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第4章 机器人动力学

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第四章机器人静力学动力学

第四章机器人静力学动力学

0
nz
(
p
n
)
y
(
p
o
)
y
( p a)y
ox
oy
oz
( ( (
p p p
n)
o)
a)
ax
z z z
dx dy dz
x
ay
y
az z
{T}
根据前面导出的两坐标系{A}和{B}之间广义速度的坐标变换 关系，可以导出{A}和{B}之间广义操作力的坐标变换关系。
l1s1
l2s12
于是得到与末端速度
相应的关节速度：
显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的 关节速度将趋于无穷大。
4.2 机器人的静力学
0F [Fx , Fy ]T
存在怎样的关系
(1, 2 )
( f ,n)
y0
2
1
x0
机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力 和 力矩 ，统称为末端广义（操作）力矢量。记为
n个关节的驱动力（或力矩）组成的n维矢量 称为关节力矢量
利用虚功原理，令各关节的虚位移为δqi ，末端执行器相应 的虚位移为D。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端 执行器所作的虚功应该相等，即
简写为: 又因为
, 所以得到 与 之间的关系
式中
称为机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，
操作力向关节力映射的线性关系。
x t33
x t34
dx
x x x x
t
41
t42
t43
t44
x x x x
二. 微分运动
设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动 后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对 于基坐标系（静系）进行的(右乘)，总可以用微小的平移和旋转 来表示，即

第四章(机器人学动力学)

第四章(机器人学动力学)
机器人动力学

第四章 机器人静力学和动力学
静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分 析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、 动态仿真的基础。 机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器 人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节 力（矩）与接触力的关系。 机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由 于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此 很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的 控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机 器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器 人动力学研究者追求的目标。 2
3
按静力学方法，把这些力、力矩简化到 Li 的固联坐标系 oi xi yi zi ，可得： Fi Fi 1 G i M i M i 1 r i F i 1 r Ci G i i 1 或 i i i 0
4.1 机器人静力学
一、杆件之间的静力传递 在操作机中，任取两连杆 Li， i 1 。设在杆 Li 1上的 Oi 1 点 L 作用有力矩 M i 1和力 F i 1；在杆 Li 上作用有自重力 G i 〔过质 r 心 Ci ）；i 和 rCi 分别为由 Oi 到 Oi 1 和 Ci 的向径。 M i 1 F i 1
18
4.4.4 牛顿——欧拉法基本运动方程
刚体的运动可分解为随质心的移动和绕质心的转动。借助于 杆件运动学知识，我们把达朗贝尔原理用于每个杆件，描述机 器人各杆件的运动。达朗贝尔原理可应用于任意瞬时，它实质 上是牛顿第二运动定律的一种变型，可表示为： d mi vi ( Fi ) Fi mi vi 牛顿定理 : dt d I ii Ni I ii i ( I ii ) 欧拉方程 : ( Ni ) dt 式中：mi — 杆i 质量； Fi — 杆i上所有外力合力； N i — 杆i上所有外力对质心的合力矩；

《机器人技术基础》第四章 机器人动力学

《机器人技术基础》第四章 机器人动力学

人
4.2 机械手动力学方程
动
力
学
4.1.1 拉格朗日方法
机器人是一个具有多输入和多输出的复杂的 运动学系统，存在严重的非线性，需要非常复杂 的方法来处理。
动力学处理方法： Lagrange , Newton-Euler, Gauss,Kane, Screw, Roberson-Wittenburg
2 )
d
dt
L
1
(m1 m2 )l12
m2l22
2m2l1l2
cos
2
1
(
m2
l
2 2
m2l1l2 cos 2 )2
2m2l1l2 si n212 m2l1l2 si n22L1Fra bibliotek(m1
m2 )gl1
s i n1
m2 gl2
s i n (1
2)
4.1.2 拉格朗日方程
⑤求出机器人动力学方程：
)
然后求微分，则其速度就为：
x2 y 2
l1 l1
co s11 sin 11
l2 l2
cos(1 2 )(1 2 ) sin(1 2 )(1 2 )
θ1
关节2
m1
（x1, y1)
l2
θ2 m2
（x2, y2 )
由此可得连杆的速度平方值为：
v22 x22 y22 l1212 l22(12 212 22 ) 2l1l2 cos2(12 12 )
m2 gl2 sin(1 2 )
T2 (m2l22 m2l1l2 cos2 )1 m2l222 m2l1l2 sin 21
m2 gl2 sin(1 2 )
4.1.2 拉格朗日方程
将得到的机器人动力学方程简写为如下形式：

