2021年高考数学（理）解析几何突破性讲练10圆锥曲线综合问题（2）-最值、范围、证明问题一、考点传真：1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．二、知识点梳理：1.圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.3.圆锥曲线中的证明问题常见的有：(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明. 三、例题：例1.（2020年江苏卷，18）在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B .（1）求12AF F 的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB 的面积分别是1S ，2S ，若213S S =，求M 的坐标.【解析】（1）设椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F 的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为-4.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),1,2F F A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线:343AB x y -+. 设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120143x x x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2724320x x ++=，此方程无解； 由223460143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线3460l x y --=：，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212,77⎛⎫--⎪⎝⎭.例2.（2020年上海卷，20）双曲线22122:14x y C b-=，圆2222:4(0)C x y b b +=+>在第一象限交点为A ，(,)A A A x y ，曲线2222221,44,A A x y x x b x y b x x⎧-=>⎪Γ⎨⎪+=+>⎩.（1）若A x =b ；（2）若b =2C 与x 轴交点记为12F F 、,P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足18PF =，求∠12F PF ；（3）过点2(0,2)2b S +且斜率为2b-的直线l 交曲线Γ于.M N 两点，用b 的代数式表示OM ON ⋅，并求出OM ON ⋅的取值范围.【解析】（1）若A x =A 为曲线1C 与曲线2C 的交点， 222222144A A x y bx y b⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，解得2y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 2b =（2）方法一：由题意易得12F F 、为曲线的两焦点， 由双曲线定义知：212PF PF a =-，18,24PF a ==，24PF ∴=又5b =，126F F ∴=在12PF F △中由余弦定理可得：2221212121211cos 216PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅⋅ 方法二：5b =，可得2222145(3)64x y x y ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得P ，12(7,15),(1,PF PF ∴=--=-，12121211cos(,)16||PF PF PF PF PF PF ⋅∴==⋅ （3）设直线24:22b b l y x +=-+可得原点O 到直线l 的距离d ==所以直线l 是圆的切线，切点为M ，所以2OM k b =，并设2:OM l y x b =，与圆2224x y b +=+联立可得222244x x b b+=+， 所以得,2x b y ==，即(,2)M b ，注意到直线l 与双曲线得斜率为负得渐近线平行， 所以只有当2A y >时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点， 由222222144Ax y b x y b ⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，得422A b y a b =+， 所以有4244b b<+，解得22b >+22b <-（舍） 又因为OMON ⋅由ON OM 在上的投影可知：24OM ON b ⋅=+ 所以246OM ON b ⋅=+>+(625,)OM ON ⋅∈++∞.例3. （2019浙江卷）如图，已知点为抛物线的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记的面积为.（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点G 的坐标. 【解析】 （I ）由题意得，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（Ⅱ）设，重心.令，则.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为，代入，得 ，故，即，所以.又由于及重心G 在x 轴上，故，得. 所以，直线AC 方程为，得.(10)F ，22(0)y px p =>ABC △,AFG CQG △△12,S S 12S S 12p=()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y (),G G G x y 2,0A y t t =≠2A x t =2112t x y t-=+24y x =()222140t y y t---=24B ty =-2B y t =-212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++220c t y t-+=242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()222y t t x t-=-()21,0Q t-由于Q 在焦点F 的右侧，故.