数图形的两种基本方法

三年级奥数解析 4 数图形《奥赛天天练》第5 讲《数长方形和正方形》、第6 讲《编号数图形》，这两讲数图形的方法，与前面所学的数线段的方法有密切的联系，与两种主要的数线段的方法相对应。

对于比较规则的表格式的长（正）方形数法，通常依据外围边框（长、宽）上线段的条数，运用乘法计算长（正）方形的总个数；对于不太规则的图形或分割不规则的图形，常常运用编号的方法分类数出图形的个数。

《奥赛天天练》第 5 讲，巩固训练，习题 1 第（2）题【题目】：下面各图中各有多少个长方形？【解析】：我们把上面的图形分拆成两个部分：一、蓝色方框里的部分；二黑色方框里的部分。

这两部分正中心有一个公共的长方形。

第一部分，这个长方形底边上有（1+2+3=）6 条线段，对应其中每一条线段都有一个长方形，因此蓝色方框里有 6 个长方形；同理，第二部分同样是 6 个长方形，共有 12 个长方形。

去掉中间公共的长方形重复计算了一次，所以，这个图形中共有 11 个长方形。

《奥赛天天练》第 5 讲，巩固训练，习题 2 第（1）题【题目】：下面各图中各有多少个正方形？【解析】：正方形的数法与长方形的数法有所不同。

先根据正方形的边长把上图中出现的正方形分为四类：一、边长为 1 个单位长度的正方形；二、边长为 2 个单位长度的正方形；三、边长为 3 个单位长度的正方形；四、边长为 4 个单位长度的正方形。

再分类数出所有正方形的个数。

第一类：边长为 1 个单位长度的正方形，也就是图中的基本图形。

每行 4 个，4 行，共有正方形：4×4=16（个）。

第二类：边长为 2 个单位长度的正方形。

如下图，用这样大的正方形框一框，图中每行有 3 个这样的正方形【图（一）】；每列也有这样的 3 个正方形【图（二）】。

即图中这样的正方形有 3 行，每行 3 个，共有正方形：3×3=9（个）。

第三类：边长为 3 个单位长度的正方形。

与第二类正方形的数法相同，可以数出图中边长为 3 个单位长度的正方形有 2 行，每行2 个，共有正方形：2×2=4（个）。

图形的计数（四年级奥数秋季思维训练教程）教学内容：第二讲图形的计数（四年级秋季思维训练教程）课时：第一、二课时课型：新授课教学目的：知识与技能理解并掌握数线段的两种方法：基本线段法、定端点法。

学会灵活地将数图形（三角形、正方形、长方形等）问题转化为数线段问题。

过程与方法通过引导学生复习旧知，鼓励学生总结归纳数线段的基本方法，培养学生的观察能力、抽象概括能力，增强学生探究问题的本领。

在观察、分析图形的过程中，要逐步培养学生掌握从特殊到一般的研究问题的方法。

情感态度与价值观在观察、总结归纳数线段的基本方法的过程中，体会探索新知的乐趣，养成善于思考，勇于探索，乐于交流的习惯。

在数图形个数时，要求按一定的顺序去做，做到不遗漏，不重复，提高学生的逻辑思维能力，养成严密的数学思维习惯。

教学重、难点：重点：通过观察、分析复杂图形并数出其中基本图形的个数的过程中，促进学生掌握类比转化的方法，培养学生分析和解决问题的能力。

难点：如何将复杂图形的计数问题转化为线段的计数问题教具、学具准备：教学过程：复习旧知，凝疑导入同学们，看看我左手上是什么？（粉笔）数数有几只？（三只）。

再看看老师右手上拿了什么？（纸）瞅瞅它们共有几张呢？我们两三岁时家人就开始教我们数数了，所以刚刚那两个问题对同学们来说都是小菜一碟，有没有？但是，不知，同学们还是否记得我们之前学过一种稍微复杂一点的数数问题---数线段。

下面我们来简单地复习一下：问题一：数一数下面图形中共有多少条线段？(10条)线段：有两个端点的直线组成的图形要求：不遗漏不重复展示与总结：定端点法：4+3+2+1=10（条）基本线段法：有4条基本线段由两条基本线段组成的线段：3条由三条基本线段组成的线段：2条由四条基本线段组成的线段：1条共有4+3+2+1=10（条）这道题有没有唤起同学们对以前学过知识的记忆呢？同学们应该都知道，学习是一个连续且不断发展的过程，随着我们年龄和年级的不断增加，我们会对同一个大问题进行更深入的研究，所以，理所当然，数数问题也需要我们对它进行更深一步的探究。