工业机器人课件第四章 机器人动力学

工业机器人课件第四章 机器人动力学

（4.2-2) Dii I ai I ai 为传动装置的等效转动惯量
Dij Dijk
p maxi , j

n
I ai
Trace(
Tp q j
Ip
TpT qi Ip
) TpT qi
（4.n T T p T

n
Trace(
2Tp q j qk rp
把相应的偏导和导数代入拉格朗日方程，可求得力矩T1和T2的动力学表达式 d L L T1 dt 1 1 (m d 2 m d d cos ) [(m m )d 2 m d 2 2m d d cos ]
1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
（4.1-9)
（4.1-10)
将在关节i上产生 D 的惯性力； Dii—关节i的有效惯量：关节i的加速度 i ii i 将在关节j和i上分别产 和 Dij—关节i和j的耦合惯量：关节i和j的加速度 j i 生一个等于 Diji 和 Dij j 的惯性力；
2 D22 m2 d 2
耦合惯量 向心加速度 系数
2 D12 m2 d2 m2 d1d2 cos2
D111 0 D122 m2 d1d 2 sin 2 D211 m2 d1d 2 sin 2 D222 0
哥氏加速度 系数
重力项
D112 D121 m2 d1d 2 sin 2 D212 D221 0
) （4.2-4)
（4.2-5)
Di m p g
p i
p
qi
惯量项和重力项在机器人的控制中特别重要，它们影响到系统的稳定 性和定位精度。向心力和哥氏力仅当机器人高速运动时才有意义。

机器人 (7)

机器人 (7)
然而机器人是个复杂的动力学系统，由多个连杆和多个关 节组成，具有多个输入和多个输出，存在着错综复杂的耦合关 系和严重非线性。动力学求解非常复杂。
机器人动力学的研究有
牛顿-欧拉(Newton-Euler) 法
拉格朗日(Langrange)法
高斯(Gauss)法
凯恩(Kane)法
罗伯逊-魏登堡(Roberon-Wittenburg) 法等。
角度设定法
“角度设定法”就是 采用相对参考坐标系或相对运动坐标系作三次连续转动来规
定姿态的方法，。
手部位姿可用一个6维列矢量来表示
X [ px py pz x y z ]T
φx、 φy、 φz表 示绕x、y、z轴的
转角。
4
设q为广义关节变量 q [q1 q2 ... qn ]T
x x(q1,q2,..., qn ) x(q)
τ
τ
2
M
τ n
假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，利用虚功原理则可得广 义关节力矩τ与机器人手部端点力F的关系可用下式描述：
τ=JTF 式中： JT为n*6阶机器人力雅可比矩阵。 机器人力雅克比是机器人速度雅可比J的转置矩阵。是机 器人静力计算的基础。
23
• 机器人静力计算的两类问题
– (1) 已知外界环境对机器人手部的作用力F，求相应的满足 静力平衡条件的关节驱动力矩τ。
–运动学方程x=x(q)可以看成是由关节空间向操作空 间的映射；
–而运动学反解则是由其映像求其关节空间的原像。
6
二.机器人的雅可比矩阵
机器人的雅可比矩阵揭示了操作空间与关节空间的映射关系。 雅可比矩阵不仅表示操作空间与关节空间的速度映射关系， 也表示两者之间力的传递关系，为确定机器人的静态关节力 矩及不同坐标系间速度、加速度和静力的变换提供了便捷的 方法。

