高考数学(文)真题、模拟新题分类汇编：推理与证明【含解析】

【最新】数学复习题《推理与证明》专题解析一、选择题1．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A．乙 B．甲 C．丁 D．丙【答案】A【解析】【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论.【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A.【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.2．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( )A．20B．21C．22D．23【答案】C【解析】【分析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案.【详解】f n个部分,设画n条直线,最多可将面分成()Q;==+=n f1,(1)1122,(2)(1)24n f f ==+=;3,(3)(2)37n f f ==+=;,4,(4)(3)411n f f ==+=; ,5,(5)(4)516n f f ==+=;6,(6)(5)622n f f ==+=.故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.3．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯【答案】C【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果.【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯；第二行第一个数为：1422=⨯；第三行第一个数为：21232=⨯；第四行第一个数为：33242=⨯； L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯；故选C ．【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．已知点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为（ ）A ．13311x y += B ．111099x y += C ．11133x y += D ．199110x y += 【答案】C 【解析】【分析】 先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程.【详解】因为点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上， 故可得21009199a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为：103111099x y +=，整理可得11133x y +=. 故选：C.【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.5．观察下图：12343456745678910L L则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017B ．1009C ．1010D ．1011 【答案】B【解析】【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数且这21n -个数成公差为1的等差数列所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n =故选：B【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.6．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【解析】【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论.【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符；若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符． 故选：D ．【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.7．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ）A ．5748b b b b >B ．7845b b b b >C ．5748b b b b +<+D ．7845b b b b ++<【答案】C【解析】【分析】类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案．【详解】在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >，类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+-32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，所以4857b b b b +>+成立．故选：C【点睛】本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．8．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 【答案】A【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果．【详解】①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意； ②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意. 综上所述，盗窃者是甲.故选：A.【点睛】本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．9．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（ ）A ．甲B ．丙C ．甲与丙D ．甲与乙【答案】D【解析】【分析】分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论.【详解】若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立.综上所述，甲与乙被录取.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.10．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A、B、C、D、E五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A的学生，其另外一科等级为B，则该班（）A．物理化学等级都是B的学生至多有12人B．物理化学等级都是B的学生至少有5人C．