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向量组线性无关；
(2)当D 0即c 0或c -3时，方程组有非零解，
向202量1/2/组5 线性相关。
8
例 判别向量组1 (1，1，1)，2 （0，2，5），3 (1,3,6)
的线性相关性。
解法1 设数k1，k2，k3，使 k11 k22 k33 0
即 (k1 k3，k1 2k2 3k3，k1 5k2 6k3 ) 0
,,m
,
)
0
0
1
bm
0
0
0
0
0
0
0
0
故 2021/2/5
b11
b22
bm m
21
所以
xi bi
例 已知 1 (1，1，1)，2 (1，0，1)， (1， 3， 5) 将用1，2线性表示,且表示式唯一。
解 1. 1，2 不成比例，线性无关；
2. 设 x11 x22 即
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如am ）
能由其余向量线性表示. 即有
am 11 2 2 m1 m1
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15
故 11 22 m1 m1 1am 0 因 1 , 2 ,, m1 , 1 这m m 个数不全为0，
故 1 ,2 ,,m 线性相关. 必要性 设 1 ,2 ,,m 线性相关，
an x 1,1 1 an1,2 x2 an1,m xm 0,
由于向量组A线性无关，则一下方程组只有零解
a11x1 a12 x2 a1m xm 0,
a21x1 a22 x2 a2m xm0,
an1x1 an2 x2 anm xm 0,
由于的解一定是的解，所以只有零解，
所以
k1 k2 kn 0
因而 1，2，，n 线性无关。
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11
P82
例2
已知向量组1
,
2
,
线性无关，试证明：
3
(1)1 1 2 , 2 2 3, 3 3 1线性无关；
(2)1 1 -2 , 2 2 -3, 3 3 -1线性相关。
证 设有x1, x2, x3使
第四节 向量组的线性相关性
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1
一、向量组的线性相关和线性无关
定义6 给定向量组A :1,2,,m,如果存在不
全为零的数k1, k2,, km使
k11 k22 kmm 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注 1. 若 1,2, ,n 线性无关 ,则只有k1 kn 0 时,才有 k11 k22 knn 0 成立 .
定理7 设 1,2,,m 线性无关,而1,,m, 线性 相关,则 能由1,,m 线性表示,且表示式是唯一的.
证明 由于1,2,,m, 线性相关，故有不全为0的数
k1,, km , km1, 使 k1a1 kmam km1 0 成立
若 km1 0, 则 k1a1 kmam 0
由于 1,2,,m 线性无关,所以 k1 k2 km 0
k1a1 k2a2 0a3 0as 0
2021/所2/5以 a1,, as 线性相关.
25
(2) 设 x11 x22 xmm 0
a11x1 a12 x2 a1m xm 0,
即
a21x1 a22 x2 a2m xm 0,
an1x1 an2 x2 anm xm 0,
3
由定义，向量组
a1 j
A: j
a2
j
(
j
1,2,, m)
anj
线性相关等价于齐次线性方程组 x11 x22 xmm 0
a11x1 a12 x2 a1m xm 0, 即 a21x1 a22 x2 a2m xm0, 有非零解。
an1x1 an2 x2 anm xm 0,
则有不全为0的数 k1 , k2 ,, km , 使
k11 k22 kmm 0.
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因k1 , k2 ,, km 中至少有一个不为0，
不妨设 k1 0,则有
1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
m .
即 1 能由其余向量线性表示.
证毕.
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向量组A线性无关等价于此方程组只有零解。
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4
定理5
向量组
a1 j
A: j
a2
j
(
j
1,2,, m)
anj
线性无关当且仅当R(A)=m;
线性相关当且仅当R(A)<m.