数图形的方法和技巧一年数图形的方法和技巧有很多种，可以根据不同的情况和需求选择合适的方法。

下面我将就这个问题进行详细的回答。

首先，数图形的方法可以根据图形的特点分为直接数和间接数两种方法。

直接数是指直接根据图形的形状和特征进行计数，而间接数是指将图形转化为其他形式进行计数。

直接数的方法包括以下几种：1. 逐个计数法：逐个数图形的个数，特别适用于数量较少的图形，但是对于数量较多的复杂图形来说，这种方法可能效率较低。

2. 分组计数法：将图形按照某种特征进行分类，然后计算每一组的数量，最后将所有组的数量相加。

这种方法适用于数量较多且类型较多的图形，可以减少计数的复杂度。

3. 记录标记法：在图形上进行标记，然后根据标记的个数进行计数。

这种方法适用于数量较多的图形，可以避免漏计或重复计数的问题。

间接数的方法包括以下几种：1. 分解法：将复杂的图形拆分成简单的几何形状，然后计算每个几何形状的数量，最后将其相加。

这种方法适用于复杂的图形，可以简化计数的过程。

2. 区域法：将图形分成若干个区域，然后计算每个区域内的图形数量，最后将其相加。

这种方法适用于图形重叠或交错的情况，可以将复杂的图形拆分为简单的小区域进行计数。

3. 抽象转化法：将图形抽象成其他形式进行计数，比如将图形转化成数字、字母或其他符号进行计数。

这种方法适用于较为抽象的图形，可以将复杂的图形转化为简单的计数方式。

除了以上方法，还可以根据图形的不同特征和属性选择相应的计数方法，比如根据图形的对称性、边长、角度等进行计数。

此外，在进行数图形时，还需要注意以下几点：1. 仔细观察图形的形状和特征，确定采用何种计数方法。

2. 注意排除重叠图形和部分重叠图形，避免重复计数。

3. 根据题目给出的条件和要求选择合适的计数方法，不要过度复杂化问题。

4. 在计数过程中，要有系统性、规律性，避免遗漏和错误。

综上所述，数图形的方法和技巧是多样的，根据不同的情况和需求选择合适的方法对于高效、准确地完成数图形任务非常重要。

《数图形的学问》是北师大版教材四年级上册《数学好玩》的第二课时。

本课教学主要围绕“画图”、“数图”、“想图”三个环节展开。

一、找准信息，画图。

本课作为《数学好玩》的内容，其导入情境也旨在引发学生学习兴趣。

教学时，我利用课本情境“鼹鼠钻洞”作为导入，引导学生观察地洞迷宫的特点，找到其中的数学信息，留足一定时间让学生尝试画出“地洞迷宫”的简略图，展示不同学生的作品，学生通过比较发现数学中的线段图是抽象表示“地洞迷宫”的最佳方案，感受数学的简洁美。

学生在尝试抽象表达“地洞迷宫”和比较不同表示方法的优劣的过程中，发展几何直观能力。

该环节也是“水平数学化”的过程，即将生活问题表示为数学问题的过程。

二、找准关系，数图。

学生成功将“地洞迷宫”抽象成线段图后，尝试寻找其中包含的数量关系，即线段数量与出口数量的关系。

通过探究二，串联画一画，写一写，算一算三部分，学生经历从线段抽象到数，数再抽象到式这一整个过程，找到两者之间的数量关系，巩固有序观察和有序思考的能力，不重不漏地数出线段的数量。

学生通过对不同方法的比较，总结出数线段的两种方法“按出发点数”和“按线段长短数”，体会解决问题方法多样性。

三、找准知识，想图。

学生掌握数线段的方法后，我增加洞口的数量再让学生来数一数，通过比较，学生发现数线段的列式规律，并将此加工为一种数学模型。

之后我又对线段进行加工，将数线段转化为数长方形、三角形、和角，学生利用所学方法尝试解决，最终发现数其它图形的方法与数线段的方法类似，通过总结讨论，找到并明确数图形的基本方法。

最后，通过拓展提升，对数图形的方法进一步推广，学生尝试解决数多层图形、握手次数等问题。

第二和第三个环节也是“垂直数学化”的过程，学生在此过程中对抽象化的信息进行处理，得到了数学方法，并加以理解和应用。

本节课的不足之处在于：1.对学生的预设不足。

在磨课中学生对地洞迷宫的表示有多种抽象水平，因而在展示课的画图环节，我没有预设到有学生提出地洞迷宫就是“线段图”这一观点，对此没有进行进一步追问和处理，大部分学生受其启发，选择“线段图”来表示，导致学生在对“生活问题数学化”上的体验不足。

