湖北省武汉市武昌区 2010届高三年级五月调研测试数学试题（文科）本试卷满分150分，考试用时120分钟注意事项： 1．本卷1—10题为选择题，共50分；11—21题为非选择题，共100分，考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。
2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置，交将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
3．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
4．非选择题的作答；用0.5毫米黑色墨水的签字直接答在答题卡上的每题所对应的答题区域内，答在指定区域外无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线013=++y x 的倾斜角是（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 2．函数)1(12-<-=x x y 的反函数是（ ）A ．)0(12>+=x x yB ．)0(12>+-=x x yC ．)0(12≥-=x x yD ．)0(12≥--=x x y3．等比数列}{n a 的公比为q ，则“01>a ，且1>q ”是“对于任意正自然数n ，都有n n a a >+1”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．设l n m ,,是三条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若l n m 与,所成的角相等，则n m //B ．若βαβα//,,//m m 则⊂C ．若n m ,与α所成的角相等，则n m //D ．若γ与平面βα,所成的角相等，则βα//5．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等的两部分，则实数k 的值为（ ）A ．37 B ．73 C ．34 D ．43 6．某人朝正东方走xkm 后，向左转150°，然后朝新方向走km 3，结果它离出发点恰好km 3，那么x 等于（ ）A ．3B ．32C ．3或32D ．37．2010年两会记者招待会上，主持人要从5名中国记者与4名外主国记者中选出3名进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，则不同的提问方式的种数是 （ ） A ．80 B ．180 C ．240 D ．2608．某中学在新课改活动中，成立了机器人小组，他们在一次实验中，要观察坐标平面内沿一正方形四周运动的质点，为了记录这个质点的任何时刻的运动数据和位置，特在垂直于坐标平面原点的正上方1个单位长度处安装一探测仪，它的探测范围是以自身为球心，半径可调节的球，现已知质点运动轨迹的正方形四个顶点为（0，0）、（1，0）、（1，1）、（0，1），那么探测仪的探测半径最少要调到 （ ）A ．1B ．2C ．2D ．3 9．函数12sin 231)(3+-=x x x f 的图象（ ）A ．关于点（1，0）对称B ．关于点（-1，0）对称C ．关于点（0，1）对称D ．关于点（0，-1）对称10．ABC ∆内接于以O 为圆心，半径为1的圆，且543=++，则ABC ∆的面积为（ ）A ．1B ．65 C ．56 D ．23 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
武汉市2010届高中毕业生四月调研考试武汉市2010届高中毕业生四月调研考试一、（15分，每小题3分）1．下列词语中加点的字，每对的读音都不相同的一组是A．强迫/增强忌惮/殚精竭虑怙恶不悛/逡巡不前B．下载/装载吭声/沆瀣一气金瓯无缺/呕心沥血C．藤蔓/蔓延稂莠/书声琅琅泾渭分明/不胫而走D．纤维/纤绳稼穑/帆樯如林语无伦次/满腹经纶2．下列各组词语中，没有错别字的一组是A．清高流水账前倨后恭申张正义B．钟磬一锅端自行其是鸦雀无声C．融资水蒸汽食不果腹销声匿迹D．毗邻下脚料长吁短叹形迹可疑3．下列各项中，加点的词与使用不恰当的一项是A．蓄积的内在力量，像一把利剑，让他对世界对人生的体悟如此深入，以至他非写下它们不可。
B．新成立的歌德拍卖公司一鸣惊人，在举行的首次拍卖会上将齐白石的一件《花卉草虫》以2464万元成功拍出。
C．她对一系列角色的成功演绎，让观众看到她不但可以诠释好花旦角色，而且对青衣角色的把握也显得驾轻就熟。
D．《中外儿童科普精品书系》是从建国60年来产生较大影响的少儿科普读物精品中遴选出来的，它深受广大儿童的喜爱。
4．下列句子中，没有语病的一句是A．本来老人家那天还谈了很多往事，可惜的是，湖南语对我还是似懂非懂，现在想起来深觉遗憾。
B．对于饮食，当今年轻人更愿意选择快餐，但这种饮食习惯的改变，导致了多种疾病和严重发胖。
C．3月25日，被视为丹麦象征的小美人鱼铜像开始了远赴中国参加上海世博会的旅程。
D．历史经验告诉我们，中国能否实现民族复兴与和平崛起，与制定正确的对美战略息息相关。
5．下列句子中，标点符号使用正确的一句是A．本书以五条基本原则——生命价值、善良、公正、说实话和个人自由——构建了他的人道主义伦理学，为人们提供了贴近生活的道德指南。
B．如果说在这之前，武汉电视人是摸着石头过河，那么现在的则是如何有效利用自身的资源优势打造出具有时代印记的品牌节目？C．搜狐网教育频道开设了杨老师课堂，由杨老师向读者解读《让孩子学习上瘾的10个法则》（2006年11月出版，印刷3次，销量约2万册。