第4章 机器人的动力学初步

第4章 机器人的动力学初步

图４-４ 质点平移运动 作为回转运动的解析
机器人的静力学
如果Ｉ ＝ｍｒ２，则式（４-１４） 就改写为
式（４-１５）是 质 点 绕 固 定 轴 进 行 回 转 运 动 时 的 运 动 方 程 式 。 与 式 （４⁃ １１）比较，Ｉ相当于平移运动时的质量，在旋转运动中称为惯性矩。
机器人的静力学
对于质量连续分布的物体， 求解其惯性矩， 可以将其分割成假想的微小 物体， 然后再把每个微小物体的惯性矩加在一起。这时， 微小物体的质量ｄ ｍ 及其微小体积ｄＶ 的关系， 可用密度ρ 表示为 所以， 微小物体的惯性矩ｄＩ， 依据Ｉ ＝ｍｒ２， 可以写成
行器在笛卡尔空间的轨迹已确定（轨迹已被规划），求解机器人各执行器的驱
动力或力矩，这称为机器人动力学方程的反面求解，简称为逆动力学问题。
概述
不管是哪一种动力学问题都要研究机器人动力学的数学模型，区别在于问
题的解法。人们研究动力学的重要目的之一是对机器人的运动进行有效控制，
以实现预期的运动轨迹。 常用的方法有牛顿.欧拉法、拉格朗日法、凯恩动力学法等。牛顿·欧拉动
原理。
机器人的静力学
如图４⁃１所示，已知作用在杠杆一端的力ＦＡ，试用虚功原理求作用于另 一端的力ＦＢ。假设杠杆长度ＬＡ和ＬＢ已知。 按照虚功原理，杠杆两端受力所做的虚功应该是
式中，δ ｘＡ 、δ ｘＢ是杠杆两端的虚位移。而就虚位移来讲，下式成立
式中， δθ 是绕杠杆支点的虚位移。 把式（４⁃２）代入式（４⁃１）消 δ ｘＡ 、δ ｘＢ，可得到下式 图４-１ 杠杆及作用在两端上的力
机器人动力学方程式
式中， ｎ 为机器人的关节总数。其次我们来考虑把Ｋ 作为机器人各关节 速度的函数。这里ｖＣｉ与ω ｉ 分别表示为

《机器人动力学》课件

《机器人动力学》课件

机器人动力学有助于优化机器人的设 计和性能，提高机器人的运动性能和 作业能力。
安全性和稳定性
通过机器人动力学的研究，可以预测 机器人在不同环境和操作条件下的行 为，从而避免潜在的危险和保证机器 人的安全稳定运行。
机器人动力学的发展历程
初始阶段
早期的机器人动力学研究主要关注于简单的机械臂模型，采用经典力学理论进行分析。
刚体动力学是研究刚体在力作用下的运动规律的科学。刚体动力学建模
是研究刚体运动过程中力和运动状态之间的关系。
02
牛顿-欧拉法
牛顿-欧拉法是一种基于牛顿运动定律和欧拉方程的刚体动力学建模方
法。通过这种方法，可以建立刚体的运动方程，描述刚体的运动状态。
03
拉格朗日法
拉格朗日法是一种基于拉格朗日方程的刚体动力学建模方法。这种方法
《机器人动力学》ppt 课件
目录
Contents
• 机器人动力学概述 • 机器人动力学的基本原理 • 机器人动力学建模 • 机器人控制中的动力学应用 • 机器人动力学研究的挑战与展望 • 机器人动力学实验与案例分析
01 机器人动力学概述
定义与特点
定义
机器人动力学是研究机器人运动过程中力和运动状态之间关系的学科。它主要关注机器人在操作物体 、环境交互以及自身运动过程中产生的力和扭矩，以及这些力和扭矩如何影响机器人的运动状态。
在实际应用中的表现。
06 机器人动力学实验与案例分析
实验一：刚体动力学实验
总结词
理解刚体动力学基本原理
详细描述
通过实验一，学生将学习刚体动力学 的基本原理，包括刚体的运动学和动 力学特性。实验将通过演示刚体在不 同条件下的运动，帮助学生理解刚体 动力学的概念和应用。

