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高斯定理(精)

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16高斯定理

16高斯定理
S b
Eb
S
=穿过垂直于场强方向的 单位面积的电场线数目
E
Ea
a
几种带电体的电场线分布图如下：
2
+
负电荷 正电荷
++ ++ + + + + +
带电平行板电容器
+
一对等量异号电荷
+
+
一对等量同号电荷
2.电场线的性质
1) 电场线起始于正电荷（或无穷远）、终止于负电 荷（或无穷远） ， 不会形成闭合曲线； 2) 两条电场线不会相交；
E dS

i
q i内
0
格丁根大学教授和天文台台长 。主要成就有高斯定理，高斯 光学，高斯分布，高斯二项式 定理，散度定理等等。
高斯 (1777-1855)
德国数学家、物理 学家、天文学家
8
2.高斯定理的证明 1). 点电荷产生的电场,高斯面为球面
e E dS
上 次 课 内 容：
电荷 q
1
电荷 q
2
力
F 库仑定律：
1 4
0
q1q 2 r
2
ˆ r
电场 电场强度
F E q0
点电荷场强 E
任意电荷系场强 E
பைடு நூலகம்
q 4 0 r
2
n
ˆ r
qi
0

1 4
i1
ri
2
ˆ ri
1
四、 电场线
电场强度通量
一、电场线 1.形象描述场强分布的一组有向空间曲线 场强 电场线 方向 切线方向 大小 电场线密度 E N

高斯定理内容总结

高斯定理内容总结

高斯定理内容总结1. 高斯定理的概念高斯定理，也称为“散度定理”或“高斯-奥斯特罗格拉茨基定理”，是一个基本的数学定理，用来描述矢量场在一个闭合曲面上的整体特性。

它是物理中应用广泛的定理之一，可以用来求解电场、磁场和流体力学问题。

2. 高斯定理的表述高斯定理可以表述为：对于一个闭合曲面S，其向外法向量为n，矢量场F，高斯定理给出了矢量场在S上的通量与该矢量场在S包围的体积的关系。

具体表述如下：∮S F·n dS = ∭V ∇·F dV其中，∮代表闭合曲面S上的曲面积分，∭代表闭合曲面S包围的体积积分，F为矢量场，n为曲面S的向外法向量，·表示内积运算，∇表示梯度运算，∇·F表示矢量场的散度。

3. 高斯定理的推导与理解高斯定理可以通过对体积积分进行数学推导得到。

假设有一个闭合曲面S，体积为V，如下图所示：________/ // //_______ /根据高斯定理的表述，我们需要计算矢量场F在曲面S上的通量。

我们将曲面S分成许多小面元，每个小面元上的通量为F·n，其中n为该小面元的法向量。

当我们把曲面S分割为无数个小面元时，可以将曲面S视为由这些小面元组成的连续曲面。

在极限情况下，当每个小面元的面积无限接近于0时，我们可以将曲面S视为无限小的曲面。

此时，我们可以对矢量场F在曲面S上的通量进行积分，得到：∮S F·n dS = lim(S→0) ∑(F·n)dS通过将曲面S分割为无数个小面元，并将每个小面元的通量求和，我们可以得到矢量场F在整个曲面S上的通量。

同时，根据散度的定义，我们知道散度可以表示为矢量场的微分运算。

因此，我们可以将散度运算应用到上述积分中，得到：∮S F·n dS = ∑(∇·F)dV其中，∇·F表示矢量场F的散度，∑表示对整个体积V进行求和。

为了获得正确的结果，我们需要取极限，将小面元的面积趋近于0，体积元的体积趋近于0，从而得到公式的最终形式：∮S F·n dS = ∭V ∇·F dV这就是高斯定理的推导过程。

3高斯定理

3高斯定理

求 距直线r 处一点P 的电场强度

解 电场分布具有轴对称性 过P点作一个以带电直线为轴，
dS
r
E
以l 为高的圆柱形闭合曲面S 作 为高斯面
P
l

e
E dS S

E dS

侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。
②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该 面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方 向垂直；或者使一部分场强为零。
③高斯面应取规则形状
球对称：同心球面 轴对称：同轴柱面 面对称：与平面垂直的圆柱面
例. 一半径为R、电荷密度为的均匀带电球内 有一半径为r的空腔，计算空腔内的电场.
解： 取以r'为半径，o'为心的高斯球面
Rr o'
o
用高斯定理：