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人D．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人【答案】D【解析】【分析】根据题意分别计算出物理等级为A，化学等级为B的学生人数以及物理等级为B，化学等级为A的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.【详解】根据题意可知，36名学生减去5名全A 和一科为A 另一科为B 的学生105858-+-=人（其中物理A 化学B 的有5人，物理B 化学A 的有3人），表格变为：对于A 选项，物理化学等级都是B 的学生至多有13人，A 选项错误；对于B 选项，当物理C 和D ，化学都是B 时，或化学C 和D ，物理都是B 时，物理、化学都是B 的人数最少，至少为13724--=（人），B 选项错误；对于C 选项，在表格中，除去物理化学都是B 的学生，剩下的都是一科为B 且最高等级为B 的学生，因为都是B 的学生最少4人，所以一科为B 且最高等级为B 的学生最多为1391419++-=（人），C 选项错误；对于D 选项，物理化学都是B 的最多13人，所以两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生最少14131-=（人），D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ）A ．k 3+1B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++ 【答案】B【解析】 分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

专题11 不等式、推理与证明、复数1．【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|i z+3z|=（）A．45B．42C．25D．22【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为z=1+i，所以i z+3z=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|i z+3z|=4+4=22．故选：D.2．【2022年全国甲卷】若z=−1+3i，则zz−1（）A．−1+3i B．−1−3i C．−13+33i D．−13−33i【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】z=−1−3i,zz=(−1+3i)(−1−3i)=1+3=4.z zz−1=−1+3i3=−13+33i故选：C3．【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（）A．a=1,b=−1B．a=1,b=1C．a=−1,b=1D．a=−1,b=−1【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．因为a,b∈R，(a+b)+2a i=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=−1．故选：A.4．【2022年全国乙卷】若x，y满足约束条件x+y⩾2,x+2y⩽4,y⩾0,则z=2x−y的最大值是（）A．−2B．4C．8D．12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数z=2x−y为y=2x−z，上下平移直线y=2x−z，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，所以z max=2×4−0=8.故选：C.5．【2022年全国乙卷】已知z=1−2i，且z+az+b=0，其中a，b为实数，则（）A．a=1,b=−2B．a=−1,b=2C．a=1,b=2D．a=−1,b=−2【答案】A【解析】先算出z,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】z=1+2iz+az+b=1−2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a−2)i由z+az+b=0,得1+a+b=02a−2=0,即a=1b=−2故选:A6．【2022年新高考1卷】若i(1−z)=1，则z+z=（）A．−2B．−1C．1D．2【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法可求z，从而可求z+z.【详解】由题设有1−z=1i =ii2=−i，故z=1+i，故z+z=(1+i)+(1−i)=2，故选：D7．【2022年新高考2卷】(2+2i)(1−2i)=（）A．−2+4i B．−2−4i C．6+2i D．6−2i 【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法可求(2+2i)(1−2i).【详解】(2+2i)(1−2i)=2+4−4i+2i=6−2i，故选：D.8．【2022年北京】若复数z满足i⋅z=3−4i，则|z|=（）A．1B．5C．7D．25【答案】B【解析】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模．【详解】由题意有z=3−4ii =(3−4i)(−i)i⋅(−i)=−4−3i，故|z|=(−4)2+(−3)2=5．故选：B．9．【2022年浙江】已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（）A．a=1,b=−3B．a=−1,b=3C．a=−1,b=−3D．a=1,b=3【答案】B【解析】【分析】利用复数相等的条件可求a,b.【详解】a+3i=−1+b i，而a,b为实数，故a=−1,b=3，故选：B.10．【2022年浙江】若实数x，y满足约束条件x−2≥0,2x+y−7≤0,x−y−2≤0,则z=3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4y后可求最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线3x +4y−z =0过A 时z 有最大值.由{x =22x +y−7=0可得{x =2y =3，故A(2,3)，故z max =3×2+4×3=18，故选：B.11．【2022年浙江】已知a,b ∈R ，若对任意x ∈R,a|x−b|+|x−4|−|2x−5|≥0，则（ ）A ．a ≤1,b ≥3B ．a ≤1,b ≤3C ．a ≥1,b ≥3D ．a ≥1,b ≤3【答案】D 【解析】【分析】将问题转换为a|x−b|≥|2x−5|−|x−4|，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有a|x−b|≥|2x−5|−|x−4|恒成立．设f(x)=a|x−b|，g(x)=|2x−5|−|x−4|={1−x,x ≤523x−9,52<x <4x−1,x ≥4，即f(x)的图像恒在g(x)的上方（可重合），如下图所示：由图可知，a ≥3，1≤b ≤3，或1≤a <3，1≤b ≤4−3a ≤3，故选：D ．12．【2022年新高考2卷】（多选）若x ，y 满足x 2+y 2−xy =1，则（ ）A ．