第4讲 机器人动力学

第4讲 机器人动力学
2 2 T PC 1 PC 1 L C 1 1
（4－12）
2 2 2 2 2 T p C 2 p C 2 L1 1 L C 2 ( 1 2 ) 2 L1 L C 2 C 2 ( 1 1 2 )
（4－13） 利用式（4－10）和式（4－12），（4－13），通过下式
对于一般形式的连杆，由于I除第三分量以外，其它分 量皆不为零，所以×I不是零向量。×I的第1，2分量成 了改变轴方向的力矩，但在固定轴的场合，与这个力矩平衡 的约束力生成，式N的第1，2分量，不产生运动。 由于机器人是具有分布质量的三维、多自由度机构，利 用牛顿力学建模非常困难，拉格朗日力学成为主要的动力学 分析方法。
式中，m（标量）是刚体的质量； 3 3 IC R 是绕重心C的惯性矩阵；FC 是作用于重心的平动力；N是惯性力矩； Vc是重心的平移速度；为角速度。 式（4－3）及式（4－4）分别被称为牛顿运动方程式及欧 拉运动方程式。Ic的各元素表示对应的力矩元素和角加速度元 素间的惯性矩。
2012-7-16
r x
2012-7-16
F
N r
机器人技术公共选修课
6
1. 惯性矩
x 式中， 和N是绕轴回转的角加速度和惯性力矩，将 和F 代入上式得： 2 mr N
令 I mr
2
，上式可以变为：
N I
（4－1）
式（4－1）是质点绕固定轴进行回转运动时的运动方程式， I相当于平动时的质量，称为惯性矩。 求质量连续分布物体的惯性矩时，可以将其分割成假想的 微小物体，然后将微小物体的惯性矩加在一起，这时，微小物 体的质量dm及其微小物体体积dV的关系可用密度表示为：

第04章-机器人动力学剖析

第04章-机器人动力学剖析

研究机器人动力学的目的
研究机器人动力学的目的是多方面的。 动力学正问题与机器人的仿真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现 最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。在设计中 需根据连杆质量、运动学和动力学参数、传动机构特征和负
载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方
利用前面的虚功原理来推导机器人的静力学关系式。 如图4－2所示的机械手，要产生图（a）所示的虚位 移，推导出图（b）所示各力之间的关系式。这一推导方 法本身也适用于一般的情况。
图4－2 机械手的虚位移和施加的力
假设 ： T m1 手爪的虚位移为 r r1 ,, rm , R 关节的虚位移为 1 ,, n T , R n1 T m1 手爪力为 F f1 ,, f m , R T n1 关节驱动力为 1 ,, n , R 如果施加在机械手上的力作为手爪力的 反力（ F 用来表示）时，机械手的虚功可 表示为： T T （4－5） W (F ) r
下面看一个例子来理解一下实际上如何使用虚 功原理。如图4－1所示，已知作用在杠杆一端的 力FA ，试用虚功原理求作用于另一端的力 FB 。假 设杠杆长度 L A ，LB 已知。
图4－1 杠杆及作用在它两端上的力
按照虚功原理，杠杆两端受力所作的虚功应
该是
FAx A FBx B 0
（4 － 1 ）
一、虚功原理 在介绍机器人静力学之前，首先要说明一下 静力学中所需要的虚功原理（principle of virtual work）。 约束力不作功的力学系统实现平衡的必要且 充分条件是对结构上允许的任意位移（虚位移） 施力所作功之和为零。这里所指的虚位移 （virtual displacement）是描述作为对象的系统 力学结构的位移，不同于随时间一起产生的实际 位移。为此用“虚”一词来表示。而约束力 （force of constraint）是使系统动作受到制约的 力。