湖北省武汉市2017-2018学年高三四月调考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（5分）复数z=的实部与虚部之和为（）A．0B．C．1D．22．（5分）设全集U=R，集合M={x|y=lg（x2﹣1）|，N={x|0＜x＜2}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|x＜1}3．（5分）函数f（x）=|sin cos|的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π4．（5分）已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是（）A．62 B．63 C．64 D．655．（5分）若P：∃x0∈R，x02+2x0+3≤0，则P的否定￢P是（）A．∀x∈R，x2+2x+3＞0 B．∀x∈R，x2+2x+3≥0C．∀x∈R，x2+2x+3＜0 D．∀x∈R，x2+2x+3≤06．（5分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且的值是（）A．3B．C．D．17．（5分）先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知某产品连续4个月的广告费x i（千元）与销售额y i（万元）（i=1，2，3，4）满足，，若广告费用x和销售额y之间具有线性相关关系，且回归直线方程为=0.8x+a，那么广告费用为6千元时，可预测的销售额为（）A．3.5万元B．4.7万元C．4.9万元D．6.5万元9．（5分）已知直线kx﹣y=k﹣1与ky﹣x=2k的交点在第二象限，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，1）D．[1}10．（5分）过点A（﹣2，3）作抛物线：y2=4x的两条切线l1，l2，设l1，l2与y轴分别交于点B，C，则△ABC的外接圆方程为（）A．x2+y2﹣3x﹣2y+1=0 B．x2+y2﹣2x﹣3y+1=0C．x2+y2﹣3x﹣4=0 D．x2+y2+x﹣3y﹣2=0二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）11．（5分）不等式|x|+|x﹣1|＞3的解集为．12．（5分）若x、y满足，则z=x﹣y的最大值为．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=5，则输出的S等于14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为15．（5分）如图，正四棱锥O﹣ABCD的棱长均为1，点A、B、C、D在求O的表面上，延长CO交球面于点S，则四面体A﹣SOB的体积为．16．（5分）在各项均为正项的等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=31，=，则a3=．17．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若y=f2（x）﹣af（x）+a﹣1的零点个数是7个，则实数a的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分65分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S8=64．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：＞（n≥2，n∈N）19．（12分）已知△ABC的内角A、B、C的对边a，b，c，且满足bcos2A=a（2﹣sinAsinB），a+b=6．（Ⅰ）求a、b的值（Ⅱ）若cosB=，求△ABC的面积．20．（13分）如图，在四面体P﹣ABC中，底面ABC是边长为1的正三角形，PB=PC=，AB⊥BP．（Ⅰ）求证：PA⊥BC（Ⅱ）求点P到底面ABC的距离．21．（14分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax（a∈R）（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）当a≥2时，求函数y=|f（x）|在0≤x≤1上的最大值．22．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若A、B是椭圆C上的两动点，O为坐标原点，OA、OB的斜率分别为k1，k2，问是否存在非零常数λ，使k1•k2=λ时，△AOB的面积S为定值，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．湖北省武汉市2015届高三四月调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（5分）复数z=的实部与虚部之和为（）A．0B．C．1D．2考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．解答：解：复数z====，∴实部与虚部之和==1，故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题．2．（5分）设全集U=R，集合M={x|y=lg（x2﹣1）|，N={x|0＜x＜2}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|x＜1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：本题主要考查了集合间的运算，根据运算原则求解即可．解答：解：M={x|y=lg（x2﹣1）}={x|x＜﹣1或x＞1}，∴∁R M={x|﹣1≤x≤1}，∴（∁R M）∩N={x|0＜x≤1}，故选：B．