福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷(一)数学(理)试题

ABCDA B C D 1111E三明一中2018届高三5月份周考(理科)数学试卷 第Ⅰ卷（满分60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集为R ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=1122x x xA ，{})32lg(2--==x x y x B ，则)()(B C A C R RA ．RB ．ΦC ．{}1-D ．}1|{R x x x ∈-≠且 2.如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱1BB 的中点，用过点1C E A 、、的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的侧视图（也称左视图）是A. B C. D 3.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为22，则输入的a 的值 不．可．能．为 A. 10 B.11 C.12 D. 13 4.《九章算术》中有如下问题：“今有勾6尺，股8尺，以股轴，绕 周得体，问：中容一球，极积几何？ ”其大意是：“已知直角三角形 两直角边长分别为6尺和8尺，问以8尺长的直角边所在直线为轴， A.π9 B.π36 C.π54 D.π725.已知实数x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥012242y x y x x ，则目标函数||3y x z += 的最大值为A.352B.14C.12D.8 6.从5双不同的鞋子中任取4只，则恰有两只成双的概率为 A.72 B.73 C.74 D.757.设抛物线)0(22>=p py x 的焦点为F ，过点F 作斜率为2的直线l与抛物线相交于B A 、两点，且点P 恰为AB 的中点，过点P 作x 轴的 垂线与抛物线交于点M ,若6||=MF ,则p 的值为A.1B.2C.3D.48.已知παπα<<=+053)4sin(，且，则⎰=αsin xdxA.10271-B.1021+ C.102110271+-或 D.102110271-+或 9.已知等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，24CD AB ==，32π=∠A ，向量a ，b 满足2AD a = ，2BC a b =+，则下列结论正确是A.与的夹角为3π B.)-(与的夹角为6πC.)(+⊥D.2||=+ 10.已知函数)00)(cos()sin(3)(<>+++=ϕωϕωϕω，x x x f 为偶函数，且在]4,0[π上是增函数，则ϕω+的最大值为 A.35-8π B.35-4π C.32-4πD.3-4π11.已知圆C 的圆心在双曲线E ：)30(12222a b bya x ≤<=-的右支上，圆C 过双曲线E 的右焦点F ，且与直线)(22b a c c x +=-=相切，若圆C 截x 轴所得弦长为c ，则双曲线E 的离心率为A.5B.2C.3D.2 12.已知定义在）+∞,0[上的函数)(x f 对任意),2[+∞∈πx ，都有)2(21)(π-=x f x f 成立，当[0,2)x π∈时,x x f sin 8)(=.问在关于x 的方程1ln +=-ax x xe x 有解，且函数a x f x g -=)()(的零点个数最多的条件下，函数)(x g 的所有零点之和为A.π13B.π15C.π19D.432π 第Ⅱ卷（满分90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

【全国百强校】福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷（一）数学（理）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 设集合，，则A．B．C．D．2. 若复数满足（为虚数单位），为的共轭复数，则（）A．B．C．D．3. 已知矩形中，.如果向该矩形内随机投一点，那么使得与的面积都不小于的概率为（）A．B．C．D．4. 已知函数为定义在上的偶函数，且在单调递减，则的解集为（）A．B．C．D．5. 已知双曲线的离心率为，则实数的值为( ) A．B．C．或D．6. 等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则A．B．C．D．7. 执行如图所示的程序框图，若输入m=1,n=3，输出的x=1.75，则空白判断框内应填的条件为（）A．B．C．D．8. 将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（）A．B．C．D．9. 在的展开式中，含项的系数是A．119 B．120 C．121 D．72010. 我国古代数学名著九章算术记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈刍，草也；甍，屋盖也”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形则它的体积为A．B．160C．D．6411. 已知椭圆C：，直线l：与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C在直线l上，则“轴”是“直线AC过线段EF中点”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12. 