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矩阵分析课件

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《矩阵分析》课件

《矩阵分析》课件

方阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称 为对角矩阵。
03
对称矩阵
设$A = (a_{ij})$为$n$阶方阵，若对任意$i, j$都有$a_{ij} = a_{ ji}$，则称$A$为对称矩
阵。
05
02
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 $O$。
04
非零行的首非零元所在列在上一行的 首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的 右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不能 由其中的部分向量线性表示出来。换句话说，只有 当这组向量中任何一个向量都不能由其余向量线性 表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
当B=I时，广义特征值问题退化为普通的特征值问题。此外，广义特征值问题可以通 过相似变换转化为普通的特征值问题进行求解。
06
CATALOGUE
矩阵函数与微分学在矩阵分析中应用
矩阵函数定义及性质
矩阵函数的性质 矩阵函数的转置、逆和行列式等运算也遵循相应的矩
阵运算规则。
矩阵函数的定义：设$A(t)=(a_{ij}(t))$是一个 $ntimes n$矩阵，其元素$a_{ij}(t)$是变量$t$ 的函数，则称$A(t)$为矩阵函数。
Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵， 从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替 换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个 上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义

矩阵分析课件-第六章

矩阵分析课件-第六章

cos A B＝cosA cos B sin A sin B
dt
dt
d cos At＝A sin At＝－sin At A
dt
6 det eA＝etrA，其中trA是A 的迹
7 cos A＝ 1 eiA＋e－iA ，sinA＝ 1 eiA－e－iA
2
2i
8 sin2 A＋cos2 A＝E，sin －A＝－sin A，cos －A ＝cosA
9当AB＝BA时，有sin A B＝sin A cos B cos A sin B
D
i
其中
D
J
i
＝
D/ i Di
1
di－1
！Ddi－1
i
D/ i
Di
dixdi
设D ＝ E－A ＝－1 p1 －2 p2 －s ps
i
j， i
j
, pi是i的代数重复度；
pi
d
，
i
D i ＝D i ＝ ＝Ddi－1 i ＝0, D Ji ＝0,
故：D A＝0.
f (k) j ＝p(k) j ，j＝1，2， ，s；k＝0，1， ，dj－1
即f x与p 在A的影谱上有相同的值， 则矩阵函数f A定义为：
f A＝pA 称p 为f A的定义多项式。
定理6.2.1：设A
Cnn，J为A的若当标准形，P
Cnn n
且A＝PJP－1，函数 f x 在A的影谱上有定义，
ln E＋A的幂级数展开式见p201
＆6.4 矩阵指数函数与矩阵三角函数
由定理5.5.3知：对任意n阶方阵A
e
At＝
k＝0
Aktk， k！
sin At＝ k＝0

矩阵分析课件

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• 波士顿矩阵的基本应用法则。
• 第一法则：成功的月牙环。在企业所从事的事业领域内 各种产品的分布若显示月牙环形，这是成功企业的象征， 因为盈利大的产品不只一个，而且这些产品的销售收入 都比较大，还有不少明星产品。问题产品和瘦狗产品的 销售量都很少。若产品结构显示的散乱分布，说明其事 业内的产品结构未规划好，企业业绩必然较差。这时就 应区别不同产品，采取不同策略。
矩阵分析在经营管理中的应用
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一、波斯顿矩阵
波斯顿矩阵是美国波斯顿咨询公司（BCG）在1960年 为一家造纸公司咨询时而提出的一种投资组合分析方法。 该矩阵是用两次衡量标准构成的矩阵，它把需求数量的 增长率作为战略经营领域的预期衡量标准，把企业的相 对市场占有率作为竞争地位的衡量标准。任何一个战略 经营领域在未来的增长率被估测、相对的市场 占有率被
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• （3）问号产品 • 它是处于高增长率、低市场
占有率象限内的产品群。前 者说明市场机会大，前景好， 而后者则说明在市场营销上 存在问题。其财务特点是利 润率较低，所需资金不足， 负债比率高。选择性投资战 略；采用智囊团式或项目小 组结构;选拔有规划能力、敢 冒风险、有才干的人负责。 •
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14
• 三、产品—市场演变矩阵
• 美国学者霍福尔(C.W.Hofer)扩展了波士顿咨询集团和通用 电器公司的评价方法，把矩阵扩展为15个区域，并按照 各个经营单位的产品——市场发展阶段和竞争地位，画 出它们在霍福尔矩阵中的位置。
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整顿 成熟 衰退
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• 四、Swot矩阵
• SWOT分析法模型（也称TOWS分析法）即态势分析法， 经常被用于企业战略制定、竞争对手分析等场合。