点评：本题主要考查集合间的运算，属于基础题．3．（5分）函数f（x）=|sin cos|的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用二倍角的正弦公式可得函数的解析式为f（x）=|sinx|，再根据y=|Asin（ωx+φ）|的周期等于•，可得结论．解答：解：函数f（x）=|sin cos|=|sinx|的最小正周期是•=π，故选：C．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦公式，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，y=|Asin（ωx+φ）|的周期等于•，属于基础题．4．（5分）已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是（）A．62 B．63 C．64 D．65考点：众数、中位数、平均数；茎叶图．专题：计算题；图表型．分析：由茎叶图知甲的数据有12个，中位数是中间两个数字的平均数，乙的数据有13个，中位数是中间一个数字36，做出两个数字之和．解答：解：由茎叶图知甲的数据有12个，中位数是中间两个数字的平均数=27乙的数据有13个，中位数是中间一个数字36∴甲和乙两个人的中位数之和是27+36=63故选B．点评：本题考查茎叶图和中位数，本题解题的关键是先看出这组数据的个数，若个数是一个偶数，中位数是中间两个数字的平均数，若数字是奇数个，中位数是中间一个数字．5．（5分）若P：∃x0∈R，x02+2x0+3≤0，则P的否定￢P是（）A．∀x∈R，x2+2x+3＞0 B．∀x∈R，x2+2x+3≥0C．∀x∈R，x2+2x+3＜0 D．∀x∈R，x2+2x+3≤0考点：的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称的否定是全称写出结果即可．解答：解：因为特称的否定是全称，所以，若P：∃x0∈R，x02+2x0+3≤0，则P的否定￢P是：∀x∈R，x2+2x+3＞0．故选：A．点评：本题考查的否定，特称与全称的否定关系，基本知识的考查．6．（5分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且的值是（）A．3B．C．D．1考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据题中的向量等式可知AO是△ABC的边BC上的中线，可得△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．然后在等腰△ABO中利用余弦定理，算出∠AOB=120°，进而得到∠C=60°．最后结合向量数量积公式和△ABC的边长，即可得出•的值．解答：解：∵，∴AO是△ABC的边BC上的中线，∵O是△ABC外接圆的圆心∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形∵等腰△ABO中，||=||=1，=∴cos∠AOB==﹣，可得∠AOB=120°由此可得，∠B=30°，∠C=90°﹣30°=60°，且△ACO是边长为1的等边三角形∵Rt△ABC中，||=1，||=2∴•=||•||cos60°=1故选：D点评：本题给出三角形ABC外接圆心O，在已知AO是BC边的中线情况下求•的值．着重考查了直角三角形的性质、余弦之理和向量数量积运算公式等知识，属于中档题．7．（5分）先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意得出基本事件为（x，y），总共有6×6=36，列举两次朝上的点数之积为奇数事件求解个数，运用古典概率公式求解即可．解答：解：骰子的点数为：1，2，3，4，5，6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子，基本事件为（x，y），总共有6×6=36，两次朝上的点数之积为奇数事件为：A有（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），共有9个结果，∴两次朝上的点数之积为奇数的概率为P（A）==故选：C点评：本题考查了古典概率的求解，关键是求解基本事件的个数，运用列举的方法求解符合题意的事件的个数，属于中档题．8．（5分）已知某产品连续4个月的广告费x i（千元）与销售额y i（万元）（i=1，2，3，4）满足，，若广告费用x和销售额y之间具有线性相关关系，且回归直线方程为=0.8x+a，那么广告费用为6千元时，可预测的销售额为（）A．3.5万元B．4.7万元C．4.9万元D．6.5万元考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：求出样本中心点代入回归直线方程，可得a，再将x=6代入，即可得出结论．解答：解：由题意，=4.5，=3.5，代入=0.8x+a，可得3.5=0.8×4.5+a，所以a=﹣0.1，所以=0.8x﹣0.1，所以x=6时，=0.8×6﹣0.1=4.7，故选：B．点评：本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用回归方程恒过样本中心点是关键．9．（5分）已知直线kx﹣y=k﹣1与ky﹣x=2k的交点在第二象限，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，1）D．[1}考点：两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：联立，解得，解出即可．解答：解：联立，解得，解得．∴实数k的取值范围是．故选：A．