高三一轮复习函数及其表示 (1)

第四课时 函数及其表示

考纲要求：函数的概念(B)

知识梳理：

1．函数与映射的概念

函数 映射

定义 建立在两个非空数集A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 建立在两个非空集合A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B

2.函数的三要素

函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域．

3．函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．

4．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

基础训练：

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数是建立在其定义域到值域的映射．( )

(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．( )

(3)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．( )

(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )

(5)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( )

(6)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )

(7)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( )

答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)× (7)√

2．下列四组函数中，表示同一函数的是________．(填序号)

①y＝x－1与y＝x－12；

②y＝x－1与y＝x－1x－1；

③y＝4lg x与y＝2lg x2；

④y＝lg x－2与y＝lgx100.

答案：④

3．函数f(x)＝x－4|x|－5的定义域为________．

答案：[4,5)∪(5，＋∞)

4．已知函数y＝f(x)满足f(1)＝2，且f(x＋1)＝3f(x)，则f(4)＝________.

答案：54 5．已知函数f(x)＝ 4x，x≤1，－x，x＞1则f(2)＝________，f(－2)＝________.

答案：－2 116

6．已知函数f(x)＝ log3x，x>0，13x，x≤0，则满足方程f(a)＝1的所有a的值组成的集合为________．

答案：{0,3}

例题讲解：

[典题1]

(1)函数f(x)＝3x21－x＋lg(3x＋1)的定义域是________．

(2)函数f(x)＝1－|x－1|ax－1(a>0且a≠1)的定义域为________．

(3)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域为________．

解析：

(1)要使函数有意义，需满足 1－x>0，3x＋1>0.解得－13

(2)由 1－|x－1|≥0，ax－1≠0⇒ 0≤x≤2，x≠0⇒0

(3)由 x－1≠0，0≤2x≤2，得0≤x＜1，即定义域是[0,1)．

答案：(1)－13，1 (2)(0,2] (3)[0,1)

小结：

(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合，在求解时，要把各个部分自变量的限制条件列成一个不等式(组)，这个不等式(组)的解集就是这个函数的定义域，函数的定义域要写成集合或者区间的形式．

(2)①若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为a≤g(x)≤b的解集；②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为y＝g(x)在[a，b]上的值域．

[典题2] (1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________.

(2)已知fx＋1x＝x2＋1x2，则f(x)＝________.

解析：

(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，

又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，

得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，

即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，

所以 2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝b＝12. 所以f(x)＝12x2＋12x，x∈R.

(2)由于fx＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，

所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，

故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.

答案：(1)12x2＋12x，x∈R (2)x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)

[探究1] 若将本例(2)的条件改为f2x＋1＝lg x，如何求解？

解：令2x＋1＝t得x＝2t－1，代入得f(t)＝lg2t－1，

又x>0，所以t>1，

故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x－1，x>1.

[探究2] 若将本例(2)的条件改为“f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f1x·x－1”，如何求解？

解：在f(x)＝2f1xx－1中，

用1x代替x，得f1x＝2f(x)1x－1，

将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1xx－1中，

可求得f(x)＝23x＋13.

即函数f(x)的解析式为f(x)＝2x3＋13，x∈(1，＋∞)．

小结：

函数解析式的求法

(1)待定系数法：适合已知函数的类型(如一次函数、二次函数)．

(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．

(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．

(4)消去法：已知f(x)与f1x或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件将x换成1x或－x构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

练习：

定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当

－1≤x≤0时，f(x)＝________.

解析：当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，

∴f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)，

而f(x)＝12f(x＋1)＝－12x2－12x.

∴当－1≤x≤0时，f(x)＝－12x2－12x.

答案：－12x2－12x

分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题，且主要有以下几个命题角度：

角度一：求分段函数的函数值 [典题3]

(1)设函数f(x)＝ 1＋log22－x，x<1，2x－1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝________.

(2)已知函数f(x)＝ 2x3，x<0，－tan x，0≤x

[听前试做] (1)∵－2<1，

∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.

∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝122＝6.

∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.

(2)∵fπ4＝－tan π4＝－1，∴ffπ4＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.

答案：(1)9 (2)－2

小结：

求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

角度二：求解参数的值或取值范围

[典题4]

(1)已知函数f(x)＝ 2x－1－2，x≤1，－log2x＋1，x>1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________.

(2)设函数f(x)＝ ex－1，x<1，x13，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．

解析：

(1)由于f(a)＝－3，

①若a≤1，则2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1.

由于2x>0，所以2a－1＝－1无解；

②若a>1，则－log2(a＋1)＝－3，解得a＋1＝8，a＝7，

所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74.

综上所述，f(6－a)＝－74.

(2)当x<1时，由ex－1≤2得x≤1＋ln 2，∴x<1；当x≥1时，由x13≤2得x≤8，∴1≤x≤8.综上，符合题意的x的取值范围是x≤8.

答案：(1)－74 (2)(－∞，8]

小结：

求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．

角度三：研究分段函数的性质

[典题5] (1)设x∈R，定义符号函数sgn x＝ 1，x＞0，0，x＝0，－1，x＜0，则下列结论正确的是________．(填序号)

①|x|＝x|sgn x|；②|x|＝xsgn|x|；③|x|＝|x|sgn x；④|x|＝xsgn x.

(2)已知函数f(x)＝ x2＋1，x>0，cos x，x≤0，则下列结论正确的是________．(填序号)

①f(x)是偶函数；②f(x)是增函数；③f(x)是周期函数；④f(x)的值域为[－1，＋∞)．

解析：

(1)当x＜0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，故④正确．

(2)因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，故①错误；因为函数f(x) 在(－2π，－π)上单调递减，故②错误；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，故③错误；因为x＞0时，f(x)＞1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，故④正确．

答案：(1)④ (2)④

注意：

解决分段函数问题时，一定要注意自变量的取值所在的区间，要注意分类讨论的应用．

总结：

1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．

2．函数表达式有意义的准则一般有：(1)分式中的分母不为0；(2)偶次根式的被开方数非负；(3)y＝x0要求x≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.

3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法．

4．分段函数问题要分段求解．

5．复合函数的定义域

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．

注意：

1．求函数定义域时，不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．