定解问题和本征值问题

第2章定解问题第2章定解问题1、何谓数理⽅程？按其描绘的物理过程，它可分为哪⼏类？2、何谓定解问题？它分为哪⼏类？试写出⼀维波动⽅程的Cauchy问题的数学表⽰。

3、何谓定解条件？它包括哪些内容？4、何谓边界条件？它分为哪⼏类？⼀个边界需⽤⼏个边界条件来描述？5、⽤数理⽅程来研究物理问题需要经历哪⼏个步骤？6、在静电场问题中，由介电常数分别为和的两种介质组成的系统的交界⾯S 处的衔接条件有⼏个？应如何表⽰？7、如何导出物理模型的数理⽅程？在推导弦的横振动⽅程时采⽤了哪些近似？由⼩⾓度近似我们得到什么结论？8、热传导⽅程的扩散⽅程有何共同和不同之处？9、在杆的纵振动问题中，若端⾃由，这个边界条件如何写？你能从Hooke定律出发证明吗？10、在杆的导热问题中，若端绝热，这个边界条件该如何写？你能从⼀物理定律出发证明吗？11、在热传导问题中，若热源密度不随时间⽽变化，则热传导⽅程会发⽣怎样的变化？12、在弦的横振动问题中，若弦受到了⼀与速度成正⽐的阻⼒，该阻⼒对于弦的振动问题是否起到了源的作⽤？若受到了⼀与位移成正⽐的回复⼒呢？第3章⾏波法1、⾏波法的解题要领是什么？它适合⽤来求解哪⼀类定解问题？为什么？2、⼀维波动⽅程的通解为什么含有两个任意函数？他们各个有怎样的形式和怎样的物理意义？靠什么确定他们的具体函数形式？3、公式是⽤⾏波法求解弦的横振动问题时推得的，能否⽤公式求解如下定解问题？请说明原因？4、能否⽤公式求解如下定解问题？5、能否⽤⾏波法求解如下定解问题？6、你能否根据直⾓坐标系中的导出球坐标中球对称情况下的的表达式请记住这个结论：7、何谓平均值法？你能通过引⼊球⾯的平均值，将三维的波动⽅程化为关于平均值的⼀维⽅程吗？8、在Poisson 公式中，?若已知9、对于定解问题除了可⽤Poisson 公式求解外？你能否有其他的求解法？10、在弦的横振动⽅程单位质量的弦所受的外⼒，若将则怎样的物理含意？它的量纲是什么？11、冲量原理的精神是什么？12、你能否⽤纯强迫振动的解来求解定解问题13、试述推迟势的物理意义，在推迟势中，若，且局限于⼀单位球内，则其中的体积分该如何计算？14、对于定解问题按下述⽅法进⾏求解是否正确？为什么？令使由公式可求得⽽显然，所满⾜的定解问题的解为所以，原定理问题的解为第4章分离变量法1、分离变量法的物理背景是什么？为什么能将未知函数表⽰为单元函数的乘积？2、分离变量法适于求解哪些定解问题？能⽤分离变量法求解⽆界问题吗？4、分离变量法有哪⼏个求解步骤？其中最关键的是哪⼀步？5、何谓本征值问题？以下两个定解问题是否构成本征值问题？(1)(2)6、仿照上章⽤冲量原理求解⽆界弦的纯迫振动的思想和⽅法，你能否写出⽤冲量原理求有界弦的纯强迫振动的公式？7、在将边界条件齐次化时，为什么通常可选辅助函数为X的⼀次式，⽽当问题的两个端点均有第⼆类边界条件时，必须选辅助数为X的⼆次式？8、在⽤分离变量法求解圆的Dirichlet问题时，需要将边界条件齐次化吗？为什么？9、在⽤分离变量法求解下述问题时，是否需将边界条件齐次化？如何齐次化？10、在柱坐标和极坐标中对分离变量，所得到的的⽅程为…其后为什么要注明…？它是怎样得来的？11、在扇形区域中，⽤分离变量法求Dirichlet问题应选择什么坐标系？所得到的的⽅程仍是…吗？为什么？12、在⽤分离变量法求解定解问题时，应如何选择坐标系？能在直⾓坐标系中求解吗？5章特殊函数>> 1）勒让德多项式1、⽅程是什么⽅程？你能写出它在中的⼀有限解吗？2、试述Legendre⽅程本征值问题的提法，其本征值、本征函数是什么？3、你能证明吗？你能由和之值算出吗？4、Legendre多项式的母函数是什么？何谓母函数法？它有哪些⽤途？5、Legendre多项式的归⼀化因⼦是什么？模是什么？你能得到⼀正交归⼀的Legendre多项式吗？6、积分和之值分别是多少？和7、你能将⽤Legendre多项式表⽰吗？8、你能否⽤关系式导出递推公式9、在球坐标系中，在轴对称的情况下，△u=0的变量分离形式的解是什么？在球内的解是什么？在球外的解呢？10、什么是缔合Legendre函数？它是否⼀定是多项式？为什么？11、试述缔合Legendre⽅程本征值问题的提法，其本征值和本征函数是什么？12、缔合Legendre函数的模和归⼀化因⼦是什么？13、是否等同于？与有何关系？你能否由的正交归⼀性导出的正交归⼀性？15、何谓球函数⽅程？它满⾜下列条件的特解是什么?16、独⽴的l阶球函数共有多少个？17、你能⽤两种不同的形式，写出在球坐标系中，在⾮轴对称的情况下△u=0的解吗？它们对于球内和球外的具体情况，⼜分别是怎样的呢？2）贝塞⽿函数1、⽅程叫什么⽅程？你能写出它的⼀有限解吗？2、何谓Bessel函数的零点？它与Bessel⽅程的何种本征值问题有关？有什么样的关系？3、Bessel函数的母函数是什么？当v不为整数时有⽆母函数？为什么？4、你能利⽤Bessel函数的母函数关系式推导出Bessel函数的递推公式吗？5、Bessel函数有⽆微分表达式？若有，试写出；若⽆，说明为什么？6、什么是三类柱函数？它们是否均满⾜Bessel⽅程？它们互相的关系是怎样的？7、第⼆、三类柱函数是否也满⾜Bessel函数递推公式？为什么？8、9、10、Bessel⽅程的通解是什么？其有限解是什么？11、什么是虚宗量的Bessel⽅程？它经过什么样的代换可变成Bessel⽅程？由此你能推得虚宗量的Bessel ⽅程的⼀个特解吗？12、什么是虚宗量的Bessel函数和虚宗量的Neumann函数？虚宗量Bessel⽅程的通解是什么？13、你能完整地写出在柱坐标中对分离变量后所得到的在柱体内的分离变量形式的解吗？14、⽅程在柱坐标系下分离变量，在什么样的边界条件下会出现虚宗量Bessel⽅程？虚宗量的Bessel⽅程是否会构成本征值问题？15、球Bessel⽅程是什么样的情况下出现的？它与半整数的Bessel⽅程有什么关系？你能理解式给出的⼏个函数是球Bessel ⽅程的特解吗？16、试述球Bessel⽅程本征值问题的提法，其本征值和本征函数是什么？17、你能写出在球坐标系中对所得到的分离变量形式的解吗？第6章积分变换法1、何谓积分变换法？他的解题步骤是怎样的？2、Fourier变换的定义是什么？它的存在条件是什么？你能由周期函数的Fourier级数⽽导出⾮周期函数的Fourier积分从⽽引⼊Fourier变换吗？3、试求函数的Fourier变换（a>0），你能利⽤Fourier变换的某些性质求出和吗？其中，a为常数，t为参变量。