从而. 令，则m >0，.当时，取得最小值，此时G （2，0）.例4．(2018·浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围.【解析】(1)证明 设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2. 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根.22t >4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-22m t =-1221222134342S m S mm m m m =-=--=++++m =12S S 12+所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴.(2)解 由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22（y 20－4x 0）.因此，△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]， 因此，△PAB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104.例5. (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0).(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差.【解析】(1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.① 由于点M (1，m )(m >0)在椭圆x 24＋y 23＝1内，∴14＋m 23<1，解得0<m <32，故k <－12. (2)解 由题意得F (1，0).设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0). 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32. 于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|， 即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列. 设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.例6. (2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值.【解析】 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)， 由题意，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1).由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |， 从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1. 易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)， 两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89，或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9<0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意.所以，k 的值为－12.四、巩固练习：1.平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-√3=0交M 于A,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程;(2)C,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB,求四边形ACBD 面积的最大值.【解析】(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 12a2+y 12b2=1,x 22a2+y 22b2=1,两式相减,得(x 1-x 2)(x 1+x 2)a 2+(y 1-y 2)(y 1+y 2)b 2=0.因为y 1-y2x 1-x 2=-1,设P(x 0,y 0),又P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12,所以y 0=12x 0,即y 1+y 2=12(x 1+x 2),解得a 2=2b 2,即a 2=2(a 2-c 2),即a 2=2c 2.又因为c=√3,所以a 2=6.所以M 的方程为x 26+y 23=1.(2)因为CD ⊥AB,直线AB 的方程为x+y-√3=0,设直线CD 的方程为y=x+m,将x+y-√3=0代入x 26+y 23=1,得2x 2-4√3x=0,解得x=0或x=4√33. 不妨令A(0,√3),B (4√33,-√33),可得|AB|=4√63.将y=x+m 代入x 26+y 23=1,得3x 2+4mx+2m 2-6=0,设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4),则|CD|=√2·√(x 3+x 4)2-4x 3x 4=2√23√18−2m 2. 又因为Δ=16m 2-12(2m 2-6)>0,即-3<m<3,所以当m=0时,CD 取得最大值4,所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB|·|CD|=8√63.2.设椭圆C 1:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上任意一点,且△PF 1F 2的周长是4+2√3.