1 第1课时 集合的概念 纯答案

第1课 集合的概念及运算◇考纲解读理解集合、子集、补集、交集、交集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.◇知识梳理1.集合的基本概念：(1)一般地，我们把研究对象统称为_________,把一些元素组成的总体叫做________.(2)集合中的元素具有的三个特性是:____________、____________、___________.(3)集合有三种表示方法: 、 、 .还可以用区间来表示集合.(4)集合中元素与集合的关系分为______与______两种，分别用_____和_______来表示.(5)表示实数集的符号是_____;表示正实数集的符号是______;表示有理数集的符号是____; 表示整数集的符号是_____;表示自然数集的符号是_____;表示正整数集的符号是_____.2.集合间的关系:（1）若集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的__ _,记作_ _.（2）对于两个集合A,B,若___________且___________,则称集合A=B.（3）如果集合A B ⊆,但存在元素x B ∈且x A ∉,我们称集合A 是集合B 的__________,记作___________.（4）___________________叫空集,记作______,并规定:空集是任何集合的_______.3.集合的基本运算:（1）A B =_______________________.（2）A B =_______________________.（3）若已知全集U,集合A U ⊆,则U C A =________________.4.有限集的元素个数若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有_____个，真子集有_____，非空子集有_____个， 非空真子集有_____ 个．◇基础训练1. (2008韶关一模)设{}{}(,)46,(,)38A x y y x B x y y x ==-+==-，则AB =（ ） {}{}{}{}.(2,1).(2,2).(3,1).(4,2).A BCD ----2. (2007韶关二模)设全集{}，，，，，，，7654321=U ，{}16A x x x N *=≤≤∈，，则U C A=（ ）A .φB .{}7C .{}654321，，，，， D .{}7654321，，，，，， 3.（2007广州一模）如图1所示，U 是全集，A B 、是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. A B B. )A C (B UC. A BD. )B C (A U4.(2008深圳一模)设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，则()U A B =（ ）A ．∅B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4}D ．{2,3,4}◇典型例题例1． (2007佛山一模) 设全集为 R ，A =}01|{<xx ，则=A C R ( )． A ．}01|{>x x B .｛x | x ＞0｝ C .｛x | x 0≥｝ D . }01|{≥xx变式：集合{|10}A x ax =-=,{}2|320B x x x =-+=,且A B B =,求实数a 的值.例2．已知{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a R ∈， 如果A ∩B=B ，求实数a 的取值范围。

集合1．1.1 集合的含义与表示第一课时集合的含义[新知初探]1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．[点睛] 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．2．元素与集合的关系[点睛] 对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a ∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．常用的数集及其记法[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)你班所有的姓氏能组成集合．( )(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题．( )(3)一个集合中可以找到两个相同的元素． ( )答案：(1)√(2)×(3)×2．下列元素与集合的关系判断正确的是( )A．0∈N B．π∈QC.2∈Q D．－1∉Z答案：A3．已知集合A中含有两个元素1，x2，且x∈A，则x的值是( )A．0 B．1C．－1 D．0或1答案：A4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素．答案：2集合的基本概[例1] 考查下列每组对象，能构成一个集合的是( )①某校高一年级成绩优秀的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④[解析] ①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；②③④中的对象都满足确定性，所以能构成集合．[答案] B1．给出下列说法：①中国的所有直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合； ③正偶数的全体可以构成一个集合；④大于2 013且小于2 018的所有整数不能构成集合． 其中正确的有________．(填序号)解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，所以④错误．答案：①③[例2] (1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；② 2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．[解析] (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)由题意可得：3－x 可以为1,2,3,6，且x 为自然数，因此x 的值为2,1,0.因此A 中元素有2,1,0. [答案] (1)C (2)0,1,2元素与集合的关系[活学活用]2．已知集合A 中有四个元素0,1,2,3，集合B 中有三个元素0,1,2，且元素a ∈A ，a ∉B ，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D ∵a ∈A ，a ∉B ，∴由元素与集合之间的关系知，a ＝3. 3．用适当的符号填空：已知A ＝{x|x ＝3k ＋2，k ∈Z}，B ＝{x|x ＝6m －1，m ∈Z}，则有：17________A ；－5________A ；17________B.解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z. 所以17∈A.令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z.所以－5∉A.令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ， 所以17∈B. 答案：∈ ∉ ∈[例3] 已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________．集合中元素的特性及应用[解析] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.[答案] －1[一题多变]1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．解：因2∈A，则a＝2或a2＝2即a＝2，或a＝2，或a＝－ 2.2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？解：因A中有两个元素a和a2，则由a≠a2解得a≠0且a≠1.3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．解：由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知，a＝0.根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤层级一学业水平达标1．下列说法正确的是( )A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A解析：选C 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．3．下面几个命题中正确命题的个数是( )①集合N*中最小的数是1；②若－a∉N*，则a∈N*；③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．A．0 B．1 C．2 D．3解析：选C N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )A．2 B．2或4C ．4D ．0解析：选B 若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A.故选B.5．由实数－a ，a ，|a|，a 2所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a>0，－a ，a<0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中有两个元素，故选B.6．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合； ②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素； ③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素； ④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素． 其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b________A ，ab________A ．(填∈或∉)．解析：∵a 是偶数，b 是奇数， ∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数， 故a ＋b ∉A ，ab ∈A. 答案：∉ ∈8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x<a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________. 解析：∵x ∈N,2<x<a ，且集合P 中恰有三个元素， ∴结合数轴知a ＝6. 答案：69．设A 是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． 解：∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a<6，3a<6，解得a<2.又a ∈N ，∴a ＝0或1.10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值． 解：因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去． (2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去． 综上知：x ＝1，y ＝0.层级二 应试能力达标1．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集解析：选A 由于A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B 、C 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.2．若以集合A 的四个元素a ，b ，c ，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解析：选A 由于a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等． 3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，ba ，b.若集合A 与集合B 相等，则b－a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 由题意可知a ＋b ＝0且a≠0，∴a ＝－b ， ∴ba＝－1.∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2. 4．已知a ，b 是非零实数，代数式|a|a ＋|b|b ＋|ab|ab 的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M解析：选B 当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是－1；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B 正确．5．不等式x －a≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为3∉A ，所以3是不等式x －a<0的解，所以3－a<0，解得a>3. 答案：a>36．若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．解析：(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由(2)知不合题意．综上可知：a＝0或a＝1.答案：0或17．集合A中共有3个元素－4,2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5,1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4,9,25；B中的元素为9,0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4,5,9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a＝－3时，A中的元素为－4，－7,9；B中的元素为9，－8,4，符合题意．综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.8．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明：(1)若a∈A，则11－a∈A.11 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A ，∴11－－1＝12∈A.∵12∈A ，∴11－12＝2∈A.∴A 中必还有另外两个元素，且为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a ，即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∴a≠11－a ，∴集合A 不可能是单元素集．。