第2讲我会数图形一年级我们已经认识了各种图形，并会数简单的图形．在这个基础上，本节课我们就将进一步深入的学习图形计数的方法．从简单的数线段的方法入手，拓展到数角、三角形、长方形、正方形等．通过数图形的练习，来让学生总结方法，找到计数的技巧．培养学生有序的思考问题的能力．知识点：1．掌握数规则的图形的个数的方法．（如线段、三角形、长方形等）1．教学点将给老师提供本节课的挂图．2．老师把每个图形制成图片．第2讲【教学思路】课前复习通过数简单的图形，使学生养成做记号的好习惯，为后面的学习奠定基础．⑴ 三角形有6个，正方形有3个，长方形有4个，椭圆形有8个．⑵ 正方形有4个，长方形有6个，三角形有3个，平行四边形有4个，圆形有5个．⑴下面的图各画了几个三角形、正方形、长方形和椭圆形？（ ）个三角形 （ ）个正方形 （ ）个长方形 （ ）个椭圆形⑵ 这所漂亮的房子是用哪些图形拼成的呢？数一数．同学们，我们已经会数简单的图形，今天这节课我们将继续来学习数图形的方法．在数图形的时候，同学们要认真仔细，必须要做到按顺序、有条理、不遗漏、不重复得来数．这样我们在数图形的时候，才能数得又快又准．数一数，下图中有多少条线段？【教学思路】在一年级的时候，我们已经学过了数线段的基本方法，今天继续学习老师要引导学生把这种数图形，有方法， 要认真，别慌张．OEDC B AOE C（ ）条线段 （ ）个角 （ ）个三角形这些图形你会数吗？在数这些图形的时候，方法有什么相同和不同？方法进行推广和拓展．数线段有两种方法，具体分析如下：方法一：已知在两点间的直线部分就是一条线段，这两个点就叫做线段的端点，我们分别以不同端点为出发点按顺序数．⑴以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD，共3条．⑵以B点为左端点的线段有：BC、BD，共2条．⑶以C点为左端点的线段有：CD，共1条．总共有：3216++= (条)．方法二：如果把相邻两点间的线段叫做基本线段，即此图中AB、BC、CD是基本线段，我们也可从基本线段开始数．⑴由1条基本线段组成的线段有：AB、BC、CD共3条．⑵由2条基本线段组成的线段有：AC、BD共2条．⑶由3条基本线段组成的线段有：AD共1条．总共有：3216++= (条)．总结方法：在数线段中，我们一定要抓住端点个数减1就是基本线段的条数来计算，而若有n个端点，线段总数则有12321（）（）条．-+-++++n n1．数一数，下面图形中有多少条线段？【教学思路】数一数一共有6个端点，那么基本线段就有615++++-=条，这个图中一共就有：54321 =（条）线段．152．在一条直线上画9个端点，可以数出（36）条线段．【教学思路】一共有9个端点，那么基本线段就有918-=（条），这个图中一共就有：8765432++++++ +=（条），可以数出36条线段．136数一数，图中共有多少个锐角？【教学思路】从图上可以看出，任意两条从O 点发出的射线都能组成一个角，先数以OA 为公共边的锐角有：∠AOB 、∠AOC 、∠AOD 、∠AOE ，共4个；以OB 为公共边的锐角有：∠BOC 、∠BOD 、∠BOE ，共3个： 以OC 为公共边的锐角有：∠COD 、∠COE ，共2个： 以OD 为公共边的锐角有：∠DOE ，共1个． 所以，锐角总数： 432110+++=(个)．角的总数与射线的条数之间的关系：基本角(我们将相邻两条射线构成的角叫基本角)总比射线的条数少1，而角的总数应等于从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本角的个数．如果有1n +条射线，则有n 个基本角，而角的总数应等于12n n -+-+（）（） 321+++．数角方法也可推广到数三角形．数一数，图中有多少个三角形？【教学思路】数线段的方法也可以推广到数三角形，在这个图中一共有4个基本三角形，那么一共有432110+++=（个）三角形．数一数下图中有多少个长方形？OED C B AOEC【教学思路】注意到图中AD 上的每一条线段与宽都可以构成一个长方形．因此，AD 上有多少条线段就有多少个长方形，AD 上有线段：432110+++= (条)，这10条线段都可以和宽AB 组成一个长方形，所以一共有10个长方形．数一数下图中有多少个长方形？【教学思路】上面第一层以AB 为宽的有10个长方形，下面第二层以BE 为宽的也就有10个长方形．另外把第一层和第二层合在一起以AE 为宽的长方形还有10个，一层有10个，共3层，这样一共就有10330⨯=（个）长方形．总结方法：数长方形时，分层数最简单，我们可以先数出一层有多少个，再数出有几层，长方形的个数就是：每层的个数×层数DCB AF E DCB A【教学思路】牧童指给秀才的是左边那条路．“句”字左边添一竖，念“向”，牧童的意思是向左边走．这些图形你会数吗？我们发现，在数图形时，如果图形比较复杂，就应观察能否将图形按某一位秀才赴京赶考．一日，他走到一处三岔路口，感到左右为难．