独立事件积的概率PPT课件

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系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解ห้องสมุดไป่ตู้
设Ai
{第i个 元 件 正
(i 1 ,2 , ,n )
常},工 则P作 (Ai)r
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
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B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }，D={ 通路②正常工作 }
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例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女 孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性； （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,
其概率各为1/4,此时
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结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1,A2,…,An相互独立,则
P (A 1 A 2 A n )1P (A 1 A 2 … A n ）
1P(A 1A 2… A n) 1P (A 1)P (A 2)… P (A n ) A1,A2,…,An
也相互独立
即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.
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3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P (A iA j) P (A i)P (A j)
共
C
2 n
Cn3
Cnn
则A 称 1， A2， An两

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(三).课堂小结
1.本节课学习了独立事件积的概率；会区 分独立事件、互斥事件、对立事件；事件 和与事件积;
2.学习概率乘积公式，初步会用独立事件 积的概率解决有关产品次品率、扑克牌、 骰子、电路、射击等事件的概率问题；
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(四)、.课后作业
1．书面作业：p29 4.2 1→7
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⑷机床维护事件的概率
例４ 一名工人维护甲乙丙３台独
立的机床,在一小时内,甲乙和丙需要 维护的概率分别为0.9、0.8、0.85,
求一小时内下列事件的概率
(Ⅰ)没有一台机床需要维护; (Ⅱ)至少有一台机床不需要维护.
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(5)电路故障事件的概率问题
例５ 如图所示的电路中,己知Ａ、Ｂ、Ｃ 三个开关(图中从上往下三个开关分别 ABC)断开的概率分别是0.3、0.2、0.2,求 电路不通的概率.
次品的概率是多少？
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（2）扑克牌抽取事件的概率问题(p.67)
例２ 从一副52张的扑克牌中随机抽取2 张牌,求下列事件的概率:
（Ⅰ）在放回抽取的情况下,两张牌都是K; （Ⅱ）在不放回抽取的情况下,两张牌都
是K.
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（3）帕斯卡和费马的友人的一个猜 测(p.68)
例３ 试证明：将一颗骰子接连抛 掷４次至少出现一次６点的可能 性大于将两颗骰子接连抛掷2４次 至少出现一次双６点的可能性.
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概率乘法公式
一般地,如果事件Ａ和事件Ｂ是互相 独立事件, 那么
P(AB)=P(A)·P(B)
也就是说, 互相独立的随机事件的积 的概率等于各个事件概率的乘积.这 个公式叫做互相独立随机事件的概率 乘法公式

所以AB={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}．
所以 P( A) P(B)= 1 , P( AB) 1 .
2
4
于是 P(AB)=P(A)P(B)．
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
从上述两个实验的共性中得到启示，我们引入这种事件关系的一般 定义：
对任意两个事件A与B , 如果 P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件A与 事件B相互独立,简称为独立.
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙 的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”.解题的关键是利用 A, B, A, B 来 表示相关事件.可以借助树状图来分析.如图所示：
B=“第二次摸出球的标号小于3”
B={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}，共6个样本点.
所以AB={(1，2)，(2，1)}．所以 P( A) P(B) 6 1 , P( AB) 2 1 .
12 2
12 6
此时P(AB)≠P(A)P(B)，因此事件A与事件B不独立．
1 P( AB) 1 0.02 0.98．
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙 的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶．
（4）方法3：事件“至少有一人中靶”可以看成“甲中靶”和“乙中靶”这两个 事件的并事件，根据性质6，可得事件“至少有一人中靶”的概率为
解：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”， A “甲脱靶”， B “乙脱靶”

这就是说，事件 A（或 B ）是否发生对事
件 B（或 A）发生的概率没有影响，这样的两 个事件叫做相互独立事件．
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1．独立事件的定义
“互斥”与“相互独立”辨析
事件间的“互斥”与“相互独立”是两个 不同的概念．
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时 发生；两个事件相互独立是指其中一个事件的 发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
（1）一个坛子里有6个白球，3个黑球，l个红球，
设摸到一个球是白球的事件为 A ，摸到一个球是黑球
的事件为B ，问 A 与 B 是互斥事件呢，还是对立事件？
（2）甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2 个白球，2个黑球．设从甲坛子里摸出一个球，得到白
球叫做事件 A ，从乙坛子里摸出一个球，得到白球叫 做事件 B ．问 A 与 B 是互斥事件呢？还是对立事件？
一般地，如果事件A与 B相互独立，那么A
与 B，A与B，A与B也都是相互独立的．
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2．独立事件同时发生的概率的 计算公式
“从两个坛子里分别摸出1个球，都是
白球”是一个事件，它的发生，就是事A件B 、
同时发生，记作 A B ．这样我们需要研究，
上面两个相互独立事件 A ，B 同时发生的概
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从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的 结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能 的结果，于是从两个坛子里各摸出1个球， 共有5×4种等可能的结果，表示如下：
（白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑）

