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向量组的线性相关性

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第二节 向量组的线性相关性

第二节 向量组的线性相关性

定理四 任意n+1个n维向量都是线性相关的.
[证]设n+1个n维向量为: 1=(a11,a12,,a1n) 2=(a21,a22,,a2n)
n=(an1,an2,,ann) n+1=(an+1,1,an+1,2,,an+1,n)
构造向量组: 1=(a11,a12,,a1n,0) 2=(a21,a22,,a2n,0)
故1,2,,n线性无关
例5 讨论向量组1=(1,1,1),2=(0,2,5), 3=(1,3,6)的线性相关性,若线性相关,试写
出其中一向量能由其余向量线性表示的表
达式.
解: 若有k1,k2,k3,使k11+k22+k33=0
即k1(1,1,1)+k2(0,2,5)+k3(1,3,6)=(0,0,0)
k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0 即(k1+ k3)1+(k1+k2)2+(k2+ k3)3=0 由已知1,2,3线性无关,则
k1 k3 0 1 0 1
k1 k2 0 1 1 0 =2 0
k2 k3 0 0 1 1
齐次方程组只有零解: k1=k2=k3=0
1+2,2+3,3+1线性无关.
若r维向量组1,2,,m线性无关,则r+1维 向量组1,2,,m也线性无关.
[证]反证法
若1,2,,m线性相关
即有不全为零的数k1,k2,,km,使
k11+k22++kmm=0
即 k1(a11,a12,,a1r,a1,r+1)+ k2(a21,a22,,a2r,a2,r+1)+ +km(am1,am2,,amr,am,r+1)=(0,0,,0)

向量组的线性相关性

向量组的线性相关性

证明
（略）
(1)
1 , 2 , n线性无关
1 1
齐次线性方程组 x 只有零解 r ( , , ) n
1 2 n
x2 2 xn n 0
a11
当m=n时
a12 a1n

a21 a22 a2 n 0 an1 an 2 ann
思考题
试证明 : (1) 一个向量 线性相关的充要条件是 0； ( 2) 一个向量 线性无关的充要条件是 0； ( 3) 两个向量 ， 线性相关的充要条件是
k或者 k , 两式不一定同时成立 .
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数 , y , 使 x
第二节
向量组的线性相关性
一、线性相关性的概念
定义4
给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不 k1 1 k2 2 km m 0
全为零的数k1 , k2 ,, km 使
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
1 2 3 4 2 3
这与a , a , a 线性无关矛盾，故结论成立.
2 3 4
四、小结
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） ３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）

向量组的线性相关性

向量组的线性相关性
m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有只有非零解． 矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩<=向量的个数 m ．．
二、线性相关性的判定
定理4 向量组a1, a2, …, am 线性相关的充分 必要条件是它所构成的矩阵A=(a1, a2, …, am) 的 秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要 条件是R(A)=m.
作业 P110 3（1），4，10，11（1）
说明 （1）向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关
当且仅当k1=k2= … =km=0时， k1a1 + k2a2 + … + kmam =0 才成立.
一、线性相关性的概念
（2）若向量组只包含一个向量a： a线性相关 a=0 a线性无关 a≠0
（3）含两个向量的向量组：a1, a2 线性相关 a1, a2 的分量对应成比例 几何意义：两向量共线
从而向量组 b1, b2, b3 线性无关．
二、线性相关性的判定
例3 已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且 b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，
试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关．
证四 转化为矩阵的秩的问题．
1 0 1
已知
(b1
,
b2
,
b3
k1a1 k2a2 kmam 0.
一、线性相关性的概念
因k1, k2, …, km中至少有一个不为0，
不妨设 k1 0,则有
a1


k2 k1
a2




k3 k1
a3


4.3 向量组的线性相关性

4.3 向量组的线性相关性

证 （方法1） 设 B 1, 2,L n , 且
有数x1,x2,…,xn，使得 x11 x22 L xnn 0,
即
x1
1, 2,L
,
n
x2
M
0,
xn
右边等式两边同时左乘矩阵A，得
ABx 0, 即 Ex 0, 所以 x 0, 即 x1 x2 L xn 0, 故由定义可知，
0
0
1
证 令 A (1,2,L ,n ),
则A恰为单位矩阵E，故R(A)=n。 根据判定定理，单位向量组线性无关。
例8
已知向量组 , ,
1
2
3
线性无关， 1
1
2
, ,
2
2
3
3
3
1
证明向量组 , ,
1
2
3
也线性无关.(典型考题,典型方法）
证明：（方法 1: 根据定义) 设有数k1,k2,k3,使得
则称向量组A 线性相关，否则称它线性无关。
当且仅当k1 k2 L ks =0时，
表达式 k11 k22 L kss 0成立。
定理2
线性相关和无关的判定定理
1,2 ,L ,s 线性无关
x11 x22 L xss 0 仅有零解
对矩阵 A=(1,2,L ,s ), R( A) 向量的个数s.
例2 零向量是任何一个同维向量组的线性组合
Q 0 01 02 L 0m
线性表示的表示系数可以是零
例3 向量组中的任何一个向量都是该向量组的线性组合。
i 01 02 L 1i L 0m
例4 对如下向量
(0,1,2)T ,1 (1,1,0)T ,2 (0,1,1)T ,3 (3, 4,0)T ,