E E dS EdS E 4r2
E

1 o

V
dq

0
E 0 E为均匀电场。
30



E
ds

E 4r 2

1
0


4 r 3
3
E

3 0
r
E

（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性） 其步骤为 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
3高斯定例解题步骤：
（1）分析电场是否具有对称性。
（2）取合适的高斯面(封闭面)， 即取在E相等的曲面上。

高斯定理

高斯定理

en

S

E
非均匀电场中通过任意曲面的电通量
dS dS en dΦe E dS
Φe dΦe E cosdS s
en
E
dS

E
Φe s
E dS
S
为封闭曲面
π 1 , dΦe1 0 穿出 2 π 2 , dΦe2 0 穿入 2
σ
E E E
σ
E
无限大带电平面的电场叠加问题




σ ε0
0
σ ε0
0
σ ε0
0
练习 半径为R,无限长均匀带电直圆柱体，电荷 体密度为ρ，求其内外的电场。 解： ∵ 电场分布具有柱对称性。
∴ 以柱体轴线为轴线，取以r为半径， 高为h的闭合柱面S为高斯面。 1 根据高斯定理 S E dS q
i
高斯定理的总结
(1) 高斯面：闭合曲面. (2) 电场强度：所有电荷的总电场强度.
(3) 电通量：穿出为正，穿进为负. (4) 仅面内电荷对电通量有贡献. (5) 静电场：有源场.
讨论
点
将 q2 从 A 移到
P 电场强度是否变化？ 穿过高斯面 的 Φ 有否变化？ e
B q A 2 P*
q2 B
s
s
q1
在点电荷 q 和 q 的静电场中，做如下的三 个闭合面 S1 , S 2 , S3 , 求通过各闭合面的电通量 .
q Φe1 E dS
S1
Φe 2 0
Φe3
q
0
0
q
S1 S2
q
S3

高斯定理(电磁学)

高斯定理(电磁学)

证明方法
高斯定理的证明通常基于库仑定律、电场线性质和微积分等 基本原理。通过选择适当的闭合曲面和运用微积分中的高斯 公式，可以推导出高斯定理。
推导过程
首先，根据库仑定律，电场线从正电荷发出，终止于负电荷 或无穷远处。然后，通过选取适当的闭合曲面，将电荷包围 在其中，运用高斯公式和高斯定理的推导过程，最终得到高 斯定理的数学表述。
要点一
总结词
高斯定理在其他领域也有广泛的应用，如电场、量子力学 、光学等。
要点二
详细描述
高斯定理在电场中可以用来计算电场的分布和强度，以及 电通量的计算等问题。在量子力学中，高斯定理可以用来 研究波函数的性质和演化。在光学中，高斯定理可以用来 研究光场的分布和强度，以及光通量的计算等问题。
05
高斯定理的扩展和深化
磁场中的应用
总结词
高斯定理在磁场中也有广泛的应用，它可以 帮助我们理解和计算磁场的分布和强度。
详细描述
在磁场中，高斯定理可以用来计算球形区域 内磁场的分布和强度，通过球面上的磁场强 度的积分可以得到球内的磁场。此外，高斯 定理还可以用来研究磁场线的闭合性质，以 及磁通量的计算等问题。
其他领域的应用
引力场中的应用
总结词
高斯定理在引力场中也有重要的应用，它可以帮助我们理解和计算引力场的分布和强度。
详细描述
在引力场中，高斯定理可以用来计算球形区域内物质的质量分布，通过球面上的引力场强度的积分可以得到球内 的质量。此外，高斯定理还可以用来研究引力场的空间分布，通过球面上的引力场强度的分布，可以推导出球内 引力场的分布情况。
高斯定理的应用条件
适用范围
高斯定理适用于任何线性、非自相互作用、电荷连续分布的电场。对于非线性、 自相互作用或离散分布的电荷，高斯定理可能不适用。

§2.高斯定理(Gauss theorem)