第四章机器人的动力学

第四章机器人的动力学

n
1
v Ci

v Ci

1 2

i Ii i )

T

1
[m 2
i 1 n
i
(J L q ) J L q (J A q ) IiJ A q ]
(i) (i) T (i) T T

1
(m 2
i 1
i
q
JL
(i)T
JL q q
(i)
二、机器人静力学关系式推导
以2自由度机械手为例，要产生图a所示的虚位移 , ， r ， 则图b所示各力 , 和 F 之间的关系：
1 2
1
2
由 虚 功 原 理 知 ： 1 1 2 2 F r 0 即： 1
2
1 F 2
当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度ω，角加速度
，惯
性张量
与作用力矩N之间满足欧拉方程：
IC (IC ) N

——欧拉运动方程
Ic R
3 3
是绕重心 c 的惯性矩（转动惯量） N 回转力矩
， I c的各元素表示对应的力
矩元素和加速度元素间
的惯性矩；
回转角速度；
对于对于zz轴轴于是于是12联立可得联立可得对于一般形状连杆对于一般形状连杆除第33分量以外其它分量皆不为分量以外其它分量皆不为00的第1122分量成为改变轴方向的力矩但在固定分量成为改变轴方向的力矩但在固定轴场合与这个力矩平衡的约束力生成轴场合与这个力矩平衡的约束力生成22式中的式中的1122分分量不产生运动
由虚功原理得：
F A x A FB x B 0 即 ： F A L A F B L B 0 ( F A L A F B L B ) 0 F A L A FB L B 0 FB LA LB FA

第四章 机器人动力学 53页 0.6M

第四章 机器人动力学 53页 0.6M




m1 m2 gd1 sin1 m2 gd2 sin1 2 c11
2 1 2
2 1 2
2 1 2
2 2
(4 12)
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.2 机械手动力学方程的求法
当考虑关节摩擦阻尼时
T2 d L L dt 2 2
r (t ) r ' (t ) ro ' (t )
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.0 动力学基本定理
绝对运动速度：在定坐标系中的运动速度 相对运动速度：在动坐标系中的运动速度 牵连运动速度：动坐标系在定坐标系中的运动速度 绝对运动加速度：在定坐标系中的运动加速度 相对运动加速度：在动坐标系中的运动加速度 牵连运动加速度：动坐标系在定坐标系中的运动加速度 当牵连速度为平动时， a ae ar 当牵连运动为定轴转动时，
Qj:为非势的广义力
当含有粘性阻尼时，方程变为：
L Q j ，Φ：瑞利耗三散函数 q q j j
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.0 动力学基本定理
例：图示为振动系统方程
1。动能
2。势能
1 2 T (m1 x12 m2 x2 ) 2
注意：这里只求显因变量的偏导数
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.2 机械手动力学方程的求法
代入拉格朗日方程
T1 d L L dt 1 1
m1 m2 d12 m2 d 22 2m2 d1d 2 cos 2 m2 d 22 m2 d1d 2 cos 2 2 1 2m d d sin m d d sin 2 m1 m2 gd1 sin1 m2 gd2 sin1 2

