高考数学一轮复习 第二章 函数及其表示训练 理

1 【创新设计】2014高考数学一轮复习 第二章 函数及其表示训练 理

新人教A版

第一节 函数及其表示

[备考方向要明了]

考

什 么 怎 么 考

1.了解构成函数的要素，了解映射的概念．

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 1.考查方式多为选择题或填空题．

2.函数的表示方法是高考的常考内容，特别是图象法与解析式更是高考的常客，如2012年新课标全国T10等．

3.分段函数是高考的重点也是热点，常以求解函数值，由函数值求自变量以及与不等式相关的问题为主，如2012年江西T3等.

[归纳·知识整合]

1．函数与映射的概念

函数 映射

两集合A，B A，B是两个非空数集 A，B是两个非空集合

对应关系f：A→B 按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

名称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

记法 y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射

[探究] 1.函数和映射的区别与联系是什么？

提示：二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的 2 两个集合必须是非空数集，二者的联系是函数是特殊的映射．

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

3．相等函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．

[探究] 2.若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数？

提示：不一定．如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y＝sin x与y＝cos x，其定义域都为R，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数．

4．函数的表示方法

表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．

5．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)给出下列五个命题，正确的有( )

①函数是定义域到值域的对应关系；

②函数f(x)＝x－4＋1－x；

③f(x)＝5，因这个函数的值不随x的变化而变化，所以f(t2＋1)也等于5；

④y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；

⑤f(x)＝1与g(x)＝x0表示同一个函数．

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解析：选B 由函数的定义知①正确；②错误；由 x－4≥0，1－x≥0，得定义域为∅，所以不是函数；因为函数f(x)＝5为常数函数，所以f(t2＋1)＝5，故③正确；因为x∈N，所以函数y＝2x(x∈N)的图象是一些离散的点，故④错误；由于函数f(x)＝1的定义域为R，函数g(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，故⑤错误．综上分析，可知正确的个数是2. 3 2．(教材习题改编)以下给出的对应是从集合A到B的映射的有( )

①集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应．

②集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

③集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

④集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解析：选C 由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以④不是从集合A到集合B的映射．

3．(2012·江西高考)若函数f(x)＝ x2＋1，x≤1，lg x，x>1，则f(f(10))＝( )

A．lg 101 B．2

C．1 D．0

解析：选B f(10)＝lg 10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.

4．(教材习题改编)已知函数f(x)＝x＋2x－6，则f(f(4))＝________；若f(a)＝2，则a＝________.

解析：∵f(x)＝x＋2x－6，∴f(4)＝4＋24－6＝－3.

∴f(f(4))＝f(－3)＝－3＋2－3－6＝19.

∵f(a)＝2，即a＋2a－6＝2，

解得a＝14.

答案：19 14

5．(教材习题改编)A＝{x|x是锐角}，B＝(0,1)，从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素60°相对应的B中的元素是________；与B中元素32相对应的A中的元素是________．

解析：∵cos 60°＝12，∴与A中元素60°相对应的B中的元素是12. 4 又∵cos 30°＝ 32，∴与B中元素32相对应的A中的元素是30°.

答案：12

30°

函数与映射的概念

[例1] 有以下判断：

(1)f(x)＝|x|x与g(x)＝ 1，x－1，x表示同一个函数．

(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个．

(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数．

(4)若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff12＝0.

其中正确判断的序号是________．

[自主解答] 对于(1)，函数f(x)＝|x|x的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝ x，－x的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，若x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数的定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于(3)，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)与g(t)表示同一函数；对于(4)，由于f12＝12－1－12＝0，

所以ff12＝f(0)＝1.

综上可知，正确的判断是(2)(3)．

[答案] (2)(3)

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1．判断两个变量之间是否存在函数关系的方法

要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y与之对应． 5 2．判断两个函数是否为同一个函数的方法

判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．

1．(1)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？

①f1：y＝xx；f2：y＝1.②f1：y＝ 1，x≤1，2，1

f2：

x x≤1 1＜x＜2 x≥2

y 1 2 3

③f1：y＝2x；f2：如图所示．

解：①不同函数．f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f2(x)的定义域为R.

②同一函数．x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．

③同一函数．理由同②.

(2)已知映射f：A→B.其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是( )

A．k>1 B．k≥1

C．k<1 D．k≤1

解析：选A 由题意知，方程－x2＋2x＝k无实数根，即x2－2x＋k＝0无实数根．

所以Δ＝4(1－k)<0，解得k>1时满足题意.

求函数的解析式

[例2] (1)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．

(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9.求f(x)．

[自主解答] (1)法一：(换元法)设x＋1＝t，则x＝t－1，

∴f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，

即f(t)＝t2＋2t－2.

∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2. 6 法二：(配凑法)∵f(x＋1)＝x2＋4x＋1＝(x＋1)2＋

2(x＋1)－2，

∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.

(2)(待定系数法)由题意，设函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)，

∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，

∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，

即2ax＋3a＋2b＝2x＋9.

由恒等式性质，得 2a＝2，3a＋2b＝9，

解得a＝1，b＝3.

∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.

若将本例(1)中“f(x＋1)＝x2＋4x＋1”改为“f2x＋1＝lg x”，如何求解？

解：令2x＋1＝t，∵x>0，

∴t>1且x＝2t－1.

∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1(x>1)．

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求函数解析式的常用方法

(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(4)解方程组法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．

2．给出下列两个条件：

(1)f(x＋1)＝x＋2x；

(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.