正在这时，有一牧童路过此地，秀才忙上前向他问路．那牧童一句话也没说，只是低头用树枝在地上划了一个“句”字，起身便要离开．秀才以为牧童没有听清楚，不料牧童却指着地上的字说：“我不是已经告诉你了吗!”说完，扬长而去．秀才听了牧童的话，先是一愣，再看一眼牧童写下的这个字，高兴地上路了．你知道牧童指给秀才的是哪一条路吗？数一数，下图中共有多少个三角形？【教学思路】这个图形比较复杂我们可以分类来数，这样不会重复也不会遗漏．具体分析如下：⑴ 左边三角形ABD 中有3216++=（个）三角形； ⑵ 右边三角形ADC 中有3216++=（个）三角形； ⑶ 左右合起来三角形ABC 中有3个三角形； 一共有：66315++=（个）三角形．数一数，图中共有多少个三角形？【教学思路】这道题有两种分类的方法，分析如下：方法一：先看部分，再看整体．观察此图，发现三角形BCO 和三角形ACO 是相同类型的，所以我们仍可分为两类来研究．先看三角形BOC 中有213+=（个）三角形，所以CAO 中仍有3个三角形．最后看由三角形BCO 和三角形CAO 共同组成的三角形，有三角形ADB 和三角形AOB 共2个．所以此图三角形共有：3328++=（个）． F EDCBAODCBA方法二：根据三角形包含基本三角形的个数来分类数．先数基本三角形有4个；再数包含两个基本三角形的三角形有3个，分别是三角形BOC、三角形AOC和三角形BDA；最后数包含四个基本三角形的三角形有1个，是三角形AOB．所以此图三角形共有：4318++=（个）如下图，数数有（）个三角形．【教学思路】根据三角形包含基本三角形的个数来分类数，方法如下：分类数第一类（含1个基本三角形，最小的）：1359++=（个）；第二类（含4个基本三角形，次大的）：3个；第三类（含9个基本三角形，最大的）：1个．一共有93113++=（个）三角形．数一数，下图中共有多少个正方形？【教学思路】仔细观察，这个图形一共有三层．我们可以分层数，具体分析如下：最里面一层有5个正方形．中间一层有5个正方形．外面一层有5个正方形．合起来一共有55515++=（个）正方形．【教学思路】如果时间有限，拓展与提高可留为课后思考题．具体分析如下：⑴ 一共有30条线段．这个大五角星中有5条长线段，每条长线段上共可以数出：3216++=（条）线段，那么五角星中共有6530⨯=（条）线段．⑵ 一共有8个三角形．五角星的每个角上分别有1个小三角形，总共有5个；另外还有5个类似图中阴影的较大三角形，所以共有5510+=（个）三角形．（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用．）拓 展 与 提 高——巧 数 五 角 星蜘蛛妈妈织了一张漂亮的大网，如图所示．小蜘蛛想跟妈妈学织网，妈妈说：“要想学织网首先要弄明白这张网的结构．你先去数一数，这张网上有多少条线段，多少个三角形．”小蜘蛛数了半天，怎么也数不清，你能帮帮它吗？下面图中给出了五个点，在每两点之间画线段．一共可以画多少条？【教学思路】两点之间可以画一条线段．图中有5个点，每一点都可以向其他4点画线段，这样就可以画5420÷=（条）线段．⨯=条线段，但两点之间都算了两条线段，重复了，所以只能画20210数一数，下图中共有多少个小于180°角？【教学思路】用角的顶点和位置的变化进行分类：以A为顶点的角有∠BA0，∠DA0，BAD共3个，同理：以B、C、D为顶点的角各3个．以0为顶点的角有∠AOB，∠BOC，∠CDD，∠DOA共4个．图中共有小于180°角：34416⨯+= (个)数一数，下图中共有多少个三角形？【教学思路】图中共有44个三角形．其中最大的2个、次大的6个、次小的12个、最小的24个．1．数一数．o（10）条线段（6）个锐角2．数一数，图中有多少个三角形？（5）个（6）个（5）个3．图中有多少个正方形？（17）个（14）个4．数一数，图形中有几个长方形？5．数一数，下图中共有多少个三角形？【答案】根据三角形包含基本三角形的个数来分类数．只含有一个基本三角形的三角形有6个； 恰含两个基本三角形的三角形有3个； 恰含三个基本三角形的三角形有6个；恰含四个或五个基本三角形的三角形一个也没有；恰含六个基本三角形的三角形只有1个． 图中共有三角形：636116+++= (个)．（ 7 ）个（ 18 ）个 ⑴⑵FEDCB A什么海没有鱼呢？一只蚂蚁可以从日本爬到中国，可能吗？什么牛不会拉车、耕地？什么东西落在水里却不会湿？把一只鸡和一只鹅放到冰箱里，结果鸡冻有一只羊，一年吃了草地上一半的草，问它死了，鹅却活着，这是为什么呢？把草全部吃光，需要多少年？平平把鱼放在鱼缸里，不到十分钟鱼都死在地上有100元钱和一块肉骨头，可是为什了，为什么？么努比拣起了肉骨头而没有拣钱呢？【答案】1．辞海、林海2．可能，在地图上爬3．蜗牛4．影子5．企鹅6．不能全吃光，因为草会年年生长的7．鱼缸里没有水8．努比是一只小狗十大环祸患威胁人类（二）六、化学污染工业带来的数百万种化合物存在于空气、土壤、水、植物、动物和人体中。