矩阵分析课件(1-1,4)

矩阵分析课件(1-1,4)
其中k , l 表示数域F中的任意数, , 表示V中任意元素. 称这样的V 为数域F 上的线性空间.
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,

n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann

《MATLAB矩阵分析》PPT课件

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整理ppt
24
2．三角阵 三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵， 所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元 素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角 线以上的元素全为0的一种矩阵。
整理ppt
25
(1) 上三角矩阵 求矩阵A的上三角阵的MATLAB函数是triu(A)。 triu(A)函数也有另一种形式triu(A,k)，其功能是 求矩阵A的第k条对角线以上的元素。例如，提取 矩阵A的第2条对角线以上的元素，形成新的矩阵 B。 (2) 下三角矩阵 在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数 是tril(A)和tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的 函数triu(A)和triu(A,k)完全相同。
(6) 帕斯卡矩阵 我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随n 的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角 形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯 卡(Pascal)矩阵。函数pascal(n)生成一个n阶 帕斯卡矩阵。
整理ppt
14
• 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下： 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ...................................................... 杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其 余的数则是等于它肩上的两个数之和。
整理ppt
35
2．矩阵的范数及其计算函数 MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其 函数调用格式与求向量的范数的函数完全 相同。
整理ppt
36
在线性方程组Ax=b两边各左乘A-1，有 A-1Ax=A-1b 由于A-1A=I，故得 x=A-1b 例3.8 用求逆矩阵的方法解线性方程组。 命令如下： A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27]; b=[5,-2,6]'; x=inv(A)*b

矩阵分析第4章课件

矩阵分析第4章课件

矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n

同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§3.7

同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§3.7

证明：Im T
2
= Im T .
(1) 显然有 Im T 2 ⊂ Im T . 证： (2) 由 Im T + ker T = V , 及 dim Im T + dim ker T = n，
知 Im T ⊕ ker T = V . 取 ker T 的基α 1，α 2， α n − r , 扩充成 V 的基α 1， , α n − r , α n − r +1 , α n . 则有 ∀α ∈V , Tα ← {Tα n− r +1 , , Tα n }， 结合 Im T ⊕ ker T = V， 可得 T α n − r +1 , , T α n 是ImT的一个基. 则有 α1， , α n− r , Tα n− r +1 , , Tα n 是V的一个基. 于是
（是V 中同一向量在基 α1 , α 2 , , α n 下的坐标） 注：求T 的特征值、特征向量时，可以先求其矩阵的特 征值、特征向量；T 的特征多项式、最小多项式就 是它的矩阵的特征多项式的最小多项式.
6
例： 设T 是数域F上n维线性空间V 的线性变换，且满足
Im T + ker T = V .
由α ∈ ker T 知, Tα = 0. 由α ∈ ImT 知， 存在β ∈V，使得T β = α . 1 2 1 1 于是 α = T β = T β = T (T β ) = T α = 0. 3 3 3 即 Im T ∩ ker T = {0}.
又 故
8
dim Im T + dim ker T = n,
T ( β ) = T (T (α ) ) ∈ Im T (2) ∀α ∈ Ker T，T (α ) = O ∈ Ker T