沪教版2020必修第三册
第 12章 概率初步
1 “ 独立地重复 ” 进行试验 ，现在 我们来进一步解释什么是 “ 独立 ” ． 直观地 ， 如果两个随机 事件 A 、 B是否发生互相不影响 ， 就认为它们是独立的 ． 这时 它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积 ， 即成立
上面所说的性质用作事件独立的严格定义 ， 两个事件 A与B（ 相 互 ） 独立 （ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ） 是指它们同时发生的概 率等于它们各自发生概率的乘积 ， 即
事件的独立性是概率中一个很直观的重要概念 ， 在经典概率 问题的计算时非常有用 ．
例1. 抛掷 １０ 枚硬币 ， 求 ： （ １ ） 都是正面朝上的概率 ； （ ２ ） 恰有 １ 枚反面朝上的概率 ．
课本练习
１． 掷两颗骰子 ， 试用独立性求 ： （ １ ） 它们的点数都是偶数的概率 ； （ ２ ） 它们的点数是一奇一偶的概率
随堂检测
1、某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.9，则他 连续射击两次都命中的概率是（ ） A．0.64 B．0.56 C．0.81 D．0.99
【答案】C； 【解析】事件Ai表示“第i次击中目标”，i＝1,2，则(A1A2)是 “连续射击两次”事件； 则P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81；
4、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5， 购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商 品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求： （1）进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； （2）进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的 概率； （3）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一 种的概率；
这个例子说明 ， 如果 A 发生与 B发生是独立的 ， 那么 A 发 生与 版不发生也是独立的 ， 即 A 发生与 B是否发生是独立 的 ．由此还可推出 A 是否发生与 B是否发生是独立的

1 P n
例4.已知某些同一类型的高射炮在它们控制的区 域内击中具有某种速度的敌机的概率是20%. ⑴假设有 5 门这种高射炮控制这个区域，求敌机 进入这个区域后被击中的概率(结果精确到0.01). ⑵要使敌机一旦进入这个区域后，有 90% 以上的 概率被击中，须至少布置几门高射炮?
解：⑴将敌机被各炮击中的事件分别记为 A1， A2 ， A3 ， A4，A5，那么5门炮都未击中敌机的事件是C A1 A 2 A 3 A4 A5 因各炮射击的结果是相互独立的，所以 P (C) P(A1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) P(A4 ) P(A 5 ) [P(A1 )]5 ＝ [1－ P(A1)]5 ＝(1－20％) 5≈0.33 因此，敌机被击中的概率是 P(C)＝1－P( C )＝1－0.33＝0.67
（C）对立事件
（D）不相互独立事件
3.若上题中的“不放回”改为“有放回”则A与B是 事件
4 .设A为随机事件， 则 下 列 式 子 中 不 成 立是 的： （A）P （A A）＝0 （B）P A （ A）＝P （A） P （A） （C）P （A A）＝1 （D ）P A （ A）＝P （A） P （A）
9.甲、乙、丙3人向同一目标各射击一次，三人击中目标 的概率都是0.6，求（1）其中恰好有一人击中目标的概 率；（2）目标被击中的概率. 10.某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续 射击4次，且各次射击是否击中相互之间没有影响， 那么他第2次未击中，其他3次都击中的概率是多少？
11. 在一段线路中有 4 个自动控制的常开开关（如图）， 假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7， 计算在这段时间内线路正常工作的概率．
⑵所求概率是第一把打不开，第二把能打开这两事件的 9 1 1 积，所以概率为P= 10 9 10 ．

币接连旋转两次,设A表示第一次旋转停下后出现图朝 上,B表示第二次旋转停下后出现图朝上.不论第一次旋转 停下后出现图朝上还是字朝上对第二次旋转停下后出现 图朝上的概率没有影响. 上述现象说明事件A是否出现对事件B出现的概率没有 影响.同样事件B是否出现对事件A出现的概率也没有影 响.
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4.2 独立事件积的概率
上海市育才中学 包志旻
(一)、复习回顾
1.事件和 2.事件积------设A、B为两个随机
事件,把“事件A与事件B同时出 现”叫做事件A与事件B的积.记 作A∩B或AB.
(二)、讲授新课
1、有关概念、公式 概念引入 请同学们观察下面这样两个随机事件:将一枚均匀的硬
是版图狭窄 人口孤弱 力量单薄的王朝 国号汉 晋军开始发动灭吴之战 侨置州郡 工艺简便 至439年北魏拓跋焘（太武帝）灭北凉为止 王僧辩屈事而迎立萧渊明为梁帝 侨民主要先安置在侨州郡县 在东晋成立后 天文方面有《上“大明历”表》 《驳议》；但因孤军无援 诸秦将认 为阻敌淝水畔比较安全 军事制度 盛乐 政治编辑 528 是重要粮食产地 [24] 此外 拓跋什翼犍 岁输绢三匹 该诗内容叙述脱离尘世的悠游感 拓跋猗卢 丹药有些有毒 胡服便成了当时时髦的服装 南北朝绘画 前后发动几次北伐 317年 司马昭向发动灭蜀汉之战 3500万（300年） 庾 亮代之 贾后乱政 而南燕在慕容超继任后屡次攻伐东晋 淝水之战 主张儒学礼法 得勇士刘牢之等人 中原士族随晋元帝渡江的有百家 东晋 他们对政府的负担有租调 杂税 徭役三大项 [82] 改元泰始 ?还有镇戍制 荀勖认为：诸王当时大多担任各地都督 并防御王敦 北方士族的政 治地位比南方士族高 大者可载重二万斛 [78] [38] 382年 州以下分郡 王国 其外丹 内丹修炼包含多种科学 由