第十一章　巧数图形知识导航小朋友们，在日常生活和学习中，我们经常会碰到由线段、三角形、四边形等组成的图形，你想学会数这些图形的方法吗？数图形，初看很容易，只要数一数就能得出结果。

其实，并不那么容易。

由于几何图形千变万化，错综复杂，要想准确数出图形中所包含的某一种几何图形的个数，首先一定要仔细观察，分析比较，掌握有条理、有次序地数图形的方法；其次要做到不重复、不遗漏。

要想不重复、不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形等图形的个数，那就必须有次序、有条理地数，数中发现规律，以便得到正确的结果。

数图形时，我们通常采用枚举法，可以是按顺序数，也可以是分类数，把所要计数的对象一一列举出来。

首先，我们可以从数基本图形的个数入手；然后，我们再数出由基本图形组成的新图形的个数；最后求出它们的和即可。

数图形的常用方法和技巧如下：不同的图形特别是规则图形，其数法还是有径可循的。

图解思维训练题例1　数出下图中共有几条线段？图解思路我们先来学习几种数图形的不同方法，这些方法在以后的题目中要经常用到，且要灵活运用。

方法一　我们知道，每条线段都有2个端点。

相邻两个端点之间的线段为1条基本线段。

下面我们先来数出由1条基本线段组成的线段，共有5条，分别是AB、BC、CD、DE、EF如下图所示。

由2条基本线段组成的线段有4条，分别是AC、BD、CE、DF，如下图。

由3条基本线段组成的线段有3条，分别是AD、BE、CF，如下图。

由4条基本线段组成的线段有2条，分别是AE、BF，如下图。

最后由5条基本线段组成的线段，只有1条是AF，如下图。

最后将所有线段相加就是线段总条数。

方法二　按左边的端点变化来数，先数以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE、AF，共有5条。

如下图。

以B为左端点的线段有BC、BD、BE、BF，共有4条。

如下图。

以C为左端点的线段有CD、CE、CF，共有3条。

如下图。

以D为左端点的线段有DE、DF，共有2条。

如下图。

小学四年级数图形的方法三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形，我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。

如下表：但在实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算。

一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

常用的基本方法有一下几种一、相加法这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。

例如：求下图整个图形的面积一句话：半圆的面积+正方形的面积=总面积二、相减法这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。

例如：下图，求阴影部分的面积。

一句话：先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积。

例如：下图，求阴影部分的面积。

一句话：通过分析发现阴影部分就是一个底是2、高是4的三角形四、重新组合法这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可例如：下图，求阴影部分的面积。

一句话：拆开图形，使阴影部分分布在正方形的4个角处，如下图。

五、辅助线法这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可例如：下图，求两个正方形中阴影部分的面积。

一句话：此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便（如下图）根据梯形两侧三角形面积相等原理（蝴蝶定理），可用三角形丁的面积替换丙的面积，组成一个大三角ABE，这样整个阴影部分面积恰是大正方形面积的一半.六、割补法法这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决。

第二讲图形计数几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．一：简单图形计数的方法。

二：复杂图形计数的方法和找规律的方法。

例（1）数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。

例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。

几何图形的计数(基本图形)我们已经学习了一些几何图形的有关知识，这些图形有线段、角、三角形、长方形、正方形、梯形、平行四边形，这一讲数学课外兴趣活动就教大家数数图形的个数。

有的同学说，“我们都四年级了，数图形个数谁不会，还用教吗？”请看这里有几条线段,&127;可能你会不加思索地说“2条”，你看到的是这样两条,&127;可是实际上还有一条你数漏了，所以这一题正确的回答应是“3条”。

如果一条直线上有100个点，线段有多少条呢？&127;用数的办法是非常麻烦的，那么今天我们就要用列表找规律的方法研究数基本图形的方法。

例1：数出下图有多少条线段？分析:线段有两个端点，从第一个端点出发的线段有4条，从第二个端点出发的线段有3条，从第三个端点出发的线段有3条，从第四个端点出发的线段有3条，从第五个端点出发的线段有0条。