苏科版高一数学必修一第1章 1.1 第1课时集合的概念2024新高一暑假自学课堂1.1集合的概念与表示第1课时集合的概念1．通过实例了解集合的含义．(难点) 2．掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)1．通过集合概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养．在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类．例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的(如图所示)，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类……你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类．知识点1元素与集合的概念(1)一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．(2)集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．假如在军训时教官喊“全体高个子同学集合”，你会去集合吗？[提示]不去，不清楚自己是不是高个子．集合中的元素必须同时具备确定性、互异性、无序性．反过来一组对象若不具备这三个特性中任何一个，则这组对象不能构成集合．集合中元素的三个特性是判断一组对象能否构成集合的重要依据．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)接近于－1的数可以组成集合．()(2)一个集合中可以找到两个相同的元素．()(3)组成集合的元素一定是数．()[答案](1)×(2)×(3)×知识点2元素与集合1．元素与集合的表示(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．2．元素与集合的关系(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素，记作a∈A，读作“a属于A”．(2)不属于(符号：或∈)，a不是集合A中的元素，记作a A或a∈A，读作“a不属于A”．2．已知集合A中有两个元素2和a－1且3∈A，则实数a＝________．4[由题意知a－1＝3，即a＝4．]知识点3常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R 3．用“∈”或“”填空．3.5________N；－4________Z；0.5________R；2________N*；13________Q．∈∈∈[因为3.5不是自然数，故3.5N；因为－4是整数，故－4∈Z；因为0.5是实数，故0.5∈R；因为2不是正整数，故2N*；因为13是有理数，故13∈Q．]类型1集合的概念【例1】(1)考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地的美丽乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④截至2022年1月1日，参加一带一路的国家．A．③④B．②③④C．②③D．②④(2)下列说法中，正确的有________．(填序号)①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC 不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．(1)B(2)②[(1)①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B．(2)①不正确．book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3．②正确．集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．]判断一组对象为集合的依据(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合.(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数.(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关.[跟进训练]1．判断下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2021年在校的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体．[解](1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．(2)能构成集合．(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数(如“2”)是不是它的近似值，所以不能构成集合．类型2元素与集合的关系【例2】(1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②3∈R；③6Q；④0∈N*；⑤|－2|∈Z．A．2 B．3 C．4 D．5(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，当a∈A，有6－a∈A．则a的值为________．(1)C(2)2或4[(1)π是无理数，∴π∈R，故①正确．3是无理数，∴3∈R，②正确．6是无理数，∴6Q，③正确．0是自然数是非负整数，0∈N，故④错误．|－2|＝2∈Z，⑤正确．故选C．(2)集合A含有三个元素2,4,6且当a∈A，有6－a∈A．a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4．综上所述，a＝2或4．]判断元素与集合关系的方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.[跟进训练]2．集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素个数为________．3[∵63－x∈N，∴3－x＝1或3－x＝2或3－x＝3或3－x＝6，即x＝2或1或0或－3．又x∈N，故x＝0或1或2，即集合A中的元素个数为3．]类型3集合中元素的特性及应用【例3】已知集合A中含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？若1∈A，则元素1与集合A中元素a，b存在怎样的关系？[提示]a≠b，a＝1或b＝1．[解]由题意可知，a＝1或a2＝a．(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1．(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)．又当a＝0时，A中含有元素1和0满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0．[母题探究]1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．[解]由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1．2．(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求a的值．[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1．当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1．当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性．所以a＝－1．由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤[跟进训练]3．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．[解]因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1．若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A含有两个元素－3和－1．符合要求．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3．符合要求．综上所述，a的值为0或－1．1．下列给出的对象中，能组成集合的是()A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．方程x2－1＝0的实数根[答案]D2．下列结论不正确的是()A．0∈N B．2QC．0Q D．8∈ZC[0是有理数，故0∈Q，所以C错误．]3．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形A[由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．]4．若集合A中的元素是由方程x2－2x－3＝0的解构成的，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________．2[因为方程x2－2x－3＝0的解为3和－1，所以a＋b＝2．]5．已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三个元素，且2∈A，求m的值．[解]由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0．这与m2－3m＋2≠0相矛盾．若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时与m≠0相矛盾．当m＝3时，集合中含有3个元素0,2,3．故m的值为3．回顾本节知识，自我完成以下问题．1．元素与集合是怎样定义的？它们之间的关系是什么？[提示]一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素．元素与集合之间为属于(或不属于)关系．2．利用集合中元素的特性解题时应注意什么？[提示]不要忽视集合中元素的互异性．课时分层作业(一)集合的概念一、选择题1．以下各组对象不能组成集合的是()A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程x2－7＝0的实数解D．周长为10 cm的三角形B[因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合．]2．(多选题)若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是()A．3.14 B．π C．37D．7BD[由题意知a应为无理数，故a可以为7，也可以为π．]3．有下列说法：①集合N中最小的数为1；②若－a∈N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3A[N中最小的数为0，所以①错；由－(－2)∈N，而－2N可知②错；若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为0，所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错，故选A．]4．已知集合A中的元素x满足x－1<3，则下列各式正确的是()A．3∈A且－3A B．3∈A且－3∈AC．3A且－3A D．3A且－3∈AD[∵3－1＝2>3，∴3A，又－3－1＝－4<3，∴－3∈A．]5．(多选题)设不等式x－a>0的解集为集合P，若2P，则a的取值可能是()A．1 B．2 C．3 D．4BCD[因为2P，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a ≤0，即a ≥2．所以实数a 的取值可能是2,3,4．] 二、填空题6．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 由奇数组成的．若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ________A ，ab ________A ．(填∈或)∈ [∵a 是偶数，b 是奇数，∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数． 故a ＋b A ，ab ∈A ．]7．设直线y ＝2x ＋3上的点的集合为P ，则点(1,5)与集合P 的关系是________，点(2,6)与集合P 的关系是________．(1,5)∈P (2,6)P [点(1,5)在直线y ＝2x ＋3上，点(2,6)不在直线y ＝2x ＋3上．]8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________．6 [∵x ∈N,2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素，∴结合数轴知a ＝6．] 三、解答题9．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．[解] ∵a ∈A 且3a ∈A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <6，3a <6，解得a <2．又a ∈N ， ∴a ＝0或1．10．设x ∈R ，集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x ． (1)求元素x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x 的值．[解] (1)由集合元素的互异性可得x ≠3，x 2－2x ≠x ，且x 2－2x ≠3，解得x ≠－1，x ≠0，且x ≠3．(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2．由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2．经检验，知x＝－2符合互异性．故x＝－2．11．(多选题)已知x，y为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋xy|xy|的值组成的集合为M，则M中的元素可能为()A．1 B．3 C．－1 D．－3BC[①当x，y均为正数时，代数式x|x|＋y|y|＋xy|xy|的值为3；②当x，y为一正一负时，代数式x|x|＋y|y|＋xy|xy|的值为－1；③当x，y均为负数时，代数式x|x|＋y|y|＋xy|xy|的值为－1，所以集合M的元素有－1,3．]12．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是()A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈MC[由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2．所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2．故方程的另一根为－1．故选C．]13．如果有一个集合含有三个元素1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．x≠0,1,2，1±52[由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，1±52．]14．已知集合A中的元素满足x＝3k－1，k∈Z，则－1________A，－34________A．(填“∈”或“”) [答案]∈∈15．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．[证明](1)若a∈A，则11－a∈A．∵2∈A，∴11－2＝－1∈A．∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A．∵12∈A，∴11－12＝2∈A．∴A中还有另外两个元素．(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴集合A不可能是单元素集．。

