因式分解的重要方法(配方法)ppt课件

这个点的位置是（1，5）。 22．解：出勤率、命中率、达标率、发芽率都不可能大于100%，只有增长率可能大于100%，故原题说法错误；
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
①移项,使一元二次方程等式右边为0; ②分解，把左边运用因式分解法化为两个一次因式的积; ③赋值，分别令每个因式等于0,得到两个一元一次方程; ④求解，分别解这两个一元一次方程，得到方程的解。
第二十一章 一元二次方程
21.2.3 解一元二次方程
因式分解法
前言
学习目标
1.会用因式分解法解一元二次方程。 2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题的多样性。
重点难点
重点：运用因式分解法求Байду номын сангаас一元二次方程。 难点：灵活应用各种因式分解法解一元二次方程。
回顾
我们已经学过对一个多项式进行因式分解的方法为： ① 提公因式法： pa+ pb + pc=p(a+b+c) ② 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) ③ 完全平方公式： a2±2ab+b2=(a±b)2 ④ “十”字相乘法：x2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)
因式分解法概念
＝1000×0.0225×1×0.8， A.条形统计图B.折线统计图C.统计表D.无法确定 【解析】【解答】解：如图： 9．解：÷5＝ A.意义相同B.大小相同C.大小不同
（112．）一我个觉长得方上淘体气述木对块解压长岁法、钱宽中的、支，高配分由比别较① 是合6理c到m，、② 他5c把m的少、部过3c分m程钱，买，它了的不玩表具是面，积用较是多开的平一平部方方分厘降钱米用次，来把，买它学而削习成是用一品先个，最因大大部式的分正分钱方都解体存，，入这银使个行正。方体的体

第5课时 一元二次方程的解法(4) 第二十一章 一元二次方程
(2)4(2x－1) ＝8x－4. 2 第二十一章 一元二次方程
第5课时 一元二次方程的解法(4) 第二十一章 一元二次方程 第5课时 一元二次方程的解法(4) 第二十一章 一元二次方程 第5课时 一元二次方程的解法(4)
1 第二十一章 一元二次方程 x ＝1，x ＝ 1 2 第二十一章 一元二次方程 2 第5课时 一元二次方程的解法(4)
第二十一章 一元二次
方程
第5课时 一元二次方程的解法 (4)
——因式分解法
学习目标
1.了解因式分解法的概念． 2．掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，体会“降次” 的数学思想方法.
知识要点
知识点一：回顾因式分解的概念
(1)提公因式法 ma＋mb＝ m(a＋b) ； (a＋b)m＋(a＋b)n＝ (a＋b)(m＋n)． (2)公式法 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝ (a±b)2； 平方差公式：a2－b2＝ (a＋b)(a－b).
7.【例4】三角形的两边长分别为3和6，第三边长为方程x2－ 7x＋10＝0的一个根，求这个三角形的周长．
解：解方程x2－7x＋10＝0，可化为(x－2)(x－5)＝0，得x＝2 或5， ∴第三边长为2或5.
∵边长为2,3,6不能构成三角形， 而3,5,6能构成三角形， ∴三角形的周长为3＋5＋6＝14.
对点训练
(a＋b)(m＋n)
第5课时 一元二次方程的解法(4)
第5课时 一元二次方程的解法(4)
第二十一章 一元二次方程
1.把下列各式进行因式分解： 第5课时 一元二次方程的解法(4)
第二十一章 一元二次方程
第5课时 一元二次方程的解法(4)

双十字相乘法
第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx． (3)先以一个字母的一次系数分数常数项； (4)再按另一个字母的一次系数进行检验； (5)横向相加，纵向相乘。 例：分解因式：x²+5xy+6y²+8x+18y+12． 解析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
相关结论：
并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每对共轭的虚数根对应的一次因式相 乘，可以得到二次的实系数因式，从而这条结论也就成立了。) 3）因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候 就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来 说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以 但比较笨，不过能有效地解决找公因式的问题。 4）因式分解是很困难的，初中所接触的只是因式分解很简单的一部分。
原则
如(b+c)a要写成a(b+c)； 8、考试时在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到 实数。 口诀：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。
Hale Waihona Puke 分解方法分解方法因式分解主要有十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余 式定理法等方法，求根公因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、 运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法， 除法等。
提公因式法
基本步骤： (1)找出公因式； (2)提公因式并确定另一个因式； ①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即 是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因 式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。 例： 注意：把变成不叫提公因式，因为括号内不得用分数