下列命题为真命题的个数是（）①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13. 平面向量与的夹角为，，，则______．14. 已知实数满足约束条件，且的最小值为，则常数__________．15. 考虑函数与函数的图象关系，计算：______．16. 如图所示，在平面四边形中，，，为正三角形，则面积的最大值为__________．三、解答题17. 若数列的前n项和为，首项且.（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前n项和.18. 如图，四边形与均为菱形，，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19. 某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费为此，政府调查了100户居民的月平均用电量单位：度，以，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图的数据，求直方图中x的值并估计该市每户居民月平均用电量的值；用频率估计概率，利用的结果，假设该市每户居民月平均用电量X服从正态分布估计该市居民月平均用电量介于度之间的概率；利用的结论，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于度之间的户数为，求的分布列及数学期望．20. 如图所示，圆O：，，，D为圆O上任意一点，过D作圆O的切线分别交直线和于E，F两点，连AF，BE交于点G，若点G形成的轨迹为曲线C．记AF，BE斜率分别为，，求的值并求曲线C的方程；设直线l：与曲线C有两个不同的交点P，Q，与直线交于点S，与直线交于点T，求的面积与面积的比值的最大值及取得最大值时m的值．21. 已知函数．当时，讨论函数的单调性；求函数在区间上零点的个数．22. 已知直线l的参数方程为为参数，，曲线C的极坐标方程为．分别将直线l的参数方程和曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；若直线l经过点，求直线l被曲线C截得线段的长．23. 已知函数（1）解不等式；（2）若方程在区间有解，求实数的取值范围.。

三明一中2017-2018学年第一学期第一次月考考试高三理科数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上． 1．已集合{}1A x x =<，{}lg B x y x ==，则（ ）.A ．{}01AB x x =<< B ．{}1A B x x =< C ．A B B = D ．A B =∅ 2．已知53cos 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 2α=（ ）. A ．725-B ．725C ．35-D ．353．函数()ln f x ex x =-在1x =处的切线方程为（ ）.A ．()110e x y ---=B ．()110e x y --+=C ．()110e x y ---=D ．()110e x y --+= 4． “αβ≠”是“sin sin αβ≠”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()26log f x x x=-，则一定包含()f x 零点的区间是（ ）. A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,4 D ．()4,+∞ 6．已知函数()sin(2)3f x x π=+，下列说法正确的是（ ）.A ．关于直线512x π=-对称 B ．关于点(,0)12π对称 C ．()f x 是定义在R 上的奇函数 D ．最小正周期为2π 7．下列函数中，图象的一部分如右图所示的是( ).A ．sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭8．已知1sin 44πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）. A ．78-B ．78 C．D9．已知0,0a b >>，4a b +=，则4a by ab+=的最小值为（ ）. A ．52 B ．54 C ．92 D ．9410．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若2cos22B a cc+=，则ABC ∆的形状为（ ）.A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形11．设,x y 满足约束条件4805010x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，若目标函数()0z ax y a =+>的最大值为6，则a 的值为（ ）.A ．3B ．2C ．54 D ．54或2 12．已知对任意的1x >，()3ln 1kf x x k x=++-大于零恒成立，若k Z ∈，则k 的最大值为（ ）.A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上． 13．(11x dx -=⎰．14．已知tan 2α=，则sin cos sin cos αααα+=- ．15．