线段总数共有4+3+2+1+0=10(条)方法二:如果称相邻的两端点组成的线段为基本线段,那么中有4条基本线段,其中的两条基本线段组成的线段有3条,其中由三条基本线段组成的线段有2条其中由四条基本线段组成的线段有1条线段总数是4+3+2+1=10(条)小结:由例1我们可以看出线段总数的计算是有一定规律的,&127; 我们可以用列表的方法找出计算线段总数的公式:图形端点数基本线段数线段总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=65 4 4+3+2+1=10………规律:基本线段数=端点数-1线段总数=基本线段数+(基本线段数-1)+(基本线段数-2)+…+2+1例2:数出下图一共有多少个角?分析:角是由同一点引出两条射线组成的图形,由例1&127;你能设计出一个表格来找出数角总数的规律吗?图形射线数基本角数角总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=6………这一题同样也有两种数法:方法一:由第一条射线出发的角有4个由第二条射线出发的角有3个由第三条射线出发的角有2个由第四条射线出发的角有1个共有4+3+2+1=10(个)方法二:基本角有4个由两个基本角组成的角有3个由三个基本角组成的角有2个由四个基本角组成的角有1个角总数为4+3+2+1=10(个)规律:基本角数=射线数-1角总数=基本角数+(基本角数-1)+(基本角数-2)+…+2+1例3:数数下图共有多少个三角形?分析:有了例1与例2的知识你能自己找出规律吗?方法一:从A点出发的三角形个数是3个从B点出发的三角形个数是2个从C点出发的三角形个数是1个三角形总数是3+2+1=6(个),恰好与底边有多少条线段的得数相同方法二:从顶角看,角的总数也恰好与三角形个数相同:顶角共有3+2+1=&127;6(个)角, 三角形共有6个角你能写出数三角形的公式吗?三角形总个数=基本三角形个数+(基本三角形个数-1)+(基本三角形个数-2)+…+2+1例4:数数下图共有多少个长方形?(包括正方形)分析:长方形的长和宽都是线段,由线段构成的长方形个数一定与线段数有关,横着看: 每一排的长方形个数共有3+2+1=6(个)&127;恰好与长的线段总数相同:竖着看:有3排2+1=3,恰好与宽的线段总数相同,&127;一共有(3+2+1)×(2+1)=18(个)长方形。

三年级图形的个数 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】第5讲 图形个数一、知识要点同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。

要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。

首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。

二、精讲精练【例题1】数出下图中有多少条线段？【思路导航】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。

以A 点为左端点的线段有：AB 、AC 、AD 3条；以B 点为左端点的线段有：BC 、BD 2条；以C 点为左端点的线段有：CD 1条。

所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。

方法二：把图中线段 AB 、BC 、CD 看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB 、BC 、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC 、BD 2条；由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。

所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。

练习1：（1）数出下图中有多少条线段？ （2）数出下图中有几个长方形？【例题2】数出图中有几个角？【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。

方法一：以OA 为一边的角有：∠AOB 、∠AOC 、∠AOD 3个；以OB 为一边的角还有：∠BOC 、∠BOD 2个；以OC 为一边的角还有：∠COD 1个。

所以，图中共有角3+2+1=6（个）。

方法二：把图中∠AOB 、∠BOC 、∠COD 看做基本角来数，那么，由1个基本角构成的角有：∠AOB 、∠BOC 、∠COD 3个；由2个基本角构成的角有: ∠AOC 、∠BOD 2个；由3个基本角构成的角有：∠AOD 1个。

所以，图中一共有3+2+1=6（个）角。

练习2：数出图中有几个角？（1） （2）【例题3】数出右图中共有多少个三角形？【思路导航】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。

二年级数学数方块格的方法小学中，不规则图形计算面积分两种情况——一种情况是：孩子遇到的不规则图形可以切割或拼凑成规则图形，那么可以利用现有的规则图形求面积的公式计算。

另一种情况是：孩子遇到的图形比较复杂(如一片树叶、一个假山图像)，无法通过切割或拼凑转化为规则图形进行计算。

那么，这种情况下家长该怎么教孩子计算呢？接下来，本文将跟大家一起讨论不规则图形面积“数格子”的技巧。

1、数格子的前提(1)看清格子的单位家长在教孩子不规则图形数格子的方法之前，一定要让孩子明确“格子”的面积单位，是平方厘米、平方分米、还是平方米，以免孩子出现“数格子”结果是对的，单位却标注出错的现象。

(2)明确数格子的方法不规则图形数格子有(“满一格的按一格计算，不满一格按半格计算”、“满半格按一格计算，不满半格按0计算”)两种常用方法，家长辅导孩子时，可以按照题意或学校要求的规则进行选择。

例如:图中每个小方格的面积是1cm²，估算这片叶子的面积。

解析:(1)满格共用18格，这片叶子的面积>18cm²。

(2)非满格18格，这片叶子的面积<36cm²。

(3)这片叶子的大概面积在18cm²到36cm²之间。

(4)“满一格的按一格计算，不满一格按半格计算”，这片叶子的面积为18+18/2=27cm²(5)“满半格按一格计算，不满半格按0计算”，这片叶子的面积为18+11=29cm²2、利用方格纸数格子方格纸有透明和不透明两种，标准的度量单位为1cm²一格。