( + )( − )
−
( − )( + )
情境引入
对于方程 − = ，除了可以用配方法或公式法求
解，还可以怎样求解呢？
观察和分析小亮的解法，你认为他的解法有没有道理？
小亮的思考及解法
解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次方程，因此，
可将方程的左边分解因式.于是，得( − ) = .
那么这两个因式中至少有一个等于0;
（3）用因式分解法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边
化为0;②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；
（4）解一元二次方程时，如果能用因式分解法进行解题，那么它是
首选.
知识点2：换元法解一元二次方程（难点）
1. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使
0,解得y₁=2,y₂=-1(不合题意,舍去),∴|x|=2,∴x₁=2,x₂=-2.
变式：已知(x+y-3) (x+y+4)=-10, 求x+y的值.
解：整理，得( − ) = ，
直接开平方，得 − = 或 −
= −，
解得 = ， = −.
（） + − = .
解： = , = , = −,
− = + = > ,
所以 =
−±

= − ± ，
21.2.3 因式分解法
1.通过阅读课本 ， 学生会用因式分解法解某些简单的数字系
数的一元二次方程，提高了学生的运算能力．
2.通过学生自主探究利用因式分解的方法解方程，培养学生
分析问题、解决问题的能力，并体会通过“降次”把一元二
次方程转化为两个一元一次方程的转化思想．

一元二次方程
21.2.1用配方法解一元二
次方程
学习目标
∴ __________＝______.
广东省怀集县蓝钟镇中心学校 冯丽娟
(3)x2+4x-9=2x-11
(4)x(x+4)=8x+12
左边写成完全平方的形式
(4)如果右边是________,两边直接开平方，求这个一元二次方程的解.
1、了解什么是配方法； (4) x2- x＋ ＝（x- ）2
（1）系数化为1 （2）移项 （3）配方 （4）开方 （5）求解 （6）定根
解下列方程
x2 10x 9 0 3x2 6x 4 0 x2 4x 9 2x 11
（3）3x2－6x+4＝0
1、形如_______或 _____ ______的方程适用直接开平方法解，可得
二次项系数化为1.
2、会用配方法准确而熟练解一元二次方程； （3）3x2－6x+4＝0
广东省怀集县蓝钟镇中心学校 冯丽娟 1、形如_______或 _____ ______的方程适用直接开平方法解，可得
广东省怀集县蓝钟镇中心学校
冯丽娟
(2)2x2 1 3x
分析：方程的二次项系数为 2 ，为了便于配方， 需将二次项系数化为 1 ，为此方程两边都除以 2 .
二解次：项移系项数，化得为1.得2x_2-x_32_x_＝_32－__x1_.
=
1 ___2_
即
x_配__广方_东_∴43_，省∴_x怀＝得1＝集__（_县_x____2x_1 4 蓝-___x____钟___32___1镇__34__x或___34中）__+心___(2＝学，_＝43__x)校__2_x＝__2__1＝__1_6_14__43_____12__冯___.+.＝_丽__(1_2娟__43___)_214_____. .

2 问题解决
公园有一块正方形空地，后来这块空地上划出部分区域栽 种鲜花，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余 正方形空地面积为12平方米，求原空地的边长？
独立 作业
P47, 习题2.7 2, 3.
祝你成功！
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来 掌握.而某些方程可以用分解因式 法简便快捷地求解.
我思
我进步

因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时,我们就可以用因式分 解的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为 因式分解法. 提示: 1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
即时小结
知识的升华
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
1. 将方程左边因式分解，右边等于0; 2. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个 一元一次方程. 3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就 是原方程的根.
当堂检测：
1 解下列方程：
(1) 2x+6=(x+3)2 (2) (x-2)2=(2x+3)2
例题欣赏
☞
用分解因式法解方程: (1)5x2=4x; (2) x(x-2) =x-2
动脑筋
1.解下列方程:
争先赛
14x2x 1 32x 1 0,
1 3 x1 , x2 . 2 4
(2)x(x+2)=3x+6
x1 3, x2 2.
• 想一想 你能用因式分解法解方程 X2-4=0, (x+1)2-25=0 吗？