(1)求椭圆C 1的方程.(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A 、B,过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E,若点C 满足AB ⊥BC,AD ∥OC,连接AC 交DE 于点P,求证:PD=PE.【解析】(1)由e=√32知,c a =√32,所以c=√32a.因为△PF 1F 2的周长是4+2√3, 所以2a+2c=4+2√3,所以a=2,c=√3, 所以b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆C 1的方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)得A(-2,0),B(2,0), 设D(x 0,y 0),所以E(x 0,0). 因为AB ⊥BC,设C(2,y 1),所以AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+2,y 0),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,y 1).由AD ∥OC,得(x 0+2)y 1=2y 0,即y 1=2y 0x0+2,所以直线AC 的方程为y 2y 0x 0+2=x+24,整理得y=y 02(x 0+2)(x+2).又点P 在直线DE 上,将x=x 0代入直线AC 的方程,可得y=y 02,即点P 的坐标为(x 0,y02),所以P 为DE 的中点,所以PD=PE.3.已知椭圆C:x 2a+y 2b=1(a>b>0),圆Q:(x-2)2+(y-√2)2=2的圆心Q 在椭圆C 上,点P(0,√2)到椭圆C 的右焦点的距离为√6.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P 作互相垂直的两条直线l 1,l 2,且l 1交椭圆C 于A,B 两点,直线l 2交圆Q 于C,D 两点,且M 为CD 的中点,求△MAB 面积的取值范围.【解析】(1)∵椭圆C 的右焦点F(c,0),|PF |=√6,∴c=2.∵点(2,√2)在椭圆C 上,∴4a2+2b2=1.由a 2-b 2=4得a 2=8,b 2=4,∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1.(2)由题意可得l 1的斜率不为零,当l 1垂直x 轴时,△MAB 的面积为12×4×2=4,当l 1不垂直x 轴时,设直线l 1的方程为y=kx+√2,则直线l 2的方程为y=-1k x+√2,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由{x 28+y 24=1,y =kx +√2,消去y 得(1+2k 2)x 2+4√2kx-4=0, ∴x 1+x 2=-4√2k1+2k 2,x 1x 2=-41+2k 2, 则|AB |=√1+k 2|x 1-x 2|=4√(1+k 2)(4k 2+1)2k 2+1.由圆心Q(2,√2)到l 2的距离d 1=√1+k 2<√2得k 2>1, 又MP ⊥AB,QM ⊥CD,∴GM ∥AB,∴点M 到AB 的距离等于点Q 到AB 的距离,设为d 2,即d 2=√2+√2|√1+k 2=√1+k 2,∴△MAB 面积S=12|AB |d 2=4|k |√4k 2+12k 2+1=4√k 2(4k 2+1)(2k 2+1)2.令t=2k 2+1∈(3,+∞),则1t ∈(0,13),S=4√2t 2-3t+12t 2=4√12(1t -32)2-18∈(4√53,4),综上,△MAB 面积的取值范围为(4√53,4]. 4.如图,点M (√3,√22)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)上,且点M 到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆的方程;(2)设与MO(O 为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A,B(A,B 不重合)两点,求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围. 【解析】(1)由已知得,2a=4,∴a=2.又点M (√3,√22)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)上, ∴34+12b 2=1,解得b 2=2,∴所求椭圆的方程为x 24+y 22=1.(2)∵k O M=√66,∴k A B=-√6. 设直线AB 的方程为y=-√6x+m,联立方程{x 24+y 22=1,y =−√6x +m,消去y 得13x 2-4√6mx+2m 2-4=0.∵Δ=(4√6m)2-4×13(2m 2-4)=8(12m 2-13m 2+26)>0, ∴m 2<26.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4√6m 13,x 1x 2=2m 2-413.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=7x 1x 2-√6m(x 1+x 2)+m 2=3m 2-2813. 结合0≤m 2<26,可得OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[-2813,5013). 5.(1)求点M 的轨迹C 的方程.(2)设C 与x 轴交于E,F 两点,P 是直线l 上一点,且点P 不在C 上,直线PE,PF 分别与C 交于另一点S,T,证明:A,S,T 三点共线.【解析】(1)设点M(x,y),依题意,|MA||MB|=√(x+4)2+y 222=2,化简得x 2+y 2=4,即轨迹C 的方程为x 2+y 2=4. (2)由(1)知曲线C 的方程为x 2+y 2=4,令y=0,得x=±2,不妨设E(-2,0),F(2,0),如图.设P(-1,y 0),S(x 1,y 1),T(x 2,y 2),则直线PE 的方程为y=y 0(x+2). 由{y =y 0(x+2),x 2+y 2=4,得(y 02+1)x 2+4y 02x+4y 02-4=0, 所以-2x 1=4y 02-4y 02+1,即x 1=2−2y 02y 02+1,y 1=4y 0y 02+1.