(1)所求面积的不规则图形不可移动时(试卷或书上的直接提供的不规则图形)，家长可以让孩子选择透明方格纸附在图案上，再用“数格子”法计算面积。

(2)所求面积的不规则图形可移动时(如一片树叶)，家长可以教孩子将不规则图形的影像轮廓，描绘到不透明的方格纸上，再用“数格子”法计算面积。

3、利用尺子画出方格，再数格子当孩子没有可利用的方格纸时，家长可以教孩子利用直尺和铅笔，以图形的下边缘为起点向上打出几条间隔1cm的平行横线，直到最后一条横线包住图形的上边缘结束。

北师大四年级上册《数图形的学问》评课稿《数图形的学问》这节课是在学生认识了线段的概念、尝试过画简单的示意图来分析描述问题、并积累了一些有序思考的活动经验的基础上进行教学的，整体内容比较多，但王蒙老师思路清晰，整节课上下来，效果还是很好的。

老师采用了课本“鼹鼠钻洞”和“鼹鼠旅行”的情境，前半部分带领学生“画一画、数一数”，把生活中的现实问题抽象成数图形的数学问题，在有序思考中解决了问题，后半部分是对解决问题方法的应用，巩固知识的同时，发现了规律，带领学生进行了深度思考，基本上达成了本节课的学习目标，发展了学生有序思考的习惯和初步的几何直观能力，并培养了学生的符号意识。

本节课要参加的比赛是以“儿童符号意识发展”为主题。

《数学课程标准（2022年版）》指出：小学阶段的核心素养侧重于对经验的感悟，符号意识就是小学阶段核心素养的表现之一。

而符号意识主要是指能够感悟符号的数学功能，能初步运用符号表示数量、关系和一般规律。

著名教育家斯托利亚尔说过：“数学教学其实就是数学语言的教学”，而线段图就可以作为一种形象化的数学语言来解决问题，渗透符号化意识，线段图作为一种专门的数学符号，可被视为解决数学问题的有力工具。

此外，本节课也应用了数形结合的思想，它是帮助我们进行符号化的有力桥梁，将抽象的实物经过推理，引导学生用图形符号来表示，最终形成数字的形式，构建起相应的数学模型，帮助学生完成了由抽象思维到形象思维再到逻辑思维的过程。

记得赵莹老师提到，评课也要多站在学生的角度来评，通过观察学生的表现来遇见亮点、发现问题，更利于我们后期的思考改进。

接下来我就试着从赵莹老师提到的“四生”的角度谈谈本节课的一些亮点和思考：一、生活老师采用的第一个情境是课本上的“鼹鼠钻洞”，带领学生读懂钻洞规则，帮助鼹鼠数清楚钻洞路线，这和学生的生活实际联系不大，但对解决问题的一些细节处理还非常有必要。

老师是把第二个情境“菜地旅行”改为“带领学生坐高铁去旅行”，旅行的站点是大家熟悉的深圳站、广州站、长沙站等，这样学生的兴趣会提高很多，求单程车票的种类数就变成了一个真实的问题。

《数图形的学问》教学设计设计意图:发展几何直观,促进数学方法生成,提高解决问题能力教学内容：北师大版四年级上册P93-94教学目标：1.结合问题情境，经历把生活中的现实问题抽象成数图形的数学问题，并利用多样化的画图策略解决问题的过程，发展几何直观。

2.在数图形的过程中，逐步形成有序思考的良好习惯，发展推理能力。

3.在发现规律的过程中，建立数学模型，解决生活中的问题，提高对数学问题探索的兴趣。

教学重难点：1.经历把生活中的现实问题抽象成数图形的数学问题。

2.利用多样化的画图策略解决问题，体会有序的数法的多样性和优越性，发展几何直观3.在发现规律的过程中，建立数学模型，解决生活中的问题教学媒体：投票器、电子白板教学过程：动画引入今天老师给大家带来一位朋友,愿意认识它吗?我们见见.播放视频：动画片鼹鼠钻洞探索与研究（一）情景设置这只可爱的小鼹鼠遇到了难题想请大家帮忙.我们听一听.请看大屏幕（出示一长排洞口；小鼹鼠说要求）2.分析小鼹鼠的话我们读读鼹鼠的话.读完这句话，你读懂了什么呢？预设：（生：向前走，师：怎么走？请用手比一比（画出方向），全班一起来比一比。

生：任选一个洞口进入师：那“任选”（圈出任选）是指每个洞口都能进吗？引导发现：最后1个洞口不能进（用笔点一下）生：任选一个洞口出来，师：就是说除了第1个洞口，都可以出来。