点评：本题考查了直线的交点、不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）过点A（﹣2，3）作抛物线：y2=4x的两条切线l1，l2，设l1，l2与y轴分别交于点B，C，则△ABC的外接圆方程为（）A．x2+y2﹣3x﹣2y+1=0 B．x2+y2﹣2x﹣3y+1=0C．x2+y2﹣3x﹣4=0 D．x2+y2+x﹣3y﹣2=0考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接利用A的坐标满足圆的方程，判断求解即可．解答：解：由题意可知，△ABC的外接圆方程，A的坐标满足圆的方程，点A（﹣2，3）代入x2+y2﹣3x﹣2y+1=0，左侧=4+9+6﹣9+1=11≠0，不成立．所以A不正确；点A（﹣2，3）代入x2+y2﹣2x﹣3y+1=0，左侧=4+9+4﹣9+1=9≠0，不成立．所以B不正确；点A（﹣2，3）代入x2+y2﹣3x﹣4=0，左侧=4+9+6﹣4=15≠0，不成立．所以C不正确；点A（﹣2，3）代入x2+y2+x﹣3y﹣2=0，左侧=4+9﹣2﹣9﹣2=0，成立．所以D正确；故选：D．点评：本题考查直线与圆锥曲线的应用，圆的方程的求法，本题是选择题，方法独特，希望同学们掌握；如果直接求解方法是设出切线的斜率，利用直线与抛物线相切，求出k，然后求出三角形的顶点坐标，利用圆的一般方程求解．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）11．（5分）不等式|x|+|x﹣1|＞3的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由于|x|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和，而﹣1和2对应点到0、1对应点的距离之和等于3，由此求得不等式的解集．解答：解：由于|x|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和，而﹣1和2对应点到0、1对应点的距离之和等于3，故当x＜﹣1，或x＞2时，不等式|x|+|x﹣1|＞3成立．故不等式|x|+|x﹣1|＞3的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．12．（5分）若x、y满足，则z=x﹣y的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即C（1，0），化目标函数z=x﹣y为直线方程斜截式：，由图可知，当直线过点C时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值等于．故答案为：．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=5，则输出的S等于考点：程序框图．专题：图表型；三角函数的图像与性质．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，s的值，当n=5时，不满足条件n ＜p，退出循环，输出S的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得p=5，n=0，S=0满足条件n＜p，n=1，S=满足条件n＜p，n=2，S=满足条件n＜p，n=3，S=满足条件n＜p，n=4，S=满足条件n＜p，n=5，S=不满足条件n＜p，退出循环，输出S的值为．故答案为：．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的n，s的值是解题的关键，属于基本知识的考查．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为2π+2π+4考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一底面为半圆，高为2的半圆锥，结合图中数据，求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一底面为半圆，高为2的半圆锥，且底面半圆的半径为2；∴该半圆锥的表面积为S表面积=S半圆+S△+S侧面展开图=π•22+×4×2+××2π•2×=2π+4+2π．故答案为：2π+2π+4．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．15．（5分）如图，正四棱锥O﹣ABCD的棱长均为1，点A、B、C、D在求O的表面上，延长CO交球面于点S，则四面体A﹣SOB的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：假设AC与BD相交于点E，则BE⊥平面SAC，BE=．利用正方体的性质与勾股定理的逆定理可得OA⊥OC，利用四面体A﹣SOB的体积V=V B﹣SAO=BE•S△SAO．即可得出．解答：解：假设AC与BD相交于点E，则BE⊥平面SAC，BE=．连接SA，∵SC是直径，∴SA⊥AC，∵OA2+OC2=AC2=2，∴OA⊥OC，∴又S△SAO=S△OAC==．四面体A﹣SOB的体积V=V B﹣SAO=BE•S△SAO=×=．故答案为：．点评：本题考查了线面面面垂直的判定性质定理、正方形的性质、正四面体的性质、球的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）在各项均为正项的等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=31，=，则a3=4．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的首项和公比，由题意列式，整体运算得到，则a3可求．