直线PF 的方程为y=-y03(x-2).由{y =−y03(x -2),x 2+y 2=4,得(y 02+9)x 2-4y 02x+4y 02-36=0, 所以2x 2=4y 02-36y 02+9,即x 2=2y 02-18y 02+9,y 2=12y 0y 02+9.所以k A S=y 1x1+4=4y 0y 02+12−2y 02y 02+1+4=2yy 02+3, k A T=y 2x2+4=12y 0y 02+92y 02-18y 02+9+4=2yy 02+3, 所以k A S=k A T,所以A,S,T 三点共线.6.已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的焦距为4,左、右焦点分别为F 1、F 2,且C 1与抛物线C 2:y 2=x 的交点所在的直线经过F 2.(1)求椭圆C 1的方程.(2)分别过点F 1、F 2作平行直线m 、n,若直线m 与C 1交于A,B 两点,与抛物线C 2无公共点,直线n 与C 1交于C,D 两点,其中点A,D 在x 轴上方,求四边形AF 1F 2D 的面积的取值范围. 【解析】(1)依题意得2c=4,则左、右焦点分别为F(-2,0)、F 2(2,0).所以椭圆C 1与抛物线C 2的一个交点为P(2,√2), 于是2a=|PF 1|+|PF 2|=4√2,从而a=2√2. 又a 2=b 2+c 2,解得b=2,所以椭圆C 1的方程为x 28+y 24=1.(2)依题意,直线m 的斜率不为0,设直线m:x=ty-2, 由{x =ty -2,y 2=x,消去x 并整理,得y 2-ty+2=0, 由Δ=(-t)2-8<0,得t 2<8.由{x =ty -2,x 2+2y 2=8,消去x 并整理,得(t 2+2)y 2-4ty-4=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1+y 2=4tt 2+2,y 1y 2=-4t 2+2,所以|AB|=√1+t 2|y 1-y 2| =√1+t 2√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=4√2(t 2+1)t 2+2. 因为直线m 与n 之间的距离d=√t 2+1(即点F 2到m 的距离),由椭圆的对称性知,四边形ABCD 为平行四边形,故S 四边形AF 1F 2D=12S 四边形ABCD=12·4√2(t 2+1)t 2+2·√t 2+1=8√2√t 2+1t 2+2. 令√t 2+1=s ∈[1,3),则S 四边形AF 1F 2D=8√2√t 2+1t 2+2=8√2s s 2+1=8√2s+1s∈(12√25,4√2], 所以四边形AF 1F 2D 的面积的取值范围为(12√25,4√2]. 7.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点M(2,1),且离心率为√32.(1)求椭圆C 的方程.(2)设A(0,-1),直线l 与椭圆C 交于P,Q 两点,且|AP|=|AQ|,当△OPQ(O 为坐标原点)的面积S 最大时,求直线l 的方程.【解析】(1)依题意得4a 2+1b 2=1,e=c a =√32,又a 2=b 2+c 2,解得a 2=8,b 2=2,所以椭圆C 的方程为x 28+y 22=1. (2)显然,直线l 的斜率k 存在.①当k=0时,可设直线l 的方程为y=y 0,P(-x 0,y 0),Q(x 0,y 0),则x 028+y 022=1. 所以S=12|2x 0|·|y 0|=|x 0|·|y 0|=2√y 02·(2-y 02)≤2·y 02+(2−y 02)2=2.当且仅当y 02=2-y 02,即|y 0|=1时取等号,此时直线l 的方程为y=±1.②当k ≠0时,可设直线l 的方程为y=kx+m,P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2), 联立{y =kx +m,x 28+y 22=1,消去y 整理得(1+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-2)=0.由Δ=(8km)2-4(1+4k 2)·4(m 2-2)>0,得8k 2+2>m 2, (*)则有x 1+x 2=-8km1+4k2,x 1x 2=4(m 2-2)1+4k2,于是可得PQ 的中点坐标为(-4km 1+4k2,m 1+4k 2).因为|AP|=|AQ|,所以m1+4k 2+1-4km 1+4k 2-0=-1k ,化简得1+4k 2=3m,结合(*)可得0<m<6.又点O 到直线l 的距离d=√k 2+1,|PQ|=√1+k 2·|x 1-x 2|=4√1+k 2·√8k 2+2−m 21+4k 2,所以S=12|PQ|·d=12·√1+k2·4√1+k 2·√8k 2+2−m 21+4k 2.即S=23√6m -m 2=23√-(m -3)2+9, 所以当m=3时,S 取得最大值,此时k=±√2,直线l 的方程为y=±√2x+3. 综上所述,直线l 的方程为y=±1或y=±√2x+3.8.已知抛物线C:y 2=2px(p>0)过点M(m,2),其焦点为F,且|MF|=2.(1)求抛物线C 的方程.(2)设E 为y 轴上异于原点的任意一点,过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F:(x-1)2+y 2=1相切,切点分别为A,B,求证:A,B,F 三点共线.【解析】(1)抛物线C 的准线方程为x=-p 2,∴|MF|=m+p2=2.又∵抛物线C:y 2=2px(p>0)过点M(m,2), ∴4=2pm,即4=2p (2−p2), ∴p 2-4p+4=0,∴p=2, ∴抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)设点E(0,t)(t ≠0),已知切线不为y 轴.设直线EA:y=kx+t,联立{y =kx +t,y 2=4x,消去y,可得k 2x 2+(2kt-4)x+t 2=0.∵直线EA 与抛物线C 相切, ∴Δ=(2kt-4)2-4k 2t 2=0,即kt=1,代入k 2x 2+(2kt-4)x+t 2=0,得1t 2x 2-2x+t 2=0,∴x=t 2,即A(t 2,2t).