2021年高中数学必修第一册1.1《集合的概念》同步课件（含答案）1、人教A版必修第一册第一章集合与常用规律用语n情景1：“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:很多的人或物聚在一起.在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？康托尔〔G.Cantor,1845-1918〕.德国数学家，集合论创始人.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.情景导学n情景2：高一开学第二天，学校通知：上午8点，在学校体育馆举行军训动员大会.n通知8月28日上午8时，高一年级的学生在体育馆集合进行军训动员.德育处问题1：这2、个通知的对象是全体高一学生还是个别对象？高一学生全体高一学生的全体构成一个集合，下面我们就具体地讨论集合的相关学问.问题思索n我们已经接触过一些集合：1.将以下数字填入相应的集合：自然数集合有理数集合 2.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合.n探究1集合的定义考察以下问题：〔1〕1～20以内的全部偶数；〔2〕立德中学今年入学的全体高一学生；〔3〕全部正方形；〔4〕到直线l的距离等于定长d的全部的点;〔5〕方程的全部实数根；〔6〕地球上的四大洋。

思索:上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？我们把研3、究的对象统称为元素，元素分别是什么？n集合定义的理解1.是肯定范围内确实定的对象；2.是不同的对象；3.是这些对象的全体.n一般地，我们把讨论对象统称为元素.通常用小写拉丁字母a,b,c,...来表示.我们把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).通常用大写拉丁字母A,B,C,...来表示.组成集合的元素肯定是数吗？组成集合的元素可以是物、数、图、点等，它具备怎样的性质呢？问题：归纳总结n1.全部的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？集合中的元素是确定的探究2：集合中元素的性质“帅”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多么“4、帅”才算“帅”？没有明确的标准，也就是说，是一些不能够确定的对象．因此，不能构成集合．不能.其中的元素不确定问题探究n2.由1,3,0,5,︱-3︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？集合中的元素是互异的不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5.问题探究n3.高一〔5〕班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有改变？集合中的元素是没有顺序的通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？确定性、互异性、无序性集合没有改变问题探究两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等.n启示：任何集合的元素都不能违反确定性5、、互异性、无序性.我们还可以用这些性质继续去探求集合与元素的关系.1.推断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:(1)大于3小于11的偶数;(2)我国的小河流.【提示】〔1〕是由4,6,8,10四个元素组成的集合.〔2〕由集合元素确实定性知其不能组成集合.练习n3.已知下面的两个实例：〔1〕用A表示高一(3)班全体学生组成的集合.〔2〕用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学.a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.探究3：元素和集合的关系思索：那么a，b与集合A分别有什么关系?问题探究n 元素a与集合A的6、关系假如a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；假如a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.属于符号和不属于符号具有方向性，左边是元素右边是集合。

高一年级：《集合的概念》导学案请同学们在学习过程中思考1集合的含义、集合中元素的特征2常见数集的符号表示（一）本节知识内容一集合的含义（1）集合：一些事物组成的整体称为集合.集合通常用大写英文字母A、B、C…,或者大写希腊字母来表示.（2）元素：集合中的每一个对象叫做该集合的元素或简称元。

元素通常用小写英文字母a、b、c…来表示二集合中元素的特性1确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。

2互异性：集合中的元素没有重复。

3无序性：集合中的元素没有一定的顺序三常用数集及记法1自然数集（非负整数集）：全体非负整数的集合,记作N2正整数集:非负整数集内排除0的集,记作N*或3整数集：全体整数的集合,记作Z4有理数集：全体有理数的集合,记作Q5实数集：全体实数的集合,记作R四元素与集合的关系(2种)1如果对象a是集合A的元素，就记作a ∈A，读作a属于A；2如果对象a不是集合A的元素，就记作a ∉A，读作a不属于A。

五有限集与无限集1有限集：含有有限个元素的集合。

2无限集：含有无限个元素的集合。

3空集：不含任何元素的集合,记作∅（二）典型例题例1 下列的各组对象能否构成集合：（1）所有的好人；不能（2）小于2003的数；能（3）和6非常接近的数；不能(4)小于5的自然数。

能例2 用符号“ ∈”或“∉”填空（1）3.14∈Q；（2）π∉Q；（3)0 ∈N；（4）0 ∉∅（5）-2 ∉Z+；（6）∉Z；（7）∈R；（8）π∈R课堂练习下面集合里的元素是什么？1.{大于3小于11的偶数} 答案：4、6、8、102.{平方等于1的数} 答案：-1、13.{中国古代的四大发明} 答案：活字印刷、造纸、指南针、火药Z+。

