的运动，要选择 一个与 参考系相对静止的坐标系。如图1-1。 说明：参考系、坐标系是任意选择的，视处 理问题方便而定。
1、平均速度 如图1-3 定义：平均速度=Δr/Δt（1-7） 称为Δt时间间隔内质点的平均速度。 平均速度方向：同Δr方向。 说明：与时间间隔相对应。平均速度仅提供一 段时间内位置总变动的方向和平均快慢。
2、瞬时速度 平均速度粗略地描述了质点的运动情况 。为了描述质点运动的细节，引进瞬时 速度。 定义：瞬时速度v=dr/dt 称为质点在时刻的瞬时速度，简称速度 结论：质点的速度等于位矢对时间的一 阶导数。 v 的方向：所在位置的切线且指向质点 运动的方向 .
五、直线运动 质点做直线运动，如图1-5 1、位移 Δr=r2-r1=x2i-x1i=Δxi; 当Δx>0时， Δr 沿+x方向；
A, t
B, t t
o
x1
x2
x
图 1-5
2、速度 v=dx/dti=vxi，vx >0 沿+x轴方向；，vx <0 沿-x轴方向。 3、加速度 a=dv/dt=dvx/dti=axi ， ax>0 沿 +x 轴方向； ax <0 沿-x轴方向。 由上可见，一维运动情况下，由Δx、vx、 ax的正负就能判断位移、速度和加速度的方 向，故一维运动可用标量式代替矢量式。
C
et (切向）
e（法向） n
A ,t P
B 图 1-6
二、圆周运动的切向加速度及 法向加速度
1、切向加速度 如图1-7，质点做 半径为r的圆周运动，t时刻 ，质点速度 V=vet （2-1） 式（2-1）中，v为速率。
v
3、平均速率与瞬时速率 定义：平均速率=Δs/Δt（参见图1-3） 称为质点在Δt时间段内的平均速率。为 了描述运动细节，引进瞬时速率。 定义：v=ds/dt 称为 t 时刻质点的瞬时速率，简称速率 . 当Δt趋于零时， Δr=dr, Δs=ds,所以，瞬 时速率=瞬时速度的大小。 结论：质点速率等于其速度大小或等于 路程对时间的一阶导数。
z
参考系
o 坐标系
y
x
图 1-1
3、质点 忽略物体的大小和形状，而把它看作 一个具有质量、占据空间位置的物体， 这样的物体称为质点。 说明：⑴质点是一种理想模型，而不 真实存在（物理中有很多理想模型）。 ⑵质点突出了物体三个基本性质： 1）具有质量； 2）占有位置； 3）无体积。 ⑶物体能否视为质点是有条件的、相 对的。视研究问题的性质和精确度而定.
r
z
z P r


y

y
x
x
图 1-2
2、运动方程 质点的位置坐标与时间的函数关系， 称为运动方程。 运动方程 ⑴矢量式： r=x(t) i+ y(t)j+z(t)k （1-3） ⑵标量式： x=x(t),y=y(t),z=z(t) 掉t，得出x、y、 z之间的关系式为轨迹方程， 即F(x、y、z)=0。 如平面上运动质点，运动方程为 x=t，y=t2， 得轨迹方程为 y=x2（抛物线）
新乡学院物理系 校级力学精品电子课件 制作人：梁彦天 2005.3.8
没有今日的基础科学，就没有明日 的科技应用。 ……. 可以想象，我们现在的 基础科学将怎样地影响21世纪的科技文明。 ---------李政道 运动只能理解为物体的相对运动。 在力学中，一般讲到运动，总是意味着相对 于坐标系的运动.-------爱因斯坦
讨论： ⑴比较 Δr 与 r ：二者均为矢量；前 者是过程量，后者为瞬时量 ⑵比较 Δr 与 Δs （ A→B 路程）二者 均为过程量；前者是矢量，后者是标 量。一般情况下Δr的大小不等于Δs 。 当Δt趋于零时， Δr的大小等于Δs 。 ⑶什么运动情况下，均有 Δr 的大 小等于Δs ？
三、速度 为了描述质点运动快慢及方向， 从而引进速度概念。
说明： ⑴比较平均速率与平均速度： 二者均为过程量；前者为标量，后者 为矢量。 ⑵比较速率与速度：二者均为瞬 时量；前者为标量，后者为矢量。 （ 3 ）一般，平均速率不等于平均速 度的大小。速率不等于速度的大小。
四、加速度
为了描述质点速度变化的快慢，从而引进加速度的概 念。 1、平均加速度 定义：平均加速度=Δv/Δt（见图1-4） 称为Δt时间间隔内质点的平均加速度。