数学物理方程及数值解 复习提要一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)主要方法：微元法； 泛定方程:(1) 波动方程(双曲型)：弦振动方程：222222(,)(,)(),()u x t u x t F a a txρ∂∂==∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程：222222222221,00i a LCi a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂；， 电磁场方程:22222211,,H E H E t t εμεμ∂∂=∇=∇∂∂22222222221(),με标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）:ρ，其中22u Fa u f f t c ∂=∇+=∂ 导热杆（无热源）222u u a t x ∂∂=∂∂， 导热片（无热源）22222()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):Poisson 方程：，2u f ∇= Laplace 方程：，20u ∇=2.定解条件：初始条件及边界条件边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):2Duf n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3()Duu f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩偏微分方程(泛定方程)定解问题初始条件定解条件边界条件()Cauchy ⎧⎨⎩泛定方程(1)初始问题初始条件 ⎧⎨⎩泛定方程(2)边界问题(第一,二,三)边界条件⎧⎪⎨⎪⎩泛定方程(3)混合问题初始条件边界条件4.线性偏微分方程的基本性质（1）.线性迭加原理212,11,,,,,,,:nnij i ij i n i j i i j iL a b c a b c f x x x x x x ==∂∂=++∂∂∂∑∑其中是算子的函数111(1,2)(),nnni i ii ii i i i i i L u f in L c u c L u c f=====⇒==∑∑∑命题：21110(1,2),,()0,nnii i i i i i i i i i k j u Lu i c u c L c u x x ∞===∂==⇒=∂∂∑∑∑一致敛命收题：(2.) 齐次化原理（冲量原理）Duhamel 原理：设(,,)x t ωτ是方程22222,,(,)(,)0,(,),a x t t x x x f x x t ωτωτωττω⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解，⇒0(,,)d ,()t x t u x t ωττ=⎰是方程22222(,),,0(,0)(,0)0,0,u u a f x t x t tx u x u x x t ⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……附：拉普拉斯方程02=∇u 在柱坐标系和球坐标系下的表达式 柱坐标系：2222222110u u u uzρρρρϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂球坐标系：2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭一、填空题36分（每空2分）1、 数量场2322u x z y z =+在点(2, 0, -1)处沿2423x xy z =-+l i j k 方向的方向导数是。