已知函数()323f x x ax =--在区间[]1,2上是单调函数，则实数a 的取值范围为 ．16．在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南θ方向300km 的海面P 处，并以20/km h 的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并且以10/km h 的速度不断增大，问该城市受台风侵袭的时间共 小时.()4cos 455θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭其中：三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分） 已知,αβ均为锐角，且()31sin ,tan 53ααβ=-=-. （Ⅰ）分别求()sin αβ-及()cos αβ-的值； （Ⅱ）求sin β的值.18.（本小题满分12分）已知函数()sin 2cos 22sin cos 36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[]0,π上的单调递减区间.19.（本小题满分12分） 已知函数()2421x x f x a =⋅--. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()0f x ≥；（Ⅱ）当[]0,1x ∈时，关于x 的方程()0f x =有解，求a 的取值范围.20.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，3B π=,AC =D 为BC 边上一点.（Ⅰ）2AD =,DAC S ∆=DC 的长； （Ⅱ）若AB AD =，求ADC ∆的周长的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()21xf x e x ax =---.（Ⅰ）当0a =时，求证()0f x ≥；（Ⅱ）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围; （III ）若0x >，证明()()21ln 1x e x x -+>.注意：请考生在22、23题两题中任选一道．．．．题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是48cos 4sin 0ρθθρ-++=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴x 轴为正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy ，直线l 经过()5,2P -,倾斜角3πα=.（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）设l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，（Ⅰ）若2a =，不等式()1f x c x ≥--对任意的x R ∈恒成立，求实数c 的取值范围；（Ⅱ）若()1f x ≤的解集为[]2,4，且()20,0m n a m n +=>>，求224m n +的最小值.三明一中2017-2018学年（上）第一次月考高三理科数学试卷参考答案一、选择题：每小题5分，共60分．二、填空题：每小题5分，共20分. 13.2π14. 3 15.____362a a a ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或_____; 16.___12___.三、解答题：第17题10分，第18-22题，每题12分. 17.解：（Ⅰ）因为0,022ππαβ<<<<，所以22ππαβ-<-<，又因为()1tan 03αβ-=-<，所以02παβ-<-<，………2分()()sin 0,cos 0αβαβ-<-> (3)分所以()()()()()22sin 1tan cos 3sin cos 1αβαβαβαβαβ⎧--==-⎪-⎨⎪-+-=⎩， 得()sin 10αβ-=-，()cos 10αβ-=. ………8分 （Ⅱ）因为α为锐角，所以4cos 5α=. ………9分()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=---⎡⎤⎣⎦ (10)分3451051050=⨯+⨯=. ………12分18.解： 解：（Ⅰ）()11sin 222sin 2sin 222f x x x x x x =+--()12sin 22cos 2sin 222f x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos sin 2sin 2cos 2666x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………3分所以函数()f x 的最小正周期为π， ………4分 令2,6x k k Z ππ+=∈,得函数()f x 的对称轴方程为,122k x k Z ππ=-+∈. …6分 （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位后所得图象的解析式为2cos 22cos 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()12cos 22cos 233g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ………9分 令223k x k ππππ≤+≤+，所以22233k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈ 又[]0,x π∈，所以()y g x =在[]0,π上的的单调递减区间为20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………12分 19.