推论 m个n维向量组成的向量组，当维 数n<m时一定线性相关。
特别，n+1个n维向量一定线性相关。
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(1， 3， 5) x1(1，1，1) x2 (1，0，1)
(x1 x2，x1，x1 x2 )
所以
x1
x1
x2
1 3
由A~
1 1
1 0
1 3
1 0
0 1
3 2
x1 x2 5
故 = -31+22 ，
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22
即1，2线性无关， 1，2，线性相关 故：可以用1，2线性表示,且表示式唯一。
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定理8 (1)若向量组的一个部分组线性相关，则 整个向量组线性相关。
逆否命题 若一个向量组线性无关，则其任何一个
部分组线性无关。
a1 j
(2)如果向量组
A: j
a2
j
(
j
1,2,, m)
线性无关，
anj
在其每个向量上添加一个分量所得的n+1维向量组B:
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x11 x22 x33 0
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, 因1， 2， 3线性无关，故有
x1 x3 0, x1 x2 0,
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c )k1 (1
k c)k
2 2
k3 k3
0 0
只有零解
k1 k2 (1 c)k3 0
1c 1 D 1 1c
1 r2 r1 1 c 1 1 r3 (1c)r1
1 c c 0 c2(3 c)
1 1 1c
c2 c 0
由克莱姆法则
(1)当D 0即c 0且c -3时，方程组只有零解，
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a1 j
a2 j
j
( j 1,2,, m)
anj
an 1,
j
也线性无关。
逆否命题 若向量组B线性相关，则向量组A线性相关。
证明 (1) 不妨设 a1, , as 中a1, a2线性相关,
则存在不全为 0 的数 k1, k2 , 使得 k1a1 k2a2 0
即存在不全为0的数 k1, k2,0,,0使得
2. 只有一个向量 的向量组,若 0则说 线性相关,
若 0,则说 线性无关 .
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2
3.任何包含零向量的向量组是线性相关的。
4.对于含有两个向量的向量组，它们线性相 关的充要条件是两向量的分量对应成比例，几 何意义是两向量共线；三个向量线性相关的几 何意义是三向量共面。
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则 向量组A线性相关。
推论2 等价的线性无关向量组所含向量个数 相等.
证明 设向量组A与B等价，A组的向量个数为r，
B的向量个数为s，由推论1，有 r≤ s，且s ≤ r，所
以 r =s。
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么么么么方面
• Sds绝对是假的
例3 P84 设向量组 1,2 ,3 线性相关,向量组
2,3,4 线性无关，证明：
此时与 k1,, km , km1 不全为0矛盾，
因而 km1 0,
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1 k m1
(k1a1
kmam 18
)
因此 可由 a1,, am 线性表示.
再证表示式的唯一性 设有两个表示式
1a1 mam 和 1a1 mam
两式相减，得
(1 1)a1 (m m )am 0
推论1 如果向量组A：a1, a2 ,, as 可由向量组 B：1,2 ,, t ，线性表示，且向量组A线性无
关，则s≤ t。
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例如：向量组A：1 (1，1)，2 （0，2），3 (1,3)
向量组B：1 (1，0)，2 （0，1）
显然，向量组A可由向量组B线性表示; 向量组A的个数 r=3,向量组B的个数 s=2, 故 r>s
D 1 2 3 1 1 56 15
15 6
故此方程组有非零解
3 3 0
1, 2 , 3 线性相关
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例 证明向量组 1 (1，0，，0)，2 （0，1，，0），， n (0，0，，1) 线性无关。
证设
k11 k2 2 kn n 0
即 （k1，k2，，kn）（0，0，，0）
x2 x3 0.
12
由此方程组的系数行列式
101 D 1 1 0 20
011
所以方程组只有零解，即x1=x2=x3=0。从而向量
组1，2，3线性无关。
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(2) 设有k1，k2，k3使得 k11 k2 2 k3 3 0
即 k1(1 -2 ) k2(2 -3 ) k3(3 -1) 0
因 a1,, am线性无关，所以 i i 0 即
i i (i 1,2,, m).
202即1/2表/5 示式唯一.
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