人教版高中数学必修四：2.1《平面向量的实际背景及基本概念》课件

b· b
＝a2－b2.
的夹角为 例 4、 已 知 | | 6 , | | 4 , 与
60 ,
o
a ba b
求 （ 2 ) ( 3 ) 。
ab ab
解:
例 5 . 已 知 | a | 3 , | b | 4 , 当 且 仅 当 k 为 何 值 时 ， 向 量 a k b 与 a k b 互 相 垂 直 ？

O
θ
B1 a
A
当 a 与 b 反向时 a b | a || b |;
2 a
2 特别地 a a |a |或 |a | a a
ab ( 4 )cos | a||b|
( 5 ) | a b | | a || b |
记为a⊥b.
O
B
b O a A
我们学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量 “数量积”的概念。
已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a· b
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 CC B 0 量A 。 C C B，即A
C
B
O
O a , O C b 解：设 A 则 A ， Ca b , C B a b 由此可得： A CC B ab ab
作业：
1 、若 | a| |b| 1 ,a b 且 2 a 3 b 与 k a 4 b 也 互相垂直，求 k 的值。 2 、设 a 是非零向量，且 bc ,求证： a ba c a ( b c )

所以，数学中的向量也叫 自由向量。
四、向量间的关系
D
C
A
B
A
B
D
C
a
.
b
o
【定义】平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
如： a b c
记作 a ∥b ∥c
规定：0与任一向量平行.
C OA = a
O
.OB = b
A
Bl
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l
上的一点O ，这时它们是不是平行向量？
课本77页 习题2.1 A 第1和2题 习题2.1 B 第1题
复习巩固本节课的基本内容！
(2)求出
uuur AD
.
【审题指导】作图时既要考虑向量的大小，又 要考虑其方向及起点，为此可建立平面直角坐 标系，在坐标系中作图求解.
【规范解答】(1)向量
uuur uur uuur AB、BC、CD
如图所示：
（2）由题意，AuuDur

uur BC

200
km.
例 分别2．写如出图图，中设与O是正六平Ouu边A行ur 形的A向BC量DE.F的中心， 【解析】：
【能力2】零向量与单位向量的关系是______(填 “平行”、“垂直”、“无关”). 【解析】由于我们规定：零向量与任何向量平行， 所以零向量与单位向量“垂直”、“无关”是错 误的. 答案:平行
【能力3】如图，以1×2方格纸中的格点（各线段
的交点AuuFr、AuuEr 平行的向量；
r r rr
(A)若 a
r
∥
b
r
，则
r
a
与b
r
的方向相同或相反

位移和距离
长度+方向
香港
上海 台北
物 理 背 景 引入
G
F
力 大小+方向
物 理 背 景 引入
速度 大小+方向
物 理 背 景 引入
物理
位移
矢力量
速度
大小+方向
数学 向量
概念理解
定义：既有大小又有方向的量叫向量。 注：1.向量两要素；
2.向量与数量的区别： ①数量只有大小 ，可以比较大小。
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能 比较大小的，因此向量不能比较大小。
概念辨析
判断题
1.身高是一个向量 ( ) 2．温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ）
3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量 ( )
几何表示
有向线段：如图，以 A 为起点、B 为终点的有向线段. 记作 AB
或 a ，一条有向线段由哪几个基本要素所确、方向
向量关系
2.相等向量的定义： 长度相等，方向相同的向量
D
A
uuur uuur
记作：AB DC
B
C
3.相反向量的定义：长度相等，方向相反的向量
r a
rr
r c
记作： a = -c
典型例题
例 1 判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量 a 与b 同向，且| a || b | ，则a b ； (2)若向量| a || b | ，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量| a || b | ，若a 与b 的方向相同，则a b ； (4)由于0 方向不确定，故0 不与任意向量平行； (5)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．

例1 下列结论中正确的是( )
A．向量A→B的长度和向量B→A的长度相等
栏
目
B．向量 a 与 b 平行，则 b 与 a 方向相同
链
接
C．两个有共同起点而长度相等的向量，它们的终点必
相同
D．若 a 与 b 平行同向，且|a|＞|b|，则 a＞b
第十九页，共33页。
解析：A 正确．
B 不正确．共线向量包括方向相同和相反．
栏
构成的图形是________．
目 链
接
解析：(1)单位向量不唯一，因为方向可以不同．有无数 个单位向量．
(2)圆
第十页，共33页。
基础 梳理
三、共线向量(xiàngliàng)与相等向量(xiàngliàng)
1．平行向量：方_向__(_fā_n_g_x_i_à_n_g_)相__同__或__相__反__的__非_叫零做向平量行向量，
栏
C．如果|a|＝|b|，则 a 与 b 长度相等
目
链
D．共线向量一定在同一条直线上
接
解析：向量的模也就是向量的长度，故 C 正确． 答案：C
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题型2 相等(xiāngděng)向量与平行向量的理解 例2 如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中 与向量O→A、O→B、O→C相等的向量．
接
么方向？D 点距 A 点多远？
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跟踪
训练
解析：由|B→C|＝100 2，知 C 在 A 的正北方向，|A→C|＝100 2.
栏 目 链 接
又由|C→D|＝50 2，∠ACD＝60°知∠CDA＝90°. 即∠DAC＝30°，故D→A的方向为南偏西 30°， 长度为 50 6 km.