考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷40(题后含答案及解析)

考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷40 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 假设X是只可能取两个值的离散型随机变量，Y是连续型随机变量，且X与Y相互独立，则随机变量X+Y的分布函数

A．是连续函数．

B．是阶梯函数．

C．恰有一个间断点．

D．至少有两个间断点．

正确答案：A

解析：设X的概率分布为P｛X=a｝=p，P{X=b}=1—p=q(a≠b)，而Y的分布函数为F(y)，U=X+Y，因为X与Y相互独立，故由全概率公式有F(μ)=P{X+Y≤μ} =pP{X+Y≤μ｜X=a}+qP{X+Y≤μ｜X=b}=pP｛Y≤μ一a}+qP{Y≤μ一b}=PF(μ一a)+qF(μ一b)．由此可见X+Y的分布函数F(μ)是连续函数，故选(A)． 知识模块：概率论与数理统计

2． 设随机变量X与Y独立同分布，记U=X—Y，V=X+Y，则随机变量U与V

A．不独立．

B． 独立．

C．相关系数不为零．

D．相关系数为零．

正确答案：D

解析：由于X与Y独立同分布，因此E(X)=E(Y)，E(X2)=E(Y2)，又E(U)=E(X—Y)=E(X)一E(Y)=0，E(UV)=E[(X—Y)(X+Y)]=E(X2一Y2)=E(X2)一E(Y2)=0，Cov(U，V)=E(UV)一E(U)E(V)=0，从而可知U与V的相关系数为零，故选(D)．由X与Y独立可知ρXY=0．如果X与Y都服从正态分布，则U=X—1，和V=X+Y也都服从正态分布，从而U与V相互独立，(A)不正确，如果X与Y服从同一0-1分布：P｛X=0｝=P{Y=0}=，P{X=1}=P｛Y=1｝=，则 P{U=一1}=P｛X=0，Y=1}=P｛ X=0｝P｛Y=1｝=，P{V=2}=P{X=1，Y=1}=P｛X=1｝P{Y=1}=，P{U=一1，V=2}=P{}=0．由于P{U=一1，V=2}≠P{U=－1}P{V=2}，故U与V不相互独立，(B)不正确． 知识模块：概率论与数理统计

3． 设随机变量X～t(n)(n＞1)，Y=，则

A．Y～χ2(n)．

B．Y～χ2(n一1)．

C．Y～F(n，1)．

D．Y～F(1，n)．

正确答案：C

解析：根据t分布的性质，如果随机变量X～t(n)，则X2～F(1，n)，又根据F分布的性质，如果X2～F(1，n)，则～F(n，1)，故应选(C)． 知识模块：概率论与数理统计

填空题

4． 对同一目标接连进行3次独立重复射击，假设至少命中目标一次的概率为7／8，则单次射击命中目标的概率P=______．

正确答案：

解析：引进事件Ai=｛第i次命中目标｝(i=1，2，3)，由题设知，事件A1，A2，A3相互独立，且其概率均为p，由3次独立重复射击至少命中目标一次的概率 知识模块：概率论与数理统计

5． 已知X，Y为随机变量且，设A=｛max(X，Y)≥0｝，B=｛max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0｝，C=｛max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0｝，则P(A)=________，P(B)=________，P(C)=________．

正确答案：

解析：首先要分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，而后应用概率性质计算概率．由于A=｛max(X，Y)≥0｝=｛X，Y至少有一个大于等于0｝=｛X≥0｝∪｛Y≥0｝，故P(A)=P｛X≥0｝+P｛Y≥0｝一P｛X≥0，Y≥0｝=；又｛max(X，Y)＜0｝｛min(X，Y)＜0｝，则B=｛max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0｝=｛max(X，Y)＜0｝=．从而P(B)=．由全集分解式知：A=｛max(X，Y)≥0｝=｛max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0｝+｛max(X，Y)≥0，min(X，Y)≥0｝=C+｛X≥0，Y≥0｝，故P(C)=P(A)一P｛X≥0，Y≥0｝=． 知识模块：概率论与数理统计

6． 袋中有8个球，其中有3个白球，5个黑球，现从中随意取出4个球，如果4个球中有2个白球2个黑球，试验停止，否则将4个球放回袋中重新抽取4个球，直至取到2个白球2个黑球为止，用X表示抽取次数，则P{X=k}=_________(k=1，2，…)．

正确答案：

解析：若记Ai=“第i次取出4个球为2个白球，2个黑球”，由于是有放回取球，因而Ai相互独立，根据超几何分布知P(Ai)=，再由几何分布即得P{X=k}=． 知识模块：概率论与数理统计

7． 已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作4次独立重复观察，观察值X+Y不超过1出现的次数为Z，则EZ2=________．