x +y ≤1B ．x +y ≥−2C ．x 2+y 2≤2D ．x 2+y 2≥1【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为ab ≤≤a2+b 22（a,b ∈R ），由x 2+y 2−xy =1可变形为，(x +y )2−1=3xy ≤3，解得−2≤x +y ≤2，当且仅当x =y =−1时，x +y =−2，当且仅当x =y =1时，x +y =2，所以A 错误，B 正确；由x 2+y 2−xy =1可变形为x 2+y 2−1=xy ≤x 2+y 22，解得x 2+y 2≤2，当且仅当x =y =±1时取等号，所以C 正确；因为x 2+y 2−xy =1变形可得+34y 2=1，设x−y2=cos θ,32y =sin θ，所以x =cos θ+13sin θ,y =23sin θ，因此x 2+y 2=cos 2θ+53sin 2θ+23sin θcos θ=1+13sin 2θ−13cos 2θ+13=43+23sin ∈,2，所以当x =33,y =−33时满足等式，但是x 2+y 2≥1不成立，所以D 错误．故选：BC ．1．（2022·北京四中三模）在复平面内，复数12iiz -=对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则求复数z 的代数形式，根据复数的几何意义确定对应点的象限.【详解】()()()12i i 12i 2i i i i z -⋅--===--⋅-，所以复数z 在复平面上的对应点为()2,1--，该点在第三象限.故选：C.2．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知复数23i i i 1i z ++=+，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法可求z ，进而可求z z ⋅.【详解】∵()()23i i i 11i 11i 1i 1i 1i 1i 22z ++--+====-++++-，所以1111111i i =2222442z z ⎛⎫⎛⎫⋅=---++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ．3．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））复数z 满足()12i 3i z +=-，则z 的虚部为（ ）75757515【答案】A 【解析】【分析】化简方程求出复数z 的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部.【详解】因为()12i 3i z +=-，所以()()()()3i 12i 3i 17i 17i 12i 12i 12i 555z ----====-++-，所以复数z 的虚部为75-，故选：A.4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））观察下列等式，3211=，332123+=，33321236++=，33332123410+++=，根据上述规律，3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=（ ）A ．43224n n n ++B ．43224n n n ++C ．43224n n n -+D ．43224n n n -+【答案】B 【解析】【分析】根据3211=，23()212=+，26()2123=++，210()21234=+++，观察其规律，可得3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=()21234n +++++ .【详解】3211=，332123+=()212=+，33321236++=()2123=++，33332123410+++=()21234=+++，根据上述规律，得3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=()21234n +++++2(1)2n n +⎛⎫= ⎪⎝⎭=43224n n n++.故选：B.5．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若复数z 满足1i 1i z -=+（） ，则z =（ ）A ．i -B ．i C ．1D ．1-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算求得复数z ，继而可得其共轭复数.【详解】由题意1i 1i z -=+（），得21i (1i)i 1i 2z ++===-，故i z =-，故选：A6．（2022·四川眉山·三模（文））由若干个完全一样的小正方体无空隙地堆砌（每相邻两层堆砌的规律都相同）成一个几何体，几何体部分如图所示.用下面公式不能计算出该几何体三视图中所看到的小正方体或全部小正方体个数的是（ ）A ．()1122n n n +++⋅⋅⋅+=B ．()21321n n++⋅⋅⋅+-=C ．()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=D ．()223331124n n n +++⋅⋅⋅+=【答案】D 【解析】【分析】数和几何体的全部小正方体个数即可.【详解】从正视图或左视图可以看出小正方形的个数为()1122n n n +++⋅⋅⋅+=从俯视图可以看到小正方形的个数为()21321n n ++⋅⋅⋅+-=几何体的全部小正方体个数为()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=故选：D.7．（2022·北京·北大附中三模）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（ ）A ．c c a b>B ．2ab b <C ．12a b a b-+≥-D ．1111a b <--【答案】C 【解析】【分析】由0a b >>，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.【详解】解：对于选项A ，因为110,0a b a b>><<，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为0a b >>，所以2ab b >，故B 错误；对于选项C ，依题意0a b >>，所以10,0a b a b ->>-，所以12a b a b-+≥=-，故C 正确；对于选项D ，因为10,111,1a b a b a >>->->--与11b -正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C.8．（2022·山东泰安·模拟预测）已知42244921x x y y ++=，则2253x y +的最小值是（ ）A ．2B ．127C ．52D ．3【答案】A 【解析】对原式因式分解得()()2222421x y x y ++=，然后利用基本不等式即可求解.【详解】由42244921x x y y ++=，得()()222222222222425342122x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++++=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()222453x y ≤+，所以22532x y +≥，当且仅当222242x y x y +=+，即22337y x ==时，等号成立，所以2253x y +的最小值是2.