解答：解：设等比数列a n的公比为q，则{}也是等比数列，且公比为，依题意得：，两式作比得：，即，∵a n＞0，∴a3=4．故答案为：4．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．17．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若y=f2（x）﹣af（x）+a﹣1的零点个数是7个，则实数a的取值范围为（，2）．考点：根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：化简f2（x）﹣af（x）+a﹣1=0得f（x）=1或f（x）=a﹣1，作f（x）与y=1及y=a ﹣1的图象，由数形结合求解．解答：解：令f2（x）﹣af（x）+a﹣1=0得，f（x）=1或f（x）=a﹣1，作f（x）与y=1及y=a﹣1的图象如下，由图象知，y=1与f（x）的图象有三个交点，故y=a﹣1与f（x）有四个交点，f（2）=，则结合图象可得，＜a﹣1＜1，即＜a＜2；故答案为：（，2）．点评：本题考查了函数的零点与函数的交点的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分65分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S8=64．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：＞（n≥2，n∈N）考点：数列与不等式的综合；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，通过a3=5，S8=64可得首项和公差，计算即可；（2）通过（1）可知S n=n2，利用不等式的性质化简可得原成立，只需3n2＞1在n≥1时恒成立．解答：（1）解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，根据题意，可得，解得a1=1，d=2，∴数列{a n}的通项公式为：a n=2n﹣1；（2）证明：由（1）可知：S n=n2，要证：＞（n≥2，n∈N）恒成立，只需证：+＞，只需证：[（n+1）2+（n﹣1）2]n2＞2（n2﹣1）2，只需证：（n2+1）n2＞（n2﹣1）2，只需证：3n2＞1，而3n2＞1在n≥1时恒成立，且以上每步均可逆，从而：＞（n≥2，n∈N）恒成立．点评：本题考查等差数列的简单性质，利用不等式的性质进行化简是解决本题的关键，属于中档题．19．（12分）已知△ABC的内角A、B、C的对边a，b，c，且满足bcos2A=a（2﹣sinAsinB），a+b=6．（Ⅰ）求a、b的值（Ⅱ）若cosB=，求△ABC的面积．考点：正弦定理．分析：（I）由bcos2A=a（2﹣sinAsinB），可得sinBcos2A=sinA（2﹣sinAsinB），化为sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，与a+b=6联立解得a，b．（II）由cosB=，可得sinB=，可得sinA=，cosA=；sinC=sin （A+B）=sinAcosB+cosAsinB，利用S△ABC=即可得出．解答：解：（I）∵bcos2A=a（2﹣sinAsinB），∴sinBcos2A=sinA（2﹣sinAsinB），∴sinBcos2A+sin2AsinB=2sinA，∴sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，与a+b=6联立解得a=2，b=4．（II）∵cosB=，∴sinB==，∴sinA==cosA==；∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=，∴S△ABC===2．（II）由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，b=2a，c=，∴4a2=a2+7﹣=a2+7﹣2×，化为3a2+4a﹣7=0，解得a=1．∴b=2．∴a=1，b=2．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）如图，在四面体P﹣ABC中，底面ABC是边长为1的正三角形，PB=PC=，AB⊥BP．（Ⅰ）求证：PA⊥BC（Ⅱ）求点P到底面ABC的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取BC中点M，连结AM，PM，依题意可知AM⊥BC，PM⊥BC，从而BC⊥平面PAM，由此能证明PA⊥BC；（Ⅱ）过P作PH⊥AM，连接BH，证明PH⊥平面ABC，求出BH，即可求点P到底面ABC 的距离．解答：（Ⅰ）证明：取BC中点M，连结AM，PM，依题意底面ABC是边长为1的正三角形，PB=PC=，所以AM⊥BC，PM⊥BC，又AM∩PM=M，所以BC⊥平面PAM，又PA⊂平面PAM，所以PA⊥BC；（Ⅱ）解：因为BC⊥平面PAM，BC⊂平面ABC所以平面ABC⊥平面PAM，过P作PH⊥AM，连接BH，所以PH⊥平面ABC，所以PH⊥AB，因为AB⊥PB，PH∩PB=P，所以AB⊥平面PBH，所以AB⊥BH．在Rt△ABH中，∠BAH=30°，所以BH=，在Rt△PBH中，PB=，所以PH==，所以点P到底面ABC的距离为．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，正确作出点P到底面ABC的距离是解题的关键．21．