向量组和线性方程组
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第三讲 向量组与线性方程组矩阵、向量组与方程组的本质内容联系密切，转换灵活。
为便于联系与应用，特将这些内容综合在一起，目的是深刻理解其内在联系，体会矩阵秩在研究向量组和方程组中的本质作用。
向量组： 线性表示与线性相关性； 向量组的最大无关组与秩； 向量空间。
方程组： 解的性质； 解的判定； 无穷多解时解的结构； 初等行变换解方程。
一、考点简述1、线性表示① 向量由向量组线性表示——线性非齐次方程组解的判定定理：设T m Tn n nm b b b b x x x x a a a A ),,,(,),,,(),,,,(212121L r L r r L r r ===×，则（ⅰ）列向量b r 可由A 的列向量组12,,n a a a r r rL 线性表示不唯一唯一⇔线性非齐次方程组Ax b =rr 有解 无穷多解唯一()(|)r A r A b ⇔=r <=nn（ⅱ）列向量b r 不可由A 的列向量组12,,n a a a r r rL 线性表示⇔线性非齐次方程组Ax b =rr 无解)|()(b A r A r r <⇔② 向量组由向量组线性表示：（ⅰ）n m A ×的列向量组可由l m B ×的列向量组线性表示⇔存在矩阵n l K ×，使有BK A =；[右列]（ⅱ）n m A ×的行向量组可由n l B ×的行向量组线性表示⇔存在l m K ×，使有KB A = [左行]0r r =⇔x B 的解必为0rr =x A 的解)()(A r n B r n −≤−⇒即)()(B r A r ≤)}(),(min{)(B r A r AB r ≤⇒③ 向量组与向量组等价——同解方程组n m A ×的行向量组与n l B ×的行向量组等价⇔0r r =x A 与0rr =x B 为同解方程组)()(B r A r =⇒注意：等价向量组、等价矩阵与等价方程组概念不同。
2、向量组线性相关性——线性齐次方程组解的判定 概念：（ⅰ）n a a a r L r r ,,21线性相关⇔存在一组不全为零的数12,,n x x x L ，使01r r =∑=i ni i a x ；（ⅱ）n a a a r L r r ,,21线性无关⇔只有12,,n x x x L 全为零时才有01rr =∑=i ni i a x ⇔对任意一组不全为零的数12,,n x x x L ，均有01rr ≠∑=i n i i a x 。
转换：n m A ×的列向量组n a a a rL r r ,,21线性 无关相关=⇔][][0唯一解只有零解无穷多解有非零解r r x A =<⇔nna a a r n ),,(21r L r r 由此可见，向量线性表示、向量组线性相关性与线性方程组、矩阵秩有着深刻联系，要深刻理解和灵活应用这些知识点。
例如，列满秩矩阵的列向量组必线性无关；秩小于个数的向量组必线性相关；方程个数小于未知量个数的线性齐次方程组必有非零解；个数大于维数的向量组必线性相关；行满秩系数矩阵的线性非齐次方程组必有解，等等。
重要结论：① 12,,(2)m a a a m ≥r r r L 线性相关⇔12,,m a a a r r rL 中“至少有一个”可由其余向量线性表示；12,,(2)m a a a m ≥r r r L 线性无关⇔12,,m a a a r r rL 中“任意一个均不能”由其余向量线性表示；② 12,,m a a a r r r L 线性无关，12,,,m a a a b r r r r L 线性相关⇒b r 可由12,,n a a a r r rL 唯一线性表示；③ 部分相关⇒全体相关，反之不然；等价说法：全体无关⇒部分无关，反之不然；④ 向量组无关⇒“加长”向量组无关，反之不然；等价说法：向量组相关⇒“缩短”向量组相关，反之不然；⑤ 方阵A 的行列向量组线性⇔无关相关 ≠=00||A ；特别的，三维空间123,,a a a r r r 线性相关⇔123,,a a a r r r 共面123[,,]0a a a ⇔=r r r； ⑥ 两个向量线性相关[无关]⇔对应分量成比例[不成比例]。
判定方法：讨论向量组线性相关性的方法有①定义法——利用线性相关性概念和有关重要性质、定理等；②方程组法——转化为线性齐次方程组求解：非零解，相关；只有零解，无关。
③矩阵秩法——利用“秩”和向量“个数”关系判定：秩小于个数，相关；秩等于个数，无关。
④行列式法——判定n 个n 维向量：行列式为零，相关；行列式非零，无关。
---------------------------------------------------------3、向量组的最大无关组与秩概念：如果在向量组A 中能选出r 个向量12,,,r a a a r r rL 满足： （ⅰ）12,,,r a a a r r rL 线性无关；（ⅱ）A 中任意向量均可由12,,,r a a a r r rL 线性表示[⇔A 中任意r+1个向量（如果有的话）均线性相关]，则称12,,,r a a a r rrL 为A 的一个最大无关组；A 的最大无关组所含向量的个数称为向量组A 的秩，记为()r A 。