3.2线性相关性

3.2线性相关性
a11 a12 a1 s 0 a a a2 s 0 21 22 x1 + x2 + + xs 0 a a a n1 n2 ns a11 x1 + a12 x2 + + a 1 s x s 0 a21 x1 + a22 x2 + + a 2 s x s 0 即 an1 x1 + an 2 x2 + + a ns x s 0 (3.3)
a11 a21 A 1 , 2 , , s a n1 a12 a22 an 2 a1 s x1 a2 s x2 ,x ans xs
• 证明：设x1a1+x2a2 +…+xsas=0（3.2），即
第二节 向量组的线性相关性
一、向量组线性相关性的概念 二、向量组线性相关性的判定 三、向量组线性相关性的性质
• 一、向量组线性相关性的概念
• 定义4 给定向量组A: 1, 2,…, s, 如果存在不全 为零的数k1, k2,…, ks, 使 k11+k22 +…+kss=0 • 称向量组A是线性相关的, 否则称它线性无关。
• • • •
引理 设有列向量组a1, a2 , …, as, 其中 a1=(a11, a21, …, an1)T， a2 =(a12, a22, …, an2)T, …, as=(a1s, a2s, …, ans)T（s个n维列向量） 则向量组a1, a2 , …, as线性相关齐次线性方程组 Ax=0 (3.1) • 有非零解, 其中

向量组的线性相关性

向量组的线性相关性
T m
T 1 T 2 T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
3
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 1 , 2 ,, m , 组 构成一个n m矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
b12 b22 ks2
b1n b2 n k sn
19
同时，C的行向量组能由 的行向量组线性表示 A B , 为这一表示的系数矩阵 ：
1T a11 T 2 a 21 T a m m1
矩阵K m s ( kij )称为这一线性表示的系数矩阵.
此时有 B
18
AK
若C mn Ams Bsn，则矩阵C的列向量组能由 矩阵A的列向量组线性表示， 为这一表示的系数 B 矩阵：
b11 b21 （ c1 , c 2 ,, c n ) 1 , 2 ,, s ) （ b s1
(3) R( A ) m R( A ) m） （ ，即矩阵 A的秩小于 （等于）向量组所含向量的个数 m
1 0 0 0 10
2 1 1 3 r3 r2 1 3 5 r4 3r2 3 5 11 0 3
2 r 3r 3 1 1 1 3 r r 2 3 0 1 1 r 2r 3 4 0 2 2 0 3
1 0 0 0
1 0 0 0
2 r3 ( 1 ) 1 1 3 2 0 2 2 0 2 2 0 3

3章3节 向量组的线性相关性


即：部份相关, 则全组相关； ?全组无关, 则部份无关。 ?
定理4 若向量组1 ,2 ,, s， 线性相关，而向量组
则向量 可由1 ,2 ,, s线性表示， 1 ,2 ,, s线性无关，
且表示法唯一。
无关组加一个后相关， 则后加者由原组表出法唯一。
定理5 设有两向量组 A:1 , 2 ,, s ; B:1 , 2 ,, t ;
定义1 给定向量组A : 1 , 2 ,, s , 如果存在不全为零的数
k1 , k2 ,, ks , 使k11 k22 ks s 0, 则称向量组
线性相关 ，否则称为线性无关 。
与上一节对应，本定义相当于零向量由一组向量线性表出
(线性组合)， 但这里要求k1 , k2 ,, ks不全为零。
§ 3.3 向量组的线性相关性
上一节分析了某向量与一组向量的线性组合关系，
以及线性组合的表示， 这一内容对应非齐次线性方程组
的有解判断以及求解的内容。为下一步学习向量之间的
相关性做好了理论准备，
本节将分析一组向量内各向量之间的线性相关性。 这一内容则对应齐次线性方程组的有解判断以及求解的
内容。
一、线性相关性概念
秩小于向量的个数s。
即为齐次线性方程组系数矩阵的秩小于未知数个数 ——有非零解。
推论1 s个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
充要条件是: 矩阵A (1 ,2 , s )的秩(等于)小于向量的个数s。
齐次线性方程组系数矩阵的秩等于未知数个数 ——仅有零解；
推论2 n个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
1 0 2 r r = 1 2 4 2 1 r3 r1 1 5 7

