一.重心
三角形的三条中线的交点叫三角形的重心.
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
4.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
二.外心
三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心.(外接圆的圆心)
1.三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
2.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合
三.内心
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
四.垂心
三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心
3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF
5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
三角形三心及其应用重心三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1.2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为123123(,)33x x x y y y ++++内心三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心.内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.2、内心到三角形三边距离相等.3、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一.外心三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心.外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心.2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合.3、外心到三顶点的距离相等.22．已知M 是一个平面有限点集．则平面上存在M 到中各点距离相等的点．（1）M 中只有三个点．（2）M 中的任意三点都不共线．一元二次方程根的特殊分布根落入不同区域的分析：20(0)ax bx c a ++=≠（1）两个正根：12120,0,0x x x x ∆≥>+>（2）两个负根：12120,0,0x x x x ∆≥>+<（3）一正一负：120x x <（此时∆必大于0）基于（3），若还要求正根的绝对值大于负根的绝对值，则12120,0.x x x x +><。
专题：三角形三心教学目标1、掌握三角形外心的性质；2、掌握三角形内心的性质；3、掌握三角形重心的性质。
知识点1、三角形外心：外接圆的圆心、三边垂直平分线的交点；到三个顶点的距离相等；2、三角形内心：内切圆的圆心、三角角平分线的交点；到三边的距离相等；3、三角形重心：三边中线的交点；中线分为2:1的两部分；6个三角形的面积相等。
经典例题例1、(1)如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么＝（）A．B．C．D．(2)如图，点P是△ABC的重心，若△ABC的面积为12，则△BPC的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6举一反三1．(1)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，中线AD，BE相交于点F．EG∥BC，交AD于点G．GF＝1，则BC的长为（）A．5 B．6 C．10 D．12(2)如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F．若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（）A．12 B．14 C．18 D．242．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC＝θ（0°＜θ＜60°），BC＝6，点P为△ABC的重心，当点A到BC 的距离最大时，线段PO的长为（）A．B．C．tanθ﹣2sinθD．2tanθ﹣sinθ*3．如图，在△ABC中，分别以AB，AC为斜边在同侧作两个等腰直角△ADB与△AEC，若点D是△AEC的重心，则tan∠BAC＝．*4．若抛物线经过原点和点A（6，6）及点B（﹣6，6），点C是x轴上一点，当△ABC的重心G落在抛物线上时，则点G的坐标是例2、(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为．(2)如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（）A．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心B．O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心C．O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心D．O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心举一反三1．如图，锐角三角形ABC中，点O为AB中点．甲、乙二人想在AC上找一点P，使得△ABP的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（）甲的作法过点B作与AC垂直的直线，交AC于点P，则P即为所求乙的作法以O为圆心，OA长为半径画弧，交AC于点P，则P即为所求A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确2．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．3．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．例：已知PA＝PB，则点P为△ABC的准外心（如图1）．（1）如图2，CD为正三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝，求∠APB的度数．*（2）如图3，若△ABC为直角三角形，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，准外心P在AC边上，试探究PA的长．*4．已知，线段，点C为平面上一点，若∠ACB＝45°，则线段AC的最大值是（）A．4 B．C．8 D．例3、如图是△ABC的内心，过I的直线EF∥BC与AB、AC分别交于点E、F．若∠A＝70°，那么∠BIC的度数为（）A．100°B．110°C．125°D．135°举一反三1．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm2．如图，△ABC中，AC＝BC，I为△ABC的内心，O为BC上一点，过B、I两点的⊙O交BC于D点，tan∠CBI＝，AB＝6（1）求线段BD的长；（2）求线段BC的长．*3．如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD∥OA交OB于点D，点I是△OCD的内心，连接OI，BI，∠AOB＝β，则∠OIB等于（）A．B．180°﹣βC．D．90°+β例4、如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°举一反三1．如图为5×5的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（）A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心2．如图，在6×6的正方形网格中，有部分网格线被擦去．点A，B，C在格点（正方形网格的交点）上．（1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形ABC的外心P；*（2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形ABC的内心Q．*3．点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，若∠BIC＝145°，则∠BOC的度数为（）A．110°B．125°C．130°D．140°作业1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝7cm，点I为三角形的重心，HI⊥BC于点H，则HI＝cm．2．如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P、Q分别是△BCE和△BCD 的重心，BC长为6，则PQ的长为．3、（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．4、如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；*（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG：PG：HG的值.*5、已知，线段AB＝4，点C为平面上一点，若∠ACB＝30°，则线段AC的最大值是（）A．4 B．C．8 D．。
座号：姓名：情境如下小小、中中与大大三位好久不见的好朋友，他们决定在与他们各自家等距的地方见面，请问这见面的地点会存在吗？如果存在的话要怎么找呢？【想法】先假设小小家为P点、中中家为Q点、大大家为R点，那要找到一个O 点让垂线上！第一心～外心 (三角形外接圆的圆心)1.外心是由三边中垂线的交点2.外心到三顶点的距离都相等换你画画看锐角、直角与钝角三角形的外心会在哪？锐角三角形的外心在三角形的直角三角形的外心在三角形的钝角三角形的外心在三角形的三角形的三心二意小小、中中与大大到约定地点后，发现旁边有个用低围墙围起的三角形公园，而里面有个工程师正在伤脑筋的徘徊，小小看到向前去关心，工程师对他说：「老板叫我设置一个饮水机与三边围墙等距的地方，可是我不知要如何计算？」聪明的小小可以如何帮他找呢？【想法】我们可以先考虑两条围篱所夹的一个内角，而由角平分线的性质可以发现：与一角两边等距的点，必在角平分在线！第二心～内心 (三角形内切圆的圆心)1.内心是三内角平分线的交点2.内心到三边的距离相等<动动脑时间>◆锐角、直角与钝角三角形的内心都会在里面吗？◆三角形面积=(三角形周长)*(三角形内切圆半径)*(1/2)解决了工程师的问题后，开心的工程师为了感谢小小，他送小小一个三角形的风筝，顽皮的大大拿起风筝放在手指头上旋转了起来，小小看到后觉得很兴奋问大大是如何做到的？大大跟他说：「每个物体都有一个重心，可以想象成这个物体重量集中的中心，只有找到这个心就能顺手的将它平衡撑起喔！」【想法】既然是重量的中心那可以把三角形先切成几个等份量的三角形，中线即有能把面积平分性质！第三心～重心 (重量的中心点)1.重心是三中线的交点2.重心到一顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍✧重心与三顶点的连线将三角形面积三等分✧三角形三中线将三角形六等分<动动脑时间>正三角的外心、内心和重心会不会刚好在同一个点？动手做练习囉！BC＝8，则：1.直角△ABC中，∠B＝90°，¯AB＝6，¯(1)其外接圆半径为多少？(2)其内切圆半径为多少？2.（）如图，△ABC的三中线AD、BE、CF相交于G点，若AG＝10公分，EG＝6公分，CG＝12公分，则AD＋BE ＋CF为多少公分？(A)28(B)33(C)49(D)513.（）如图( 十)，坐标平面上有A(0,a)、B(−9,0) 、C (10,0) 三点，其中a > 0。