§2.高斯定理(Gauss theorem)

q ee E d s ds 2 40r s s q q 2 4 r 2 40r 0 思考：q不在球心，
曲面不是球面，
曲面内有多个电荷，
q在球心。
dS
e ?
q
0
0 其中： qi 曲面内电荷的代数和。 E 为闭合曲面（高斯面）上的场强。
和
两均匀带电球壳如图，求电场分布。设场点距球心为r.
解：
(1)当r R1时，作高斯面如图。有：
1q. 1R
1 ( r球面）
E COSdS
E1 0
q
0
r
R2.q2
( r球面）
(2)同理，当R1 r R2时有：
q

E2 cos dS
0
E2 .4r
n
θ
若为非匀强场，任意曲面，
dS
则可用微元法求φ，见图：
d EdS cos
E cosdS
3.的正负：
对闭合曲面法线方向规定向外。
s
0 s theorem)
1.导出：特例，求点电荷q的φe。
如图，封闭面为球面，
n
在上.下底面上 0 0 而且E为常量 有：
(S )
2
即： 2 ES
E cosdS E cos dS 2ES
（.上，下底）
0
S
E 2 0
1 2 e E We e dV 2 （4） (v)
(3) 求 平行板电容器间的场强. 面电荷密度为
2
0
q1
即E2
40 r
q1
2
(3)当r R2时。
E
3

高斯定律


c p o E
R
2
因为oc为常矢量，所以空腔内为匀强电场。
附：高斯定理的证明过程
高斯定理
1 当点电荷在球心时 e
S
q E dS
0
2 任一闭合曲面S包围该电荷 在闭合曲面上任取一面积元 dS，通过面元的电场强度通量 q r dS de E dS 2 4 0 r r
O R
2
r
高斯定理的应用
例3 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，沿轴 线方向单位长度带电量为。
电场分布也应有柱对称性，方向沿径向 解： 。 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面, 高为l,半径为r
D dS
s 侧面
D dS D 2 rl
r
q 由高斯定理知 D
高斯定理
三、 高斯定理 (Gauss theorem) 高斯定理：静电场中通过任 何一闭合曲面的电通量等于 该闭合曲面包围的自由电荷 的代数和。数学表达式为

s
D dS q
高斯(Gauss,17771855),德国数学家、斯定理
d
S

q
4 0 q
4
+
S
0
高斯定理
q 1 当点电荷在球心时 e E dS
S
S
q 2 任一闭合曲面S包围该电荷 e E dS
3 闭合曲面S不包围该电荷
0
闭合曲面可分成两部分S1、 d S2，它们对点电荷张的立体 角绝对值相等而符号相反。
q 0
q r +
结论：真空静电场中通过任何一闭合曲面的电场强度通量等于该闭 合曲面包围的自由电荷除以 0 ，数学表达式为

《高斯定理》PPT课件

6 – 2 高斯定理
第六章 静电场
一 电场线 （电场的图示法） 2023最新整理收集 do something
规定 1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向,
2） 通过垂直于电场方向 单位面积电场线数为 该点电场强度的大小. E E dN / dS
S
E
1
6 – 2 高斯定理
第六章 静电场
点电荷的电场线
第六章 静电场
由多个点电荷产生的电场
E E1 E2
q1
q2
Φe
E dS
S
S
Ei dS
qi
i
i(内） S
Ei
dS
i（外） S
Ei
dS
i（外） S
Ei
dS
0
1
Φe
i（内） S
Ei
dS
0
qi
i (内）
17
6 – 2 高斯定理
第六章 静电场
高斯定理 Φe
h
+
+o
y
x+
23
6 – 2 高斯定理
第六章 静电场
例4 无限大均匀带电平面的电场强度
无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电
r 荷面密度为 ，求距平面为 处的电场强度.
解 对称性分析：E垂直平面
选取闭合的柱形高斯面
E
dS
S＇
S
0 底面积
S＇
2S＇E S＇
0
E 20 24
6 – 2 高斯定理
6
6 – 2 高斯定理
第六章 静电场
电场线特性
1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去 向无穷远).
2） 电场线不相交. 3） 静电场电场线不闭合.

