《信号与线性系统分析》报告—抽样定理
专业：电子信息工程
班级：1022
姓名：裴宝
学号：1030106211
指导教师：朱音
2012年10月25日
实验三抽样定理
一、实验目的
1．了解电信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。
2．验证抽样定理。
二、原理说明
1．离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号抽样而得。抽样信号f s(t)可以看成连续信号f (t)和一组开关函数s (t)的乘积。s (t)是一组周期性窄脉冲，见实验图3-1，T s称为抽样周期，其倒数f s=1/ T S称抽样频率。
s (t)：
图3-1 矩形抽样脉冲
对抽样信号进行傅里叶分析可知，抽样信号的频谱包括了原连续信号的频谱以及无限个经过平移的原信号的频谱，平移的间隔等于抽样频率f s及其整数倍频率2f s、3 f s······。当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频谱幅度按(sinx)/x 规律衰减。抽样信号的频谱是原信号频谱的周期延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。
2．正如测得了足够的实验数据以后，我们可以在坐标纸上把一系列数据点连起来，得到一条光滑的曲线一样，抽样信号在一定条件下也可以恢复到原信号。只要用一个截止频率等于原信号频谱中最高频率f m 的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出可以得到恢复后的原信号。
3．但原信号得以恢复的条件是f s≥2f m，其中f s 为抽样频率，f m为原信号中包含的最高频率分量。而f min＝2 f m为最低抽样频率又称“奈奎斯特抽样率”。当f s＜2 f m时，抽样信号的频谱会发生混迭。在发生混迭后的频谱中，我们无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。在实际使用中，仅包含有限频率的信号是极少的，因此即使f s ＝2 f m，恢复后的信号失真还是难免的。图3-2 画出了当抽样频率f s ＞2 f m（不混叠时）及f s ＜2 f m（混叠时）两种情况下冲激抽样信号的频谱。
（a）连续信号的频谱
（b）高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）
（c）低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）
图3-2 冲激抽样信号的频谱
实验中选用f s ＜2 f m、f s ＝2 f m、f s ＞2 f m三种抽样频率对连续信号进行抽样，以验证抽样定理——要使信号采样后能不失真地还原，抽样频率f s必须大于信号频率中最高频率的两倍。
4．为了实现对连续信号的抽样和抽样信号的复原，可用实验原理框图3-3 的方案。除选用足够高的抽样频率外，常采用前置低通滤波器来防止原信号频谱过宽而造成抽样后信号频谱的混迭。但这也会造成失真。如实验选用的信号频带较窄，则可不设前置低通滤波器。本实验就是如此。
图3-3 抽样定理实验方框图
三、实验内容
用simulink仿真验证抽样定理。输入信号为一频率为10Hz的正弦波。
1. 观察对于同一输入信号有不同的抽样频率(f s ＜2 f m、f s ＝2 f m、f s ＞2 f m)时，恢复信号的不同形态。f s可分别选取为10Hz,20Hz和30Hz。观察恢复信号与输入信号之间的区别并说明原因。
fs=10Hz
fs=20Hz
fs=30Hz
分析：
f(t)=cos2π•10t
∞
δTs(t)= ∑δ(t-nTs) fs=10Hz
n=-∞
∞
fs(t)=f(t)s(t)=f(t) ·δTs(t)= ∑f(nTs) ·δ(t-nTs)
n=-∞
∞
Fs(jω)=1/Ts ∑ [j(ω-nωs) ]
n=-∞
Y(jω)=Fs(jω)·H(jω)
（1）fs=10Hz
δTs(t)= ∑δ(t-1/10n)
n=-∞
∞
fs(t)=f(t)s(t)=f(t) ·δTs(t)= ∑f(1/10n ) ·δ(t-1/10n)
n=-∞
∞
Fs(jω)=1/Ts ∑ [j(ω-20πn) ]
n=-∞
Y(jω)=Fs(jω)·H(jω)
（2）fs=20Hz
δTs(t)= ∑δ(t-1/20n)
n=-∞
∞
fs(t)=f(t)s(t)=f(t) ·δTs(t)= ∑f(1/20n ) ·δ(t-1/20n)
n=-∞
∞
Fs(jω)=1/Ts ∑ [j(ω-40πn) ]
n=-∞
Y(jω)=Fs(jω)·H(jω)
（3）fs=30Hz
δTs(t)= ∑δ(t-1/30n)
n=-∞
∞
fs(t)=f(t)s(t)=f(t) ·δTs(t)= ∑f(1/30n ) ·δ(t-1/30n)
n=-∞
∞
Fs(jω)=1/Ts ∑ [j(ω-60πn) ]
n=-∞
Y(jω)=Fs(jω)·H(jω)
输入信号为一频率为10Hz的正弦波时，即fm=10HZ。当取fs=10Hz时，此时fs<2fm,对于频谱函数而言，也就是ωs>2ωm由抽样信号fs(t)的频谱可以看出，频移后的各相邻频谱相互重叠，并且无法将它们分开，从而也就无法恢复成原来信号，即恢复信号与输入信号相差很大。当fs=20Hz时，此时fs=2fm,对于频谱函数，即ωs=2ωm由抽样信号fs(t)的频谱可以看出，频移后的各相邻频谱没有相互重叠，恢复信号可以比较准确的恢复到原来的信号。