矩阵分析课件精品PPT

矩阵分析课件精品PPT

典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法

矩阵分析课件

矩阵分析课件
引理 设 矩阵 A 的左上角元a11 0， 并且 A 中至少有一个元素不能被它整除，那 么一定可以找到一个与 A 等价的矩B ， 它的左上角元素也不为零，但是次数比a11
的次数低。
定理 2.1.4 任意一个非零的n阶 矩阵 A
都等价于一个对角矩阵，即
A( )
d1( )
参照例 2.1.2 的方法可把二阶矩阵用初等变换化某一
个元素成常数。
1
A 0
0
1 C2C3 0
0
1 C3 C2 0
0
0
3 2 2 4 3 2
0
3 2 1
4 3 2
0
3 2 2 4 3 2
0
2 1
0
0
0
2
2 1
4 3 2
0
1
0
2
2
3
2 5
3
然后用初等变换把公因子 所在的行、列的
其余元素均化为零。
A( )
2 3
2
2
3
5
23r1
r2
0
2 5
3
(
2
10
3)
( 5)C1C2
0
0
(
2
10
3)
3
3C2 0
0 ( 2 10 3)
例 2.1.2 用初等变换把 矩阵
1 2
A( )
【证明】必要性：设 A()可逆，在式(2.1.1)
的两边求行列式得
A( ) B( ) 1
(2.1.2)
因为 A( ) 和 B( ) 都是 的多项式，所以根
据式(2.1.2)推知，A( ) 和 B( ) 都是零次多
项式，此即 A( ) 是非零的常数.

2024版第5章矩阵分析ppt课件

2024版第5章矩阵分析ppt课件

矩阵函数以及矩阵微分方程等问题时，都可以利用若尔当标准型来简化
计算。
05
二次型及其标准型
二次型定义及性质
二次型定义
对称性
线性变换下的不变性
二次型的值
二次型是n个变量的二次多项式， 其一般形式为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n}sum_{ j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$为常 数，且$a_{ij} = a_{ ji}$。
若尔当标准型简介
01
若尔当标准型定义
对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=J$
为若尔当标准型，其中J由若干个若尔当块组成。
02
若尔当块
一个若尔当块是一个上三角矩阵，它的对角线上的元素相等，且对角线
上方的元素或者是1，或者是0。
03
若尔当标准型的应用
若尔当标准型在矩阵分析中有着广泛的应用，例如在求解矩阵的高次幂、
矩阵性质总结
结合律 $(AB)C = A(BC)$。
数乘结合律 $(kA)(lB) = kl(AB)$。
分配律
$(A + B)C = AC + BC, C(A + B) = CA + CB$。
数乘分配律
$(k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB$。
02
矩阵变换与等价类
求解过程
先求出矩阵A的特征值，然后将其代 入(A-λE)X=0，解出对应的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵分析中的应用
判断矩阵是否可对角化
如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化。

《BCG矩阵分析法》课件

《BCG矩阵分析法》课件
市场份额的测算方式
销售收入、销售数量、用户数等多方面指标的综合测算。
市场增长率的测算方式
历史数据分析、市场趋势预测、竞争对手情况等多方面指标的综合考察。
BCG矩阵模型的调整
1 提高维度多样性
将市场份额和市场增长率两个维度进行扩展，以更全面地了解业务。
2 考虑其他因素的影响
加入其他因素，对企业的整体发展进行更加全面的分析。
2 品牌组合优化
BCG矩阵可以帮助企业评估品牌组合优劣，从而制定最优的品牌策略。
BCG矩阵在产品管理中的应用
产品创新
通过BCG矩阵的分析，发现新的市场需求或 产品缺口，及时调整和创新企业现有的产品 线。
产品组合优化
针对不同类型的产品，有效地优化产品组合， 提高企业生产效率和利润率。
BCG矩阵在战略规划中的应用
BCG矩阵的应用范围
产品组合优化
通过BCG矩阵的分类，针对不 同的产品制定不同营销策略， 从而优化产品组合。
市场整合战略
通过BCG矩阵的分析，指导不 同业务之间的协调和整合，避 免市场冲突和资源浪费。
团队管理
通过BCG矩阵的管理方法，更 好地管理团队，促进团队的协 作、发展和优化。
BCG矩阵的优缺点
现金奶牛业务
市场占有率高，但市场增长率 慢，可以通过控制成本实现稳 定利润。
洛克星与金牛星问题
1 洛克星业务
是指市场份额高，但其市场增长率低，并且这些业务通常占据企业流动资产的大部分。 洛克星业务应当对其盈利表现保持警惕，避免影响其他业务的繁荣发展。
2 金牛星业务
是指市场份额高，市场增长率低，且这些业务通常可以为企业提供现金流。企业应保持 对这类业务的关注，并确保其稳定经营。
战略制定