解： ()()22221x x f x a =⋅--,（Ⅰ）当1a =时，()0f x ≥，即()222210x x ⋅--≥，所以()()212220x x -⋅+≥，又20x>，所以21x ≥，即0x ≥. ………4分所以原不等式解集为{}0x x ≥. ………5分 （Ⅱ）()()222210x x f x a =⋅--=,即()22221x x a ⋅=+，所以()2221112222xxxx a ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ………7分 设11122x t t ⎛⎫⎛⎫=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221124g t t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， ………9分当112t ≤≤时()2g t t t =+是增函数，所以()324g t ≤≤， 所以3224a ≤≤，即318a ≤≤. a 的取值范围为318a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. ………12分20.解：（Ⅰ）因为DAC S ∆=，所以1sin 2AD AC DAC ⋅⋅∠=,所以1sin 2DAC ∠=. 又因为2033DAC BAC πππ<∠<∠<-=,所以6DAC π∠=. ………3分 在ADC ∆中，由余弦定理得2222cos DC AD AC AD AC DAC =+-⋅⋅∠,所以24482228DC =+-⨯⋅=，所以DC = ………6分 （Ⅱ）法一：因为AB AD =，3B π=，所以ABD ∆是正三角形. (7)分在ADC ∆中，根据正弦定理得sin sin sin 33AD DCC C π==⎛⎫- ⎪⎝⎭, 所以8sin AD C =,8sin 3DC C π⎛⎫=-⎪⎝⎭, ………8分 所以ADC ∆的周长为8sin 8sin 3AD DC AC C C π⎛⎫++=+-+⎪⎝⎭18sin sin 2C C C ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭18sin cos 22C C ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭8sin 3C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ………10分因为23ADC π∠=，所以2333C πππ<+<,所以当32C ππ+=即6C π=时，ADC ∆的周长最大，最大为8+ (12)分法二：因为AB AD =，3B π=，所以ABD ∆是正三角形. (7)分所以在在ADC ∆中，设AD m =，DC n =，0,0m n >>,由余弦定理得2222cos AC AD AC AD DC ADC =+-⋅⋅∠, ………9分即222482cos3m n mn π=+-⋅，即()248m n mn =+-， 又因为()24m n mn +≤，所以()248m n mn =+-()()()222344m n m n m n ++≥+-=， 所以()264m n +≤，即8m n +≤，当且仅当4m n ==时等号成立， ………11分所以ADC ∆的周长为8m n +++即当4AD DC ==时，ADC ∆的周长最大，最大为8+ ………12分21.解： （Ⅰ）当0a =时，()1xf x e x =--，()1xf x e '=-. ……………1分当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增.2分所以()()0010f x f e ≥=-=，即()0f x ≥. (3)分（Ⅱ）()21xf x e x ax =---，()12x f x e ax '=--，()2xf x e a ''=-，①当21a ≤即12a ≤时，因为0x ≥，所以()20xf x e a ''=-≥，所以()12x f x e ax '=--在[)0,+∞上是增函数.又()00f '=，所以()0f x '≥，所以()21x f x e x ax =---在[)0,+∞上是增函数.所以()()2100x f x e x ax f =---≥=，即()0f x ≥恒成立. ……5分②当21a >即12a >时,令()20xf x e a ''=-=，ln 2x a =， 当()0,ln 2x a ∈，()0f x ''<，所以()f x '是减函数，()()00f x f ''<=，所以()f x 在()0,ln 2a 是减函数.所以()()00f x f <=，与()0f x ≥恒成立矛盾，舍去.