故选：A.9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知实数a ，b 满足()2log 1,01a a b a +=<<，则21log 4b a a -的最小值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．不存在【答案】A 【解析】【分析】由题设条件可得2log 1a b a =-，从而利用换底公式的推论可得21log 1b a a =-，代入要求最小值的代数式中，消元，利用均值不等式求最值【详解】2log 1a a b +=2log 1a b a ⇒=-21log 1b a a ⇒=-又01a <<，则2011a <-<()()22211log 11441b a a a a -=+---10≥-=当且仅当()221141a a =--即a =故选：A10．（2022·全国·模拟预测）已知正实数x ，y 满足()21x y =，则2x y+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．32【解析】【分析】将已知的式子12x y ===，然后判断函数()f t t =0t >，的单调性，从而可得12x y =，即21xy =，再利用基本不等式可求得结果【详解】因为()21x y =，所以12x y ===．设()f t t =0t >，易知()f t t =()0,∞+上单调递增，故12x y =，即21xy =，又0x >，0y >，所以22x y +≥=，当且仅当2x y =时取等号， 所以2x y +的最小值为2．故选：B ．【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知等式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得21xy =，再利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题11．（2022·北京·101中学三模）设m 为实数，复数1212i,3i z z m =+=+（这里i 为虚数单位），若12z z ⋅为纯虚数，则12z z +的值为______．【答案】【解析】【分析】先根据12z z ⋅为纯虚数计算出m 的值，再计算12z z + ，最后计算12z z +的值【详解】121212(12i)(3i)3i 2i 6(6)(23)i z z m m m m m ⋅=+-=-++=++-∴ 12z z ⋅Q 为纯虚数606m m ∴+=⇒=-12(12i)(63i)55i z z ∴+=++-+=-+1z ∴+=故答案为：12．（2022·全国·模拟预测）已知正数a ，b 满足21a b +=，则2221a b ab++的最小值为______．【答案】4+##4+【解析】【分析】根据题意得()222222221a b a b a b ab ab+++++=，再化简整理利用基本不等式求解即可.【详解】()22222222221246a b a b a b a ab b ab ab ab+++++++==26444a b b a =++≥=，当且仅当2621a bba ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3a =-，2b =故答案为：4.13．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知正数,,a b c ，则2222ab bca b c +++的最大值为_________．【解析】【分析】将分母变为222212233a b b c ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别利用基本不等式即可求得最大值.2222222122233ab bc ab bca b c a b b c++=≤==++⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当=c=时取等号），2222ab bca b c+∴++14．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有外围线段长的和为n c，则满足12381nc c c c++++>的最小正整数n的值为______.（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】9【解析】【分析】根据图形变化规律分析出n c的通项公式，然后求和确定.【详解】由图形变化规律可得11231643,4,,,3(33nnc c c c-===⋅⋅⋅=⨯，12343(1())439(()1)814313nnnc c c c-++++==->-，则有441()10lg()lg108.006332lg2lg3n n n>⇒>⇒>=-，所以最小正整数n的值为9.9.15．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若i 为虚数单位，复数z 满足11z ≤+则1i z --的最大值为_______.【答案】【解析】【分析】利用复数的几何意义知复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤≤，1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离，数形结合可求得结果.【详解】复数z 满足11z ≤+(11z ≤--即复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤≤设(1,1)P ，1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离数形结合可知1i z --的最大值||||AP CP ===故答案为：。

2012高考数学新题分类汇编 推理与证明（高考真题+模拟新题）课标理数10.M1，D2，B11[2011·福建卷] 已知函数f (x )＝e x＋x .对于曲线y ＝f (x )上横坐标成等差数列的三个点A 、B 、C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形； ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形． 