设切点B(x 0,y 0),则点O,B 关于直线EF:y=-tx+t 对称,则{y 0x 0×t -00−1=−1,y2=−t ·x 02+t,解得{x 0=2t 2t 2+1,y 0=2t t 2+1, 即B (2t 2t 2+1,2tt 2+1).当t ≠±1时,直线AF 的斜率k A F=2tt 2-1,直线BF 的斜率k B F=2tt 2+1-02t2t 2+1-1=2tt 2-1,∴k A F=k B F,即A,B,F 三点共线.当t=±1时,A(1,±2),B(1,±1),此时A,B,F 三点共线. 综上可知,A,B,F 三点共线.9.以边长为4的等边△ABC 的顶点A 以及BC 边的中点D 为左、右焦点的椭圆过B,C 两点. (1)求该椭圆的标准方程.(2)过点D 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于M,N 两点,求证:直线BM 与CN 的交点在一条直线上.【解析】(1)由题意可知两个焦点为(-√3,0)与(√3,0),且2a=6,因此椭圆的标准方程为x 29+y 26=1. (2)当MN 不与x 轴重合时,设MN 的方程为x=my+√3,且B(√3,2),C(√3,-2), 联立{2x 2+3y 2-18=0,x =my +√3,消去x,得(2m 2+3)y 2+4√3my-12=0,即y 1+y 2=-4√3m 2m 2+3,y 1y 2=-122m 2+3.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则直线BM:y-2=1x -√3(x-√3), ① 直线CN:y+2=2x -√3(x-√3). ②由②-①得4=(x-√3)(2x-√31x-√3)=(x-√3)·my 1(y 2+2)−my 2(y 1-2)m 2y 1y 2=(x-√3)2y 1+2y 2my 1y 2=(x-√3)·-8√3m2m 2+3-12m 2m 2+3=2√33(x-√3),则x-√3=2√3,即x=3√3.当MN 与x 轴重合时,即MN 的方程为x=0,即M(3,0),N(-3,0).则直线BM:y-2=3−√3(x-√3), ③直线CN:y+2=-3-3(x-√3). ④ 联立③④消去y,得x=3√3.综上可知,直线BM 与CN 的交点在直线x=3√3上.10.设直线l 与抛物线x 2=2y 交于A,B 两点,与椭圆x 24+y 23=1交于C,D 两点,直线OA,OB,OC,OD(O 为坐标原点)的斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4,若OA ⊥OB.(1)是否存在实数t,满足k 1+k 2=t(k 3+k 4)?并说明理由.(2)求△OCD 面积的最大值.【解析】设直线l 的方程为y=kx+b(b ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).联立y=kx+b 和x 2=2y,得x 2-2kx-2b=0,则x 1+x 2=2k,x 1x 2=-2b,Δ=4k 2+8b>0.y 1y 2=(kx 1+b)(kx 2+b)=k 2x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2=b 2.因为OA ⊥OB,所以x 1x 2+y 1y 2=-2b+b 2=0,得b=2.联立y=kx+2和3x 2+4y 2=12,得(3+4k 2)x 2+16kx+4=0,所以x 3+x 4=-16k 3+4k 2,x 3x 4=43+4k 2.由Δ2=192k 2-48>0,得k 2>14.(1)因为k 1+k 2=y 1x 1+y 2x 2=k,k 3+k 4=y 3x 3+y4x 4=-6k, 所以k 1+k 2k 3+k 4=-16,故存在实数t=-1b ,使得k 1+k 2=t(k 3+k 4). (2)根据弦长公式|CD|=√1+k 2|x 3-x 4|,得|CD|=4√3·√1+k 2·√4k 2-13+4k 2,根据点O 到直线CD 的距离公式,得d=√1+k 2,所以S △OCD=12|CD|·d=4√3·√4k 2-13+4k 2. 设√4k 2-1=t>0,则S △OCD=4√3t t 2+4≤√3,所以当t=2,即k=±√52时,S △OCD 有最大值,最大值为√3.11.如图,设抛物线C 1:y 2=-4mx(m>0)的准线l 与x 轴交于椭圆C 2:x 2a +y 2b =1(a>b>0)的右焦点F 2,F 1为C 2的左焦点.椭圆C 2的离心率为e=12,抛物线C 1与椭圆C 2交于x 轴上方一点P,连接PF 1并延长其交C 1于点Q,M 为C 1上一动点,且在P,Q 两点之间移动.(1)当a 2+√3b取最小值时,求C 1和C 2的方程; (2)若△PF 1F 2的边长恰好是三个连续的自然数,求△MPQ 面积的最大值以及此时直线MP 的方程.【解析】(1)因为c=m,e=c a =12,则a=2m,b=√3m,所以a 2+√3b 取最小值时m=1,所以抛物线C 1的方程为y 2=-4x.此时a=2,b 2=3,所以椭圆C 2的方程为x 24+y 23=1.(2)因为c=m,e=c a =12,所以a=2m,b=√3m,设椭圆的标准方程为x 24m 2+y 23m 2=1,点P(x 0,y 0),Q(x 1,y 1), 由{x 24m 2+y 23m 2=1,y 2=−4mx,得3x 2-16mx-12m 2=0, 所以x 0=-23m 或x 0=6m(舍去).代入抛物线方程得y 0=2√63m,即P (-2m 3,2√6m 3), 所以|PF 1|=5m 3,|PF 2|=2a-|PF 1|=7m 3,|F 1F 2|=2m=6m 3.又△PF 1F 2的边长恰好是三个连续的自然数,所以m=3. 此时抛物线的方程为y 2=-12x,F 1(-3,0),P(-2,2√6), 则直线PQ 的方程为y=2√6(x+3).联立{y =2√6(x+3),y 2=−12x,得x 1=-92或x 1=-2(舍去), 于是Q (-92,-3√6). 所以|PQ|=√(-2+92)2+(2√6+3√6)2=252. 设M (-t 212,t)(t ∈(-3√6,2√6))到直线PQ 的距离为d,则d=√630×|(t +√62)2-752|,当t=-√62时,d m ax=√630×752=5√64, 所以△MPQ 面积的最大值为12×252×5√64=125√616. 此时直线MP:y=-4√63x-2√63.。