（14分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax（a∈R）（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）当a≥2时，求函数y=|f（x）|在0≤x≤1上的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出函数的导数，讨论判别式小于或等于0，和大于0，令导数大于0，得增区间；令导数小于0，得减区间；（2）由（1）讨论当a≥3时，当2≤a＜3时，求得函数的单调区间，通过函数值的符号，去绝对值符号，即可得到最大值．解答：解：（1）函数f（x）=x3﹣3x2+ax的导数为f′（x）=3x2﹣6x+a，判别式△=36﹣12a，当△≤0时，即a≥3，f′（x）≥0恒成立，f（x）为增函数；当a＜3时，即△＞0，3x2﹣6x+a=0有两个实根，x1=1﹣，x2=1+，f′（x）＞0，可得x＞x2或x＜x1；f′（x）＜0，可得x1＜x＜x2．综上可得，a≥3时，f（x）的增区间为R；a＜3时，f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞），减区间为（1﹣，1+）．（2）由于y=|f（x）|的图象经过原点，当a≥3时，由（1）可得y=|f（x）|=f（x）在[0，1]递增，即有x=1处取得最大值，且为a﹣2；当2≤a＜3时，由（1）可得f（x）在[0，1﹣）递增，在（1﹣，1]递减，则f（x）在x=1﹣处取得最大值，且大于0，又f（0）=0，f（1）=a﹣2≥0，则y=|f（x）|=f（x）（0≤x≤1）的最大值即为f（1﹣）．综上可得，当a≥3时，函数y的最大值为a﹣2；当2≤a＜3时，函数y的最大值为f（1﹣）．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查分类讨论的思想方法和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．22．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若A、B是椭圆C上的两动点，O为坐标原点，OA、OB的斜率分别为k1，k2，问是否存在非零常数λ，使k1•k2=λ时，△AOB的面积S为定值，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过=、2b=2、a2=b2+c2，计算即得结论；（Ⅱ）设直线AB的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理、三角形面积计算公式、k1•k2=λ可得S△AOB的表达式，分析表达式、计算即可．解答：解：（Ⅰ）∵e==，2b=2，a2=b2+c2，∴a=2，b=1，∴椭圆C的方程为：+y2=1；（Ⅱ）结论：存在非零常数λ=﹣，使k1•k2=﹣时，△AOB的面积S为定值1．理由如下：设存在这样的常数λ，使k1•k2=λ时，S△AOB为定值．设直线AB的方程为：y=kx+m，且AB与+y2=1的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），∵k1•k2=λ，∴λx1x2﹣y1y2=0，∴﹣λx1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，∴（k2﹣λ）x1x2+km（x1+x2）+m2=0．将y=kx+m代入+y2=1，消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由韦达定理可得：x1+x2=，x1x2=，∴（k2﹣λ）x1x2+km（x1+x2）+m2=0可化为：m2=，∵点O到直线AB的距离为d=，∴S△AOB=•d•|AB|=•|x1﹣x2|•|m|=，∴==•，要使上式为定值，只需==，即只需（1+4λ）2=0，∴λ=﹣，此时=，即S△AOB=1，故存在非零常数λ=﹣，此时S△AOB=1．点评：本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
武汉市2019届高三4月调研测试数 学（文科）2019.4.19一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝Z ，集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，3}，则(∁U M )∩N ＝（A ）{－1} （B ）{3} （C ）{0，1} （D ）{－1，3} 2．下列命题中的假命题是（A ）∀x ＞0且x ≠1，都有x ＋1x＞2（B ）∀a ∈R ，直线ax ＋y －a ＝0恒过定点（1，0）（C ）∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)x m 2－4m ＋3是幂函数 （D ）∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数3．在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝（A ）－4 （B ）－6 （C ）－8 （D ）－104．函数y ＝12－x＋lg x 的定义域是（A ）（0，2] （B ）（0，2） （C ）（1，2） （D ）[1，2）5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1，x 2－4x ＋3，x ＞1。