高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高...

acb adb
a
即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所作的功为零
Q q0 ≠ 0
r r ∴ ∫ E • dl = 0
26
在点电荷系电场中：
r n r E = ∑ Ei
i =1 l
n r r n r r r r ∫ E ⋅ dl = ∫ ∑ Ei ⋅ dl = ∑ ∫ Ei ⋅ dl = 0 l l i =1 i =1
r r 3. 分别求出 Φ E = ∫ E ⋅ d S
从而求得 E
和 ΦE =1Biblioteka εo∑qS内
i
，
17
例5-5 求均匀带电球面的电场。半径为R，带电量q>0 解: 对称性分析
r<R
= E 1 4π r
2
r E 具有球对称 作高斯面——球面
r v Φ e = ∫ E 1 ⋅ d S = E 1 ∫ dS
电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能， 电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能， 称为电荷在静电场中的电势能 称为电荷在静电场中的电势能。 电势能。 静电场力对电荷所做的功 = 静电势能增量的负值 试验电荷 q0 处于 a 点和 b 点分 别具有电势能 Wa 和 Wb 则 a → b 电场力的功
∆S
∆S
r E
θ
θ
r n
r E
Φe = E∆S
r r Φe = E∆S cosθ = E • ∆S
8
(2) 非均匀电场 S为任意曲面
dΦe = EdS⊥ = EdS cos θ v v = E ⋅ dS
Φ e = ∫ d Φ e = ∫ E cos θ dS S S v v v v = ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ n dS

高斯定理


1
4π0
q r3
rdS
e
S de
q
q
dS
S 4π0r 2
4π0r 2
dS q
S
0
Φe 与r 无关q ，也就是说，无论高斯面多大，总 电通量都为 0 ，即通过各球面的电力线总条数相 等。 说明点电荷的电力线可以延伸到无限远处。 9
2. 点电荷在任意封闭曲面内
穿过球面S1和S2的电场线，必定也穿 过闭合曲面S。所以穿过任意闭合曲
e ES cos 或 e E S
S cos
(3) 非均匀电场强度电通量
de E dS
通过任一曲面S 的电通量：
e de EdS
S
S
5
思考题：电场线与电通量的区别
(4) 任意闭合曲面的电通量：
e d e E dS
S
S
一个闭合曲面把整个空间分割成两部分： 内部空间和外部空间
外法线矢量：指向曲面外部空间的法线矢量 内法线矢量：指向曲面内部空间的法线矢量
S2
S
E
面 S的电通量必然为q/ 0 ，即
q S1
Φe
s
Ev dSv
q
0
• 点电荷为-q时，通过任意闭合曲面的电通量
Φe
S
Ev
dSv
q
0
电场线是穿入闭合曲面的。
10
3. 任意闭合曲面S包围多个点电荷q1、q2、…、qn 根据电通量的定义和电场强度的叠加原理，其电通
量可以表示为
Φe
E
S
dS
(E1
其实高斯定理不仅适用于静电场，还可用于变化的电 场，比库仑定律更广泛，是Maxwell方程组之一
16
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用 d 表示，仿照度量平面角的方法，即
ds d 2 r
ds
(球面度 ) (sr)
r
o d
ds’
r’
整个球面对球心所张的立体角
4r 2 0 2 4 r
(球面度)
对于两个同心球面，随着半径r增大，面积ds也增 大，但对应的立体角不变，即
ds ds d 2 2 r r
v vn S v S
将上面通量的定义推广到任意矢量场 A ，则
A A S
（称为矢量 A 对面元 S 的通量）
电场强度矢量的通量称为电通量。设电场中某一点p的 场强为E，包含P点取一面元 S ，n 为面元法线方向的单 位矢， 为E 和 n 之间的夹角。我们定义：面元 S 的电通量为
E ds
S
q
i 1
n
i
0
高斯定理的证明：（根据库仑定律和场强叠加原
理从特殊到一般，分几步来证明这个定理。） （1）包围点电荷 q 的同心球面的电通量都等于 以正点电荷q所在处为中心，任意半径r作一球 面，根据库仑定律，球面上场强具有球对称性，在 球面上任取一小面元ds，其外法线矢量n也是沿半 径方向向外的，即n与E 的夹角为0，
由此可见，立体角也有正、负之分：
当