正确答案：5

解析：由题设知(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)=若记A=“X+Y≤1”，则Z是4次独立重复试验事件A发生的次数，故Z～B(4，P)，其中p=P(A)=P{X+Y≤1}=f(x，y)dxdy=2×．所以EZ2=DZ+(EZ)2==5． 知识模块：概率论与数理统计

8． 将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于________．

正确答案：7／2

解析：设X1，X2，…，Xn是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望EX=21／6=7／2，因此，根据辛钦大数定律，依概率收敛于7／2． 知识模块：概率论与数理统计

9． 设X1，X2，…，X100是独立同服从参数为4的泊松分布的随机变量，是其算术平均值，则P{≤4．392}≈_______．

正确答案：0．975

解析：由于EXk=DXk=4，=0．2，因为n=100充分大，故由列维-林德伯格定理知，近似地服从正态分布N(4，0．22)，因此，有≈φ(1．96)=0．975． 知识模块：概率论与数理统计

10． 设X一N(μ，σ2)，其中μ和σ2(σ＞0)均为未知参数，从总体X中抽取样本X1，X2，…，Xn样本均值为，则未知参数μ和σ2的矩估计量分别为．

正确答案：

解析：由于待估计参数有2个：μ，σ2，故考虑一阶、二阶矩，由于E(X)=μ，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2，令解得μ和σ2的矩估计量分别为，=B2． 知识模块：概率论与数理统计

11． 已知总体X服从参数为p(0＜p＜1)的几何分布：P{X=x}=(1一p)x－1p(x=1，2，…)，X1，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数p的矩估计量为________；最大似然估计量为_________．

正确答案：

解析：由几何分布的期望公式即得，则由上式解得p的矩估计量．又样本X1，…，Xn的似然函数 知识模块：概率论与数理统计

12． 已知X1，X2，X3相互独立且服从N(0，σ2)，则服从的分布及参数为_________．

正确答案：

解析：记Y1=X2+X3，Y2=X2一X3，则Y1～N(0，2σ2)，Y2～N(0，2σ2)，由于Cov(Y1，Y2)=E(Y1Y2)一E(Y1)E(Y2)=E[(X2+X3)(X2一X3)]=E(X22)

一E(X32)=σ2一σ2=0，所以Y1与Y2相互独立，且与X1独立，又由X1+X2+X3=X1+Y1～N(0，3σ2)，可知(X1+X2+X3)～N(0，1)，～χ2(1)，且X1+X2+X3与X2一X3相互独立，于是按t分布定义有 知识模块：概率论与数理统计

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

13． 抛掷两枚骰子，在第一枚骰子出现的点数能够被3整除的条件下，求两枚骰子出现的点数之和大于8的概率．

正确答案：设A表示事件“第一枚骰子出现的点数能够被3整除”，B表示事件“两枚骰子出现的点数之和大于8”，抛掷两枚骰子所出现的点数为(i，j)(i，j=1，2，…，6)，其中i，j分别表示抛掷第一枚骰子和抛掷第二枚骰子出现的点数，共有62=36种结果，即有36个基本事件，抛掷第一枚骰子出现3点或6点时，才能被3整除，因此事件A包含2个基本事件，从而P(A)=．事件A和事件B的交4B={(3，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，即包含5个基本事件，因此P(AB)=．所求概率即为条件概率P(B｜A)=． 涉及知识点：概率论与数理统计

14． 设平面区域D是由坐标为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)的四个点围成的正方形，今向D内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在曲线y=x2与直线y=x所围成的区域D1内的概率．

正确答案：设事件A表示“任投的一点落在区域D1内”，则P(A)是一个几何型概率的计算问题，样本空间Ω={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，有利于事件A的样本点集合为D1={(x，y)｜x2≤y≤x}(如图1．3)，依几何型概率公式P(A)=．其中SD=1，SD=∫01(x一x2)dx=．设事件Bk表示“10个点中落入区域D1的点的个数为k”，k=0，…，10，这是一个十重伯努利概型问题，应用伯努利公式P(B2∪B3∪…∪B10)=1一P(B0)一P(B1)=1一(1一p)10—C101p(1一p)9=1一≈0．52． 涉及知识点：概率论与数理统计

15． 随机变量X在上服从均匀分布，令Y=sinX，求随机变量Y的概率密度．

正确答案：由于y=sinx在上是x的单调可导函数，其反函数x=arcsiny存在、可导且导数恒不为零，因此可以直接用单调函数公式法求出Y的概率密度，在这里h(y)=arcsiny，h’(y)=．于是FY(y)= 涉及知识点：概率论与数理统计

16． 随机地向半圆0＜y＜(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，用X表示原点到该点连线与x轴正方向的夹角，求X的概率密度．

正确答案：设比例系数为λ，而点落在半圆这个区域的概率为1，它应等于比例系数λ与半圆面积，因此，当0＜x＜时，事件｛X≤x｝的概率是两个面积