其中，正确的判断是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④课标理数10.M1，D2，B11[2011·福建卷] B 【解析】 解法一：(1)设A 、B 、C 三点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3),∵ f ′(x )＝e x＋1>0，∴ f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴ f (x 1)<f (x 2)<f (x 3)，且f x 1＋x 32<f x 1＋f x 32，∵ BA →＝(x 1－x 2，f (x 1)－f (x 2))，BC →＝(x 3－x 2，f (x 3)－f (x 2))， ∴ BA →·BC →＝(x 1－x 2)(x 3－x 2)＋(f (x 1)－f (x 2))(f (x 3)－f (x 2))<0， ∴ ∠ABC 为钝角，判断①正确，②错；(2)若△ABC 为等腰三角形，则只需AB ＝BC ，即(x 1－x 2)2＋(f (x 1)－f (x 2))2＝(x 3－x 2)2＋(f (x 3)－f (x 2))2， ∵ x 1，x 2，x 3成等差数列，即2x 2＝x 1＋x 3， 且f (x 1)<f (x 2)<f (x 3)，只需 f (x 2)－f (x 1)＝f (x 3)－f (x 2)，即2f (x 2)＝f (x 1)＋f (x 3)，即 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 32＝f x 1＋f x 32，这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 32<f x 1＋f x 32相矛盾， ∴△ABC 不可能是等腰三角形，判断③错误，④正确，故选B. 解法二：(1)设A 、B 、C 三点的横坐标为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3),图1－3∵ f ′(x )＝e x＋1>0，∴ f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，画出f (x )的图象(大致)∴ f (x 1)<f (x 2)<f (x 3)，且f x 1＋x 32<f x 1＋f x 32，如图1－2，设直线AB 、BC 的倾斜角分别为α和β，由0<k AB <k BC ，得α<β<π2，故∠ABC ＝π－(β－α)为钝角，判断①正确，②错误；由x 1，x 2，x 3成等差数列，得x 2－x 1＝x 3－x 2， 若△ABC 为等腰三角形，只需AB ＝BC ，则 f (x 2)－f (x 1)＝f (x 3)－f (x 2)，由0<k AB <k BC ，知上式不成立，判断③错误，④正确，故选B.课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 设V 是全体平面向量构成的集合，若映射f ：V →R 满足：对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．则称映射f具有性质P.现给出如下映射：①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号) 课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 【答案】①③【解析】设a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，则λa＋(1－λ)b＝λ(x1，y1)＋(1－λ)(x2，y2)＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)，①f1(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2－[λy1＋(1－λ)y2]＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)＝λf1(a)＋(1－λ)f1(b)，∴映射f1具有性质P；②f2(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]2＋[λy1＋(1－λ)y2]，λf2(a)＋(1－λ)f2(b)＝λ(x21 ＋y1 ) ＋ (1－λ)(x22 ＋y2 )，∴f2(λa＋(1－λ)b)≠λf2(a)＋(1－λ)f2(b)，∴映射f2不具有性质P；③f3(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2＋(λy1＋(1－λ)y2)＋1＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)＝λf3(a)＋(1－λ)f3(b)，∴映射f3具有性质P.故具有性质P的映射的序号为①③.课标文数12.A1，M1[2011·福建卷] 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4课标文数12.A1，M1[2011·福建卷] C 【解析】因为2011＝5×402＋1，则2011∈[1]，结论①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，结论②不正确；因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类，则Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a，b属于同一“类”[k]，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k(n1，n2∈Z)，则a－b＝5(n1－n2)∈[0]；反之，若a－b∈[0]，可设a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，则a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)∈[0]；∴k1＝k2，则整数a，b属于同一“类”，结论④正确，故选C.课标理数7.M1[2011·江西卷] 观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为( )A．3125 B．5625C．0625 D．8125课标理数7.M1[2011·江西卷] D 【解析】∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125,510＝9765625，…，∴5n(n∈Z且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z且n≥5)的末四位数为f(n)，则f(2011)＝f(501×4＋7)＝f(7)，∴52011与57的末四位数相同，均为8125.故选D.课标文数6.M1[2011·江西卷] 观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为( )A．01 B．43 C．07 D．49课标文数 6.M1[2011·江西卷] B【解析】∵75＝16807,76＝117649,77＝823543,78＝5764801，…，∴7n(n∈Z且n≥2)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记7n(n∈Z且n≥2)的末两位数为f(n)，则f(2011)＝f(502×4＋3)＝f(3)，∴72011与73的末两位数相同，均为43.课标理数15.M1[2011·山东卷] 设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.课标理数15.M1[2011·山东卷]x2n－1x＋2n【解析】观察1,3,7,15，…，与对应项的关系，显然满足2n－1，观察2,4,8,16，…与对应项的关系，显然满足2n，故f n(x)＝x2n－1x＋2n.