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∴
x1
－1 2
，x2
1 2
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典题精讲
例2 用适当的方法解下列方程：
（1）3x²+x-1=0
解： a=3，b=1，c=-1，
∴Δ=b²-4ac=1－4×3×（-1）
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典题精讲
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
解：原方程整理为4x²-1=0
因式分解，得（2x+1）（2x-1）=0
∴2x+1=0或2x-1=0
典题精讲
（3）（3x-2）²=4（3-x）²
解：移项，得（3x-2）²-[2（3-x）]²=0
因式分解，得
[（3x-2）+2（3-x）][（3x-2）-2（3-x）]=0
即（x+4）（5x-8）=0
∴x+4=0或5x-8=0
∴x1=-4，x2
8 5
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典题精讲
（4）（x-1）（x+2）=-2
解：方程整理为x²+x=0 因式分解，得x（x+1）=0 ∴x1=0，x2=-1

A．5
B．7 C．5或7
D．10
3 △ABC的三边长都是方程x2－6x＋8＝0的解，则
△ABC的周长是( C )
A．10
B．12
C．6或10或12
D．6或8或10或12
感悟新知
知识点 2 用适当的方法解一元二次方程
知2－讲
1. 解一元二次方程的方法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．其
中配方法和公式法适合于所有一元二次方程，直接
思考：
除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法
解方程①?
感悟新知
知识点 1 用因式分解法解方程
观察方程 10x－4.9x2＝0，它有什么特点?
知1－讲
你能根据它的特点找到更简便的方法吗?
10x - 4.9x 2 = 0
x(10 - 4.9x) = 0
两个因式的积等于零
x = 0 或 10 - 4.9x = 0
课堂小结
一元二次方程
归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)化方程为一般形式； (2)将方程左边因式分解； (3)至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； (4)两个一元一次方程的解就是原方程的解．
课堂小结
一元二次方程
解一元二次方程方法的口诀 方程没有一次项，直接开方最理想； 如果缺少常数项，因式分解没商量； b，c相等都为0，等根是0不要忘； b，c同时不为0，因式分解或配方， 也可直接套公式，因题而异择良方．
于是得x＝0，或x－ 2 3 ＝0，x1＝0，x2＝2 3 .
感悟新知
(3)移项，化简，得x2－2x＋1＝0， 因式分解，得(x－1)2＝0， 于是得x－1＝0，x1＝x2＝1.
知1－练
感悟新知

“如果两个因式的积等于零, 2.理论依据是. 那么至少有一个因式等于零”
3.分解因式法解一元二次方程的步骤是:
1.化：化方程为一般形式; 2.分：将方程左边因式分解; 3.转：根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程 4.解：分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
合作探究一
下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？
解方程： x2 7x 6 0得x1 1, x2 6 而x2 - 7x 6 (x -1)(x - 6)
解方程：x2 3x 2 0得x1 1, x2 2而x2 3x 2 (x 1)(x 2)
解方程：3x2
8x
5
0得x1
1,
x2
5 3
而3x2
8x
5
(x
1)(x
5) 3
把下列各式分解因式：
12x2 5x 3
23y2 y 14
能力提升
为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1视 为一个整体，然后设x2－1＝y，则y2＝(x2－1)2，原方程化 为y2－5y＋4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，∴x＝± 2
二．用适当方法解下列方程：
1、x2－4x＋3＝0； 2、(x－2)2＝256； 3、x2－3x＋1＝0； 4、(2t＋3)2＝3(2t＋3)； 5、(3－y)2＋y2＝9； 6、 (1 ＋ 2 )x2 － (1 － 2 )x=0
三．用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的 两根均为整数，求k值。
课堂小结
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤。 2.解一元二次方程常见的方法有直接开平 方法、公式法、因式分解法、配方法。 每一种方法都有它适合的类型。

十字相乘法②随堂练习： 1）4a2–9a+2 a 24a 1
2）7a2–19a–6 7a 2a 3 3）2(x2+y2)+5xy 2x y x 2y
例 .将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式 解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5 = [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1] = (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 ) = (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )
x2 13x 42 x 6 x 7
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解， 应重点掌握以下问题：
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进
我
行分解。
2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.
3.符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab
2
-1
例1:2x2－7x+3
解：原式=(2x-1)(x-3) 1
-3
总结:
2 × (-3)+(－1) × 1=-7

