高中数学函数及其表示一轮复习

1 高考数学总复习第一讲：函数与方程

函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．

在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想．

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决．总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题．在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案．

一、例题分析

例1．已知F(x)=xα-xβ在x∈(0,1)时函数值为正数，试比较α,β的大小．

分析：一般情况下，F（x）可以看成两个幂函数的差．已知函数值为正数，即f1(x)=xα的图象在x∈(0,1)上位于f2(x)=xβ的图象的上方，这时为了判断幂指数α,β的大小，就需要讨论α,β的值在（1，+∞）上，或是在（0，1）上，或是在（0，1）内的常数，于是F（x）成为两个同底数指数函数之差，由于指数函数y=at(00，所以得α

例2．已知0

分析：为比较aα与(aα) α的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数 在区间[0,+∞]上是增函数，因此只须比较底数a与aα的大小，由于指数函数y=ax(0a，所以a＜aα，从而aα<(aα) α．

第5课时 函数及其表示方法

一．知识梳理

1.函数的概念：

设AB、是_____________，如果按某个确定的对应关系f，使集合A中的任意一个数x，在集合B中都有_____________的数()fx和它对应，那么就称fAB：为从集合A到集合B的一个函数，记作(),yfxxA.其中，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{()|}CfxxA叫做函数的值域，且C_______B.

2.函数的三要素:____________、____________、_____________.

3.函数的表示方法主要有：___________、____________、____________.

4.映射的概念.

二．基础练习

1.设()fx，则(2)f=__________.

2.已知函数()yfx的定义域为[1,5],则函数()yfx的图象与直线1x的交点个数是_______.

3.函数()fx满足211()(3)1xxfxfxx，则7()2f_________.

4.设集合{|02},{|02}MxxNyy，给出下列4个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的有 .

5.已知下列四组函数：

（1）2()lg,()2lgfxxgxx； （2）2()2,()44fxxgxxx

（3）33()log(0,1),()xafxaaagxx （4）211(),()11xfxgxxx

其中表示相同函数的序号是___________.

三．典型例题

例1.下列对应是否是从A到B的函数？

（1）1,,1ARBRfxyx：

（2）2{|0,},,AxxxRBRfxyx：

例2.已知42**{1,2,3,},{4,7,,3},,,,,:31AkBaaaaNkNxAyBfxyx是从定义域A到值域B的一个函数，求a, k的值.

1 / 23 新高考数学一轮复习考点知识归类讲义

第6讲 函数及其表示

1．函数的概念

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.

2．函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2 / 23 3．函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．

4．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．

➢ 考点1 函数的概念

[名师点睛]

（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.

（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同

[典例]

1．（2022·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（ ） 3 / 23

A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）

【答案】C

【解析】

根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足.

故选：C.

2．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，fx，gx是同一函数的是（ ）

A．2fxx，4gxx

B．2logafxx，2logagxx

C．4121xxfx，21xgx

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考生在数学首轮复习中，往往存在两个误区，一是只顾埋头做题而不注重反思，有些同学在做题时，只要结果对了就不再深思做题中使用的解题方法和题目所体现出来的数学思想;二是只注重课堂听课效率，而不注重课后练习，这在文科生中显得尤为普遍，这往往会导致考生看到考题觉得自己会，可一做就错。因此，在数学首轮复习中，林老师提出了五项建议。

一、夯实基础，知识与能力并重。没有基础谈不到能力，复习要真正地回到重视基础的轨道上来。这里的基础不是指针对考试、机械重复的训练，而是指要搞清基本原理、基本方法，体验知识形成过程以及对知识本质意义的理解与感悟。同时，对基础知识进行全面回顾，并形成自己的知识体系。

二、复习中要把注意力放在培养自己的思维能力上。培养自己独立解决问题的能力始终是数学复习的出发点与落脚点，要在体验知识的过程中，适时进行探究式、开放式题目的研究和学习，深刻领悟蕴涵在其中的数学思想方法，并加以自觉的应用，力求做到使自己的理性思维能力、分析问题和解决问题的能力有切实的提高。

三、讲究复习策略。在第一轮复习中，要注意构建完整的知识网络，不要盲目地做题，不要急于攻难度大的综合题、探究题。复习要以中档题为主，选题要典型，要深刻理解概念、第2页/共5页 抓住问题的本质，抓住知识间的相互联系。高考题大多数都很常规，只不过问题的情景，设问的角度改变了一下。因此，建议考生在首轮复习中，不要盲目地自己找题，而应在老师的指导下，精做题。

四、加强做题后的反思。学习数学必须要做题，做题一定要独立。做题前要把老师上课时复习的知识再回顾一下，对所学的知识结构要有一个完整的清楚的认识，不留下任何知识的盲点，对所涉及的解题方法要深刻领会。做题时，一定要全神贯注，保持最佳状态，注意解题格式规范，养成良好的学习习惯，以良好的心态进入高考。做题后，一定要认真反思、仔细分析，通过做几道相关的变式题来掌握一类题的解法，从中总结出一些解题技巧，更重要的是掌握解题的思维方式，内化为自己的能力。并总结出对问题的规律性认识和找出自己存在的问题。对做题中出现的问题，注意总结，及时解决。重点一定要放在培养自己的分析问题和解决问题的能力上。