《波士顿矩阵分析》PPT课件

《波士顿矩阵分析》PPT课件

《波士顿矩阵分析》PPT课件目录•波士顿矩阵概述•波士顿矩阵四象限•波士顿矩阵应用步骤•波士顿矩阵优缺点分析•波士顿矩阵与其他分析工具比较•波士顿矩阵在企业战略中应用案例01波士顿矩阵概述波士顿矩阵（Boston Matrix），又称市场增长率-相对市场份额矩阵、波士顿咨询集团法、四象限分析法、产品系列结构管理法等。

它是由美国著名的管理学家、波士顿咨询公司创始人布鲁斯·亨德森于1970年首创的一种用来分析和规划企业产品组合的方法。

波士顿矩阵认为一般决定产品结构的基本因素有两个：即市场引力与企业实力。

市场引力包括整个市场的销售量（额）增长率、竞争对手强弱及利润高低等。

其中最主要的是反映市场引力的综合指标——销售增长率，这是决定企业产品结构是否合理的外在因素。

企业实力包括市场占有率，技术、设备、资金利用能力等，其中市场占有率是决定企业产品结构的内在要素，它直接显示出企业竞争实力。

帮助企业确定投资方向优化产品组合制定营销策略通过波士顿矩阵分析，企业可以明确各个产品的市场地位和盈利能力，从而确定投资方向，优化资源配置。

波士顿矩阵可以帮助企业识别出哪些产品具有发展潜力，哪些产品需要改进或淘汰，从而优化产品组合，提高整体竞争力。

针对不同类型的产品，企业需要采取不同的营销策略。

波士顿矩阵为企业提供了制定营销策略的依据，有助于提高营销效果。

02波士顿矩阵四象限1 2 3明星产品是指具有高市场增长率和高市场份额的产品。

定义这类产品通常需要大量投资以支持其高速增长，但由于市场份额较大，因此能够产生足够的现金流来支持这些投资。

特点对于明星产品，企业应继续加大投资，以保持其市场领先地位，并尽可能延长其高速增长期。

战略建议明星产品现金牛产品是指具有低市场增长率和高市场份额的产品。

定义这类产品已经进入成熟期，市场增长率较低，但由于市场份额较大，因此能够产生稳定的现金流。

特点对于现金牛产品，企业应尽可能延长其成熟期，通过提高产品质量、降低成本、加强营销等手段来保持其市场份额和盈利能力。

矩阵分析PPT课件

矩阵分析PPT课件
(AB)T=BTAT; (AB)*=B*A*; (AB)-1=B-1A-1.
例2引出的一些结论
• 在R2中至少可定义两个不同的内积.
• 欧氏空间是由实线性空间连同内积一起定义的, 同一实线性空间连同不同内积会定义不同的欧 氏空间.因此,用标准内积和例2的内积对R2能 定义出两个不同的欧氏空间.
• 这两个不同内积的确定义了两个不同欧氏空间. 例如,同一向量a=(1,0)T在标准内积下的长度 是(a,a)1/2=1;而在例2的内积下的长度是:
数学的重要性
① 新世纪国家间的竞争主要是经济竞争。但归 根结底是人才的竞争。人才培养的关键是素质 教育。素质教育包括修养、品质、知识、技能 等各个方面。数学教育在素质教育中占据重要 地位。
② 当今社会正日益数学化，数学是高科技的基 础。
数学在素质教育中的重要地位
• 数学授人以能力,数学训练能使人变聪明.
tr(k1A+k2B)=i (k1aii+k2bA+k2trB
欧氏空间例3 (例3.1.3 p.113)
A,BRmn={A=(aij)|aijR,i=1,…m,j=1,…,n}. 定义内积:(A,B)=tr(ATB)=ijaijbij.
1阶方阵
(k,)=TG(k)=kTG=k(,), (+,)=TG(+)=TG+TG=(,)+(,),
TG(b1
2 b2)1
1a1 1a2
(b1
b2)2aa11aa22

2 a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2
(a,a)1/2=(2+0+0+0)1/2=21/2,
二者不相同.