2
d 0 ;
当

2
d 0
任意曲面对一点所张的立体角为： ˆ ds r d 2 r s 主要结论： 第一个结论：任意闭合曲面，对面内一点所 张的立体角等于4π
dΩ P
这是因为它和一个球面对球心所张的立体角相同。 第二个结论：任意闭合曲面对面外一点所张 的立体角为零。
l r
(弧度)
r
o

l
l
r’
整个圆周所张的角：
2r 0 2 (弧度 ) r
对于两个同心圆，半径不同，弧长也不同， 但可对应同一个平面角，即
l l r r
（与半径r的选择无关）
立体角： 一个球面上的面元 ds，对球心所张的角，在空间
包围一定的范围，可想象为一个锥体的“ 顶角 ”，
二、 高斯定理
如何实际地计算电场中任一曲面，尤其是闭合曲 面的电通量呢？1839年，德国科学家高斯在这方面作 了重要工作，高斯定理可以表述为：静电场中任意闭 合曲面s的电通量φ e，等于该曲面所包围的电荷的代 数和Σ qi除以ε 0，与闭合面外的电荷无关。这里s通 常是一个假象的闭合曲面，习惯上叫高斯面。其数学 形式为：
第三节 高斯定理
高斯定理是静电场的一个重要定理，它是关于电
场中闭合曲面电通量的定理，在讨论这个定理之前先
介绍电通量的概念。
一、矢量场与电通量
由矢量描述的物理场，称为矢量场；用标量描 述的物理场，则称为标量场。 通量是描述矢量场性质的一个物理量，流体力学 中流量的概念是大家熟知的，我们就从流量来引入通 量的概念，
E E S ES cos
即场强 E 与面元 S 在场强方向的投影的乘积就是面 S
元的电通量。
n
S


S
E
S
. P
E
n
下面，我们对电通量作进一步的讨论 （1）电通量是代数量。场强 E 和面元矢量 S 的 夹角θ 之不同，电通量有正、负。
如图所示，在流速场中（在流体力学中，速度v
是一个矢量函数，整个流体是一个速度场） ，取一
微小面元Δ s,n为面元Δ s的法线方向的单位矢量.
vn
S
ˆ n
v
单位时间内流过Δ S的流体体积叫做Δ S的通量，由于 Δ S很小，可以认为其上各点的流速v处处相等。单位时间 内通过Δ S的流体体积，它在数值上等于以Δ S为底以v为 母线的柱体体积，即
当点电荷为负时（q<0），球面上各点场强方向与 该点所在面元法线方向相反，整个球面的电通量为负， 所以上式仍然成立。这一结果的重要性在于，电通量 φ e与球面半径r无关。 （2）包围点电荷q的任意闭合曲面的电通量都等于
q 0
需补充一点数学知识—立体角
平面角:一个园，其半径为r，弧长为 l
那么平面角为：
ˆ n 2
S1
d
ˆ n 2
S2
P
de E ds Edscos
E

ds q S P
d
ˆ n
而 E
q 4 0 r
2
ˆ r
ˆ ˆ cos r n 从而得到:
d e
q 4 0 r
2
ds cos
（与半径r的选择无关）
任意面元 ds 对一点P 所张的立体角
n r

Байду номын сангаас
ds
r
d P
若由P点到面元的矢径 r 与面元法线方向相 ds 同，则 d 2 r 若 r 与面元不垂直，即 r 与面元法线有夹角
θ ，则
ˆ dsn ds cos ds r d 2 2 2 r r r
例如当 90 , cos 0, 为正
0
（2）电通量是场强 E 在曲面上的积分量，它不仅与
场强有关，还与曲面的大小、方向有关，因此，它不 是点函数，只能说某曲面的电通量，不能讲某点的电 通量。
（3）如果是有限曲面S，则面上各点场强大小和 方向一般是不同的，这时可以把此曲面分成无限 多个面元ds,整个曲面S的电通量 E 就是所有面 上的电通量的代数和，即面积分为
q 0
d e E ds Eds
q 2 ds 4 0 r
1
因此通过整个闭合球面的电通量为：
q 1 q 1 q q 2 e 2 ds 2 ds 2 4r 4 0 r 4 0 r s 4 0 r 0 s 1
E d E E dS
s s
如果是封闭曲面，则其电通量为
E E dS
s
式中

s
表示沿整个闭合曲面积分。这里要注
意一个曲面的法线式两有正、反两种取法，对于 非闭合曲面来讲，可取其中任意一个为法线矢量 的正方向；但对于闭合曲面来讲，它把空间划分 为内外两部分，其法线矢量的两种取向就有了特 定的意义，通常规定外法线矢量为正。