机器人学-第4章_机器人动力学

机器人学-第4章_机器人动力学

机械手系统（包括传动装置）的总动能为：
Kt K Ka
1 2
6 i 1
i j 1
i k 1
Trace
Ti qi
Ii
Ti T qk
qj qk
1 2
6
I ai qi2
i 1
(4.20)
4.2.2 动能和位能的计算
23
4.2.2 动能和位能的计算
位能的计算 一个在高度h处质量m为的物体，其位能为：
对拉格朗日函数求导，以得到动 力学方程式。
O3 连杆2
3rp
连杆3 O2
O1 连杆1 0rp
P
连杆4 O4
O
图4.4 四连杆机械手
第四章 机器人动力学
15
4.2.1 速度的计算
连杆3上点P的速度为：
0vp
d dt
(
0
r
p
)
d dt
(T3
3
rp
)
T3 3rp
对于连杆i上任一点的速度为：
v
dr dt
4
4.1.1 刚体的动能与位能
x0 0, x0和x1均为广义坐标，有下式：
M1 x1 c( x1 x0 ) k( x1 x0 ) M1 g F M 0 x0 c( x1 x0 ) k( x1 x0 ) M 0 g F
或用矩阵形式表示为：
M1
0
0 M0
x1 x0
D212 D221 0
重力项
D1 (m1 m2 )gd1 sin1 m2 gd2 sin(1 2 ) D2 m2 gd2 sin(1 2 )
4.1.2 动力学方程的两种求法
10
拉格朗日功能平衡法
表4.1给出这些系数值及其与位置 2的关系。

第4章_机器人动力学

第4章_机器人动力学

i i ∂T ∂T = Trace ∑∑ i i r i r T i ∂q j =1 k =1 ∂q k k
T qk qk & &
(4.16)
4.2 机械手动力学方程
20
4.2.2 动能和位能的计算
动能的计算 令连杆3上任一质点P的质量为dm，则其动能 为：
对于动力学，有两个相反的问题：
其一是已知机械手各关节的作用力或力矩，求各 关节的位移、速度和加速度，求得运动轨迹。 其二是已知机械手的运动轨迹，即各关节的位移、 速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或力矩。
机器人学基础
2
4.1 刚体动力学
拉格朗日函数L被定义为系统的动能K和位能P之 差，即:
L= K −P
图4.3 二连杆机械
4.1.2 动力学方程的两种求法
14
2．牛顿-欧拉动态平衡法
可得:
2 & T1 = [(m1 + m2 )d12 + m2 d 2 + 2m2 d1 d 2 cosθ 2 ]θ&1 2 & & & & + [m2 d 2 + m2 d1 d 2 cosθ 2 ]θ&2 + c1θ 1 − (2m2 d1 d 2 sin θ 2 )θ 1θ 2
图4.4 四连杆机械手
第四章 机器人动力学
16
4.2.1 速度的计算
连杆3上点P的速度为：
0
vp =
d 0 d & ( r p ) = (T3 3 r p ) = T3 3 r p dt dt
对于连杆i上任一点的速度为：
dr v= dt i ∂Ti i ∑ & = q r j =1 ∂q j j