规定：只含一个零向量的向量组无最大无关组，其秩为零。
性质：① 线性无关向量组本身就是其最大无关组；② 向量组的最大无关组一般不唯一，但秩是唯一的； ③ 向量组与其最大无关组等价； ④ 等价向量组等秩，反之不然；⑤ 矩阵秩=行向量组的秩=列向量组秩；⑥ 向量组A 可由B 线性表示)()(B r A r ≤⇒。
求法：求最大无关组与秩的方法①定义法——利用最大无关组与秩的概念②初等行变换法——利用行阶梯形中非零行向量的个数就是秩；最高阶非零子式所在行[列]就是行[列]向量组的一个最大无关组；③公式法——利用秩的重要公式1) 0()min{,},()0m n r A m n r A A O ×≤≤=⇔=；[最高阶非零阶子式] 2) ()()()min{(),()}m s s n m s s n r A r B s r A B r A r B ××××+−≤≤；[方程组或最大无关组]3) max{(),()}(|),()()A r A r B r A B r r A r B B≤≤+；[最大无关组]4) ()()m n n l A B O r A r B n ××=⇒+≤；[齐次方程组] 5) )()()(B r A r B A r +≤+；[最大无关组]6) ()()A B r r A r C C =+，等。
---------------------------------------------------------4、向量空间概念：①设有非空向量组V ，如果（ⅰ）,V V αβαβ∀∈⇒+∈r rr r ；（ⅱ）,V R V αλλα∀∈∈⇒∈r r，则称V 为向量空间。
简言之，对向量的线性运算具有封闭性的非空向量组称为向量空间。
向量空间的最大无关组称为基，秩称为维数。
例如，由向量组12,,m a a a r r r L 的任意线性组合所构成的向量空间称为12,,m a a a r r rL 的生成空间121[,,]|,1,2,,m m i i i i L a a a x k a k R i m = ==∈=∑r r r r r L L ；线性齐次方程组0rr =x A 的所有解构成的向量空间{}0|r r r ==x A x S称为0r r =x A 的解空间。
当0r r =x A 有非零解时，解空间的基称为0rr =x A 的基础解系，秩称为解空间的维数。
基础解系{})(1A r n i I −=ξr三要素：（ⅰ）解；（ⅱ）线性无关；（ⅲ）)(A r n −个。
② 设12,,r a a a r r rL 为向量空间V 的基，则V 中任意向量ξr 均由基唯一线性表示：1122r r x a x a x a ξ=+++rr r rL ，则称有序数组12,,r x x x L 为向量ξr在基12,,r a a a r r rL 下的坐标。
基{}r i i a 1=r --------------正交基{}r i i b 1=r ---------标准正交基{}ri i c 1=ri r i i a x rr ∑==1ξ[解方程组] i r i i i i b b b b r r r r r r ∑==1],[],[ξξ[算内积] i r i i c c r r r r ∑==1],[ξξ[算内积]要熟悉将一般基经施密特正交化、单位化化为标准正交基。
③ 设列向量组12,,r a a a r r rL 和12,,r b b b r r r L 均为向量空间V 的基，且有P a a a b b b r r ),,,(),,,(2121rL r r r L r r = （*）则称可逆阵P 为由基12,,r a a a r r r L 到基12,,r b b b r r r L 的过渡矩阵；称（*）为由基12,,r a a a r r rL 到基12,,r b b b r r rL 的基变换公式。
设向量ξr在基12,,r a a a r r rL 下的坐标为12,,r x x x L ，在基12,,r b b b r r r L 下的坐标为12,,r y y y L ，则有坐标变换公式：1122r r x y x y P x y=M M 或 11221r r y x y x P y x − = M M ， 其中P 为由基12,,r a a a r r rL 到基12,,r b b b r r r L 的过渡矩阵。
转换：矩阵、向量组、向量空间、解空间的联系与区别 矩阵最高阶非零子式 阶数最高阶非零子式所在行[列]就是行[列]向量组的最大无关组向量组 最大无关组秩向量组中任意向量均可由最大无关组线性表示，但最大无关组的线性组合不一定在向量组中；向量空间 基 维数向量空间中任意向量均可由基线性表示，且基的任意线性组合也一定在向量空间中（结构——求出一个基能确定向量空间）。
解空间0rr =x A基础解系{})(1A r n i I −=ξr维数 )(A r n −通解))(,,2,1,()(1A r n i R k k x i A r n i i i −=∈=∑−=L rv ξ正交阵n 阶方阵A 为正交阵T T AA A A E ⇔==1T AA −⇔=A ⇔的行[列]向量组均为n 维向量空间n R 的规范正交基⇔ A -1，A T，A *均为正交阵。