（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
实际问题
根据物理学规律，如果把一 个物体从地面 10 m/s 的速度竖 直上抛，那么经过 x s 物体离地 面的高度（单位：m）为
3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就 是原方程的根.
AB = 0
A=0或B=0
（ A、B 表示两个因式）
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边化为_零_____。
2. 将方程左边分解成两个__一__次___因__式__的乘积。 3. 至少_有___一__个__因式为零，得到两个一元一次
⑴ 5x2-3 2 x=0 （运用因式分解法）
⑵ 3x2-2=0
（运用直接开平方法）
⑶ x2-4x=6
（运用配方法）
⑷ 2x2-x-3=0
（运用公式法）
⑸ 2x2+7x-7=0 （运用公式法）
② 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能 否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法， 若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0

解： －x2－2xy＋1－y2 ＝1－(x2＋2xy＋y2) ＝1－(x＋y)2 ＝(1＋x＋y)(1－x－y)
知1－练
1 多项式x2－4与x2－4x＋4的公因式为( ) A．x＋4 B．x－4 C．x＋2 D．x－2
2 把多项式4x2－2x－y2－y用分组分解法分解因 式，正确的分组方法应该是( ) A．(4x2－y)－(2x＋y2) B．(4x2－y2)－(2x＋y) C．4x2－(2x＋y2＋y) D．(4x2－2x)－(y2＋y)
4.3.3 分组分解法及分解因式的方法
1 课堂讲授 分组分解法
因式分解的方法
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
复
习
回
顾
1．如何找出多项式的公因式？ 2．公式法的两种情势是什么？
知识点 1 分组分解法
知1－讲
1.定义：分组分解法指通过分组分解的方式来分解提 公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解 方式一般分为“1+3”式和“2+2”式 .
解：(1)原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)． (2)原式＝(x3－x)＋(6x2－6)＝x(x2－1)＋6(x2－1) ＝(x2－1)(x＋6)＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．
例2 分解因式：－x2－2xy＋1－y2.
知1－讲
导引：按分组分解法，第一、二、四项提出负号后符 合完全平方式，再与“1”又组成平方差公式.
1．分组分解法的几种情势是什么？ 2．因式分解的一般方法和具体步骤是什么？
1.必做: 完成教材P105复习题T10-12 2.补充: 请完成练习册剩余部分习题
(2)xy2－2xy＋2y－4；
(3)a2－b2＋2a＋1.

❖步骤：1提：提出二次项系数；
2配：配成完全平方；
3化：化成平方差；
4分解：运用平方差分解因式。 ❖实质：对二次三项式的常数项进行 “添项”。“添”的是一次项系数一 半的平方。（添项拆项法）
练习3 把下列各式分解因式
x4 4
3x26x1（在实数范围内）
你领略到配方的魅力了吗？
❖配方法是一种“通法”，就是说只 要是能分解的二次三项式，都能用配 方法来分解。
对于 ax2bxc(a0) 这样
的二次三项式，可以进行因式分解吗？
例:如 x22x3 解：原式=(x22x1)13
(x1)2 4 [x ( 1 ) 2 ]x [ ( 1 ) 2 ] (x3)(x1)
练习1 把下列各式分解因式
(1)x2 2x8 (2)x26xy5y2
综合应用
1.若x2 (m3)x4是完全平方式
则实数m的值是______.
分析：两种情况： （ 1）如 x2(果 m3)x4(x2)2
则 m34即 m7; (2)如x果 2(m3)x4(x2)2 则 m34即 m1;
m7或1。
提高练习：已知a2+b2-6a+2b+10=0, 求a,b的值.
(3)x2y220 xy96
试试用配方法怎样进行下列式子 的因式分解呢？
(1)x2 3x40
(2)2x2 x3
➢在分解过程中，为什么要加上一项，又减 去该项？
➢在第2题中怎样把二次项系数变为1？
➢能总结出用配方法分解因式的步骤吗？
➢对比用配方法解方程，你觉得用配方法分 解因式的过程中，哪些值得注意的地方？
（ 2 ）999 2 1002 998 解： （ 9原 9 1 ） 2 8 式 10 9 09 28