向量组线性相关性

向量组线性相关性
向量组线性相关性是指向量组之间的关系，它可以用来度量两个
或多个随机向量之间的相似程度。

它是将某种矩阵投射到更高维空间
中进行分析所必需的一种工具。

对于定量分析，它是一种快速而有效
的方法，可以帮助研究人员快速识别观察值之间的特征，如：相关性、回归和分类等。

此外，线性相关性也与潜在因素有关。

线性相关性可用于发现隐
藏的潜在变量，同时，当没有显式的潜在变量可以使用时，它也可以
用作预测。

例如，如果一个研究者想要预测一组观察值的趋势或变化，他/她可以使用线性相关性来找出隐藏的关系，从而建立一个有效的模
型来描述观察值之间的关系。

由于它可以用于识别数据之间的关系，因此，线性相关性在机器
学习任务中也是一种有用的工具，它可以帮助研究人员构建有效的模型，并用于预测新的数据。

例如，在机器学习领域中，线性回归就是
一种线性相关性模型，可以用于分析和预测数据集中观察值之间的关系。

因此，线性相关性是一个非常有用的工具，可用于大量因素和研
究设计中，从而帮助研究人员发现观察值之间的关系，有助于他们建
立有效的模型，并可以用于预测分析和推断。

第四章 向量组的线性相关性总结

第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。

§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。

5.2 向量组的线性相关性

5.2 向量组的线性相关
一、向量组的线性组合
二、向量组的线性相关性
1
由若干个相同维数的列向量(或相同维数 的行向量)所组成的集合称为列(行)向量组。
设矩阵A (aij )m n , 若按列分块, 则得 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A (a1 a2 an ) a am 2 amn m1
11
(2)关于向量组等价的性质
两向量组的等价 ,显然满足下列性质 : (1) 自身性 A ~ A
(2) 对称性 若A ~ B, 则B ~ A (3) 传递性 若A ~ B, B ~ C 则A ~ C
12
(3)线性表示的矩阵表达法 如果向量组A : a1, a2 , , ar可由向量组B : b1, b2 ,
其中bi (ai1, ai 2 , , ain ) (i 1, 2, , m)是n维 行向量。
即矩阵可构成一个n维行向量组成的行向量组。 反之, 有限个同维行向量也可以构成一个矩阵。
由此可见, 矩阵问题可以就转化为向量的问题。
3
若对A按列分块, 记作A (a1 a2 an ), 则 方程组 Ax b x1 x 2 b a1 a2 an xn 即 x1a1 x2a2 xnan b 这里a1, a2,, an, b都是m维列向量。 由此可见,方程组的问题也可以就转化为向量的
15
设向量组A : a1, a2 , , am , 那么向量组A 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 k1a1 k2a2 kmam 0 有非零解。
即Ax 0有非零解,其中A (a1, a2,, am )。
定理2 设n维向量组a1, a2 , , am ,记矩阵 A (a1, a2 , , am ), x ( x1, x2 , , xm )T ,那么下列 三个命题等价: (1)向量组a1, a2 , , am线性相关 (2)齐次线性方程组Ax 0有非零解。 (3)R( A) m,即矩阵A的秩小于向量组所含 向量的个数m。
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在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”叫做向 量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象， 在引进坐标系以后，这种向量就有了坐标表示式——三个 有次序的实数，也就是3维向量，因此当n 3 时, n维向量可 以把有向线段作为几何形象，但当n 3 时，n维向量就不再 有这种几何形象，只是沿用一些几何术语罢了。
（二） n维向量的线性运算 （三） n维向量的线性运算满足的性质
§4.2 n维向量组的概念
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的
集合叫做向量组。例如一个 m n 矩阵 A (aij ) 有n个m维列
向量
a1 j
j
a2
j
,
( j 1, 2,
, n)
amj
它们组成的向量组 a1, a2 ,, an 称为矩阵A的列向量组。
向量组A：a1, a2 , , am (m 2) 线性相关，也就是在向量组 A中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。这是 因为：
如果向量组A线性相关，则有不全为0的数 k1, k2 ,, km 使
k11 k22 kmm 0。因 k1 , k2 ,, km不全为0, 不妨设
k1 0 于是便有
m n 矩阵A又有m个n维行向量
iT (ai1, ai2 , , ain ), (i 1, 2, , m)
它们组成的向量组
aT 1
,
aT 2
,
,
aT m
称为矩阵A的行向量组
§4.2 n维向量组的概念