方阵A=(aij)Cnn,A的迹定义为其所有对角元 之和:

同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§4.3

同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§4.3
∵ || β − δ ||2 ≥ 0 ∴ || γ ||=|| α − β ||≤|| α − δ ||
5
显，O ) = ⎜ α i , ∑ α j ⎟ = (α i , α i ) j =1 ⎝ ⎠ ⇔ α i = O, i = 1, 2, s
实内积空间V的任一子空间W必有唯一正交补，记 定理：
这正交补为 W ⊥ , 则W ⊥ = α ∈V α ⊥ W . 证明：如果 W = {O} , 则 V = W ⊕ V , 即V 是W 的正交补. 如果 W ≠ {O} , 子空间W关于V中内积也成为内积 空间，存在正交基 e1 , , em . 由基的扩充定理，
2
{
}
将它扩充成V的一个正交基 e1 , , em , em +1 , , en , ( n = dim V ). 令 U = 〈em +1 , em + 2 , , en 〉 ,则有 W ⊥ U ,
V = W ⊕ U 所以U是W的正交补.下面证明 U = W ⊥ ,
即U是由所有与W正交的向量组成的，由此也证明了W 的正交补的唯一性.
α = β + γ , β ∈ W , γ ∈ W ⊥ , 向量β称为向量α在子空间 有 W上的正投影，而 || γ || 称为向量α到子空间W的距离. 设 定理： α ∈V , β是α在V 的子空间W上的正投影，则对任 意 δ ∈ W ,有 || γ ||=|| α − β ||≤|| α − δ || 且等号成立 ⇔β = δ
注：说明将 || γ || 定义为α 到W的距离是合理的.
4
证明：
α
γ
δ W
β
γ = α − β , γ ⊥ W , β − δ ∈W
∴ γ ⊥ ( β − δ ) α − δ = (α − β ) + ( β − δ ) || α − δ ||2 =|| α − β ||2 + || β − δ ||2 由勾股定理得

矩阵分析课件_第三章3.4-3.7

矩阵分析课件_第三章3.4-3.7

yC 使
n
x ( E - P ) y , Px P ( E - P ) y ( P - P 2 ) y 0, 即N ( P ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ R( E - P ).
(d ) : 若Px x, 那么, x R( P );反之,x R( P ), 即存在 y C 使Py x, Px P ( Py ) P y Py x.
a : 对x N A 、y R A ，有
H
Ax 0, y A z , z C
H
n
x, y y x A z x z
H H H
H
Ax 0,
N A R A
H
.
H H 又 dim N A R A dim N A dim R A
T=span{1 , 2 },求T的正交补.
H 1 0 1 1 1 H 解 取A=(1 , 2 ),则A H 0 1 1 2 2 T 求线性方程组A H x 0的基础解系1 （-1，-1，1，0） , T 2 （-1，-2，0，1） , T span{1 , 2 }.
n 2
(e ) : 设x C n ; 则Px R( P ); 令y x - Px 则Py Px - P x Px Px 0.
2
y N ( P ), x Px y R( P ) N ( P ); 所以，C R( P ) N ( P ).
n
反之， N , 设 x y , 其中 x S , y T x , 而 0, x 0, y T , N T，故 T N .