2、 矢量场()xyz x y z ==+A r r i +j k 在点(1, 3, 3)处的散度为 。

3、 面单连域内设有矢量场A ，若其散度0∇⋅A =，则称此矢量场为 。

4、 高斯公式Sd ⋅=⎰⎰ A S ；斯托克斯公式ld ⋅=⎰ A l 。

5、 将泛定方程和 结合在一起，就构成了一个定解问题。

只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为 ；只有边界条件，没有初始条件的定解问题称为 ；既有边界条件，又有初始条件的定解问题称为 。

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……6、 ()l P x 是l 次勒让德多项式，则11()()l l P x P x +-''-= ； m n =时，11()()mn P x P x dx -=⎰。

7、 已知()n J x 和()n N x 分别为n 阶贝塞尔函数和n 阶诺依曼函数(其中n 为整数)，那么可知(1)()n H x = 。

(2)()n H x = 。

8、 定解问题2222000(0,0)|0,||0,|0x x ay y bu ux a y b x y u u V u u ====⎧∂∂+=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩的本征函数为 ，本征值为 。

《数学物理方法》课程考试大纲一、课程说明：本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。

本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。

为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。

本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。

本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。

二、参考教材：必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。

参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。

三、考试要点：第一章复变函数（一）考核知识点1、复数及复数的运算2、复变函数及其导数3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件（二）考核要求1、掌握复数三种形式的转换。

2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的方法。

u 。

3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv第二章复变函数的积分（一）考核知识点1、复变函数积分的运算2、柯西定理（二）考核要求1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。

2、掌握应用原函数法计算积分。

3、掌握柯西公式计算积分。

第三章幂级数展开（一）考核知识点1、幂级数的收敛半径2、解析函数的泰勒展开3、解析函数的洛朗展开（二）考核要求1、理解幂级数收敛圆的性质。

2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。

3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。

4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。

第四章留数定理（一）考核知识点1、留数的计算2、留数定理3、利用留数定理计算实变函数定积分（二）考核要求1、掌握留数定理和留数计算方法。

第六章 习题答案6.1-1 求解下列本征值问题的本征值和本征函数。

（1）0=+''X X λ ()00=X ()0='l X（2）0=+''X X λ ()00='X ()0='l X （3）0=+''X X λ ()00='X ()0=l X （4）0=+''X X λ()0=a X()0=b X解：（1）0=λ时，()b ax x X +=，代入边界条件得 ()00==b X 和()0=='a l X 得到()0=x X ，不符合，所以0≠λ0>λ时，()x b x a x X λλsin cos +=，代入边界条件得()00==a X ，()()2224120sin ln l b l X nπλλ+=⇒==',2,1,0=n所以：()()21sin 2n n X x x lπ+=,2,1,0=n（2）0=λ时，()b ax x X +=，代入边界条件得 ()00=='a X 和()0=='a l X ，所以()b x X =存在。

0>λ时，()x b x a x X λλsin cos +=，代入边界条件得()000=⇒=='b b X λ，() ,2,10sin 222==⇒=-='n ln l a l X n πλλλ综合：本征值：222ln n πλ=,2,1,0=n本征函数：()x ln x X n πcos = ,2,1,0=n（3）0=λ时，()b ax x X +=，代入边界条件得 ()00=='a X 和()0==b l X ，()0=x X 不符合。

0>λ时，()x b x a x X λλsin cos +=，代入边界条件得()000=⇒=='b b X λ，()() ,2,1,04120cos 222=+=⇒==n ln l a l X nπλλ本征函数：()()21cos 2n n X x x lπ+= ,2,1,0=n（4）0=λ时，()d cx x X +=，代入边界条件得 ()0=+=d ca a X 和()0=+=d cb l X ，得到b a =，故0≠λ。

2本征（特征）值问题在求解方程过程中，我们遇到如下问题：()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩通过讨论我们知道，仅当λ＞0，且为某些特定值时该方程有非平庸解。