第一章集合与常用逻辑用语1．1 集合1．1.1 集合及其表示方法第1课时集合的概念1.元素与集合的概念(1)集合：定义把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).表示方法通常用英文大写字母A，B，C，…表示．(2)元素：定义组成集合的每个对象都是这个集合的元素．表示方法通常用英文小写字母a，b，c，…表示．(3)集合的元素具有的三个特点：确定性集合的元素必须是确定的互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的无序性集合中的元素可以任意排列根据集合的元素的“确定性”判断，“很瘦的人”能构成集合吗？为什么？提示：“很瘦的人”不能构成集合．因为它没有确定的标准．如果给定一个集合A，一个研究对象a是不是这个集合中的元素就确定了．2．元素与集合的关系关系记法读法a是集合A的元素a∈A a属于集合Aa不是集合A的元素a∉A a不属于集合A元素与集合之间有哪些关系？提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种关系．3．空集定义不含任何元素的集合称为空集表示方法记作∅对于任意元素a ，a 与空集∅的关系是什么？ 提示：由空集的定义可知，a ∉∅. 4．两个集合相等 定义 给定两个集合A 和B ，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等 表示方法记作A ＝B(1)集合⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合(2)空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集． 6．常见的数集及表示符号数集 非负整数集 (自然数集)正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 NN *或N ＋ZQRN 与N ＋(或N *)有何区别？提示：N ＋是所有正整数组成的集合，而N 是由0和所有的正整数组成的集合，所以N 比N ＋(或N *)多一个元素0.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．( ) 提示：×．集合中的元素是互不相同的． (2)好听的歌能组成一个集合．( )提示：×．好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合．(3)高一(1)班所有姓氏能构成一个集合．()提示：√．高一(1)班的姓氏是确定的，所以能构成集合．(4)把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成集合有6个．()提示：×．因为集合中的元素满足无序性，故由1，2，3三个元素只能组成一个集合．2．已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC 一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解析】选D.因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形．3．(教材练习改编)已知集合M中有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________．【解析】由题意可知a＋1＝4，即a＝3.答案：3类型一元素与集合的相关概念(数学抽象、逻辑推理)1．下列对象能构成集合的是()①全国所有的优秀医护人员；②所有的钝角三角形；③2020年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生．A ．①②④B ．②⑤C ．③④⑤D ．②③④【解析】选D.由集合中元素的确定性知，①中“优秀医护人员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．2．集合P 中含有两个元素分别为1和4，集合Q 中含有两个元素1和a 2，若P 与Q 相等，则a ＝________． 【解析】由题意，得a 2＝4，a ＝±2. 答案：±21．一组对象能构成集合的两个条件(1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．(2)任何两个对象都是不同的． 2．集合相等的注意点若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．【补偿训练】已知A 中含有3个元素1，x ，y ，集合B 中含有3个元素1，x 2，2y ，若A ＝B ，则x －y ＝( )A ．12B ．1C ．14D ．32 【解析】选C.根据集合元素互异性： 假设x ＝x 2，y ＝2y ，即x ＝0，y ＝0或x ＝1，y ＝0不满足条件； 假设x ＝2y ，y ＝x 2，即x ＝0，y ＝0不满足条件或者x ＝12 ，y ＝14 满足条件，所以x －y ＝12 －14 ＝14. 类型二 元素与集合的关系(数学运算、逻辑推理)【典例】1.由不超过5的实数组成集合A ，a ＝2 ＋3 ，则( ) A ．a ∈A B ．a 2∈A C ．1a ∉A D ．a ＋1∉A【思路导引】判断a ，a 2，1a ，a ＋1与5的大小关系． 【解析】选A.a ＝2 ＋3 <4 ＋4 ＝4<5，所以a ∈A .a ＋1<4 ＋4 ＋1＝5，所以a ＋1∈A ，a 2＝(2 )2＋22 ×3 ＋(3 )2＝5＋26 >5，所以a 2∉A ， 1a＝12＋3＝3－2（2＋3）（3－2）＝3 －2 <5，所以1a∈A .2．集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．【思路导引】先确定x的取值，再验证．【解析】由63－x ∈N，x∈N知x≥0，63－x>0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0，1，2.当x＝0时，63－0＝2∈N，当x＝1时，63－1＝3∈N，当x＝2时，63－2＝6∈N.故集合A中的元素为0，1，2.答案：0，1，2判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法．①使用前提：集合中的元素是直接给出的；②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法．①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．1．给出下列关系：①12 ∈R ；②2 ∉Q ；③|－3|∉N ； ④|－3 |∈Q ；⑤0∉N .其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】选B.12 是实数；2 是无理数；|－3|＝3是自然数；|－3 |＝3 是无理数；0是自然数．故①②正确，③④⑤不正确．2．设A 是由满足不等式x <6的自然数构成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．【解析】因为a ∈A 且3a ∈A ，所以⎩⎨⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ，所以a ＝0或1. 【补偿训练】已知A 中元素x 满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( ) A ．－1∉A B ．－11∈A C ．3k 2－1∈A D ．－34∉A【解析】选C.k ＝0时，x ＝－1，所以－1∈A ，所以A 错误；令－11＝3k －1，k ＝－103∉Z ，所以－11∉A ，所以B 错误；令－34＝3k －1，k ＝－11，所以－34∈A ，所以D 错误．因为k ∈Z ，所以k 2∈Z ，则3k 2－1∈A ，所以C 正确．类型三 由集合中元素的特点求参数(数学运算、逻辑推理)【典例】已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a ∈A ，求实数a 的值． 【思路导引】A 中含有元素：1和a 2 ――→a ∈A a ＝1或a 2＝a ――→求a 的值 检验集合中元素的互异性【解析】由题意可知，a ＝1或a 2＝a ，①若a ＝1，则a 2＝1，这与a 2≠1相矛盾，故a ≠1.②若a 2＝a ，则a ＝0或a ＝1(舍去)，又当a ＝0时，A 中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a 的值为0.根据集合中元素的特点求值的三个步骤1．(2021·西安高一检测)已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( ) A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4<a <－2D ．－4<a ≤－2【解析】选D.由题意可知⎩⎨⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0，解得－4<a ≤－2.2．设集合M 中含有三个元素3，x ，x 2－2x .(1)求实数x应满足的条件．(2)若－2∈M，求实数x的值．【解析】(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x ≠3.解得x≠－1，x≠0且x≠3.(2)因为－2∈M，所以x＝－2或x2－2x＝－2.若x2－2x＝－2，则x2－2x＋2＝0.因为Δ＝(－2)2－4×1×2＝－4<0.方程无解．所以x＝－2.【补偿训练】集合P由1，m，m2－3m－1三个元素组成，若3∈P且－1∉P，则实数m＝________．【解析】由题意，分两种情况：(1)若m＝3，则m2－3m－1＝－1，不满足题意．(2)若m2－3m－1＝3，则m＝4或m＝－1，m＝－1不满足题意，应舍去．故m＝4.答案： 4备选类型 元素与集合的关系的综合应用(数学运算、逻辑推理)【典例】已知集合A 满足条件：①1∉A ；②若a ∈A ，则11－a ∈A .(1)若a ∈A ，求证：1－1a ∈A ；(2)在集合A 中的元素能否只有一个实数？若有，求出此集合；否则，请说明理由；【解析】(1)由a ∈A 得：11－a ∈A ，则11－11－a∈A ，又11－11－a ＝1－a 1－a＝1－a－a ＝a －1a ＝1－1a ，所以1－1a ∈A .(2)假设集合A 中只有一个元素，因为a ∈A ，则11－a ∈A ，所以a ＝11－a ，方程无解，所以假设错误，即集合A 中的元素不能只有一个实数．设数集A 由实数构成，且满足：若x ∈A (x ≠1且x ≠0)，则11－x ∈A . (1)若2∈A ，试证明集合A 中有元素－1，12 .(2)判断集合A 中至少有几个元素，并说明理由．【解析】(1)由题意，由2∈A 可得11－2＝－1∈A . 因为－1∈A ，所以11－⎝⎛⎭⎫－1 ＝12 ∈A . 所以集合A 中有元素－1，12. (2)由题意，可知若x ∈A (x ≠1且x ≠0)， 则11－x ∈A ，x －1x ∈A ， 且x ≠11－x ，11－x ≠x －1x ，x ≠x －1x ， 故集合A 中至少有3个元素．1．(2021·枣庄高一检测)下列几组对象可以构成集合的是( )A ．充分接近π的实数的全体B ．善良的人C ．世界著名的科学家D ．某单位所有身高在1.7 m 以上的人【解析】选D.选项A ，B ，C 所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D 的标准唯一，故能构成集合．2．(教材练习改编)若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( )A ．3.14B ．－5C ．37D ．7【解析】选D.由题意知a 应为无理数，故a 可以为7 .3．设a ，b ∈R ，集合A 中含有3个元素1，a ＋b ，a ，集合B 中含有3个元素0，b a ，b ，若A ＝B ，则b －a ＝( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2【解析】选A.由已知，a ≠0，故a ＋b ＝0，则b a＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1.b －a ＝2.4．已知m ∈R ，由x ，－x ，|x |，x 2 ，－3x 3 所组成的集合最多含有元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】选A.因为x ，－x ，|x |，x 2 ＝||x ，－3x 3 ＝－x 中，至多有2个不同的实数， 所以组成的集合最多含有元素的个数是2.5．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号).【解析】因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④。