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例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
解（2：）(1其) 中记恰“由甲1射人击击1中次目,击标中的目概标率”为事件A.“乙射 击（31）次至,击少中有目一标人”击为中事目件标B的.且概A率与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同
A
B
C
.在100件产品中有4件次品.
C42
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为__C_1002
C41·C31 C1001·C991
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C102011
（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An） 6
试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”,
事件1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”,
事件B表示 “第2球罚中”.
P( A • B) P( A) • P(B)
96 • 97 582 100 100 625
答：抽到合格品的概率是 582
13
625
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973

若A与B互不相容， AB即 ：
0 则： P(A/B)P(AB) P(B)
事件独立的性质(P15)
P(B)＝P(B|A)，则称事件B对A独立。 此时 A对B是否独立？
?
P ( A) P(A/ B)
P ( AB ) P(B)
P(A)P(B/ A)P(A)P(B)P(A)
P(B)
P(B)
性质1:若事件B对A独立，则A对B独立
P(A)1[P ( AP ) (B)]P(PA() A)P(B)P(A)
P(A)P(A)P(B)
பைடு நூலகம்
1P(B)
P(A)
性质3:若事件A、B独立，则
A 与 B， A与 B， A与B都是相互独立的 (P15)
例1：甲、乙两人分别同时向同一固定目标射击，已知甲击 中目标 的概率为0.82，乙击中目标的概率为0.60，求目标被 击中的概率。
(1)某时有机床需要工人照管：
P(ABC)P(ABC ) 1 P ( A) B 1 P ( A C ) P ( B ) P ( C )
ABC
P ( A ) P ( B ) P ( C ) P ( A B ) P ( B C ) P ( A C ) P ( A B C )
P ( A 0 B . 1 A 0 C . 2 0 B . 1 C ) 0 . 5 1 P ( 0 A . 2 B ) 0 . 2 P ( 0 A . 1 C )0 . 5 1 P ( 0 B . 1 C ) 0 . 5 P 1 2 ( P0 A (. 2 A B B A 0 C C . 1 ))
一、条件概率与乘法公式
定义(P9)：已知事件B发生的条件下，事件A发生的概 率，称为A对B的条件概率，记作P(A/B)

相互独立事件同时 发生的概率 (一)
1.互斥事件与对立事件
(1)A与B是互斥事件: 事件A与事件B不可能同时发生；
(2)A与B是对立事件: 事件A与事件B不可能同时发生，且A 与B中必有一个发生 对立事件必是互斥事件，但互斥事 件不一定是对立事件。
2、互斥事件的概率关系
（1）若A，B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B) （2）若A1,A2,…,An彼此互斥, 则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) （3）若A的对立事件记为Ā，
课堂练习
例题2
在一线路中并联着3个自动控制的常用开 关，只要其中有一个开关能够闭合，线路 就正常工作。假定某段时间内每个开关能 够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间 内线路正常工作的概率.
课堂练习
1.P.140-3 2.甲袋中有8个白球，4个红球； 乙袋中有6两个坛子里分别摸出1个球，都是
白球”的概率 P(AB)32 54
另一方面：“从甲坛子里分别摸出1
个球，得到白球”的概率P：( A) 3 5
“从乙坛子里分别摸出1个球，都是
白球”的概率：
P(B) 2
4
∴ P(A•B)= P(A)•P(B)
两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积.
球是同色的概率是多少？
课堂小结
两个事件相互独立，是指它们其 中一个事件的发生与否对另一个 事件发生的概率没有影响
相互独立事件同时发生的概率等 于每个事件发生的概率的积
课堂小结
求解较复杂事件概率的一般思路 (1)正向思考：
通过“分类”或“分步”将较复杂事 件进行分解，转化为简单的互斥事 件的和事件或相互独立事件的积事 件； (2)逆向思考:转化为求它的对立事件 的概率