北理版矩阵分析课件

北理版矩阵分析课件

1 0
1 0
,
1 1
1 0
,
1 1
1 1
是其两组基，求向量 坐标。
A
1 3
2 4 在这两组基下的
解：设向量 A 在第一组基下的坐标为 ( x1, x2 , x3, x4 )T
于是可得
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1
1 1 1 1 x3 0 1 x4 1 0
解得
x1
7, 3
求 V1 V2 、V1 V2 的基与维数。
第一章 第一节 函数
解： 设 V1 V2 ，则 V1， V2
所以可令 k11 k22 = l11 l22
故
k11 k22 l11 l22
这是关于 k1, k2 , l1, l2 的齐次方程组，即
k1
(1 , 2
,
1,
2
)
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22 中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0
0 0
,
组互不相同的实数。
例 2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
x1 , x2 , , xn
是一组线性无关的函数，其中 1,2 , ,n为一
组互不相同的实数。
例 3 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
1,cos x,cos2x,,cosnx

《矩阵分析》课件

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行列式的计算方法
代数余子式法
01
利用代数余子式展开行列式，将行列式化为三角形或对角线形
式，从而简化计算。
递推法
02
根据行列式的性质和展开定理，利用递推关系式计算行列式的
值。
公式法
03
对于一些特殊的行列式，可以利用已知的公式直接计算其值。
如三阶行列式公式、范德蒙德公式等。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
逆矩阵的求法
高斯-约当消元法是求逆矩阵的一种常用方法，通过一系列行 变换将矩阵变为单位矩阵，其伴随矩阵即为所求的逆矩阵。
行列式的定义与性质
行列式的定义
n阶方阵A的行列式记为det(A)或|A|， 是一个标量，其值是所有n阶排列的 代数和，每个排列对应一个二项式系 数。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换 律、结合律、分配律等。此外，行列 式的值也可以通过对角线元素、主子 式、余子式等计算得到。
04
矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义与性质
特征值
对于给定的矩阵A，如果存在一个标量λ和相应的非零向量v，使得A×v=λ×v成立，则称λ为矩阵A的特征值，v为 矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
特征向量的性质
特征向量与特征值是对应的，不同的特征值对应的特征向量是线性无关的，特征向量与特征值之间满足特定的关 系式。
高斯消元法
通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
迭代法
通过迭代的方式逼近方程组的解，常 用的方法有雅可比迭代法和SOR方法 等。
共轭梯度法
一种用于求解大规模稀疏线性方程组 的方法，通过迭代寻找方程组的解。
最小二乘法
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是一组线性无关的函数，其中 1,2 , ,n 为一
组互不相同的实数。
例 3 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
1,cos x,cos2x,,cosnx
也是线性无关的。
例 4 实数域 R 上的线性空间空间 RR 中，函数组 1,cos2 x,cos 2x
是线性相关
cos 2x 2cos2 x 1
矩阵分析
教材：矩阵分析 史荣昌等编
参考书 矩阵分析引论 矩阵论
罗家洪编 程云鹏编
矩阵理论是一门最有实用价值的数学 理论。 在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理， 系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化 技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切 的联系。矩阵理论在内容上也在不断的更新和 发展。
本课程只介绍矩阵理论中最经典的一部分。 它是线性代数课程的继续和深化。为了学好这门 课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特 别向量、矩阵、二次型的相关内容。
全为零的数k1, k2 ,, km使
k11 k2 2 km m 0
则称向量组 A是线性相关的，否则称它线性无关．
定理3 向量组 1,2 ,,（m当 m 时2 ）线性相关
的充分必要条件是 1 ,2 ,,m中至少有一个向
量可由其余 m 1个向量线性表示．