第一章 集合与常用逻辑用语第一讲：集合的概念知识点梳理讲解：一、集合的概念 【知识梳理】1、元素与集合的概念【要点讲解】 准确认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. 【知识精讲】例1 (1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点A 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合；②由1，32，64，21 ，12组成的集合有五个元素；③由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合．【解】(1)选A “接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合．②不正确．由于32＝64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝12，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，32，12这三个元素组成的． ③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合．【变式训练】1、下列各组对象可以组成集合的是( ) A ．数学必修1课本中所有的难题 B ．小于8的所有素数C ．平面直角坐标系内第一象限的一些点D ．所有小的正数 【答案】 B【解析】A 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合；D 中没有明确的标准，所以不能构成集合．2 考察下列每组对象能否构成一个集合． (1)不超过20的非负数；(2)方程x 2－9＝0在实数范围内的解； (3)某班的所有高个子同学； (4)3的近似值的全体．【解】(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合； (2)能构成集合；(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合； (4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．3、判断下列每组对象能否构成一个集合．(1)著名的数学家；(2)某校2020年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解； (5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．【解】(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.【方法技巧总结】判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．二、元素的特性及集合相等【知识梳理】1．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．2．集合元素的特性集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．【要点讲解】(1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合.【知识精讲】例1、已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.(1)若－3∈A，求a的值；(2)若x2∈B，求实数x的值；(3)是否存在实数a，x，使A＝B.【解】(1)由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求． ∴a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. (3)显然a 2＋1≠0.由集合元素的无序性， 只可能a －3＝0或2a －1＝0. 若a －3＝0，则a ＝3，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝{0,5,10}≠B . 若2a －1＝0，则a ＝12，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧-45,25,0≠B . 故不存在这样的实数a ，x ，使A ＝B .例2、 已知集合A 中含有两个元素a 和2a ，若1∈A ，求实数a 的值． 【解】若1∈A ，则a ＝1或2a ＝1，即a ＝±1.当a ＝1时，a ＝2a ，集合A 中有一个元素，∴a ≠1. 当a ＝－1时，集合A 中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a ＝－1.【变式训练】1、已知集合M 中含有三个元素：2，a ，b ，集合N 中含有三个元素：2a,2，b 2，且M ＝N ，求a ，b 的值． 【解】方法一： 根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.方法二 ∵两个集合相等，则其中的对应元素相同．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2a ＋b 2，a ·b ＝2a ·b 2，即错误!∵集合中的元素互异， ∴a ，b 不能同时为零．当b ≠0时，由②得a ＝0或b ＝12.当a ＝0时，由①得b ＝1或b ＝0(舍去)． 当b ＝12时，由①得a ＝14.当b ＝0时，a ＝0(舍去)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.2、已知集合A 中含有三个元素1,0，x ，若2x ∈A ，求实数的值．x 【解】∵2x ∈A ，∴2x 是集合A 中的元素．又∵集合A 中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若2x ＝0，则x ＝0，此时集合A 中有两个元素0，不符合互异性，舍去；②若2x ＝1，则x ＝±1.当x ＝1时，此时集合A 中有两个元素1，舍去；当x ＝－1时，此时集合A 中有三个元素1,0，－1，符合题意；③若 2x ＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合互异性，都舍去．综上可知，x ＝－1.【方法技巧总结】1、元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．2、元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．【易错题】【典例】若集合A 中有三个元素x ，x ＋1,1，集合B 中也有三个元素x ，x 2＋x ，x 2，且A ＝B ，则实数x 的值为________． 【解析】∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2.解得x ＝±1.经检验，x ＝1不适合集合元素的互异性，而x ＝－1适合． ∴x ＝－1. [答案] －1 【易错点】1．上面例题易由方程组求得x ＝±1后，忽视对求出的值进行检验，从而得出错误的结论．2．当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集合元素的互异性． 【易错点训练】若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________． 解析：①若a －3＝－3，则a ＝0， 此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意．②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性． ③若a 2－4＝－3，则a ＝±1.当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，满足题意； 当a ＝－1时，由②知不合题意． 综上可知a ＝0或a ＝1. 答案：0或1三、元素与集合的关系 【知识梳理】1、如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A .2、如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . 【要点讲解】(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R ∈0是错误的 3．常用的数集及其记法 （1）数集及其记法（2【知识精讲】题型1判定元素与集合的关系例3 (1)设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是( )A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A(2)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4【解析】(1)由元素与集合的关系可知，a∈A.(2)①π∈R显然是正确的；②3是无理数，而Q表示有理数集，∴3∉Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0∉N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．【答案】(1)C (2)B【变式训练】1 给出下列关系：①12∈R；②2∉Q；③|－3|∉N；④|－3|∈Q；⑤0∉N，其中正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】 B【解析】12是实数，①对；2不是有理数，②对；|－3|＝3是自然数，③错；|－3|＝3是无理数，④错； 0是自然数，⑤错．故选B.2 用符号 “∈”或“∉”填空． －2________R ；－3________Q ； －1________N ；π________Z. 