课标理数13.M1[2011·陕西卷] 观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n个等式为________________________________________________________________________．课标理数13.M1[2011·陕西卷] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2【解析】由每一行分析发现规律是以后每一个数都比前一个数大1，再对每一行的第一个数分析找规律为以后每一个数都比前一个数大1，对每一行的最后一个数分析找规律为1,4,7,10，…，(3n－2)，对结果找规律为12,32,52，…，(2n－1)2，所以第n个等式为n＋(n ＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.课标文数13.M1[2011·陕西卷] 观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________________________________．课标文数13.M1[2011·陕西卷] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 【解析】因为1＝1第一个式子左边1个数，右边1；2＋3＋4＝9第二个式子左边2个数，从2开始加，加3个数，右边3的平方；3＋4＋5＋6＋7＝25第三个式子左边5个数，从3开始加，加5个数，右边5的平方；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49第四个左边7个数，从4开始加，加7个数，右边7的平方，故第五项为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.课标理数22.B9，M3[2011·湖南卷] 已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x . (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由；(2)设数列{a n }(n ∈N *)满足a 1＝a (a >0)，f (a n ＋1)＝g (a n )，证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .课标理数22.B9，M3[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，且h (1)＝－1<0，h (2)＝6－2>0，则x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此，h (x )至少有两个零点．解法一：h ′(x )＝3x 2－1－12x －12，记φ(x )＝3x 2－1－12x －12，则φ′(x )＝6x ＋14x －32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫33<0，则φ(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1内有零点，所以φ(x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x )<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )>φ(x 1)＝0.所以，当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减．而h (0)＝0，则h (x )在(0，x 1]内无零点； 当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．解法二：由h (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1－x －12，记φ(x )＝x 2－1－x －12，则φ′(x )＝2x ＋12x －32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．(2)记h (x )的正零点为x 0，即x 30＝x 0＋x 0. (i)当a <x 0时，由a 1＝a ，即a 1<x 0.而a 32＝a 1＋a 1<x 0＋x 0＝x 30，因此a 2<x 0.由此猜测：a n <x 0.下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，a 1<x 0显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k <x 0成立， 则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k <x 0＋x 0＝x 30知，a k ＋1<x 0. 因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1<x 0成立．故对任意的n ∈N *，a n <x 0成立．(ii)当a ≥x 0时，由(1)知，h (x )在(x 0，＋∞)上单调递增，则h (a )≥h (x 0)＝0，即a 3≥a ＋a .从而a 32＝a 1＋a 1＝a ＋a ≤a 3，即a 2≤a .由此猜测：a n ≤a .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1≤a 显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ≤a 成立，则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k ≤a ＋a ≤a 3知，a k ＋1≤a .因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≤a 成立．故对任意的n ∈N *，a n ≤a 成立．综上所述，存在常数M ＝max{x 0，a }，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .课标数学23.M4[2011·江苏卷] 设整数n ≥4，P (a ，b )是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a ，b ∈{1,2,3，…，n }，a >b .(1)记A n 为满足a －b ＝3的点P 的个数，求A n ；(2)记B n 为满足13(a －b )是整数的点P 的个数，求B n .课标数学23.M4[2011·江苏卷] 【解答】 (1)点P 的坐标满足条件：1≤b ＝a －3≤n －3，所以A n ＝n －3.(2)设k 为正整数，记f n (k )为满足题设条件以及a －b ＝3k 的点P 的个数．只要讨论f n (k )≥1的情形．由1≤b ＝a －3k ≤n －3k 知f n (k )＝n －3k ，且k ≤n －13.设n －1＝3m ＋r ，其中m ∈N *，r ∈{0,1,2}，则k ≤m .所以B n ＝∑m k ＝1f n (k )＝∑mk ＝1 (n －3k )＝mn －3m m ＋12＝m 2n －3m －32. 将m ＝n －1－r 3代入上式，化简得B n ＝n －1n －26－r r －16.所以B n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n －36，n3是整数，n －1n －26，n3不是整数.[2011·福州一模] 否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数[2011·汕头期末] 设直角三角形的两条直角边的长分别为a ，b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有①a 2＋b 2>c 2＋h 2，②a 3＋b 3<c 3＋h 3， ③a 4＋b 4>c 4＋h 4，④a 5＋b 5<c 5＋h 5. 其中正确结论的序号是_______；进一步类比得到的一般结论是____________________．。