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。 例如 m个n维列向量所组成的向量组 1,2, ,m构成一个
即可同时看出矩阵1,2,3 及 1,2 的秩，利用定理2即可
得到结论。
1
1,2,3 1
0 2
2
1
4
r2 r1
r3 r1
0
0 2
2 2
r3 52r2
1 0
0 2
2
2
1 5 7
0 5 5
0 0 0
可见R1,2,3 2，向量组1,2 ,3 线性相关；R1,2 2，
如果A组与B组等价，这里矩阵K可逆 B=K-1A （B组由A组线性表示）
即 A=KB而 B=K-1A, A组与B组等价。
§4.5 向量组的相关性
定义4 给定向量组A：1,2, ,m ，如果存在不全为零的 数 k1 , k2 ,, km ，使
k11 k22 kmm 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。
第四章 向量组的线性相关性
§4.1 n维向量
（一） 定义1 n个有次序的数 a1, a2 ,, an 所组成的数组称为 n个维分向量量。，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i
分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称 为复向量。以下除特殊说明外，一般只讨论实向量。
n维向量可写成一行，也可写成一列。按第二章的规定，
因为 1, 2 , m1,1 这m个数不全为0（至少1 0）,所以 向量组A线性相关。
即 向量组 1,2, ,m (m 2) 线性相关 1, 2 ,, m 中至
少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。
向量组1, 2 ,, m 线性无关
1, 2 ,, m 中任何一个向
量都不能被其余向量线性表示。
称为向量组A的一个线性组合，k1
,
k
2
,
,
k
称为这个线性组合
m
的系数。
给定向量组A：a1 , a2 ,, am 和向量 ,如果存在一组数1, 2 , m
，使 1a1 2a2 mam
则向量 是向量组A的线性组合，这时称向量 能由向量组 A线性表示。
§4.4 向量组等价的概念
定义3 设有两个向量组A：1,2, ,r 及B：1, 2, , s，若B 组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B 能由向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能相互线 性表示，则称这两个向量组等价。
分别称为行向量和列向量，也就是行矩阵和列矩阵，并规
定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算。因此，n
1
维列向量
2
与n维行向量T
1
2
n 总看作是
n
两个不同的向量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ按定义1， 与T 应是同一个向量）。
§4.1 n维向量
列向量用小写字母 、、 等表示, 行向量则用 T、T、 T 等表示，所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时， 都当作列向量。
§4.5 向量组的相关性
定理2 向量组 1,2 ,,m 线性相关的充分必要条件是它所
构成的矩阵 A 1,2, ,m 的秩小于向量个数m；向量组
线性无关的充分必要条件是R(A)=m.
例1 n维向量组
e1
10
，
e2
0 1
0
0
，…，
en
0 0
1
称为n维单位坐标向量组，试讨论它的线性相关性。
a1
1 k1
k2 a2
即a1能由2, ,m 线性表示。
kmam
§4.5 向量组的相关性
如果向量组A中有某个向量能由其余m-1个向量线性表 示，不妨设m 能由1,2 , ,m1线性表示，即有1, 2 , m1 使 m 11 22 m1m1，于是
11 22 m1m1 (1)m 0
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵
E e1, e2 ,, en
是n阶单位矩阵，由 E 1 0，知 R(E) n ，即R(E)等于向 量组中向量个数，故由定理2知此向量组线性无关的。
例2 已知
1
1 1
，
2
0
2
1
5
，
3
2
4
7
试讨论向量组及向量组的线性相关性。
解 对矩阵1,2,3 施加初等行变换变成行阶梯形矩阵，
A： 1, 2 ,, r
B： 1 , 2 ,, s
A组由B组线性表示 即
1 k111 k 21 2 ks1 s 2r kk112r 11 kk2221 22 kkssr2ss
（*）
§4.4 向量组等价的概念
矩阵乘法形式表示
即 A=KB（A组由B组线性表示）
（*）为列向量组构成矩阵算法形式，（*）也可写成行向量组构成 矩阵算法形式
n m 矩阵 A 1,2, ,m
m个n维行向量所组成的向量组
T 1
,
T 2
,,
T m
构成一个
m
n矩
阵
B
T 1
T 2
T m
可见矩阵与向量组是一一对应的关系。
§4.3 线性组合的概念
定义2 给定向量组A：a1, a2 ,, a，m 对于任何一组实数 k1 , k2 ,, km ，向量
k1a1 k2 a2 km am