【答案】 ∈ ∈ ∉ ∉ 3给出下列说法：①R 中最小的元素是0； ②若a ∈Z ，则－a ∉Z ； ③若a ∈Q ，b ∈N *，则a ＋b ∈Q. 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】选B 实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a ∈Z ，则－a 也是整数，故－a ∈Z ，所以②也不正确；只有③正确. 【方法技巧总结】判断元素与集合间关系的方法判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．题型2 根据已知的元素与集合的关系推理 例3 集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． 【答案】 0,1,2【解析】∵x ∈N ，63－x ∈N ，∴0≤x ≤2且x ∈N.当x ＝0时，63－x ＝63＝2∈N ；当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－x ＝63－2＝6∈N.∴A 中元素为0,1,2.【变式训练】1 已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A，2∈A，则( )A．a>－4 B．a≤－2C．－4<a<－2 D．－4<a≤－2【答案】 D【解析】∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，∴－4<a≤－2.【方法技巧总结】判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的．②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．(2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．【课堂小测】1．下列选项中能构成集合的是( )A．高一年级跑得快的同学B．中国的大河C．3的倍数D．有趣的书籍【解析】选C 根据集合的定义，选项A，B，D都不具备确定性．2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形【解析】选A 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．有下列说法：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．【解析】因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．【答案】②④4．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.【解析】代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0∉A，不符合题意，舍去．所以a＝2或a＝4.【答案】2或45．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．【解】因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．综上知x＝1，y＝0.【课后作业】一、选择题1．已知集合A由x<1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A【答案】 C解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．2．集合A中只有一个元素a(a≠0)，则( )A．0∈A B．a＝AC．a∈A D．a∉A【答案】 C解析∵A中只有一个元素a且a≠0，∴0∉A，选项A错．∵a为元素，A为集合，故B错误．由已知选C.3．下列结论中，不正确的是( )A ．若a ∈N ，则－a ∉NB ．若a ∈Z ，则a 2∈ZC ．若a ∈Q ，则|a |∈QD ．若a ∈R ，则3a ∈R 【答案】 A解析 A 不对．反例：0∈N ，－0∈N.4．已知x ，y 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( ) A ．0∉MB ．1∈MC ．－2∉MD ．2∈M 【答案】 D【解析】①当x ，y 为正数时，代数式x |x |＋y |y |的值为2；②当x ，y 为一正一负时，代数式x |x |＋y|y |的值为0；③当x ，y 均为负数时，代数式x |x |＋y |y |的值为－2， 所以集合M 中的元素共有3个：－2,0,2，故选D.5．已知集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 【答案】 D【解析】由元素的互异性知a ，b ，c 均不相等．6．已知A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A 【答案】C【解析】令3k －1＝－1，解得k ＝0∈Z ，∴－1∈A ；令3k －1＝－11，解得k ＝－103∉Z ，∴－11∉A ； ∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A ；令3k －1＝－34，解得k ＝－11∈Z ，∴－34∈A .7．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素【答案】 A【解析】 由于|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，并且x ，－x ，|x |之中总有两个相等，所以最多含2个元素．8．由不超过5的实数组成集合A ，a ＝2＋3，则( )A ．a ∈AB ．a 2∈A C.1a∉A D ．a ＋1∉A 【答案】 A【解析】a ＝2＋3<4＋4＝4<5，∴a ∈A .a ＋1<4＋4＋1＝5，∴a ＋1∈A .a 2＝(2)2＋22·3＋(3)2＝5＋26>5.∴a 2∉A .1a ＝12＋3＝3－2(2＋3)(3－2)＝3－2<5. ∴1a∈A . 故选A.二、填空题9．下列所给关系正确的个数是________．①π∈R ；②3D ∈/Q ；③0∈N *；④|－4|D ∈/N *.【答案】 2【解析】∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.10．如果有一集合含有三个元素：1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________．【答案】 x ≠0,1,2，1±52【解析】由集合元素的互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52. 11．已知a ，b ∈R ，集合A 中含有a ，ba ，1三个元素，集合B 中含有a 2，a ＋b,0三个元素，若A ＝B ，则a＋b ＝____.【答案】 －1【解析】∵A ＝B,0∈B ，∴0∈A .又a ≠0，∴b a ＝0，则b ＝0.∴B ＝{a ，a 2,0}．∵1∈B ，a ≠1，∴a 2＝1，a ＝－1或1(舍)．由元素的互异性知，a ＝－1，∴a ＋b ＝－1.三、解答题12．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a 的值．解：由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，满足题意． ∴实数a 的值为－32. 13．数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)．若2∈A ，试求出A 中其他所有元素； 解：(1)2∈A ，则11－2∈A ， 即－1∈A ，则11＋1∈A ，即12∈A ，则11－12∈A ， 即2∈A ，所以A 中其他所有元素为－1，12. 证明如下：1（）若a ∈A ，a ≠1，则有11－a ∈A 且11－a≠1， 所以又有11－11－a＝a －1a ∈A 且a －1a ≠1， 进而有11－a －1a ＝a ∈A .又因为a ≠11－a (因为若a ＝11－a，则a 2－a ＋1＝0，而方程a 2－a ＋1＝0无解)，故11－a ≠a －1a，所以A 中只能有3个元素， 它们分别是a ，11－a ，a －1a ，且三个数的乘积为－1. 四、探究与拓展14．已知集合A 中有3个元素a ，b ，c ，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________．【答案】 1,2【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b ＋c ＝2，c ＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝2， ∴集合A ＝{0,1,2}，则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}． 15．已知集合A 中的元素x 均满足x ＝m 2－n 2(m ，n ∈Z)，求证：(1)3∈A ；(2)偶数4k －2(k ∈Z)不属于集合A .证明 (1)令m ＝2∈Z ，n ＝1∈Z ，得x ＝m 2－n 2＝4－1＝3，所以3∈A .(2)假设4k －2∈A ，则存在m ，n ∈Z ，使4k －2＝m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )成立．①当m ，n 同奇或同偶时，m ＋n ，m －n 均为偶数，所以(m ＋n )(m －n )为4的倍数与4k －2不是4的倍数矛盾．②当m ，n 一奇一偶时，m ＋n ，m －n 均为奇数，所以(m ＋n )(m －n )为奇数，与4k －2是偶数矛盾．所以假设不成立．综上，4k －2∉A .。