综合①②可知，实数a 的取值范围12a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭. ……………7分（III ）由（2）得，当12a =时，2112x e x x -≥+， 当0x >时，()ln 10x +>,所以要证()()21ln 1x e x x -+>，只需证()221ln 12x x x x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭, 只需证()()2ln 120x x x ++-> . ……………8分设()()()2ln 12h x x x x =++-（0x >），()()()21ln 12ln 1111x h x x x x x +'=++-=++-++， ……………9分 ()()()22110111x h x x x x ''=-=>+++，所以()h x '在()0,+∞上是增函数， 所以()()00h x h ''>=，所以()()()2ln 12h x x x x =++-在()0,+∞上是增函数， 所以()()()()2ln 1200h x x x x h =++->=，即()()2ln 120x x x ++->成立. 所以当0x >，()()21ln 1x e x x -+>成立. ……………12分22.解：（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程是48cos 4sin 0ρθθρ-++=，即28cos 4sin 40ρρθρθ-++=， ……………1分 由cos ,sin x y ρθρθ==可得，即228440x y x y +-++=，即曲线C 的直角坐标方程()()224216x y -++=. …3分 直线l的参数方程为1522x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）. ……………5分（Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的直线坐标方程，整理得2150t t +-=. ………6分21415610∆=+⨯=>,则121t t +=-，1215t t ⋅=-， ……………8分 所以12AB t t ∴=-. ……………10分 23.解：（Ⅰ）因为2x -1c x ≥--，所以21x x c -+-≥，所以2121211x x x x -+-≥--+=-=，所以c 的取值范围为{}1c c ≤; ……………5分 （Ⅱ）因为1x a -≤，所以11a x a -≤≤+，所以1213a a -=⎧⎨+=⎩，即3a =， ……6分 所以23m n +=，所以()()()222222211941142222m n m n m n +=++≥+=， 当且仅当322m n ==即33,24m n ==时等号成立. ……………9分 所以224m n +的最小值为92. ……………10分。

⎨ ⎩ 三明一中 2017—2018 学年第二学期入学考试高三理科数学试题（考试时间：120 分钟 满分：150 分）第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．z 1 1．若复数 z 1 , z 2 在复平面内对应的点关于 x 轴对称，且 z 1 = 1 + 2i ，则z 2= （ ）A. - 4 + 3i5 5B. - 3 + 4i5 5C. - 1 + 3i2 2D. - 1 - 3i2 22．设集合 A = {( x , y ) | x2y 2+= 1} ，B = {(x , y ) | y = 3x } ，则 A B 的子集的个数是（ ） 4 16A. 2B. 4C. 8D. 16⎧ x ≥ 03．若实数 x , y 满足约束条件 ⎪ y ≥ 0 ⎪2x + y ≤ 2，则 z = x - 2 y 的最大值是（ ）A. 2B. 1C. 0D. 44．小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时 小王都将笔和笔帽套在一起，但偶尔会将笔和笔帽搭配成不同色.将笔和笔帽随机套在一起，请 问小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是（ ）A. 16B. 13C. 12D. 565．已知 O 是 ∆ABC 所在平面内一点， D 为 BC 边中点，且 2OA + OB + OC = 0 ，那么（）A. AO = ODB. AO = 2ODC. AO = 3ODD. 2 A O = OD6．已知 f (x ) = sin (ωx +ϕ) (ω> 0, -π< ϕ< 0) 的最小正周期是 x ，将 f ( x ) 图象向左平移 π个 3单位长度后所得的函数图象过点 P (0,1) ，则 f ( x ) = sin (ωx +ϕ) （）A. 在区间 ⎡- π, π⎤上单调递减⎣⎢6 3 ⎥⎦B. 在区间 ⎡- π, π⎤上单调递增⎣⎢6 3 ⎥⎦C. 在区间 ⎡- π, π⎤上单调递减⎣⎢3 6 ⎥⎦D. 在区间 ⎡- π, π⎤上单调递增⎣⎢3 6 ⎥⎦7．按下图所示的程序框图，若输入 a = 110011 ，则输出的 b = （ ） A. 45B. 47C. 49D. 518．设 a = 20.3, b = 0.32, c = log( x 2 + 0.3)( x > 1) ，则a ,b ,c 的大小关系是（ ）A. a < b < c C. b < a < cB. c < b < a D. b < c < a9．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为 a ，则该三棱锥 的表面积为（ ）A. a22a26D. 210．已知 y 2 = 4x 抛物线，焦点记为 F ，过点 F 作直线 l 交抛物线于 A , B 两点，则 AF -2 的BF最小值为（ ）A. 2B. 56 C. 3 -D. - 211．