这些值称为方程在相应边界条件下的本征值；方程相应于不同λ值的非零解称为本征函函数。

求解本征值和本征函数的问题称为本征值问题。

量子力学中的本征值问题经典力学中的物理量在量子力学中都对应于一个Hermitian operator。

任意一个Hermitian operator的本征函数都可以构成Hilbert空间的一个完备函数基。

而其他任意Hermitian operator的本征函数都可以用这个完备基展开，而且展开式是唯一的。

每个Hermitian operator的本征值对应于该物理量可能的观测值；每次测量该物理量总会以一定概率得到某个本征值，这个概率由测量时体系的波函数决定。

3分离变量法可以推广应用到各种定解问题，但它的应用也有一定的限制：1、常系数偏微分方程总能进行变量分离，而变系数偏微分方程则不一定。

2、二阶线性偏微分方程并不总是存在变量分离的解。

6分离变量法实际上是通过某种办法得到了问题的某一种完备基函数，然后将问题的解用该完备基展开，再利用定解条件确定展开系数，从而确定问题的解。

这一做法在量子力学中被广泛使用，尤其是在利用数值方法求解薛定谔方程的时候。

713非齐次方程—有界弦的受迫振动考虑有界弦的受迫振动，即研究定解问题：容易知道，直接应用分离变量法行不通(?)。

()()()()()()()()()()()[]()2,,0,,0,0,0,,0, 0,0,,0. 0,tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧=+∈∈∞⎪⎪==≥⎨⎪==∈⎪⎩分离变量法处理问题的程序1、对方程和边界条件分离变量，如果边界条件是非齐次的，还要对边界条件进行处理。

定解问题问题的分类数学物理方程（泛定方程）加上相应的定解条件一起构成了定解问题。

根据定解条件的不同，又可以把定解问题分为三类：初值问题：定解条件仅有初值条件；边值问题：定解条件仅有边值条件；混合问题：定界条件有初值条件也有边值条件。

35分离变量理论(,)(,)(,)(,)(,)0xx yy x y a x y u b x y u c x y u d x y u e x y u ++++=考察如下两变量的二阶线性齐次偏微分方程：试确定方程如下形式的解：()()u X x Y y =将该解代入方程可得：aX Y bXY cX Y dXY eXY ′′′′′′++++=8有界弦的自由振动问题（齐次方程的混合问题）研究两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题：()()()()()()()()()20, 0,0,0, ,00;,0, ,0, 0.tt xx t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩在求解常微分方程时，通常的做法是先求出方程的通解，然后利用给定条件确定通解中的积分常数。

对于如上定解问题，这中做法一般情况下是行不通的。

原因在于通常很难求出偏微分方程的通解。

解决这一问题的办法是直接求满足定解条件的特解。

10相应地，边界条件变为：()()()()()()()()0000,00,0u t X T t u l t X l l t X X T ==⎫⎪⇒⎬===⎧=⎪⎭⎪⎨⎪⎩这样就得到如下常微分方程：()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩该常微分方程的解依λ的取值不同而不同，需要讨论。

15本征值问题在求解方程过程中，我们遇到如下问题：()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩通过讨论我们知道，仅当λ＞0，且为某些特定值时该方程有非平庸解。

线性代数中的本征值问题是一类重要的数学问题，涉及到矩阵、向量、特征值等概念，是线性代数理论的核心之一。

本文将从基本概念入手，探讨本征值问题的一般性质、求解方法及应用等方面。

一、基本概念矩阵是线性代数中的重要概念，是一个按照一定排列方式排列的数表，常用大写字母表示。

对于一个矩阵A，若存在一个非零向量x满足下式：Ax = λx其中λ为常数，则称常数λ为矩阵A的一个特征值，称向量x 为矩阵A关于特征值λ的一个特征向量。

二、一般性质本征值问题是线性代数中重要的问题之一，有以下一般性质：1.特征值与特征向量是成对出现的，每个特征值对应一个或多个线性无关的特征向量。

2.矩阵的特征值和其转置矩阵的特征值是相同的。

3.若矩阵是实对称矩阵，则其特征值一定是实数。

4.若矩阵是正定矩阵，则其特征值一定是正数。

三、求解方法求解本征值问题的方法有很多，以下主要介绍两种：1.特征值分解法对于一个n阶矩阵A，若它有n个线性无关的特征向量，则可以通过它们组成的特征向量矩阵P和对角矩阵Λ，将矩阵A分解为以下形式：A = PΛP^-1其中Λ为以矩阵A的特征值为对角线元素的对角矩阵，即：Λ = [λ1 0 0 … 0][0 λ2 0 … 0][0 0 λ3 … 0]...[0 0 0 … λn]该方法的优点是求解简单，但必须存在n个线性无关的特征向量。

2.幂法幂法是一种迭代法，用于求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量。

其主要思想是：先任选一个初始向量x0，将其乘以矩阵A，并将结果归一化（即除以模），得到一个新的向量x1。

反复迭代，直到结果的变化趋于趋于稳定。

迭代公式如下：xi+1 = Axi / ||Axi||其中||·||表示向量的模。

该方法的优点是对于大型稀疏矩阵求解较为方便。

四、应用本征值问题具有广泛的应用，涵盖了各个领域，以下列举几个具体的应用：1.物理学中的量子力学，关于能量和动量的本征值问题。

2.工程学中的结构动力学，关于结构振动的本征值问题。