）为了让我们说起来更简单，咱们可以把每个洞口换成1个点表示，并标上字母ABCD。

（课件）。

看示意图，你能想到我们学过的什么？（线段），这样我们就将小鼹鼠钻洞的生活问题转化为线段这样的图形问题来解决。

那现在咱们来帮小鼹鼠数一数一共有多少种不同的路线？预设；生1：太多了，数不完。

生2：好复杂，数晕了。

师：看来洞口太多了，不好数，怎么办？生：变少点师：好，变少到多少呢？那就从最简单的2个洞口开始研究吧（二）探究新知（1）2个洞口，师：2个洞口的有几条？生1：有1条，（2）3个洞口，初步感知数图形的方法增加一个洞口，有3个洞口时一共有多少条路线可以走呢？（请2个同学上台边指边数）看来，2个同学的方法不同，但最后的结果都相同。

一、 图形计数1. 图形规律问题分三步考虑：1) 图形的基本组成的确定； 2) 图形变化规律确定； 3) 缺失图形确定。

2. 图形基本组成的确定需注意的要点：图形的形状、颜色、位置、大小、数量等。

3. 图形计数的关键在于找出常见的计数依据，通常把复杂的计数问题转化成简单的线段计数最为常用。

4. 图形计数基本公式：1) 一条线段被分成n 个互不重叠的小线段，那么这条线段共包含的线段数为：()1122n n n ++++=条。

2) 两条共端点的射线确定一个角（大于0︒、小于180︒），假设由某点引出n条射线（任意两条射线均不在同一直线上），那么这n 条射线可以确定的角（大于0︒、小于180︒）的个数为(1)2n n -条。

3) 网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积。

4) 一般的，一个长方形的长被分成n 份，宽被分成m 份（n ≥m ，每小格均为相等的正方形），那么这个长方形中正方形的总数为：()()()()()112211mn n m n m n m +--+--++-+⨯ 。

第六讲图形综合知识概述二、 图形的基本公式1. 长方形周长公式：长方形周长=（长+宽）2⨯，记作：C 长方形()2a b =+⨯；2. 正方形周长公式：正方形周长=边长4⨯，记作：C 正方形4a =⨯；3. 长方形面积公式：长方形面积=长⨯宽，记作：S 长方形a b =⨯；4. 正方形面积公式：正方形面积=边长⨯边长，记作：S 正方形2a a a =⨯=；5. 三角形面积公式：三角形面积12=⨯底⨯高，记作：S 三角形12a h =⨯⨯；6. 平行四边形面积公式：平行四边形面积=底⨯高，记作：S 平行四边形a h =⨯；7. 梯形面积公式：梯形面积12=⨯（上底+下底）⨯高，记作：S 梯形()12a b h =⨯+⨯。

三、 巧求图形周长和面积的常用方法1. 对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形等图形的周长及面积计算的公式求解。

北师大版四年级上册《数学好玩——数图形的学问》教学设计与反思课前思考本课是简单的排列组合问题，它不仅是学习统计概率的基础，在生活中也有着广泛的应用。

教科书创设情境，由简单到复杂地引导学生经历不重复、不遗漏地数图形的过程。

这既有利于发展学生有序思考的习惯，感受问题中隐含的数学规律，也利于学生利用图形描述和分析问题，体会几何图形可以把数学问题变得简明与形象，发展初步的几何直观能力。

本课也有利于发展学生的符号意识与抽象意识。

《数学课程标准(2022年版)》指出符号意识是形成抽象能力和推理能力的经验基础。

数学符号具有抽象性、明确性、简洁性、可操作性等特点，掌握和运用数学符号有助于学生实现简约记忆及辅助理解。

但是在实际的教学中，学生难以将具体的情境问题抽象成数图形的数学问题，而且在数图形的过程中没有掌握“数”的要领，往往会重复数或漏数。

学生学习应该是一个主动和生动的过程，所以本节课尽可能的创设有趣的情境，引导学生积极参与探索学习中。

教材分析《数图形的学问》是北师大版小学数学四年级上册数学好玩的第三课，是简单的排列组合问题，它不仅是学习统计概率的基础，在生活中也有着广泛的应用。

通过情境，学生一方面要从具体情境中抽象出线段图，另一方面要在数图形的过程中培养有序思考的习惯并要巩固画图策略发现数图形的规律。

学情分析在三年级上册，学生已经学习了《搭配中的学问》，积累了一定的有序思考的经验。

到六年级上册，学生将学习《比赛场次》，体验运用多样的策略分析问题、发现规律的过程。

本课是在学生已经积累了一定的有序思考经验的基础上，借用画图的策略分析问题，因此，本课教学的侧重点可以放在运用画图策略解决问题上。

学习目标1.知识技能：在数图形的过程中，逐步形成有序思考的良好习惯，发展推理能力。

2.过程方法：结合问题情境，经历把生活中的现实问题抽象成数图形的数学问题，并利用多样化的画图策略解决问题的过程，发展几何直观。

3.数学思考：培养学生的符号意识与抽象能力，提高有序思考的数学思维。