则函数y ＝f (x )－log 2x 的零点的个数是（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）127．已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (0)＝（A ）－12（B ）－1 （C ）－32（D ）－ 38．设O 为△ABC 所在平面内一点．若实数x 、y 、z 满足x →OA ＋y →OB ＋z →OC ＝0（x 2＋y 2＋z 2≠0），则“xyz ＝0”是“点O 在△ABC 的边所在直线上”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 9．已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不全为0），两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），若(Ax 1＋By 1＋C )( Ax 2＋By 2＋C )＞0，且|Ax 1＋By 1＋C |＜|Ax 2＋By 2＋C |，则直线l （A ）与直线P 1P 2不相交 （B ）与线段P 2P 1的延长线相交 （C ）与线段P 1P 2的延长线相交 （D ）与线段P 1P 2相交10．已知圆M ：x 2＋y 2－8x －6y ＝0，过圆M 内定点P （1，2）作两条相互垂直的弦AC 和BD ，则四边形ABCD 面积的最大值为（A ）2015 （B ）16 6 （C ）515 （D ）40二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．若复数z 满足(2－i)z ＝1＋i （i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点的坐标为 ． 12．设F1、F 2是双曲线x 216－y 220＝1的两焦点，点P 在双曲线上．若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离等于 ．13．已知某程序框图如图所示，若分别输入的x 的值为0，1，2，执行该程序后，输出的y 的值分别为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝ ．14．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s 1、s 2、s 3，则它们的大小关系为 ．（用“＞”连接）15．若不等式x 2－kx ＋k －1＞0对x ∈（1，2）恒成立，则实数k 的取值范围是 ．16．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S -ABC 的体积为 ．17．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及实数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )，这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c －a ）是（b －c ）和（b －a ）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于 ．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知B ＝60°，cos(B ＋C )＝－1114．（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若a ＝5，求△ABC 的面积． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点．已知PD ＝2，CD ＝4，AD ＝3．（Ⅰ）若∠ADE ＝π6，求证：CE ⊥平面PDE ；（Ⅱ）当点A 到平面PDE 的距离为2217时，求三棱锥A -PDE的侧面积． 20．（本小题满分13分）某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率． 21．（本小题满分14分）设a ∈R ，函数f (x )＝ln x －ax ．（Ⅰ）讨论函数f (x )的单调区间和极值；（Ⅱ）已知x 1＝e （e 为自然对数的底数）和x 2是函数f (x )的两个不同的零点，求a 的值并证明：x 2＞e 23． 22．（本小题满分14分）已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为23，半焦距为c （c ＞0），且a －c ＝1．经过椭圆的左焦点F ，斜率为k 1（k 1≠0）的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）当k 1＝1时，求S △AOB 的值； （Ⅲ）设R （1，0），延长AR ，BR 分别与椭圆交于C ，D 两点，直线CD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值．武汉市2019届高三4月调研测试 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，满分50分．1．B 2．D 3．B 4．D 5．B 6．A 7．B 8．C 9．B 10．D 二、填空题：每小题5分，满分35分．11．（15，35） 12．17 13．6 14．s 1＞s 2＞s 3 15．（－∞，2]16．433 17．5－12令球心为O ，因为SC 是直径，所以SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，则AO=BO=SC/2=2=AB ，AO ⊥SC ，BO ⊥SC所以AOB 为正三角形，则点A 到BO 的距离=√3， 因为AO ⊥SC ，BO ⊥SC 所以SC ⊥面AOB ，所以点A 到平面SBC 的距离h=点A 到BO 的距离=√3，所以棱锥S-ABC 的体积=S△SBC*h/3=SC*BO*h/6=4√3／3三、解答题：本大题共5小题，共65分． 