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（4－19） 式中，Ki为连杆的运动能量，mi为质量 ，vci为在基准坐标系上表示的重心的平移 速度向量，Ii为在基准坐标系上表示的连杆 的转动惯量，i为在基准坐标系上表示的 转动速度向量。
1 1 T T K i mi vcivci i I ii 2 2
因为机器人的全部运动能量 K ，由各连杆的 运动能量的总和表示，所以得到 （4－20） n 为机器人的关节总数。其次我们来考 式中， 虑把作为机器人各关节速度的函数。这里 vci 与 i 分别表示如下：
图4－2
机械手的虚位移和施加的力
假设 ： T m1 手爪的虚位移为 r r1 ,, rm , R T n1 , , , R 关节的虚位移为 1 n T m1 手爪力为 F f1 ,, f m , R T n1 关节驱动力为 1 ,, n , R 如果施加在机械手上的力作为手爪力 的反力（用-F来表示）时，机械手的虚功 可表示为：
则由式（4－10）可以得到驱动力如下
L2 A J FA L2
T
L1 f x L2 f x 0 0 L2 f x
L1 0 L1 f y f 0 y 0
i 1
(i ) vci J L q
K Ki
n
(i ) i J A q
（4－21） （4－22）
(i ) 相关的雅可比矩阵，J A 是与i第个连杆转动速度相 关的雅可比矩阵。为了区别于与指尖速度相关的 雅可比矩阵，在上面标明了注角（i）。
(i ) J 式中， L 是与 i第个连杆重心位置的平移速度
因此得到
LA FB FA LB
（4－4）
当力FA向下取正值时，FB则为负值，由于FB 的正方向定义为向上，所以这时表明FB的方向是 向下的，即此时FA和FB的方向都朝下。
二、机器人静力学关系式的推导
利用前面的虚功原理来推导机器人的静力 学关系式。 如图4－2所示的机械手，要产生图（a） 所示的虚位移，推导出图（b）所示各力之间 的关系式。这一推ห้องสมุดไป่ตู้方法本身也适用于一般的 情况。
0 0 0 0 0 I 0 I 0
（4－31）
0 N 0 c cos m gL
（4－32）
I c R 33是在第3行第3列上 式中，g是重力常数； 具有绕关节轴惯性矩的惯性矩阵。把这些公式代 入式（4－30），提取只有z分量的回转，则得到 mgL cos （4－33） I c 该式为1自由度机械手的欧拉运动方程式，其中： I I c mLc （4－34） 对于一般形状的连杆，在式（4－31）中，由于I 除第3分量以外其他分量皆不为0，所以 I 的第1、2分量成了改变轴方向的力矩，但在固定 轴的场合，与这个力矩平衡的约束力生成式（4－ 32）的第1、2分量，不产生运动。
（ 4 － 5）
W (F ) r
T T
为此，如果应用虚功原理，则得到 这里，手爪的虚位移 r 和关节的虚位移 之间的关系，用雅克比矩阵表示为
(F ) r 0
T T
（4－6）
r J
（4－7）
把式（4－7）代入式（4－6），提出公因数 ，可得到下式 （ 4－ 8） ( T F T J ) 0
(i ) (i ) (i ) （4-23） JL JL J 0 0 1 Li
(i ) A