2000 多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯((Apollonius)发现：平面截 圆锥的截口曲线是圆锥曲线.已知圆锥的高为 PH ， AB 为地面直径，顶角为 2θ，那么不过顶点 P 的平面；与 PH 夹角π > a > θ时，截口曲线为椭2圆；与 PH 夹角 a =θ时，截口曲线为抛物线；与 PH 夹角θ> a > 0 时， 截口曲线为双曲线.如图，底面内的直线 AM ⊥ AB ，过 AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆， 其中与 PB 的交点为C ，可知 AC 为长轴.那么当 C 在线段 PB 上运动时，截口曲线的短轴顶点 的轨迹为（）A. 圆的部分B. 椭圆的部分C. 双曲线的部分D. 抛物线的部分0 0⎨ ⎬n n12．设曲线 f ( x ) = -e x - x （ e 为自然对数的底数）上任意一点的切线为 l ，总存在曲线g ( x ) = 3ax + 2cos x 上某点处切线 l 2 ，使得 l 1 ⊥ l 2 ，则实数 a 的取值范围为（ ）A. [-1, 2]B. [3, +∞]C. ⎡- 2 ,1 ⎤D. ⎡- 1 ,2 ⎤⎣⎢ 3 3 ⎥⎦⎣⎢ 3 3 ⎥⎦第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题中，每小题 5 分，共 20 分.请把答案写在答题卷相应位置上．13． ⎛ x 2 - 1 + 3 ⎫的展开式中常数项是．x ⎪ ⎝⎭ 14．从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一 天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期 不相邻，那么不同的安排种数为 ．（用数字作答） 15．下列共用四个命题.（1）命题“ ∃x 0 ∈ R ， x 2+ 1 > 3x ”的否定是“ ∀x ∈ R ， x 2 + 1 < 3x ”；（2）在回归分析中，相关指数 R 2 为 0.96 的模型比 R 2 为 0.84 的模型拟合效果好；（3） a , b ∈ R ，p : a < b ， 1 < 1 < 0 ，则 p 是 q 的充分不必要条件；b a（4）已知幂函数 f ( x ) = (m 2 - 3m + 3)x m 为偶函数，则 f (-2) = 4 . 其中正确的序号为．（写出所有正确命题的序号）n16．已知 a n =⎰ ( 2x + 1) d x ， (n ∈ N *) ，数列 ⎧ 1 ⎫的前 n 项和为 S ，数列{b } 的通项公式为 ⎩ a n ⎭b n = n - 8 ，则 b n S n 的最小值为．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）四边形 ABCD 如图所示，已知 AB = BC = CD = 2 ， AD =A - cos C 的值；22（Ⅱ）记 ∆ABD 与 ∆BCD 的面积分别是 S 1 与 S 2 ，求 S 1 + S 2的最大值.18．（本小题满分12 分）18．为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后，得到如下的2 ⨯ 2 列联表：中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（Ⅱ）（ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；（ⅱ）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.附：K 2 =n(ad-bc)(a +b)(c +d )(a +c)(b +d )19．（本小题满分 12 分）( )如图所示，四棱锥 P - ABCD 的底面是梯形，且 AB / /CD , AB ⊥ 平面 PAD ， E 是 PB 中1 点， CD = PD = AD =AB ．2（Ⅰ）求证： CE ⊥ 平面 PAB ；（Ⅱ）若 CE 所成角的大小．，AB = 4 ，求直线 CE 与平面 PDC20．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动点 S 到点 F (1, 0) 的距离与到直线 x = 2 的距离的比值为.2（Ⅰ）求动点 S 的轨迹 E 的方程；（Ⅱ）过点 F 作与 x 轴不垂直的直线 l 交轨迹 E 于 P ， Q 两点，在线段 OF 上是否存在点M (m , 0) ，使得 MP + MQ ⋅ PQ = 0 ？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ln x + a- 1 ， a ∈ R .x（Ⅰ）若关于 x 的不等式 f ( x ) ≤ 1 x - 1 在[1, +∞ ) 上恒成立，求 a 的取值范围；2（Ⅱ）设函数 g ( x ) = f ( x ) ，若 g ( x ) 在 ⎡1, e 2 ⎤ 上存在极值，求 a 的取值范围，并判断极值的正负.x⎣ ⎦注意：请考生在 22、23 题两题中任．选．一．道．题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分 10 分）22．选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为： ⎧⎪x ⎨ θ（其中θ为参数）.