1.1（第1课时）集合的含义学案（含答案）1.1集合的含义及其表示第1课时集合的含义学习目标1.通过实例理解集合的有关概念.2.初步理解集合中元素的三个特性.3.体会元素与集合的属于关系.4.了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象知识点一集合与元素的概念1集合一般地，一定范围内某些确定的.不同的对象的全体构成一个集合，通常用大写的拉丁字母来表示集合2元素集合中的每一个对象称为该集合的元素简称元通常用小写的拉丁字母来表示3集合中元素的特征确定性.无序性.互异性知识点二元素与集合的关系1若a是集合A的元素，就记作aA，读作“a属于A”2若a不是集合A的元素，就记作aA，读作“a不属于A”知识点三常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR题型一判断给定的对象能否构成集合例1判断下列每组对象能否构成一个集合1不超过20的非负数；2方程x290在实数范围内的解；3某校xx年在校的所有高个子同学；4的近似值的全体解1对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合2能构成集合3“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合4“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数，如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合反思感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是________填序号数学必修1课本中所有的难题；小于8的所有素数；直角坐标平面内第一象限的一些点；所有小的正数答案解析中“难题”的标准不确定，不能构成集合；能构成集合；中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；中没有明确的标准，所以不能构成集合题型二元素与集合的关系例2给出下列关系R；Q；|3|N；||Q；0N.其中正确的为________填序号答案解析是实数，对；不是有理数，对；|3|3是自然数，错；||为无理数，错；0是自然数，错反思感悟要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件跟踪训练2用符号“”或“”填空________R；3________Q；1________N；________Z.答案例3集合A中的元素x满足N，xN，则集合A中的元素为________答案0,1,2解析xN，N，0x2且xN.当x0时，2N；当x1时，3N；当x2时，6N.A中元素有0,1,2.反思感悟判断元素和集合关系的两种方法1直接法使用前提集合中的元素是直接给出的判断方法首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现2推理法使用前提对于某些不便直接表示的集合判断方法首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征跟踪训练3对于由元素2,4,6构成的集合A，若aA，则6aA，其中a的值是________答案2或4解析当a2时，6a4A；当a4时，6a2A；当a6时，6a0A.因此a的值为2或4.题型三元素三个特性的应用例4已知集合A含有两个元素1和a2，若aA，求实数a的值解由题意可知，a1或a2a，1若a1，则a21，不满足集合中元素的互异性，故a1.2若a2a，则a0或a1舍去，又当a0时，A中有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意综上可知，实数a的值为0.引申探究1本例若去掉条件“aA”，其他条件不变，求实数a 的取值范围解由集合中元素的互异性可知a21，即a1.2已知集合A含有两个元素a和a2，若1A，求实数a的值解若1A，则a1或a21，即a1.当a1时，集合A有重复元素，所以a1；当a1时，集合A 含有两个元素1，1，符合集合中元素的互异性，所以a1.反思感悟1解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准2本类题在解方程求得参数的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分跟踪训练4已知集合A是由0，m，m23m2三个元素组成的集合，且2A，则实数m的值为________答案3解析若m2，则m23m20，不合题意；若m23m22，则m0或m3，m0时不合题意，m3时符合题意，故m3.1考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征或标准，依此特征或标准能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合2元素a 与集合A之间只有两种关系aA，aA.3集合中元素的三个特性1确定性指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合2互异性集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的3无序性集合与其中元素的排列顺序无关1下列说法不正确的是A0NB5ZCQDR答案C解析因为是无理数，所以Q.2以下对象的全体不能构成集合的个数是1高一1班的漂亮的女同学；2所有的数学难题；3北京市中考分数在580以上的同学；4中国古代四大发明；5我国的大河流；6大于3的偶数A2B3C4D6答案B解析125的元素不确定，故不能构成集合3a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是A矩形B平行四边形C菱形D梯形答案D解析由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等4设函数yx22x1图象上的点构成集合A，则点0，1________A.答案5已知集合A含有两个元素a3和2a1，若3A，试求实数a的值解3A，3a3或32a1，若3a3，则a0，此时集合A中含有两个元素3，1，符合题意；若32a1，则a1，此时集合A中含有两个元素4，3，符合题意，综上所述，a0或a1.。