J
J

(i ) A1
J 0 0
(i ) Ai

（4-24）
在式（4－23）和式（4－24）中，包含着0分量 ，这是因为第i个连杆的运动与其以后的关节运动 是无关的。
现在将式（4－21）和式（4－22）代进式（ 4－19）和式（4－20），机器人的运动能量公 式可以写成
第四章 机器人的动力学初步
第一节 前 言 机器人动力学是研究机器人运动数学 方程的建立。其实际动力学模型可以根据 已知的物理定律(例如牛顿或拉格朗日力学 定律)求得。
机器人运动方程的求解可分为两种不同性质的问题：
正动力学问题。即机器人各执行器的驱 动力或力矩为已知，求解机器人关节变量在 关节变量空间的轨迹或末端执行器在笛卡尔 空间的轨迹，这称为机器人动力学方程的正 面求解，简称为正动力学问题。
由于这一公式对任意的 下式成立
T T
都成立，因此得到
F J 0 （4－9）
进一步整理，把式中第二项移到等式右边，并 取两边的转置，则可得到下面的机械手静力学关 系式
JTF
（4－10）
上式表示了机械手在静止状态为产生手爪力 F 的驱动力 。
为了加深理解，下面分别求解图4－3所示的2自 由度机械手在图示位置时，生成手爪力FA f x 0T T 或 FB 0 f y 的驱动力 A 或 B 。图示 为1 0(rad) ， 2 / 2(rad) 时的姿态。
对于动力学来说，除了与连杆长度 Li 有关之外 ，还与各连杆的质量 mi ，绕质量中心的惯性矩 I Ci ，连杆的质量中心与关节轴的距离 L 有关。如 Ci 图4－6所示。
图4－6 与动力学有关的各量
运动学、静力学和动力学中各变量的关系如 图4－7所示。图中用虚线表示的关系可通过实线 关系的组合表示，这些也可作为动力学的问题来 处理。
下面求解一下图4－10所示的1自由度机械手 的运动方程式，在这里，由于关节轴制约连杆的 运动，所以可以将式（4－30）的运动方程式看 作是绕固定轴的运动。
图4－10 1自由度机械手
假设绕关节轴的惯性矩为 I ，取垂直纸面的方 向为轴 z ，则得到
0 0 I I
1 n ( i )T ( i ) ( i )T (i ) T J L q T J A ) K (mi q JL q Ii J A q 2 i 1
（4－25）
（4－26）
令
( i )T ( i ) ( i )T (i ) H (mi J L JL JA Ii J A ) i 1 n
将式（4－12）、（4－13）代入式（4－11 ），得到 2 m r N （4－14） 2 I m r 如 ，则式（4－14）就改写为 （4－15） 上式是质点绕固定轴进行回转运动时的运动方 程式。与式（4－11）比较 I 相当于平移运动时 的质量，在旋转运动中称为惯性矩。
N I
则机器人的运动能量公式（4－25）写为 1 T （4－27） Hq K q 2 这里H表示的称为机器人的惯性矩阵。
2．势能 机器人的势置能量和运动能量一样，也是由 各连杆的位置能量的总和给出，因此可用下式表 示： n P mi g T r0,C i 1 （4－28） 式中，g 表示重力加速度，它是一个在基准坐 r0,Ci 表示从基准坐标系原 标系上表示的三维向量。 点，到 i 个连杆的重心位置的位置向量。
对于质量连续分布的物体，求解其惯性矩， 可以将其分割成假想的微小物体，然后再把每个 微小物体的惯性矩加在一起。这时，微小物体的 质量 dm 及其微小体积 dV 的关系，可用密度 dm dV 表示为 （4－16 ） 所以，微小物体的惯性矩 dI ，依据式 I m r2 ，可以写成 dI dmr2 r 2 dV （4－17） 因此，整个物体的惯性矩通过积分求得如下：
x A LA
x B LB （4－2）
式中， 是绕杠杆支点的虚位移。把式（ 4－2）代入式（4－1）消去 x A 、x B ，可得 到下式
（4－3） 由于公式（4－3）对任意的都成立，所以 有下式成立
( FA LA FB LB ) 0
FA LA FB LB 0
下面看一个例子来理解一下实际上如何使 用虚功原理。如图4－1所示，已知作用在杠杆 一端的力FA，试用虚功原理求作用于另一端的 力FB。假设杠杆长度LA，LB已知。
图4－1
杠杆及作用在它两端上的力
按照虚功原理，杠杆两端受力所作的虚功 应该是
FAx A FBx B 0
（ 4－ 1）
式中 x A ，x B ，是杠杆两端的虚位 移。而就虚位移来讲，下式成立
机器人运动方程的求解可分为两种不同性质的问题：
逆动力学问题。即机器人在关节变量空 间的轨迹已确定，或末端执行器在笛卡尔空 间的轨迹已确定（轨迹已被规划），求解机 器人各执行器的驱动力或力矩，这称为机器 人动力学方程的反面求解，简称为逆动力学 问题。
第二节 机器人的静力学
一、虚功原理 在介绍机器人静力学之前，首先要说明一下 静力学中所需要的虚功原理（principle of virtual work）。 约束力不作功的力学系统实现平衡的必要且 充分条件是对结构上允许的任意位移（虚位移） 施力所作功之和为零。这里所指的虚位移（ virtual displacement）是描述作为对象的系统 力学结构的位移，不同于随时间一起产生的实际 位移。为此用“虚”一词来表示。而约束力（ force of constraint）是使系统动作受到制约的 力。
i
二、机器人动力学方程的建立举例
1．牛顿─欧拉方程式 首先，以单一刚体为例，如图4－9所示，其 运动方程式可用下式表示
c Fc mv
（4－29）
( I c) N I c
（4－30）
图4－9 单一刚体
式（4－29）和式（4－30）分别被称为牛 顿运动方程式及欧拉运动方程式。式中，m 是刚 33 Ic 的 I R 体的质量； c 是绕重心 C 的惯性矩阵， 各元素表示对应的力矩元素和角加速度元素间的 N 是惯性矩 惯性矩；Fc 是作用于重心的平动力； vc 是重心的平移速度； 是角速度。 ；
图4－3 求生成手爪力或的驱动力