专题十二 推理与证明（2019·全国Ⅱ文科）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙【答案】A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． （2019·全国Ⅲ文科）记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ①②C. ②③D. ③④【答案】A【分析】根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.【详解】如图，平面区域D 为阴影部分，由得即A （2，4），直线与直线均过区域D ，则p 真q 假，有假真，所以①③真②④假．故选A ．620x y x y +⎧⎨-≥⎩…D :(,),29p x y D x y ∃∈+…:(,),212q x y D x y ∀∈+…p q ∨p q ⌝∨p q ∧⌝p q ⌝∧⌝2,6y x x y =⎧⎨+=⎩2,4x y =⎧⎨=⎩29x y +=212x y +=p ⌝q ⌝【点睛】本题考点为线性规划和命题的真假，侧重不等式的判断，有一定难度．不能准确画出平面区域导致不等式误判，根据直线的斜率和截距判断直线的位置，通过直线方程的联立求出它们的交点，可采用特殊值判断命题的真假．（2019·北京文科）已知l ，m 是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥；③l ⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.不正确，有可能m 在平面α内； （3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. （2017山东）已知命题p ：；命题q ：若，则．下列命题为真命题的是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】取，知成立；若，得，为假，所以为真，选B ．ααα,x ∃∈R 210x x -+≥22a b <a b <p q ∧p q ⌝∧p q ⌝∧p q ⌝⌝∧0x =1p 22a b <||||a b =q p q ⌝∧(2018浙江)已知，，，成等比数列，且．若，则A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】B【解析】解法一 因为()，所以，所以，又，所以等比数列的公比．若，则， 而，所以， 与矛盾，所以，所以，， 所以，，故选B ．解法二 因为，， 所以，则，又，所以等比数列的公比．若，则， 而，所以 与矛盾，所以，所以，， 所以，，故选B ．(2018北京)设集合则 A ．对任意实数，B ．对任意实数，1a 2a 3a 4a 1234123ln()a a a a a a a +++=++11a >13a a <24a a <13a a >24a a <13a a <24a a >13a a >24a a >ln 1x x -≤0x >1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤41a -≤11a >0q <1q -≤212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤12311a a a a ++>≥123ln()0a a a ++>1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤10q -<<2131(1)0a a a q -=->2241(1)0a a a q q -=-<13a a >24a a <1xe x +≥1234123ln()a a a a a a a +++=++123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥41a -≤11a >0q <1q -≤212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤12311a a a a ++>≥123ln()0a a a ++>1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤10q -<<2131(1)0a a a q -=->2241(1)0a a a q q -=-<13a a >24a a <{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤a (2,1)A ∈a (2,1)A ∉C ．当且仅当时，D ．当且仅当时， 【答案】D【解析】解法一 点在直线上，表示过定点，斜率为的直线，当时，表示过定点，斜率为的直线，不等式表示的区域包含原点，不等式表示的区域不包含原点．直线与直线互相垂直，显然当直线的斜率时，不等式表示的区域不包含点，故排除A ；点与点连线的斜率为，当，即时，表示的区域包含点，此时表示的区域也包含点，故排除B ；当直线的斜率，即时，表示的区域不包含点，故排除C ，故选D ．解法二 若，则，解得，所以当且仅当时，．故选D ．(2018江苏)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为 ． 【答案】27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列 中，前面有16个正奇数，即，．当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；……；当时，0a <(2,1)A ∉32a ≤(2,1)A ∉(2,1)1x y -=4ax y +=(0,4)a -0a ≠2x ay -=(2,0)1a2x ay -≤4ax y +>4ax y +=2x ay -=4ax y +=0a ->4ax y +>(2,1)(2,1)(0,4)32-32a -<-32a >4ax y +>(2,1)2x ay -<(2,1)4ax y +=32a -=-32a =4ax y +>(2,1)(2,1)A ∈21422a a +>⎧⎨-⎩≤32a >32a ≤(2,1)A ∉*{|21,}A x x n n ==-∈N *{|2,}n B x x n ==∈N A B {}n a n S {}n a n 112n n S a +>n 2n*n ∈N {}n a {}n a 525212a =6382a =1n =1211224S a =<=2n =2331236S a =<=3n =3461248S a =<=4n =45101260S a =<=26n == 441 +62= 503<，不符合题意；当时，=484 +62=546>=540，符合题意．