⎪⎩ y = 3 θ（Ⅰ）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程；⎧x = t cos a（Ⅱ）直线 l 的参数方程为： ⎨⎩ y = t sin a（其中 t 为参数），直线 l 与曲线 C 分别交于 A , B 两点，且 AB |= l 的斜率.23．选修 4-5：不等式选讲已知函数 f ( x ) =2x + 1 . 3（Ⅰ）若不等式 f ( x ) ≥ - x + a 恒成立，求实数 a 的取值范围；（Ⅱ）若对于实数 x , y ，有 x + y + 1 ≤ 1 ， y - 1 ≤ 2 ，求证： f (x ) ≤ 2 . 3333三明一中 2017-2018 学年第二学期入学考试高三理科数学试卷参考答案一、选择题：每小题 5 分，共 60 分．二、填空题：每小题 5 分，共 20 分.13. 117 14. 504015._（2）（4）_16. -4 .三、解答题： 17.（2）依题意 S 2 =1AB 2 ⋅ AD 2s i n 2 A = 12 - 12cos 2 A ， S 2 = 1 BC 2 ⋅ CD 2s i n 2C = 4 - 4cos 2C ， 14 2 4所以 22 22( )22S 1+ S 2= 12 - 12cos A + 4 - 4cos C = 16 - 4 cos C + 1 - 4cos C= -8cos 2C - 8cos C + 12 = -8 ⎛cos C + 1 ⎫+ 14 ， 2 ⎪ ⎝⎭18.解：（1）∵45(15⨯16 -10⨯4)2K2 =≈ 7.287 > 6.63525⨯20⨯19⨯26∴能在犯错误的概率不超过0.01 的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”（ⅱ）设从全校大于等于120 分的学生中随机抽取20 人，这些人中周做题时间不少于15 小时的人数为随机变量Y ，由题意可知Y ~B (20, 0.6)故E (Y )=12 ， D (Y )= 4.8 .19.所以四边形EFDC 为平行四边形，所以CE / / D F ，所以CE ⊥平面PAB ．（Ⅱ）解：设点O，G 分别为AD，BC 的中点，连结OG ，则OG / / AB ，因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥AD ，所以OG ⊥AD ．因为所以所以∆因为所以又因为故OA,P(0,所以- = + =21.ln x a 1 21 - 1nx 1 2a2 x - x ln x - 2a （2） g ( x ) = + 2 ， x ∈ ⎡⎣1, e ⎤⎦ ，∴ g ' ( x ) = 2 23 3 . x x x x x x x设 h ( x ) = 2x - x ln x - 2a ，则 h ' ( x ) = 2 - (1 + ln x ) = 1 - ln x .由 h ' ( x ) = 0 ，得 x = e .当1 ≤ x < e 时， h ' ( x ) > 0 ；当 e < x ≤ e 2 时， h ' ( x ) < 0 . ∴ h ( x ) 在[1, e ) 上单调递增，在 (e , e 2 ⎤⎦上单调递减.且 h (1) = 2 - 2a ， h (e ) = e - 2a ， h (e 2 ) = -2a .显然 h (1) > h (e 2 ).h (e ) > 0 结合函数图像可知，若 g ( x ) 在 ⎡⎣1, e 2⎤⎦ 上存在极值，则{ 或{ h (1) ≥ 0 .h (e ) > 0 （ⅰ）当{ h (1) < 0，即1 < a < e 时，2h (1) < 0 h (e 2 ) < 0则必定 ∃x , x ∈ ⎡⎣1, e 2 ⎤⎦，使得 h ( x ) = h ( x ) = 0 ，且1 < x < e < x < e 2 . 1 2 1 2 1 2当 x 变化时， h ( x ) ， g ' ( x ) ， g ( x ) 的变化情况如下表：∴当1 < a < e 时， g ( x ) 在 ⎡1, e 2 ⎤ 上的极值为 g ( x ) , g ( x ) ，且 g ( x ) < g ( x ) . 2∵ g ( x )= ln x 1 + a - 1 ⎣ ⎦1 2 1 2= x 1ln x 1 - x 1 + a .1 x x2 x x 21 1 11设ϕ( x ) = x ln x - x + a ，其中1 < a < e， 1 ≤ x < e .2∵ϕ' ( x ) = ln x > 0 ，∴ϕ( x ) 在 (1, e ) 上单调递增， ϕ( x ) ≥ ϕ(1) = a -1 > 0 ，当且仅当 x = 1 时取等号.e2∵1 < x 1 < e ，∴ g ( x 1 ) > 0 .∴当1 < a < 时， 2g ( x ) 在 ⎡⎣1, e ⎤⎦ 上的极值g ( x 2 ) > g ( x 1 ) > 0 .22.解：试题分析：（１）先将参数方程化为直角坐标方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程；（２）借助参数方程的几何意义直接求解：23.解：（1）根据题意可得 f ( x ) ≥ - x + a 恒成立，即 2x + 1 + x ≥ a ，化简得 x +3 + 3 x ≥ 3a ， 3而 x +3 + 3 x ≥ 3 是恒成立的，所以 3 ≥ 3a ，解得a ≤ 1 ； 2 2 22 2 2 2 2（2）f ( x ) =2 x + 1 = 2 x + 2 = 2 ⎛x - y + 1 + y - 1 ⎫ ≤ 2 ⎛ x - y + 1 + y - 1 ⎫ ≤ 2 ⎛ 1 + 2 ⎫ = 2 ， 3 3 3 3 3 ⎪ 3 3 ⎪ 3 3 3 ⎪ 3所以 f ( x ) ≤ 2.3⎝⎭⎝⎭⎝⎭。