定理 4：设向量组A :1,2 ,,m线性无关,而向量 组B :1,,m ,b 线性相关,则向量 b必能由向量组
设元素x有两个负元素x1, x2
x x1 0, x x2 0 x1 x1 0 x1 (x x2 )
(x1 x) x2 0 x2 x2
二： 线性空间的基本概念及其性质
定义１
给
定向
量组A
:
1
,
2
,,
，对于任何一
m
组实数k1，k2，, km，向量
k11 k2 2 km m
它的秩为0. 注：线性无关向量组的最大无关组即其自身！
基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关；
（2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关；
（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向 量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相 关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并 不唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，
A线性表示,且表示式是唯一的.
最大（线性）无关向量组
定义3 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
A0 :பைடு நூலகம்1,2 ,,r，满足 （1）向量组 A0 :1,2 ,,r线性无关；
（2）向量组A中任意r 1个向量（如果A中有 r 1个向量的话）都线性相关，那末称向量组A0是 向量组A的一个 最大线性无关向量组 （简称最大 无关组）; 最大无关组所含向量个数r称为向量组 的秩 . 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下也构成线性空间：
a b : ab, a, b R
k a : ak , a, k R
例 5 R 表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2, a3,]
ai F, i 1,2,3,
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
那么向量组（I）的秩 向量组（II）的秩；
（6）等价的向量组秩相同。
例 1 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
e1x , e2x , , enx
是一组线性无关的函数，其中 1, 2, , n 为一
组互不相同的实数。
例 2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
x1 , x2 , , xn
称为向量组的一个线性组合，k1，k2，, km称为这
个线性组合的系数.
给定向量组A : 1 , 2 ,, m和向量b,如果存在
一组数1， 2，, m，使
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
定义2 给定向量组A :1,2 ,,m ,如果存在不
V中的元素称 为向量
称这样的 V 为数域 F 上的线性空间。
例 1 全体实函数集合 RR 构成实数域 R上的
线性空间。 按函数的加法和数乘函数
例 2 复数域 上的全体 m n 型矩阵构成
的集合 mn 为 上的线性空间。
按矩阵的加法和数乘矩阵
例 3 实数域 R上全体次数小于或等于 n 的多项
式集合 R[ x]n 构成实数域 R上的线性空间
函数组
sin x,cos x,sin2 x,cos2 x,,
例8
n 1
在R
中有界的无限序列组成的子集也构成
R 上的线性空间。一个无限序列 [a1, a2, a3, ]
称为有界的，如果存在一个实数 r ， 使得
ai r,i 1,2,
定理1:线性空间有唯一的零元素,任一元素有唯一的 负元素.
证 : 设01，02是两个零元素,则有 01 01 02 02
（2） 加法结合律 ( ) ( )
（3） 零元素 在 V 中存在一个元素 0，使得对
于任意的 V 都有
0
（4） 负元素
对于 V 中的任意元素 都存
在一个元素 使得
0
（5） 1
记
（6） k(l) (kl) （7） (k l) k l
（8） k( ) k k
第一章 线性空间和线性映射
第一节 线性空间 一： 线性空间的定义与例子
实数域R 复数域C
定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集和 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算,
用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 来表示, 并且
这两种运算满足下列八条运算律：
运算的结果是 V中的元素
（1） 加法交换律
例 6 在R中满足Cauchy条件的无限序列组成的
子集合也构成 R 上的线性空间。Cauchy条件是： 0,N 0, 使得对于 m,n N 都有
am an
例7 在 R中满足Hilbert条件的无限序列组成的
子集合不构成 R 上的线性空间。Hilbert条件是：
级数 an 2 收敛