集合的含义[学习目标] 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用.知识点一集合的概念1.元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.2.集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.3.集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.思考(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？答(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准.(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定.元素确定性的含义是：集合中的元素必须是明确的，不能含糊不清.因此，若一组对象没有明确的判定标准，即元素不确定，则不能构成集合.知识点二元素与集合的关系思考设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3,4这两个元素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？答3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4∉A.知识点三常用数集及表示符号题型一对集合概念的理解例1下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4)3的近似值的全体.解(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合.(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.反思与感悟判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.跟踪训练1有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面直角坐标系上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体.其中能构成集合的个数是()A.2B.3C.4D.5答案 A解析①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准.②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，小的精确度没明确标准.③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依.题型二元素与集合的关系例2下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A.1B.2C.3D.4答案 B解析①π是实数，所以π∈R正确；②2是无理数，所以2∉Q正确；③ 0不是正整数，所以0∈N *错误；④ |－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N *错误.故选B.反思与感悟 1.熟记常见的数集符号是解题的关键.解题时应正确区分各个符号所包含的范围，特别是弄清正整数集(N *)与自然数集(N )的区别.2.元素与集合的关系是“属于”与“不属于”的关系.跟踪训练2 给出下列关系：①12∈R ；②2∈Q ；③|－5|∉N ；④0∉N ；⑤π∈Q .其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A解析 ∵12是实数，∴①正确.2，π是无理数，∴②、⑤都不正确.∵|－5|＝5是自然数，0是自然数，∴③、④不正确，故答案为A. 题型三 集合中元素的特性及应用例3 已知集合B 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈B ，试求实数a 的值. 解 ∵－3∈B ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合B 含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合B 含有两个元素－4，－3，符合题意. 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.反思与感悟 1.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准.2.由于集合B 含有两个元素，－3∈B ，故本题以－3是否等于a －3为标准，进行分类.3.本题在解方程求得a 的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分.跟踪训练3 已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( ) A.3 B.2C.0或3D.0或2或3答案 A解析 由题意得m ＝2，或m 2－3m ＋2＝2，得m ＝0，或m ＝2，或m ＝3.当m ＝0时，不合题意，舍去；当m ＝2时，m 2－3m ＋2＝0，不合题意，舍去；当m ＝3时，m 2－3m ＋2＝2，符合题意.忽略集合中元素的互异性出错例4 含有三个元素的集合{a ，ba ，1}，也可表示为集合{a 2，a ＋b,0}，求a ，b 的值.错解 ∵{a ，ba，1}＝{a 2，a ＋b,0}，∴⎩⎨⎧ a ＋ba ＋1＝a 2＋(a ＋b )＋0，a ·ba ·1＝a 2·(a ＋b )·0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.正解 ∵{a ，ba，1}＝{a 2，a ＋b,0}，∴⎩⎨⎧a ＋ba＋1＝a 2＋(a ＋b )＋0，a ·ba ·1＝a 2·(a ＋b )·0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.由集合中元素的互异性，得a ≠1， ∴a ＝－1，b ＝0. 易错警示跟踪训练4 由a 2,2－a,4构成一个集合A ，且A 中含有3个元素，则实数a 的值可以是( ) A.1 B.－2 C.6 D.2 答案 C解析 由题设知a 2,2－a,4互不相等，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≠2－a ，a 2≠4，2－a ≠4，解得a ≠－2且a ≠1且a ≠2.所以当实数a 的值是6时，满足题意.故选C.1.下列能构成集合的是( )A.中央电视台著名节目主持人B.我市跑得快的汽车C.上海市所有的中学生D.香港的高楼 2.下列三个命题：①集合N 中最小的数是1； ②－a ∉N ，则a ∈N ；③a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值是2. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.下列选项正确的是( ) A.0∈N * B.π∉R C.1∉QD.0∈Z4.已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若a ∈A ，则实数a 的值是( ) A.－3 B.0或1 C.1D.－15.用符号“∈”或“∉”填空.(1)0________N *，3________Z,0________N ， 3＋2________Q ，43________Q ；(2)若a 2＝3，则a ________R ，若a 2＝－1，则a ______R .一、选择题1.下列各选项中的对象不能构成集合的是( ) A.小于5的自然数 B.著名的艺术家C.曲线y ＝x 2上的点D.不等式2x ＋1>7的整数解 2.集合A 中只含有元素a ，则下列各式一定正确的是( ) A.0∈A B.a ∉A C.a ∈A D.a ＝A3.若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则此三角形一定不是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形4.已知集合A 是由不等式5x －3>0的解组成的集合，则有( ) A.－1∈A B.0∈A C.12∈A D.2∈A5.集合A ＝{x |x <5，x ∈N *}，用列举法表示集合A 正确的是( ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}6.已知x ，y 都是非零实数，z ＝x |x |＋y |y |＋xy|xy |可能的取值组成集合A ，则( )A.2∈AB.3∉AC.－1∈AD.1∈A7.已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( ) A.2 B.2或4 C.4 D.0 二、填空题8.若a ∈N ，但a ∉N *，则a ＝________. 9.用符号“∈”或“∉”填空：(1)若集合P 由小于11的实数构成，则23________P ；(2)若集合Q 由可表示为n 2＋1(n ∈N *)的实数构成，则5________Q .10.已知①5∈R ；②13∈Q ；③0∈N ；④π∈Q ；⑤－3∉Z .正确的个数为________.11.由实数x ，－x ，|x |，x 2及－3x 3所组成的集合，最多含有________个元素. 三、解答题12.已知集合A 只含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值.13.若集合A 中含有3个元素x,0，x 2－x ，求x 满足的条件.14.若集合A ＝{0,1,2,3}，集合B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数是多少？当堂检测答案1.答案 C解析 A 、B 、D 中研究的对象不确定，因此不能构成集合. 2.答案 A解析 根据自然数的特点，显然①③不正确. ②中若a ＝32，则－a ∉N 且a ∉N ，显然②不正确.3.答案 D4.答案 C解析 由于a ∈A ，则a ＝a －3或a ＝2a －1，若a ＝a －3，则有－3＝0，不成立；若a ＝2a －1，则a ＝1，此时集合A 中的两个元素是－2,1，符合题意. 5.答案 (1)∉ ∉ ∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉解析 (1)只要熟记常用数集的记法所对应的含义就很容易判断.(2)平方等于3的数是±3，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的.课时精练答案一、选择题 1.答案 B解析 选项B 中的对象没有明确的标准，不具备确定性，故不能构成一个集合. 2.答案 C解析 由题意知A 中只有一个元素a ，∴a ∈A ，元素a 与集合A 的关系不能用“＝”，a 是否等于0不确定，所以0是否属于A 不确定，故选C. 3.答案 D解析 根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形. 4.答案 D解析 逐一代入检验可得D 正确. 5.答案 B 6.答案 C解析 ①当x >0，y >0时，z ＝1＋1＋1＝3；②当x >0，y <0时，z ＝1－1－1＝－1；③当x <0，y >0时，z ＝－1＋1－1＝－1；④当x <0，y <0时，z ＝－1－1＋1＝－1， ∴集合A ＝{－1,3}.∴－1∈A .7.答案 B解析 若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A .故选B. 二、填空题 8.答案 0解析 N 比N *多一个元素0，故a ＝0. 9.答案 (1)∉ (2)∈解析 (1)因为23＝12>11，所以23不在由小于11的实数构成的集合P 中， 所以23∉P .(2)因为5＝22＋1,2∈N *，所以5∈Q . 10.答案 3解析 ①②③是正确的；④⑤是错误的. 11.答案 2解析 因为|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，所以不论x 取何值，最多只能写成两种形式：x ，－x ，故集合中最多含有2个元素. 三、解答题12.解 若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1， 故a ＝1或－1.当a ＝1时，集合A 有重复元素， ∴a ≠1；∴当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合题意， ∴a ＝－1.13.解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－x ≠0，x 2－x ≠x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ≠0，且x ≠1，x ≠0，且x ≠2.∴x 满足的条件是x ≠0，且x ≠1，且x ≠2.14.解 若－x ＝0∈A ，则1－x ＝1∈A ，∴此时x ＝0不成立； 若－x ＝1∈A ，则1－x ＝2∈A ，∴此时x ＝－1不成立； 若－x ＝2∈A ，则1－x ＝3∈A ，∴此时x ＝－2不成立；若－x＝3∈A，则1－x＝4∉A，∴此时x＝－3满足条件. 综上可知B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.。