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）在△ABC 中，由cos(B ＋C )＝－1114，得sin(B ＋C )＝1－cos 2(B ＋C )＝1－(－1114)2＝5314，∴cos C ＝cos[(B ＋C )－B ]＝cos(B ＋C ) cos B ＋sin(B ＋C ) sin B＝－1114×12＋5314×32＝17．…………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），得sin C ＝1－cos 2C ＝1－(17)2＝437，sin A ＝sin(B ＋C )＝5314．在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得5 5314＝c 437，∴ c ＝8， 故△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝103．…………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在Rt △DAE 中，AD ＝3，∠ADE ＝π6，∴AE ＝AD ·tan ∠ADE ＝3·33＝1． 又AB ＝CD ＝4，∴BE ＝3．在Rt △EBC 中，BC ＝AD ＝3，∴tan ∠CEB ＝BC BE ＝33，∴∠CEB ＝π6．又∠AED ＝π3，∴∠DEC ＝π2，即CE ⊥DE ．∵PD ⊥底面ABCD ，CE ⊂底面ABCD ，∴PD ⊥CE ．∴CE ⊥平面PDE ．……………………………………………………………（6分） （Ⅱ）∵PD ⊥底面ABCD ，PD ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面ABCD ．如图，过A 作AF ⊥DE 于F ，∴AF ⊥平面PDE ，∴AF 就是点A 到平面PDE 的距离，即AF ＝2217．在Rt △DAE 中，由AD ·AE ＝AF ·DE ，得 3AE ＝2217·3＋AE 2，解得AE ＝2．∴S △APD ＝12PD ·AD ＝12×2×3＝62，S △ADE ＝12AD ·AE ＝12×3×2＝3，∵BA ⊥AD ，BA ⊥PD ，∴BA ⊥平面P AD ，∵P A 平面P AD ，∴BA ⊥P A ．在Rt △P AE 中，AE ＝2，P A ＝PD 2＋AD 2＝2＋3＝5，∴S △APE ＝12P A ·AE ＝12×5×2＝5．∴三棱锥A -PDE 的侧面积S 侧＝62＋3＋5．…………………………（12分） 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由频率分布表可知，样本容量为n ，由2n＝0.04，得n ＝50．∴x ＝2550＝0.5，y ＝50－3－6－25－2＝14，z ＝y n ＝1450＝0.28．……………（6分）（Ⅱ）记样本中视力在（3.9，4.2]的3人为a ，b ，c ，在（5.1，5.4]的2人为d ，e ． 由题意，从5人中随机抽取两人，所有可能的结果有：{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，e }，{b ，c }，{b ，d }，{b ，e }，{c ，d }，{c ，e }，{d ，e }，共10种． 设事件A 表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A 包含的可能的结果有：{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{d ，e }，共4种．∴P (A )＝410＝25．故两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为25．…………………………（13分）21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）函数f (x )的定义域为（0，＋∞）．求导数，得f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x．①若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )是（0，＋∞）上的增函数，无极值； ②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝1a．当x ∈（0，1a ）时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数；当x ∈（1a，＋∞）时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．∴当x ＝1a 时，f (x )有极大值，极大值为f (1a )＝ln 1a－1＝－ln a －1．综上所述，当a ≤0时，f (x )的递增区间为（0，＋∞），无极值；当a ＞0时，f (x )的递增区间为（0，1a ），递减区间为（1a，＋∞），极大值为－ln a －1．…（8分）（Ⅱ）∵x 1＝e 是函数f (x )的零点，∴f (e )＝0，即12－a e ＝0，解得a ＝12e ＝e2e ．∴f (x )＝ln x －12ex ．∵f (e 23)＝32－e 2＞0，f (e 25)＝52－e22＜0，∴f (e 23)f (e 25)＜0．由（Ⅰ）知，函数f (x )在（2e ，＋∞）上单调递减，∴函数f (x )在区间（e 23，e 25）上有唯一零点，因此x 2＞e 23．………………………………………………………………（14分）22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝23，a －c ＝1。