故使得成立的的最小值为27．(2018江苏)设，对1，2，···，n 的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为的全部排列的个数． (1)求的值；(2)求的表达式(用表示)．【解析】(1)记为排列的逆序数，对1，2，3的所有排列，有，所以．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，．(2)对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：，所以． 逆序数为1的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．为计算，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，． 当时，52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-2712516a =27n =52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-2812a 112n n S a +>n *n ∈N 12n i i i s t <s t i i >(,)s t i i 12n i i i 12n i i i ()n f k k 34(2),(2)f f (2)(5)n f n ≥n ()abc τabc (123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，333(0)1(1)(2)2f f f ===，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=n (4)n ≥12n ⋅⋅⋅(0)1n f =12n ⋅⋅⋅(1)1n f n =-1(2)n f +1n +1n +1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+5n ≥112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…， 因此，时，．（2017北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________． 【答案】6 12【解析】设男生数，女生数，教师数为，则 ①，所以，②当时，，，，，不存在，不符合题意； 当时，，，，，不存在，不符合题意； 当时，，此时，，满足题意． 所以．（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A ．乙可以知道两人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D （2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=5n ≥(2)n f =222n n --,,a b c 2,,,c a b c a b c >>>∈N 84a b >>>max 6b =min 1c =21a b >>>a b ∈N a b min 2c =42a b >>>a b ∈N a b min 3c =63a b >>>5a =4b =12a b c ++=k {}n a 11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=n ()n k >{}n a ()P k（1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列． 【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则， 从而，当时，，所以， 因此等差数列是“数列”.（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此， 当时，，①当时，.② 由①知，，③，④将③④代入②，得，其中， 所以是等差数列，设其公差为.在①中，取，则，所以， 在①中，取，则，所以， 所以数列是等差数列．（2017浙江）已知数列满足：，． 证明：当时 （Ⅰ）； （Ⅱ）； {}n a (3)P {}n a (2)P (3)P {}n a {}n a d 1(1)n a a n d =+-n 4≥n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=1,2,3,k =n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6{}n a (3)P {}n a (2)P (3)P 3n ≥n n n n n a a a a a --+++++=211244n ≥n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+n n n a a a -++=1124n ≥345,,,a a a d'4n =235644a a a a a +++=23a a d'=-3n =124534a a a a a +++=122a a d'=-{}n a {}n x 11x =11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N n ∈*N 10n n x x +<<1122n n n n x x x x ++-≤（Ⅲ）． *根据亲们所在地区选作，新课标地区（文科）不要求． 【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明： 当时， 假设时，，那么时，若，则，矛盾，故． 因此所以 因此（Ⅱ）由得记函数函数在上单调递增，所以=0， 因此 故 （Ⅲ）因为所以得 由得 121122n n n x --≤≤0n x >1n =110x =>n k =0k x >1n k =+10k x +≤110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤10k x +>0n x >()n ∈*N 111ln(1)n n n n x x x x +++=++>10n n x x +<<()n ∈*N 111ln(1)n n n n x x x x +++=++>2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥()f x [0,)+∞()(0)f x f ≥2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥112(N )2n n n n x x x x n *++-∈≤11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤112n n x -≥1122n n n n x x x x ++-≥111112()022n n x x +-->≥所以故综上， ．12111111112()2()2222n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥212n n x -≤1211(N )22n n n x n *--∈≤≤。